Математический анализ. (Виленкин)
Математический анализ. (Виленкин)
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯВВЕДЕНИЕ 2. Числовые множества. 3. Пустое множество. 4. Подмножество. 5. Пересечение множеств. 6. Сложение множеств. 7. Разбиение множеств.  8. Вычитание множеств. 9. Отображение множеств. 10. Краткие исторические сведения. Глава I. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО § 1. Тождественные преобразования многочленов 2. Целые рациональные выражения и функции. 3. Степень с натуральным показателем и ее свойства. 4. Многочлены. 5. Умножение многочленов. 6. Числовые кольца и поля. 7. Кольцо многочленов над данным числовым полем. 8. Бином Ньютона. § 2. Деление многочленов. Корни многочленов 2. Теорема Безу. Схема Горнера. 3. Корни многочлена. 4. Интерполяционные формулы. 5. Кратные корни. 6. Многочлены второй степени. 7. Многочлены с целыми коэффициентами. 8. Краткие исторические сведения. Глава II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА § 1. Общая теория уравнений 2. Область допустимых значений. 3. Уравнения. 4. Совокупности уравнений. 5. Преобразования уравнений. 6. Теоремы о равносильности уравнений. § 2. Уравнения с одним неизвестным 2.  Метод разложения на множители.3. Метод введения нового неизвестного. 4. Биквадратные уравнения. 5. Возвратные уравнения 3-й и 4-й степеней. § 3. Функциональные неравенства 2. Равносильные неравенства. 3. Доказательство неравенств. 4. Линейные неравенства. 5. Решение неравенств второй степени. 6. Решение алгебраических неравенств высших степеней. 7. Краткие исторические сведения. Глава III. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ СТЕПЕНИ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 1. Степени с целым показателем 2. Степень с нулевым показателем. 3. Степень с целым отрицательным показателем. § 2. Корни. Степени с рациональными показателями 2. Степени с рациональными показателями. 3. Свойства степеней с рациональными показателями. § 3. Иррациональные алгебраические выражения 2. Одночленные иррациональные выражения. 3. Сокращение показателей и приведение корней к общему показателю. 5. Вынесение алгебраических выражений из-под корня и внесение их под корень.  6. Возведение корня в степень. 7. Извлечение корня из корня. 8. Подобные корни. 9. Сложение и вычитание корней. 10. Уничтожение иррациональности в знаменателе или в числителе алгебраической дроби. 11. Преобразование выражений вида … 12. Смешанные задачи на преобразование иррациональных выражений. § 4. Иррациональные уравнения и неравенства 2. Сведение иррациональных уравнений к рациональным. 3. Уединение радикала. 4. Введение нового неизвестного. 5. Особые случаи решения иррациональных уравнений. 6. Иррациональные неравенства. 7. Краткие историчесие сведения. Глава IV. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ § 1. Системы алгебраических уравнений 2. Системы уравнений. 3. Геометрический смысл решений уравнений и систем уравнений с двумя неизвестными. 4. Совокупность уравнений. 5. Равносильные системы уравнений. 6. Метод подстановки. 7. Метод алгебраического сложения уравнений.  8. Метод введения новых неизвестных. 9. Системы однородных уравнений. 10. Геометрическая интерпретация решения систем двух уравнений с двумя неизвестными. § 2. Системы линейных уравнений 2. Теоремы о равносильности систем линейных уравнений. 3. Пример решения системы линейных уравнений методом Гаусса. 4. Метод Гаусса (приведение системы к обобщенно-треугольному виду). 5. Решение обобщенно-треугольной системы линейных уравнений. 6. Системы однородных линейных уравнений. § 3. Симметрические многочлены и их приложения к решению систем уравнений 2. Выражение степенных сумм 4. Системы симметрических алгебраических уравнений. 5. Применение симметрических многочленов к решению иррациональных уравнений. § 4. Неравенства с многими переменными 2. Среднее арифметическое и среднее геометрическое трех чисел. 3. Неравенство Коши (двумерный вариант). 4. Задачи на наибольшие и наименьшие значения.  § 5. Решение неравенств 2. Неравенства с двумя переменными. 3. Задание областей неравенствами и системами неравенств. 4. Понятие о линейном программировании. 5. Краткие исторические сведения. Глава V. