Решить интеграл онлайн тройной: Решение тройных интегралов онлайн / Калькуляторы

Содержание

Тройной интеграл Римана — презентация онлайн

Выполнила студентка: Седых Надежда 22к1
Риман родился в Брезеленце – деревеньке в
окрестностях Данненберга в Королевстве Гановер
(ныне – Федеративная республика
Германии). Фридрих Бернхард Риман, его
отец, был бедным лютеранским священником,
принимавшим участие в Наполеоновских войнах.
Его мать, Шарлотта Эбелль, умерла рано. Бернхард
был вторым из шестерых детей в семье. С ранних
лет мальчик демонстрировал потрясающие
математические способности и невероятные успехи
в счёте, однако ребёнком он был застенчивым и
пережил немало нервных срывов. Он был
патологически робким человеком и страдал от
боязни перед публичными выступлениями.
В средней школе Риман старательно изучает Библию, однако его
неизменно влечёт к математике. Учителей поражала его способность
решать сложнейшие математические задачи, в чём, зачастую, он
превосходит своих преподавателей.
В 1846 г., в возрасте 19 лет, Риман начинает изучать теологию и
филологию, намереваясь стать священником, но его учитель Гаусс,
потрясённый способностями юноши к математике, настоятельно
советует ему оставить теологическую стезю и сосредоточить усилия на
точных науках.
В 1854 г. состоялась его первая лекция, которая очертила область
геометрии Римана, лежащей в основе общей теории
относительности Эйнштейна. В 1857 г., в Гёттингенском
университете предпринимаются попытки присвоить учёному
особое профессорское звание. И, хотя попытки не оканчиваются
успехом, они открывают перед Риманом перспективу
стабильного заработка. В 1859 г., всё в том же Гёттингене, Римана
повышают в должности до главы отделения математики, и в том
же году его избирают членом-корреспондентом Берлинской
академии наук. Новоиспечённый член-корреспондент
представляет Академии свой доклад «Определение числа
простых чисел, меньших данной величины», который станет
ключевым в развитии теории чисел. Риман также является одним
их первых, применивших систему измерений выше трёх- и
четырёх мерных измерений для объяснения физической
реальности
Инновационные труды Римана заложили основу современной
математики и различных исследовательских областей, включая
математический анализ и геометрию. Его работы нашли применение в
теориях алгебраической геометрии, геометрии Римана и теории
комплексного многообразия. Адольф Хурвиц и Феликс Кляйн доступно
изложили теорию римановых поверхностей. Этот аспект
математических знаний является основой топологии, и по сей день
широко применяется в современной математической физике. Риман
также совершил ряд поворотных открытий в теории «действительного
анализа».
Он ввёл «интеграл Римана», найденный посредством «сумм Римана», и
вывел теорию тригонометрических рядов, отличную от рядов Фурье –
первого шага на пути к теории обобщённых функций, а также
определил «дифферинтеграл Римана-Лиувилля».
Много сделал Риман и для развития современной аналитической теории
чисел. Он ввёл «дзета-функцию Римана» и объяснил её значение для
понимания распределения простых чисел. Он также выдвинул ряд
предположений о свойствах дзета-функции, одними из которых являются
знаменитые «гипотезы Римана». Его труды вдохновляли работы Чарльза
Лютвиджа Доджсона, более известного под именем Льюис Кэррол, –
математика, написавшего популярные книги «Алиса в Стране чудес» и
«Алиса в Зазеркалье».
Определение тройного интеграла
