Решить неравенство показательное: Калькулятор онлайн — Решение показательных неравенств

Показательные уравнения и неравенства

Показательными уравнениями и неравенствами считают такие уравнения и неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения ах = аb, где а > 0, а ≠ 1, х – неизвестное. Это уравнение имеет единственный корень х = b, так как справедлива следующая теорема:

Теорема. Если а > 0, а ≠ 1 и ах1 = ах2, то х1 = х2.

Обоснуем рассмотренное утверждение.

Предположим, что равенство х1 = х2 не выполняется, т.е. х1 < х2 или х1 = х2. Пусть, например, х1 < х2. Тогда если а > 1, то показательная функция у = ах возрастает и поэтому должно выполняться неравенство ах1 < ах2; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а

х1 > ах2. В обоих случаях мы получили противоречие условию ах1 = ах2.

Рассмотрим несколько задач.

Задача 1.

Решить уравнение 4 ∙ 2х = 1.

Решение.

Запишем уравнение в виде 22 ∙ 2х = 20 – 2х+2 = 20, откуда получаем х + 2 = 0, т.е. х = -2.

Ответ. х = -2.

Задача 2.

Решить уравнение 2∙ 3х = 576.

Решение.

Так как 2= (23)х = 8х, 576 = 242, то уравнение можно записать в виде 8х ∙ 3х = 242 или в виде 24х = 242.

Отсюда получаем х = 2.

Ответ. х = 2.

Задача 3.

Решить уравнение 3х+1 – 2∙3х — 2 = 25.

Решение.

Вынося в левой части за скобки общий множитель 3

х — 2, получаем 3х — 2 ∙ (33 – 2) = 25 – 3х — 2∙ 25 = 25,

откуда 3х — 2 = 1, т. е. х – 2 = 0, х = 2.

Ответ. х = 2.

Задача 4.

Решить уравнение 3х = 7х.

Решение.

Так как 7х ≠ 0, то уравнение можно записать в виде 3х/7х = 1, откуда (3/7)х = 1, х = 0.

Ответ. х = 0.

Задача 5.

Решить уравнение 9х – 4 ∙ 3х – 45 = 0.

Решение.

Заменой 3х = а данное уравнение сводится к квадратному уравнению а2 – 4а – 45 = 0.

Решая это уравнение, находим его корни: а1 = 9, а2 = -5, откуда 3х = 9, 3х = -5.

Уравнение 3х = 9 имеет корень 2, а уравнение 3

х = -5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.

Ответ. х = 2.

Решение показательных неравенств часто сводится к решению неравенств ах > аb или ах < аb. Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

Рассмотрим некоторые задачи.

Задача 1.

Решить неравенство 3х < 81.

Решение.

Запишем неравенство в виде 3х < 34. Так как 3 > 1, то функция у = 3х является возрастающей.

Следовательно, при х < 4 выполняется неравенство 3х < 34, а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3х ≥ 34.

Таким образом, при х < 4 неравенство 3х < 3

4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3х < 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Ответ. х < 4.

Задача 2.

Решить неравенство 16х +4х – 2 > 0.

Решение.

Обозначим 4х = t, тогда получим квадратное неравенство t2 + t – 2 > 0.

Это неравенство выполняется при t < -2 и при t > 1.

Так как t = 4х, то получим два неравенства 4х < -2, 4х > 1.

Первое неравенство не имеет решений, так как 4х > 0 при всех х € R.

Второе неравенство запишем в виде 4х > 40, откуда х > 0.

Ответ. х > 0.

Задача 3.

Графически решить уравнение (1/3)х = х – 2/3.

Решение.

1) Построим графики функций у = (1/3)

х и у = х – 2/3.

2) Опираясь на наш рисунок, можно сделать вывод, что графики рассмотренных функций пересекаются в точке с абсциссой х ≈ 1. Проверка доказывает, что

х = 1 – корень данного уравнения:

(1/3)1 = 1/3 и 1 – 2/3 = 1/3.