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА § 1. Комплексные числа в алгебраической форме 2. Комплексные числа. 3. Сложение комплексных чисел; умножение на действительные числа. 4. Умножение комплексных чисел. 5. Квадратные уравнения с действительными коэффициентами. 6. Деление комплексных чисел. 7. Сопряженные комплексные числа. 8. Извлечение квадратных корней из комплексных чисел. § 2. Тригонометрическая форма комплексных чисел 2. Полярная система координат. 3. Тригонометрическая форма комплексного числа. 4. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. 5. Возведение комплексных чисел в степень. Формула Муавра. 6. Извлечение корня из комплексного числа. 7. Функции комплексного переменного и преобразования комплексной плоскости.  § 3. Некоторые виды алгебраических уравнений 2. Двучленные уравнения. 3. Корни из единицы и построение правильных многоугольников. 4. Трехчленные уравнения. § 4. Основная теорема алгебры многочленов и ее следствия 2. Многочлены с действительными коэффициентами. 3. Разложение на множители многочленов с действительными коэффициентами. Глава VI. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ § 1. Конечные цепные дроби 2. Пример цепной дроби. 3. Определение цепной дроби. 4. Представление рациональных чисел в виде конечной цепной дроби. 5. Подходящие дроби. 6. Свойства подходящих дробей. 8. Подходящие дроби и календарь. 9. Приближение цепной дроби подходящими дробями. § 2. Бесконечные цепные дроби 2. Подходящие дроби и наилучшие приближения иррациональных чисел рациональными. 3. Цепные дроби как вычислительный инструмент. 4. Краткие исторические сведения. Глава VII. КОМБИНАТОРИКА § 1. Комбинаторные задачи § 2.  Комбинаторные задачи. Продолжение§ 3. Определения и формулы § 4. Соединения с повторениями § 5. Комбинаторные задачи. Окончание § 6. Бином Ньютона и его обобщения § 7. Краткие исторические сведения Глава VIII. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ § 2. Сложные вероятности. Теоремы сложения и умножения. Условные вероятности § 3. Примеры вычисления вероятностей § 4. Полная вероятность. Формула Байеса § 5. Повторение испытаний § 6. Примеры вычисления вероятностей. Окончание § 7. Краткие исторические сведения |
Исследовательская работа «Применение комплексных чисел при решении уравнений»
исследование
Алгебра
Автор: Ячменева Альбина Николаевна
Место работы/учебы: МАОУ СОШ №26, г. Волчанск, Свердловская область, 11 класс
Научный руководитель: Коротков Дмитрий Александрович, учитель математики
4″>АннотацияКак-то раз, решая квадратное уравнение, у меня получился отрицательный дискриминант. Нас учили в школе, что если уравнение имеет отрицательный дискриминант, то корней у такого уравнения не будет. Но я девочка любознательная, мне стало интересно, а действительно ли так? Как оказалось, эти уравнения не имеют решения в области действительных чисел. Значение величин, получающихся в результате решения указанных уравнений, назвали комплексными числами. Так я и познакомилась с мнимой величиной.
Комплексные числа находят применение во многих вопросах науки и техники. Сейчас комплексные числа активно применяются в информатике, динамике, электромеханике, радиотехнике, теории упругости, активно развиваются в других науках.
Мне стало интересно, а знают ли об этом другие ученики нашей школы. Я провела опрос среди учеников 11 класса МАОУ СОШ № 26, в котором задала 5 вопросов по данной теме, чтобы выявить знания о комплексных числах и заинтересованность учеников в их изучении.
В ходе опроса было выявлено, что большая часть учеников не знает, что такое комплексное число. Абсолютно все опрошенные никогда не встречались с ними в жизни. В конце опроса был задан вопрос: «Хотели бы Вы познакомиться с данными числами поближе?» 80% респондентов ответило «да», это говорит о заинтересованности учеников. Исходя из результатов анкетирования, мною было принято решение изучить комплексные числа более детально и поделиться своими результатами с другими.
Объект исследования — применение комплексных чисел при решении уравнений.
Предмет исследования — методы решения алгебраических уравнений.
Цель исследования — знакомство с комплексными числами, с их свойствами, действиями над ними, а также умение их применять при решении уравнений.
