Решить дискриминант онлайн: Онлайн калькулятор. Решение квадратных уравнений

Содержание

ГДЗ Алгебра 9 класс Макарычев

Авторы:Макарычев, Миндюк, Нешков

Год:2021

Тип:учебник

Какой номер надо решить?

Контрольные вопросы

1234567891011121314151617181920

2122232425262728293031323334353637383940

4142434445464748495051525354555657585960

6162636465666768697071727374757677787980

81828384858687888990919293949596979899100

101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120

121122123124125126127128129130131132133134135136137138139140

141142143144145146147148149150151152153154155156157158159160

161162163164165166167168169170171172173174175176177178179180

181182183184185186187188189190191192193194195196197198199200

201202203204205206207208209210211212213214215216217218219220

221222223224225226227228229230231232233234235236237238239240

241242243244245246247248249250251252253254255256257258259260

261262263264265266267268269270271272273274275276277278279280

281282283284285286287288289290291292293294295296297298301302

303304305306307308309310311312313314315316317318319320321322

323324325326327328329330331332333334335336337338339340341342

343344345346347348349350351352353354355356357358359360361362

363364365366367368369370371372373374375376377378379380381382

383384385386387388389390391392393394395396397398399400401402

403404405406407408409410411412413414415416417418419420421422

423424425426427428429430431432433434435436437438439440441442

443444445446447448449450451452453454455456457458459460461462

463464465466467468469470471472473474475476477478479480481482

483484485486487488489490491492493494495496497498499500501502

503504505506507508509510511512513514515516517518519520521522

523524525526527528529530531532533534535536537538539540541542

543544545546547548549550551552553554555556557558559560561562

563564565566567568569570571572573574575576577578579580581582

583584585586587588589590591592593594595596597598599600601602

603604605606607608609610611612613614615616617618619620621622

623624625626627628629630631632633634635636637638639640641642

643644645646647648649650651652653654655656657658659660661662

663664665666667668669670671672673674675676677678679680681682

683684685686687688689690691692693694695696697698699700701702

703704705706707708709710711712713714715716717718719720721722

723724725726727728729730731732733734735736737738739740741742

743744745746747748749750751752753754755756757758759760761762

763764765766767768769770771772773774775776777778779780781782

783784785786787788789790791792793794795796797798799800801802

803804805806807808809810811812813814815816817818819820821822

823824825826827828829830831832833834835836837838839840841842

843844845846847848849850851852853854855856857858859860861862

863864865866867868869870871872873874875876877878879880881882

883884885886887888889890891892893894895896897898899900901902

903904905906907908909910911912913914915916917918919920921922

923924925926927928929930931932933934935936937938939940941942

943944945946947948949950951952953954955956957958959960961962

963964965966967968969970971972973974975976977978979980981982

983984985986987988989990991992993994995996997998999100010011002

10031004100510061007100810091010101110121013101410151016101710181019102010211022

10231024102510261027102810291030103110321033103410351036103710381039104010411042

10431044104510461047104810491050105110521053105410551056105710581059106010611062

10631064106510661067106810691070107110721073107410751076107710781079108010811082

108310841085108610871088108910901091109210931094109510961097299(300)300 (299)

Топовые ГДЗ по другим предметам

org/Book»>Учебник
Учебник
Учебник
Учебник
Учебник
Контурные
Учебник
Учебник
Контрольные
Дидактич.

Подробные решения по алгебре за 9 класс авторы Макарычев, Миндюк, Нешков

Учитывая, насколько ответственным является для девятиклассников этот учебный год, подходить к занятиям с использованием гдз по алгебре за 9 класс Макарычев следует максимально вдумчиво, грамотно. Эффективно организовав самостоятельную работу с этими материалами, можно добиться результатов не менее убедительных, чем при подготовке с привлечением репетиторской помощи. А иногда — даже более убедительных. Эксперты настойчиво советуют переходить на ежедневные занятия, расходуя на них минимум один час в день. И не делать долгих, сверх 10-14 дней подряд, перерывов в подготовительной практике. Иначе материал будет забываться, а дальнейшее оперативное изучение программы большими блоками приведет к ухудшению усвоения курса.

Кто использует решебник в процессе обучения чаще других?

Среди тех, кто постоянно или на регулярной основе применяет онлайн решебник по алгебре для 9 класса (автор Макарычев) в своей подготовительной практике:

девятиклассники, определившиеся со своей будущей профессией, родом деятельности. Для них ресурс станет оптимальной площадкой, с помощью которой можно улучшить свой результат, оценку по дисциплине, таким образом, сделав выше средний балл аттестата, на основании которого проводится конкурс в техникумы и колледжи;
дети, заинтересованные в участии в научных и конкурсных математических мероприятиях. Особенно в том случае, если в классе предмет изучается по другим учебным программам. Сборник позволит расширить и дополнить свои знания;
выпускники-одиннадцатиклассники, повторяющие материал за 9-й класс по дисциплине в процессе подготовки к обязательному ЕГЭ по ней;
школьные учителя-предметники, которым необходимо в условиях загруженности другими срочными, важными делами проверить значительные объемы сданных учениками тетрадей. Площадка позволит им это сделать максимально быстро и качественно;

родители девятиклассников, планирующие оценить качество, уровень знаний своего ребенка, не вдаваясь в подробности изучения школьного курса.