Иными словами, мы нашли один из корней уравнения.

3) Найдем другие корни или докажем, что таковых нет. Функция (1/3)х убывающая, а функция у = х – 2/3 возрастающая. Следовательно, при х > 1 значения первой функции меньше 1/3, а второй – больше 1/3; при х < 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х > 1 и х < 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Ответ. х = 1.

!!! Заметим, что из решения этой задачи, в частности, следует, что неравенство (1/3)

х > х – 2/3 выполняется при х < 1, а неравенство (1/3)х < х – 2/3 – при х > 1.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Новая страница 1

Новая страница 1

Методическая разработка по теме

            Показательная функция, уравнения и неравенства.

 

 Цель  работы:

Систематизация материала по теме Показательная функция, уравнения и неравенства.

 

Задачи:

1.     Систематизировать способы решения показательных уравнений и неравенств.

2.      Разработать  материал для организации контроля за усвоением  темы.

3.     Разработать  тематическое планирование изучения материала, выделив инвариантную и вариативную части знаний и умений учащихся.

 

 

 

Данная тема изучается в 10-11 классах, в зависимости от учебника, по которому ведется обучение.

Основная цель изучения темы определена в программе  — познакомить учащихся  с показательной функцией, научить решать показательные уравнения  и неравенства, системы показательных уравнений.

Тема является относительно простой для усвоения школьниками, поэтому вызывает  у них  интерес.  Она является базовой для подготовки учащихся к  введению понятия логарифма, логарифмической функции и ее свойств.

 Показательные уравнения и неравенства часто встречаются на выпускных экзаменах, без умения их решать невозможно успешно сдать Единый государственный экзамен  или вступительный экзамен по математике.

Задания с использованием показательных функций и показательных уравнений и неравенств и систем уравнений являются весьма популярными заданиями во всех вариантах тестов ЕГЭ. Таких заданий всегда не менее 2-3 в разделе А,  не менее 1 в разделе В  и не менее 1 в разделе С. Причем это часто С1, т.е. вполне доступное многим школьникам задание, а также С3 и С4 —  наиболее сложное задание повышенной трудности.

Опыт показывает, что, довольно легко решая простые показательные уравнения и неравенства,  которых много в  учебниках, школьники тем не менее, теряются при необходимости решить чуть более сложное уравнение

или упростить выражение, содержащее показательное выражение.

Работая в последние годы на подготовительных курсах Чебоксарского кооперативного института Российского университета кооперации, сталкиваюсь с тем, что выпускники 11-ых классов  слабо владеют  

способами   решения показательных уравнений, формально и поверхностно усваивают свойства показательной функции, не умеют  применять свойство монотонности показательной функции  при решении показательных неравенств.

 

 

Тематическое планирование  темы  Показательная функция, уравнения, неравенства.

Тема урока

Показательная функция

Показательные уравнения

Показательные неравенства

Системы показательных уравнений

Кол-во часов

Что должен знать ученик

а) инвариантная часть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) вариативная часть

 

 

 

 

Определение показательной функции, три основных свойства показательной функции

 

 

 

 

 

 

То же самое

 

 

 

 

Знать вид показательных уравнений, алгоритм решения простейших показательных уравнений   QUOTE  

 

 

Знать алгоритм решения показательного уравнения  QUOTE  , однородных уравнений второго порядка, уравнений с модулем; решаемые с помощью разложения на множители; уравнение вида  QUOTE  

 

 

 

 

 

Знать определение и вид показательных неравенств, алгоритм решения  QUOTE  , метод замены

 

 

 

 

 

 

Знать алгоритм решения показательных неравенств  QUOTE  

 

 

 

 

Способ подстановки решения систем, способ сложения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Способ подстановки решения систем, способ сложения, метод замены переменных

Что должен уметь ученик

а) инвариантная часть

 

 

 

 

 

 

б) вариативная часть

 

 

 

 

Строить график показательной функции

 

 

 

 

Уметь строить графики показательной функции вида  QUOTE  находить область значений показательной функции