Задачи исследования:
- определить комплексные числа и их возникновение как отдельное множество чисел;
- рассмотреть методы решения алгебраических уравнений с использованием комплексных чисел;
- составить конспект урока и провести внеурочное занятие на тему «Комплексные числа».
Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования: анализ литературы, дедуктивный метод, исторический метод.
Практическая значимость — изучение множества комплексных чисел позволит увеличить уровень математической грамотности.
Результаты
Комплексное число имеет вид a + bi; здесь a и b – действительные числа, а «i» – число нового рода, называемое мнимой единицей. «Мнимые» числа составляют частный вид комплексных чисел (а = 0). С другой стороны, и действительные числа являются частным видом комплексных чисел (когда b = 0).
Уравнения бывают следующих видов: линейные, квадратные, биквадратные, тригонометрические, логарифмические, показательные, рациональные, иррациональные и дробные.
Алгебраические уравнения решаются с помощью следующих методов: метод разложения на множители, метод введения новых переменных, функционально – графический метод.
Решение уравнений с помощью комплексных чисел заключается в введении «мнимой единицы» и получения ответа через «i». С помощью комплексных чисел решаются уравнения квадратные (дискриминант отрицательный), тригонометрические (с помощью координат синуса и косинуса).
Нами был составлен конспект урока в соответствии с требованиями ФГОС 2012 года и этапами урока. Проведен урок в 11 классе на тему «Комплексные числа» и проанализированы его результаты, которые показали, что тема была интересна и ее усвоили большинство учащихся этого класса.
Подводя итог, можно сказать, что поставленные задачи полностью выполнены, цель достигнута, гипотеза, приведенная в начале работы, подтверждена.
Содержание работы
Если прикрепленный файл не отображается, перегрузите, пожалуйста, страницу
Загрузка.
..
Дата публикации работы: 30.04.2022
Объяснение урока: Квадратные уравнения с комплексными коэффициентами
В этом объяснении мы узнаем, как решать квадратные уравнения с комплексными коэффициентами, используя квадратную формулу.
Из фундаментальной теоремы алгебры мы знаем, что любое квадратное число будет иметь два корня. Для квадратных уравнений с действительными коэффициентами теорема о сопряженных корнях говорит нам, что если у него есть какой-либо невещественный корень, его корни будут комплексно-сопряженная пара, тогда как если она имеет действительных корней, он может иметь либо два различных действительных корня, либо один повторяющийся корень. Чтобы различать эти три разных случаях используем дискриминант.
Дискриминант
Дискриминант квадратного уравнения 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0 определяется как 𝑏−4𝑎𝑐. Часто Δ используется для обозначения дискриминанта.
Используя дискриминант, мы идентифицируем три различных случая квадратных уравнений следующим образом.
- Положительный дискриминант : 𝑏 -4𝑎𝑐> 0, два реальных корня
- нулевой дискриминант : 𝑏 — 4𝑎𝑐 = 0, один повторный настительный корень
- Отрицательный дискриминант : 𝑏-4𝑎𝑐0. корни
На графиках ниже показан каждый случай.
В этом объяснении мы ослабим условие того, что квадратное уравнение имеет действительные коэффициенты и исследовать то, что мы можем заключить о корнях квадратных уравнений с комплексными коэффициентами.
Рассмотрим, как решить общее квадратное уравнение 0=𝑎𝑧+𝑏𝑧+𝑐, где 𝑎≠0. Начнем с деления уравнения на 𝑎, что дает 0=𝑧+𝑏𝑎𝑧+𝑐𝑎.
Теперь мы можем завершить квадрат 0=𝑧+𝑏2𝑎−𝑏4𝑎+𝑐𝑎=𝑧+𝑏2𝑎−𝑏−4𝑎𝑐4𝑎.
Переставляя, получаем
| 𝑧+𝑏2𝑎=𝑏−4𝑎𝑐4𝑎. | (1) |
Все ли шаги, которые мы предприняли до этого момента, равнодействительны
𝑏 и 𝑐 являются реальными или мнимыми.