Какими преимуществами обладают готовые решения по алгебре за 9 класс Макарычев?

Некоторые педагоги и родители и сегодня с предубеждением расположены к еуроки ГДЗ, полагая, что списывание не позволяет подросткам думать, искать самостоятельные ответы. Но это мнение достаточно спорно, а преимущества ГДЗ очевидны:

они доступны всем и круглосуточно;
их необязательно применять для переписывания всех готовых решений. Здесь можно найти ответ на непростое задание, которое не получается решить самостоятельно. Или сверить ответ с эталоном до проверки тетради учителем, не рискуя получить низкую отметку;

они экономически выгодны, позволяя снизить финансовую нагрузку на семью, отказавшись от курсов и репетиторов;
они понятны и просты в использовании, применение ответа займет минимум времени.

Качественные сборники онлайн решений помогут старшеклассникам научиться работать со справочной информацией в режиме ограниченного времени на достижение поставленной цели.

Квадратичная формула и дискриминант

До сих пор мы использовали такие методы, как построение графиков, разложение на множители и применение свойства квадратного корня для нахождения точных решений некоторых квадратных уравнений. Мы также научились решать квадратные уравнения, дополняя квадрат.

Хотя некоторые из этих методов кажутся лучшим вариантом для решения любого типа квадратного уравнения, он может оказаться довольно сложным, если в данном квадратном уравнении участвуют дроби или десятичные дроби. Однако не бойтесь! Оказывается, есть решение для решения любая форма квадратного уравнения, выраженная в соответствии с приведенным выше определением. Это известно как квадратичная формула.

Квадратная формула — важный инструмент, используемый для определения решений любого заданного квадратного уравнения. Мы можем применить эту концепцию при решении квадратных уравнений, которые нельзя разложить на множители с помощью стандартных методов факторизации.

Обратите внимание, что мы действительно можем использовать Квадратную Формулу для нахождения решений любой формы квадратных уравнений, даже тех, которые можно разложить на множители.

Квадратная формула

Прежде чем мы углубимся в эту тему, давайте сначала вспомним стандартную форму квадратного уравнения.

Стандартная форма квадратного уравнения где

Имея это в виду, давайте теперь введем квадратную формулу.

Для квадратного уравнения вида, где решения даются квадратичной формулой ,

Обратите внимание, что квадратичная формула имеет « ±» 9знак 0006. Это означает, что формула дает два решения, а именно

Учитывая, что квадратная формула сообщает нам корни данного квадратного уравнения, мы можем легко найти эти точки и построить график более точно.

Вывод квадратичной формулы

Квадратичная формула выводится путем завершения квадрата. В этом разделе шаг за шагом объясняется его вывод, как показано ниже.

Учитывая общую форму квадратного уравнения:

Шаг 1: Разделите выражение на

Шаг 2: С каждой стороны

Шаг 3: Завершите квадрат

. Фактор левой части и упрощение правой части

Шаг 5: Квадратный корень с каждой стороны

Не забудьте знак ‘±’!

Шаг 6: Вычтите с каждой стороны

Шаг 7: Упростить выражение

Примечание: Этот метод завершения квадрата подробно объясняется в теме Заполнение квадратов . Это обсуждение содержит четко проработанные примеры, которые показывают, как этот вывод применяется к данному квадратному уравнению. Проверьте это, если вы хотите изучить это более подробно!

Дискриминант

В следующих разделах мы рассмотрим свойства корней заданных квадратных уравнений. Мы познакомимся с новым понятием, называемым дискриминантом. Дискриминант играет решающую роль в понимании природы корней квадратного уравнения.

Прежде чем мы рассмотрим идею дискриминанта, нам нужно ознакомиться с несколькими важными терминами, которые помогут нам понять это обсуждение. Начнем с определения рационального и иррационального корня.

рациональный корень — это решение, которое может быть выражено как частное двух целых чисел.

Они представлены в виде где p и q — целые числа, где p — константа многочлена, а q — старший коэффициент.

Иррациональный корень — это решение, которое нельзя выразить как частное двух целых чисел. Они часто представлены бесконечно неповторяющимися десятичными знаками или сурдами.

Далее мы определим, что значит быть полным квадратом. Эта концепция имеет решающее значение, когда мы начинаем использовать квадратную формулу, поскольку она определяет, являются ли корни нашего данного квадратного уравнения рациональными или иррациональными, как мы скоро увидим!

Полный квадрат — это целое число, являющееся квадратом целого числа, то есть произведение некоторого целого числа на себя. Это принимает вид, где p — целое число. По сути, .

Примеры включают 9 (3 ² ), 16 (4 ² ), 25 (5 ² ) и т. д.

Теперь, когда мы рассортировали ключевые определения, давайте перейдем к концепции дискриминант и его связь со свойствами корней.

Дискриминант и свойства корней

Чтобы найти количество корней в заданном квадратном уравнении, воспользуемся дискриминантом . Мы также можем определить тип корней выражения.