Формально определение тройного интеграла можно ввести
аналогично двойному интегралу как предел суммы
Римана. Начнем с простейшего случая, когда область
интегрирования U имеет вид
параллелепипеда [a,b]×[c,d]×[p,q] (рисунок 1).
Пусть множество чисел {x0,x1,…,xm} разбивает отрезок [a,b] на малые
интервалы, так что справедливо
соотношениеa=x0<x1<x2<…<xi<…<xm−1<xm=b.
Аналогично построим разбиение отрезка [c,d] вдоль оси Oy и [p,q] вдоль
оси Oz:c=y0<y1<y2<…<yj<…<yn−1<yn=d,p=z0<z1<z2<…<zk<…<zℓ−1<zℓ=q.Сум
ма Римана функции f(x,y,z) над разбиением [a,b]×[c,d]×[p,q] имеет
видm∑i=1n∑j=1ℓ∑k=1f(ui,vj,wk)ΔxiΔyjΔzk.Здесь (ui,vj,wk) − некоторая точка
в параллелепипеде (xi−1,xi)×(yj−1,yj)×(zk−1,zk), а приращения
равныΔxi=xi−xi−1,Δyj=yj−yj−1,Δzk=zk−zk−1.Тройной интеграл от
функции f(x,y,z) в параллелепипеде [a,b]×[c,d]×[p,q] определяется как
предел суммы Римана, при котором максимальное значение
приращений Δxi, Δyj и Δzk стремятся к
нулю:∭[a,b]×[c,d]×[p,q]f(x,y,z)dV=limmaxΔxi→0maxΔyj→0maxΔzk→0m∑i=1
n∑j=1ℓ∑k=1f(ui,vj,wk)ΔxiΔyjΔzk. Чтобы определить тройной интеграл в
произвольной области U, выберем
параллелепипед[a,b]×[c,d]×[p,q], включающий заданную область U. Введем
функцию g(x,y,z), такую,
что{g(x,y,z)=f(x,y,z),еслиf(x,y,z)∈Ug(x,y,z)=0,еслиf(x,y,z)∉U.Тогда тройной
интеграл от функции функции f(x,y,z) в произвольной
области U определяется в виде:∭Uf(x,y,z)dV=∭[a,b]×[c,d]×[p,q]g(x,y,z)dV.
Основные свойства тройного интеграла
Пусть функции f(x,y,z) и g(x,y,z) интегрируемы в области U. Тогда
справедливы следующие свойства:
1)∭U[f(x,y,z)+g(x,y,z)]dV=∭Uf(x,y,z)dV+∭Ug(x,y,z)dV;
2)∭U[f(x,y,z)−g(x,y,z)]dV=∭Uf(x,y,z)dV−∭Ug(x,y,z)dV;
3)∭Ukf(x,y,z)dV=k∭Uf(x,y,z)dV, где k — константа;
4)Если f(x,y,z)≤g(x,y,z) в любой точке
области U, то ∭Uf(x,y,z)dV≤∭Ug(x,y,z)dV;
5)Если область U является объединением двух непересекающихся
областей U1 и U2, то
6)∭Uf(x,y,z)dV=∭U1f(x,y,z)dV+∭U2f(x,y,z)dV;
7) Пусть m — наименьшее и M — наибольшее значение непрерывной
функции f(x,y,z) в области U. Тогда для тройного интеграла справедлива
оценка:
m⋅V≤∭Uf(x,y,z)dV≤M⋅V,
где V — объем области интегрирования U.
Теорема о среднем значении тройного интеграла.
Если функция f(x,y,z) непрерывна в области U, то существует
точка M0∈U, такая, что
∭Uf(x,y,z)dV=f(M0)⋅V,
где V — объем области U.
Теорема о среднем значении тройного интеграла.
Если функция f(x,y,z) непрерывна в области U, то существует точка M0∈U, такая,
что
∭Uf(x,y,z)dV=f(M0)⋅V,
где V — объем области U.
Задача 2
Оценить максимальное значение тройного
интегралаI=∭Udxdydz√100−x2−y2−z2,где U предс
тавляет собой шар с центром в начале координат
и радиусом R=6.
Решение.
Уравнение шара имеет
видx2+y2+z2≤36.Используя свойство 6, можно
записатьI≤M⋅V,где объем
шара V равенV=43πR3=43π⋅63=288π.Максима
льное значение M подынтегральной функции
равноM=1√100−36=18.
Ответ:
Отсюда получаем верхнюю
оценку тройного интеграла:
I≤18⋅288π=36π
.
Вычислить тройной интеграл
,
где V — параллелепипед, ограниченный
плоскостями x = − 1, x = + 1, y = 0, y = 1,z = 0, z = 2.
Решение. Пределы интегрирования для всех трёх
определённых интегралов однозначно заданы уравнениями
поверхностей, ограничивающих параллелепипед. Поэтому
сразу сводим данный тройной интеграл к последовательности
трёх определённых интегралов:
.
.
Вычисляем самый внутренний интеграл — по переменной z, считая икс и игрек
константами. Получаем:
Вычисляем интеграл «в серединке» — по переменной y. Получаем;
.
Теперь вычисляем самый внешний интеграл — по переменной x:

Калькулятор тройного интеграла функции

Поиск инструмента

Найдите инструмент в dCode по ключевым словам:

Просмотрите полный список инструментов dCode

Тройной интеграл

Инструмент для вычисления тройного интеграла. Вычисление трех последовательных интегралов позволяет вычислить объемы функций с тремя переменными для интегрирования на заданном интервале.

Результаты

Тройной интеграл — dCode

Метки: Функции, Символьные вычисления

dCode и многое другое

dCode бесплатен, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокэшинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

Калькулятор тройных интегралов

Функция (f(x,y,z)=)
$$ \int\limits_3 \int\limits_2 \int\limits_1 f(var_1,var_2,var_3) $$

Первый интеграл 1

Относительно:
Нижняя граница
Действительное число
Минус бесконечность (-∞)
Верхняя граница
Действительное число
Плюс бесконечность (+∞)

Второй интеграл 2

Третий интеграл 3

См. также: Определенный интеграл — функции примитивов

Ответы на вопросы (FAQ)

Что такое тройной интеграл? (Определение)

Вычисление тройного интеграла эквивалентно вычислению трех последовательных интегралов от самого внутреннего до самого внешнего.

Как вычислить тройной интеграл?

Вычислить интегралы последовательно, изнутри наружу.

$$ \iiint f(x,y,z) \text{ d}x\text{ d}y\text{ d}z = \int_{(z)} \left( \int_{(y)} \left( \int_{(x)} f(x,y) \text{ d}x \right) \text{ d}y \right) \text{ d}z $$ 92}{2} \text{ d}z = \frac{9}{2} $$

Введите функцию для интегрирования в dCode с нужными верхней и нижней границами для каждой переменной, и калькулятор автоматически вернет результат.

Как интегрировать с полярными координатами?

Цилиндрические координаты часто используются для вычисления объема посредством тройного интегрирования путем замены переменных:

$$ \iiint f(x,y,z) \text{ d}x\text{ d}y\text{ d }z = \iiint f(r \cos(\theta), r\sin(\theta), z) r \text{ d}r\text{ d}\theta\text{ d}z $$ 92 \sin(\varphi) \text{ d}\rho \text{ d}\theta \text{ d}\varphi $$

Исходный код

dCode сохраняет право собственности на исходный код «Triple Integral». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (указано Creative Commons/бесплатно), алгоритма «Тройной интеграл», апплета или фрагмента (преобразователь, решатель, шифрование/дешифрование, кодирование/декодирование, шифрование/дешифрование, транслятор) или «Тройного интеграла» функции (вычисление, преобразование, решение, расшифровка/шифрование, расшифровка/шифрование, декодирование/кодирование, перевод), написанные на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C#, Javascript, Matlab и т. д.) и загрузка всех данных, скрипт, или доступ к API для «Triple Integral» не является общедоступным, то же самое для автономного использования на ПК, мобильных устройствах, планшетах, iPhone или в приложениях для Android!

Напоминание: dCode можно использовать бесплатно.