Следующий шаг, где мы берем квадрат
root, это то, с чем нам, возможно, следует быть осторожным, так как получение корней комплексного числа возвращает несколько
значения. Однако рассмотрим случай общего комплексного числа 𝑤=𝑟𝑒. Используя теорему де Муавра, два возможных квадратных корня этого числа равны
𝛼=√𝑟𝑒 и
𝛽=√𝑟𝑒(). С учетом второго корня 𝛽 имеем
𝛽=√𝑟𝑒=√𝑟𝑒.()
Используя свойства экспоненциальных функций, мы можем выразить это как 𝛽=√𝑟𝑒𝑒.
Однако, благодаря тождеству Эйлера, мы знаем 𝑒=−1; следовательно, 𝛽=−√𝑟𝑒=−𝛼.
Следовательно, так же, как мы берем как положительные, так и отрицательные корни действительных чисел,
мы можем найти корень комплексного числа, используя теорему де Муарва, а затем второй корень
будет его отрицательным. Следовательно, возвращаясь к уравнению (1), мы можем взять квадрат
корни и рассмотрим как положительные, так и отрицательные значения, что дает
𝑧+𝑏2𝑎=±√𝑏−4𝑎𝑐2𝑎.
Следовательно, 𝑧=−𝑏±√𝑏−4𝑎𝑐2𝑎.
Следовательно, даже для квадратичных уравнений с комплексными коэффициентами мы можем использовать квадратичную формулу хотя нам, возможно, придется обратиться к теореме де Муарва, чтобы вычислить значение квадратный корень из дискриминанта недействительных чисел.
В первых двух примерах мы рассмотрим частный случай, когда, несмотря на тот факт, что у нас есть некоторые невещественные коэффициенты, дискриминант все еще является действительным числом.
Пример 1. Невещественные квадратные уравнения с вещественными отрицательными дискриминантами
Решите 3𝑧+5𝑖𝑧−2=0.
Ответ
Используя квадратичную формулу 𝑧=−𝑏±√𝑏−4𝑎𝑐2𝑎, у нас есть 𝑧=−5𝑖±(5𝑖)−4×3(−2)2×3=−5𝑖±√−25+246=−5𝑖±𝑖6.
Следовательно, 𝑧=−23𝑖 и 𝑧=−𝑖 решения уравнения.
Обратите внимание, что в предыдущем примере, несмотря на то, что у нас был отрицательный дискриминант,
два решения не являются комплексно-сопряженной парой.
Следовательно, правило относительно отрицательного дискриминанта
не просто обобщается на уравнения с комплексными коэффициентами.
Пример 2. Невещественные квадратные уравнения с действительными положительными дискриминантами
Решите 𝑧+(2+𝑖)𝑧+𝑖=0.
Ответ
Используя квадратичную формулу 𝑧=−𝑏±√𝑏−4𝑎𝑐2𝑎, у нас есть 𝑧=−(2+𝑖)±(2+𝑖)−4𝑖2=−2−𝑖±√3+4𝑖−4𝑖2=−2−𝑖±√32.
Следовательно, 𝑧=−2+√32 −𝑖2 и 𝑧=−2−√32−𝑖2 — решения уравнения.
В предыдущем примере у нас был положительный дискриминант; однако эти два решения не являются реальными. Следовательно, правило о положительном дискриминанте не просто обобщается на уравнения с комплексными коэффициентами.
Пример 3. Невещественные квадратные уравнения с вещественными дискриминантами
Решить (2+3𝑖)𝑧+4𝑧−6𝑖+4=0.
Ответ
Применение квадратичной формулы
𝑧=−𝑏±√𝑏−4𝑎𝑐2𝑎,
у нас есть
𝑧=−4±√4−4(2+3𝑖)(4−6𝑖)2(2+3𝑖)=−4±√4(4−(2+3𝑖)(4−6𝑖))2(2+3𝑖 ).
Вынимая 4 из квадратного корня, мы имеем 𝑧=−4±2√4−(2+3𝑖)(4−6𝑖)2(2+3𝑖).
Сокращая множитель 2 в числителе и знаменателе, мы имеем 𝑧=−2±√4−(2+3𝑖)(4−6𝑖)2+3𝑖.
Обратите внимание, что 4−6𝑖=2(2−3𝑖). Следовательно, (2+3𝑖)(4−6𝑖) в два раза больше комплексного числа в 2+3𝑖 раза больше сопряженного. Следовательно, (2+3𝑖)(4−6𝑖)=22+3=26, и, таким образом, 𝑧=−2±√4−262+3𝑖=−2±𝑖√222+3𝑖.