Дискриминант квадратного многочлена используется для нахождения количества и типа решений квадратного уравнения. Он описывается формулой

Обратите внимание, что это компонент внутри квадратного корня в квадратичной формуле.

Условие дискриминанта имеет три случая.

Случай 1: D > 0

Когда определитель больше нуля, или, другими словами, b ² – 4ac > 0 , мы получаем два действительных различных корня. Это может быть дополнительно классифицировано следующим образом.

Если b ² – 4ac – полный квадрат, то у нас есть два действительных рациональных корня;
Если b ² – 4ac не является полным квадратом, то у нас есть два действительных иррациональных корня.

График для этого случая показан ниже.

Дискриминантный случай, когда D > 0, StudySmarter Originals

Случай 2: D = 0

Когда определитель равен нулю, или, другими словами, настоящий корень. Это также известно как повторяющийся корень. График для этого случая показан ниже.

Дискриминантный случай, когда D = 0, StudySmarter Originals

Случай 3: D

< 0
Когда определитель меньше нуля или, другими словами, b ² – 4ac < 0 получаем два комплексно-сопряженных корня. Это означает, что наше решение имеет вид a + bi , где a — действительная часть, а b — мнимая часть. График для этого случая показан ниже.
Дискриминантный случай, когда D < 0, StudySmarter Originals
Напомним, что мнимая единица равна
Использование квадратичной формулы и дискриминанта для поиска корней
В этом разделе мы рассмотрим некоторые рабочие примеры, демонстрирующие применение квадратичной Формула и дискриминант для поиска решений заданного квадратного уравнения.
Два действительных рациональных корня
Решите следующее квадратное уравнение.
Вычислите дискриминант и определите количество и тип корней, которые содержит это выражение. Затем используйте квадратную формулу для оценки ее решений.
Решение
Шаг 1 : Найдите a, b и c
Шаг 2 : Вычислите дискриминант
Шаг 3 : Найдите решения
Используя квадратичную формулу, мы получаем
Обратите внимание, что составляющая внутри квадратного корня равна D, или, другими словами,
Здесь — идеальный квадрат, поэтому мы получаем пара рациональных корней
Таким образом, решения .
Ниже приведен график для этого квадратного уравнения. Зеленые точки представляют решения выражения.
Пример 1, StudySmarter Originals
Два действительных иррациональных корня
Решите следующее квадратное уравнение.
Вычислите дискриминант и определите количество и тип корней, которые содержит это выражение. Затем используйте квадратную формулу, чтобы оценить их решения.
Решение
Шаг 1 : Найдите a, b и c
Шаг 2 : Вычислите дискриминант
Шаг 3 : Найдите решения
Используя квадратную формулу, мы получаем
Здесь не полный квадрат, поэтому мы получаем пару иррациональных корней
Таким образом, решения .
Ниже приведен график для этого квадратного уравнения. Зеленые точки представляют решения выражения.
Пример 2, StudySmarter Originals
Обратите внимание, что вы можете сохранить корни в точной форме и что десятичные разряды являются приблизительным ответом.
Один вещественный повторяющийся корень
Решите следующее квадратное уравнение.

Вычислите дискриминант и определите количество и тип корней, которые содержит это выражение. Затем используйте квадратную формулу, чтобы оценить их решения. Шаг 1 : Найдите a, b и c

Шаг 3 : Найдите решения

Используя квадратную формулу, мы получаем

Заметив, что

Таким образом, решение .

Ниже приведен график для этого квадратного уравнения. Зеленые точки представляют решения выражения.

Пример 3, StudySmarter Originals

Два комплексных корня

Решите следующее квадратное уравнение.

Вычислите дискриминант и определите количество и тип корней, которые содержит это выражение. Затем используйте квадратную формулу, чтобы оценить их решения.

Решение

Шаг 1 : Определите a, b и c

Шаг 2 : Вычислите дискриминант

9 комплексных корней < D,

3 .

Шаг 3 : Найдите решения

Используя квадратичную формулу, мы получаем

Заметив, что

Упрощая это, мы получаем

Ниже приведен график для этого квадратного уравнения. Зеленые точки представляют решения выражения.

Пример 4, StudySmarter Originals

Обратите внимание, что на этом графике нет помеченных решений. Это связано с тем, что решения являются мнимыми и не могут быть отображены на стандартной декартовой плоскости. Декартова плоскость представлена действительными числами, а не мнимыми числами! В этом случае мы можем по существу «предполагать» форму графика на основе коэффициента x ² член и что точка пересечения с осью y задана исходным квадратным уравнением.

Дискриминант кубического уравнения

В этом разделе мы рассмотрим дискриминант кубического уравнения и определим типы корней выражения, учитывая значение его дискриминанта.

Для кубического уравнения вида (общего)

где a ≠ 0, дискриминант описывается формулой

Формула для вычисления дискриминанта кубических уравнений может быть довольно длинной. Вопросы, где может быть применена эта формула, часто редко встречаются в этой программе. Тем не менее, может быть полезно знать, как это делается для ясности.

Как и в квадратичном случае, дискриминант для кубических уравнений имеет три условия.