 

 

 

 

Уметь решать  показательные уравнения вида 

 QUOTE  

 

Уметь решать показательные уравнения вида  QUOTE  , однородные уравнения второго порядка, уравнения с модулем, уравнения вида   QUOTE  

 

 

 

 

Решать показательные неравенства по алгоритму

 

 

 

 

 

 

Уметь решать показательные неравенства вида  QUOTE  

 

 

 

 

Решать системы показательных уравнений и неравенств способом подстановки и способом сложения

 

 

 

 

Решать смешанные системы

Контроль знаний, умений, навыков

Практическая работа

Тестовая работа

 Разноуровневая самостоятельная работа

Контрольная работа, зачет


 

      Виды показательных уравнений

1.       QUOTE  

2.      QUOTE  

3.      QUOTE  

4.      QUOTE  

5.      QUOTE  

6.     Однородные уравнения второго порядка

7.     Уравнения с модулем

8.     Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители

9.     Смешанные уравнения

10. Уравнения вида  QUOTE  

 

Методы решения показательных уравнений

1.     Приведение к одному основанию

2.     Сведение к квадратному уравнению

3.     Разложение на множители

4.     Решение уравнений вида  QUOTE  

5.      Использование свойств монотонности показательной функции  QUOTE  

6.     Графический способ 

Практическая работа

 

1. Постройте на одном чертеже графики функций: ,

2. Найдите область значений каждой из этих функций на данном отрезке.

3. На каком отрезке надо задавать  функцию: а) ; б) ; в) , чтобы ее областью значений был данный отрезок?

 

Вариант I

Вариант II

Вариант III

Вариант IV

1.      а = 2

2.     [-2;3]

  1. a =
  2. [1;2]

1.     a =

2.     [-3;2]

3.     a) []

     б) []

     в) []

1. a =

2. [1;2]

  1. a) []

     б) []

          в) []

 

Ответ: Вариант I: 2. []; []; [].

Вариант II: 2. []; []; [].

Вариант III: 2. []; []; [].

                     3. [2;3]; [0;2]; [-3;4].

Вариант IV: 2. []; []; [].

                     3. [0;2]; [0;2]; [1;2].

 

  

                       Тестовая работа

 

1. Сравните n и k, если верно неравенство

<

A. n = k           Б. n > k            В. n < k           Г. Нельзя определить

 

2. Решить уравнение  .

A. x = 3           Б. x = -3            В. x =            Г. x =

 

3. Какой из графиков является графиком функции ?

А. 

 

4. Решите уравнение .

A. x = 3           Б. x = 4            В. x =            Г. x = -3

5. Решите уравнение .

A. x = 0           Б. x = 0 и  x = 2           В. x = 2           Г. x = 0 и  x = 1           

 

Ответ: В Г Г А В

 

 

 

             Самостоятельная работа

                                                       

 Вариант 1                                

1. Решите уравнение:

а);            б) .

2.Решите неравенство:

а) ;          б) ;

  Вариант  2

1.Решите уравнение:

а);          б) .

2.Решите неравенство:

а) ;           б) .

 Вариант  3

1.Решите уравнение:

а);            б) .

2.Решите неравенство:

а) ;           б) .

  Вариант  4

1.Решить уравнение:

а)  ;            б)

2.Решите неравенство:

а)      б)

 

 

  Вариант   5

1.Решите уравнение:

а);          б)

2. Решите неравенство:

Вариант   6

1.Решите уравнение:

а);                   б) .

2.Решите неравенство:

.

 

 Вариант  7

1.Решите неравенство .

2.Решите уравнение:

а)  ;           б) .

 

 Вариант  8

1.Решите неравенство .

2.Решите уравнение:

а)  ;           б) .

 

 Контрольная работа

                         

 

            Вариант 1                                                                   Вариант 2

 

1. Решите уравнение:                                     1.Решите уравнение:

 

а)                                                         а)

б)                                                  б)

в) .                                          в) .