Умножение числителя и знаменателя на комплексное сопряжение знаменателя дает 𝑧=−2±𝑖√22(2−3𝑖)(2+3𝑖)(2−3𝑖)=−4+6𝑖±3√22+2𝑖√2213.
Следовательно, 𝑧=−4+3√2213+6+2√2213𝑖 и 𝑧=−4−3√2213+6−2√2213𝑖 являются решениями уравнения.
Обратите внимание, что, в отличие от первых двух примеров, два корня в предыдущих примерах не лежат на
вертикальная или горизонтальная линия в комплексной плоскости. На следующих рисунках представлен график модуля
каждого уравнения, нанесенного над комплексной плоскостью.
Две точки, где график встречается с комплексом
плоскости являются корнями уравнений.
Пример 4. Невещественные квадратные уравнения с нулевыми дискриминантами
Решите 𝑧−(4+4𝑖)𝑧+8𝑖=0.
Ответ
Использование квадратичной формулы 𝑧=−𝑏±√𝑏−4𝑎𝑐2𝑎, у нас есть 𝑧=4+4𝑖±(−(4+4𝑖))−4(8𝑖)2=4+4𝑖±√32𝑖−32𝑖2=2+2𝑖.
Следовательно, уравнение имеет единственный повторяющийся корень из 𝑧= 2+2𝑖.
Предыдущий пример демонстрирует возможность существования повторяющихся невещественных корней. Более того, мы видим, что когда это произошло, дискриминант был равен нулю. Просто рассматривая квадратичную формулу, мы можем видеть, что правило относительно определителя нуля обобщается на случай, когда у нас есть невещественное коэффициенты. На самом деле это одно из ключевых свойств дискриминанта: он равен нулю, если и только если уравнение имеет повторяющийся корень.
В следующих примерах мы рассмотрим случай, когда дискриминант является общим
комплексное число.
Мы начнем с простого примера, где коэффициент 𝑧
равно нулю, что, конечно, эквивалентно простому нахождению квадратных корней комплексного числа.
Пример 5. Решение квадратных уравнений путем извлечения квадратного корня из комплексных чисел
Решите (1+2𝑖)𝑧−3+𝑖=0. Округлите ответы до трех значащих цифр.
Ответ
Добавление 3−𝑖 к обеим частям уравнения дает (1+2𝑖)𝑧=3−𝑖.
Теперь разделим на (1+2𝑖), чтобы выделить 𝑧 в левой части уравнения: 𝑧=3−𝑖1+2𝑖.
Умножая числитель и знаменатель на комплексное сопряжение знаменателя, мы можем упростить сложную дробь следующим образом: 𝑧=(3−𝑖)(1−2𝑖)(1+2𝑖)(1−2𝑖)=3−6𝑖−𝑖−25=15−75𝑖.
Чтобы найти квадратные корни этого комплексного числа, нам нужно рассчитать его модуль и
аргумент. Модуль определяется выражением
15+−75=√2. Поскольку он лежит в четвертом квадранте, его аргумент определяется выражением
𝜃=−=(−7).
арктанарктан
Применяя теорему де Муавра, два квадратных корня равны ±√212𝜃+𝑖12𝜃.cossin
Подставляя значение 𝜃 и округляя наши ответы до трех значащих цифр, имеем 𝑧=0,898−0,779𝑖(3с.ф.) и 𝑧=-0,898+0,779𝑖(3с.ф.).
Пример 6. Квадратные уравнения с комплексными дискриминантами
Решить 𝑧+(2−2𝑖)𝑧−(7+26𝑖)=0.
Ответ
Используя квадратичную формулу 𝑧=−𝑏±√𝑏−4𝑎𝑐2𝑎, у нас есть
| 𝑧=-(2−2𝑖)±(2−2𝑖)+4(7+26𝑖)2=-(2−2𝑖)±√-8𝑖+28+104𝑖2=-(2−2𝑖) ±√28+96𝑖2. | (2) |
Чтобы вычислить квадратный корень из 28+96𝑖, нам сначала нужно вычислить модуль
и аргумент. Модуль определяется как √28+96=100. Поскольку комплекс
число лежит в первом квадранте, его аргумент определяется выражением
𝜃=9628=247арктанарктан. Применяя теорему де Муавра,
два квадратных корня задаются выражением
±√10012𝜃+𝑖12𝜃=±1012𝜃+𝑖12𝜃.
cossincossin
Подставляя значение 𝜃, находим cos12𝜃=0,8 и sin12𝜃=0,6. Следовательно, два квадратных корня равны 8+6𝑖 и −8−6𝑖. Подставляя эти значения обратно в (2), имеем 𝑧=−(2−2𝑖)±(8+6𝑖)2=−1+𝑖±(4+3𝑖).