Cite dCode

Копирование и вставка страницы «Тройной интеграл» или любых его результатов разрешено, если вы цитируете dCode!
Экспорт результатов в виде файла .csv или .txt можно выполнить бесплатно, щелкнув значок export . , https://www.dcode.fr/triple-integral

Сводка

Калькулятор тройного интеграла
Что такое тройной интеграл? (Определение)
Как вычислить тройной интеграл?

Как интегрировать с полярными координатами?
Как интегрировать со сферическими координатами?

Similar pages

Primitives Functions
Definite Integral
Polynomial Factorization
Cube Root
Double Integral
Differential Equation Solver
Square Root
DCODE’S TOOLS LIST

Поддержка

PayPal
Patreon
Подробнее

Форум/Помощь

Ключевые слова

Интегральная, трипленка, функция, интеграция, интеграция, калькулс, громкости 9000. ▲

Лучший калькулятор тройного интеграла с шагами и решением

Знакомство с калькулятором тройного интеграла

Калькулятор тройного интегрирования представляет собой онлайн-калькулятор, который используется для определения значений тройного интеграла соответствующей функции. Он интегрирует значения тройного подынтегрального выражения посредством пошаговых вычислений.

Это удобный и простой в использовании инструмент, который дает вам пошаговые инструкции для решения сложных математических задач. Лучшее свойство решателя тройных интегралов заключается в том, что он бесплатный, понятный и дает достоверные результаты.

Наряду с этим супер-инструментом, вы также можете использовать калькулятор площади под графиком для расчета точной площади под кривой онлайн.

Что такое калькулятор тройного интегрирования?

Калькулятор тройного интеграла с шагами означает, что он вычисляет подынтегральные выражения в трехмерном направлении. Он оценивает интегралы фигурного тела 3D . Он вычисляет объем, площадь и массу любого, чья плотность является переменной и известной.

Вычисляемая функция выражается как:

F(x,y,z)

Порядок интегрирования этого подынтегрального выражения: x, y, а затем z. Калькулятор тройного интегрирования также показывает результаты в виде кривых, графиков и графиков.

Если функция представляет собой форму f(x,y), то лучше всего использовать калькулятор двойных интегралов.

Как работает решатель тройных интегралов?

Этот 3d интегральный калькулятор находит предел суммы произведения функции, выполнив следующие шаги:

Прежде всего, введите функцию относительно переменных x, y и z, тройные интегралы которой вы хотите вычислять.
Выберите соответствующий порядок переменных, чтобы различать, например, dxdydz, dydxdz или dzdxdy соответственно.

Выберите верхний и нижний пределы для переменных.
Теперь просто нажмите кнопку «Вычислить тройной интеграл» , чтобы быстро получить результаты.

Калькулятор интеграла объема отображает результаты на вашем экране, и результаты показаны с пошаговыми вычислениями.

Сразу после этого, если вы хотите узнать, сходится функция или расходится, то использование калькулятора интегральной сходимости вполне уместно.

Формула, используемая калькулятором тройных интегралов

Калькулятор 3D-интегралов для решения 3D-интегралов использует следующую формулу для получения точного объема трехмерного тела/площади. Эта формула задается как: 9{x_2} f(x,y,z)dx \right) dy \right) dz $$

Здесь f(x,y,z) представляет собой трехмерное подынтегральное выражение, зависящее от трех различных переменных.

Давайте узнаем, как этот калькулятор тройных интегралов использует приведенную выше формулу для решения любого интеграла. и оси Z.

Если плотность куба пропорциональна расстоянию от плоскости xy, найдите его массу. 92 | г \;=\; 2з \;=\; 0 \;=\; 16к $$

Атрибуты калькулятора тройных интегралов с шагами

Решатель тройных интегралов — это интегральный онлайн-калькулятор, используемый для решения тройных интегралов заданной функции относительно различных переменных. Он оценивает объем и массу данной функции по отношению к трем различным переменным.

Калькулятор тройных интегралов мгновенно дает достоверные результаты.