 

 

2.Решите неравенство:                                 2.Решите неравенство:                              

 

а) ;                                                         а) ;

б)                                                       б)

в)                                          в)

 

3.Найдите все такие t, что                             3.Найдите все такие t, что

.                                          .

 

4.При каких значениях а                               4.При каких значениях а

уравнение                 уравнение

имеет ровно один корень?                             имеет ровно один корень?

 

 

Зачет

по теме  Показательная   функция,  уравнения и неравенства ,10 класс.

Цель зачета:

Проверить знание основных теоретических вопросов темы: «Показательная  функция», умения решать показательные  уравнения и неравенства.

План урока:

I.Исторический обзор.

II.Теоретические вопросы.

III.Обязательные задачи.

IV.Дополнительные задачи

V. Подведение итогов.

Ход урока:

         I.Историческая справка (сообщение подготовлено учеником и рассчитано на 4-5 мин)

      II.Теоретические вопросы: — 10 мин (в режиме взаимоконтроля, результаты заносятся в рейтинговую таблицу).

1)     Функция  какого вида называется показательной?

                      2)  Область определения показательной функции?

D(f)=(-?;+?).

  3) Множество значений показательной функции?

                                                           E(f)=(?;+?).

4)     Как зависит изменение показательной функции от основания a?

5)     Перечислить основные свойства степеней. 

                      6) Что можно сказать об основании показательной функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

                           

7)     Записать решение уравнения ax = ac

a > 0, a?1

                        8) Записать решение неравенства ax > ac

III. Обязательная часть.  Учащимся предлагаются 4 варианта заданий, которые они выполняют индивидуально. Проверка в режиме самоконтроля по готовым ответам. Если задача решена неверно, то ученик  находит ошибку и доводит решение до конца. Результаты заносятся в рейтинговую таблицу.

1 вариант

1.  а) Изобразить схематично график функции  у = .

 б) Сравните значения функций  и ;  и

2.Решить уравнения: а)   = 125; б)    +  = 9. в) — 4. +3 = 0.

3. Решить неравенство:    1.

2 вариант

1.  а) Изобразить схематично график функции  у = . 

б) Сравните значения функций   и ;   и . 

2.Решить уравнения: а)  = 81; б) + = 26;  в)  — 8.+7 = 0.

3. Решить неравенство:   >  0,16.

                                                        3 вариант

1.  а) Изобразить схематично график функции  у = .

б) Сравните значения функций  и ;  и .

2.Решить уравнения: а)   = 216; б) +  =0,11;  в)  — 6.+5 = 0.

3. Решить неравенство:     . 

4 вариант

1.  а) Изобразить схематично график функции  у =   . 

 б)   Сравните значения функций     и   ;  и .

2.Решить уравнения: а) =1; б) +4.  + == 20;  в) — 14.-32 = 0.

3. Решить неравенство:  .

IY.Дополнительная  часть. Учащимся, выполнившим обязательную часть, предлагаются на выбор задачи более  сложного уровня, которые оцениваются оценкой 4 или 5. Проверка по готовым ответам  или сдаются на проверку учителю.

Задания на 4. Решить показательные уравнения и неравенства:

                   Вариант 1                                                Вариант 2

1.==.                                          1. 16.=

2.< 1.                                                                     2.  <

         Вариант 3                                                             Вариант 4

1.     2.                        1.

2.     <                                       2.

Задания на 5. Решить показательные уравнения и неравенства.

  Вариант 1                                                                              Вариант 2

1.                                                 1. 0

2.                                                                            2.

 

 

 Вариант 3                                                                             Вариант 4

1.                                                      1.

2.                                                                        2.

Y. Подведение итогов.

Ученики сдают работы с обязательной частью, дополнительные задачи и  рейтинговые таблицы на проверку  учителю. Учитель объявляет итоги зачета для тех учащихся, кто сумел справиться с заданиями  и получить оценку.   

 


Урок Рабочий лист:Экспоненциальные неравенства | Нагва

Начать практику

В этом рабочем листе мы будем практиковаться в решении экспоненциальных неравенств, все основания которых можно привести к одному и тому же значению.