Следовательно, два корня уравнения равны 𝑧=3+4𝑖 и 𝑧=−5−2𝑖.
Закончим рассмотрением последнего примера.
Пример 7. Многочлены с невещественными коэффициентами
Решите 𝑧+6+6𝑖√(3)𝑧+32−32𝑖√(3).
Ответ
Сначала заметим, что у нас есть квадратное число в 𝑧. Поэтому мы начинаем путем замены 𝑤=𝑧, что дает 𝑤+6+6𝑖√(3)𝑤+32−32𝑖√(3).
Мы можем решить это с помощью квадратичной формулы 𝑤=−𝑏±√𝑏−4𝑎𝑐2𝑎 следующее: 𝑤=−6+6𝑖√3±6+6𝑖√3−432−32𝑖√32=−6−6𝑖√3±−72+72𝑖√3−128+128𝑖√32 =−6−6𝑖√3±−200+200𝑖√32.
Сокращая 2 из числителя и знаменателя, мы имеем
| 𝑤=−3−3𝑖√3±−50+50𝑖√3. | (3) |
Чтобы вычислить квадратный корень из −50+50𝑖√3, нам нужно сначала вычислить его модуль и
аргумент.
Модуль определяется выражением (−50)+50√3=100. Поскольку это комплексное число лежит во втором квадранте, его аргумент 𝜃 определяется выражением
𝜃=−50√350+𝜋=−√3+𝜋=−𝜋3+𝜋=2𝜋3.arctanarctan
Используя теорему де Муавра, его квадратные корни определяются выражением ±√10012𝜃+𝑖12𝜃=±10𝜋3+𝑖𝜋3.cossincossin
Преобразуя это обратно в алгебраическую форму, мы получаем, что два корня равны 5+5𝑖√3 и −5−5𝑖√3. Замена их в (3), мы получаем 𝑤=−3−3𝑖√3±5+5𝑖√3.
Следовательно, два корня равны 2+2𝑖√3 и −8−8𝑖√3. Наконец-то,
чтобы найти возможные значения 𝑧, нам нужно взять квадратные корни каждого из
эти комплексные числа, начиная с 2+2𝑖√3. Мы можем выразить это в
экспоненциальная форма как 4𝑒. Применяя теорему де Муавра,
два квадратных корня равны ±2𝑒, которые мы можем выразить в
алгебраическая форма как √3+𝑖 и −√3−𝑖. Аналогично для
−8−8𝑖√3, мы можем выразить это в экспоненциальной форме как
16𝑒.
Применяя теорему де Муавра, два квадратных корня
задаются как ±4𝑒, что мы можем выразить в алгебраической форме как
2−2𝑖√3 и −2+2𝑖√3.
Таким образом, четыре корня уравнения имеют вид 𝑧=√3+𝑖, 𝑧=−√3−𝑖, 𝑧=2−2𝑖√3 и 𝑧=−2+2𝑖√3.
Ключевые моменты
- Мы можем решать квадратные уравнения с комплексными коэффициентами, используя квадратную формулу.
- Если дискриминант равен нулю, уравнение имеет один повторяющийся корень. Если все коэффициенты реальны, корень будет реален.
- Общая квадратичная функция с комплексными коэффициентами может иметь любую комбинацию действительных и
невещественные корни. 9{2}}}{2i}$
=$\frac{1 — \sqrt{1+48}}{2i}$
= $\frac{1 — 7}{2i}$
= $\frac {-3}{i}$
= 3i (после рационализации)
Итак, корни данного уравнения равны -4i и 3i.Математика 11 класса От квадратных уравнений с комплексными коэффициентами до дома
Мы в спрашиваем-математика считаем, что учебный материал должен быть бесплатным для всех.