Q1:

Известно, что 16 находится в интервале [0,25,0,5]. В каком интервале лежит 𝑥?

  • А[−0,25,0,5]
  • Б[-0,5,-0,25]
  • С[−0,5,0,5]
  • Д[0,25,0,5]
  • Э[−0,5,0,25]

Q2:

Если 13>13, что из следующего должно быть верно относительно 𝑥 и 𝑦?

  • А𝑥=𝑦
  • Б𝑥>𝑦
  • C𝑦>𝑥

Q3:

Найдите значения 𝑥, удовлетворяющие следующему неравенству: 4>8.

  • А𝑥2
  • Б𝑥1
  • C𝑥>2
  • Д𝑥>1
  • Э𝑥0

Q4:

Найдите все значения 𝑥, удовлетворяющие следующему неравенству: 2>2.

  • А𝑥1
  • B𝑥>3
  • C𝑥3
  • Д𝑥0
  • E𝑥>1

Q5:

Предположим, что 𝑎𝑥𝑏 является решением следующего неравенства: 13>19. Находить 𝑏−𝑎.

Q6:

Найдите все значения 𝑥, которые удовлетворяют следующему неравенству: 1≥4.

  • А𝑥≤4
  • B𝑥≥−94
  • C𝑥≤−94
  • Д𝑥≥−4
  • E𝑥≤−4

Q7:

Найдите все значения 𝑥, удовлетворяющие следующему неравенству: (0,01)≥110.

  • А𝑥≥−5
  • B𝑥≥−2
  • C𝑥≤−2
  • Д𝑥≥5
  • E𝑥≥−53

Q8:

Найдите все значения 𝑥, удовлетворяющие следующему неравенству: −423≤−9.

  • А𝑥≤−3
  • B𝑥≥−3
  • C𝑥≥1
  • D𝑥≤1
  • E𝑥≥3

Q9:

Найдите все значения 𝑥, удовлетворяющие неравенству (0.01)1.

  • А𝑥>5
  • B𝑥>2
  • C𝑥5
  • Д𝑥92
  • E𝑥>92

Q10:

Найдите все значения 𝑥, которые удовлетворяют следующему неравенству: 2≤14.

  • А𝑥≤2
  • Б𝑥≥2
  • C𝑥≤4
  • D𝑥≤−2
  • E𝑥≥4

Nagwa использует файлы cookie, чтобы обеспечить вам максимальное удобство на нашем веб-сайте. Узнайте больше о нашей Политике конфиденциальности. 9{x-6}}$?

Последняя обновленная дата: 22 января 2023

Общее представление: 207,3K

Просмотры сегодня: 5,03K

Ответ

Проверено

207,3K+ виды

Hint:

207,3K+ виды

. неравенства сначала сделаем основание в обеих частях неравенства одинаковым. Тогда, если мы получим одно и то же основание с обеих сторон, мы будем сравнивать степени, используя один и тот же знак неравенства. Упростив полученное уравнение, мы получим искомый ответ. 9{\left( x-6 \right)}$
Теперь, поскольку основания в обеих частях уравнения одинаковы, мы можем сравнить степени. Тогда получим
$\Rightarrow x-4\le 2\left( x-6 \right)$
Теперь, упростив полученное уравнение, получим
$\begin{align}
  & \Rightarrow x-4\le 2x-12 \\
 & \Стрелка вправо x-2x\le -12+4 \\
 & \Стрелка вправо -x\le -8 \\
 & \Стрелка вправо x\ge 8 \\
\end{align}$
Следовательно, решив данное показательное неравенство, мы получим значение x, которое должно быть больше или равно 8.

Примечание: Следует отметить, что если мы умножаем или делим обе части на отрицательное число или когда мы меняем значения с левой стороны на правую или наоборот, направление неравенства меняется. Альтернативный способ решить экспоненциальное неравенство — применить логарифмирование к обеим частям уравнения.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *