Показательные уравнения и неравенства
Показательными уравнениями и неравенствами считают такие уравнения и неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени.
Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения ах = аb, где а > 0, а ≠ 1, х – неизвестное. Это уравнение имеет единственный корень х = b, так как справедлива следующая теорема:
Теорема. Если а > 0, а ≠ 1 и ах1 = ах2, то х1 = х2.
Обоснуем рассмотренное утверждение.
Предположим, что равенство х1 = х2 не выполняется, т.е. х1 < х2 или х1 = х2. Пусть, например, х1 < х2. Тогда если а > 1, то показательная функция у = ах возрастает и поэтому должно выполняться неравенство ах1 < ах2; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а В обоих случаях мы получили противоречие условию ах1 = ах2.
Рассмотрим несколько задач.
Задача 1.
Решить уравнение 4 ∙ 2х = 1.
Решение.
Запишем уравнение в виде 22 ∙ 2х = 20 – 2х+2 = 20, откуда получаем х + 2 = 0, т.е. х = -2.
Ответ. х = -2.
Задача 2.
Решить уравнение 23х ∙ 3х = 576.
Решение.
Так как 23х = (23)х = 8х, 576 = 242, то уравнение можно записать в виде 8х ∙ 3х = 242 или в виде 24х = 242.
Отсюда получаем х = 2.
Ответ. х = 2.
Задача 3.
Решить уравнение 3х+1 – 2∙3х — 2 = 25.
Решение.
Вынося в левой части за скобки общий множитель 3 х — 2, получаем 3х — 2 ∙ (33 – 2) = 25 – 3х — 2∙ 25 = 25,
откуда 3х — 2 = 1, т.
е. х – 2 = 0, х = 2.
Ответ. х = 2.
Задача 4.
Решить уравнение 3х = 7х.
Решение.
Так как 7х ≠ 0, то уравнение можно записать в виде 3х/7х = 1, откуда (3/7)х = 1, х = 0.
Ответ. х = 0.
Задача 5.
Решить уравнение 9х – 4 ∙ 3х – 45 = 0.
Решение.
Заменой 3х = а данное уравнение сводится к квадратному уравнению а2 – 4а – 45 = 0.
Решая это уравнение, находим его корни: а1 = 9, а2 = -5, откуда 3х = 9, 3х = -5.
Уравнение 3х = 9 имеет корень 2, а уравнение 3
Ответ. х = 2.
Решение показательных неравенств часто сводится к решению неравенств ах > аb или ах < аb.
Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.
Рассмотрим некоторые задачи.
Задача 1.
Решить неравенство 3х < 81.
Решение.
Запишем неравенство в виде 3х < 34. Так как 3 > 1, то функция у = 3х является возрастающей.
Следовательно, при х < 4 выполняется неравенство 3х < 34, а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3х ≥ 34.
Таким образом, при х < 4 неравенство 3х < 3
4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3х < 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.
Ответ. х < 4.
Задача 2.
Решить неравенство 16х +4х – 2 > 0.
Решение.
Обозначим 4х = t, тогда получим квадратное неравенство t2 + t – 2 > 0.
Это неравенство выполняется при t < -2 и при t > 1.
Так как t = 4х, то получим два неравенства 4х < -2, 4х > 1.
Первое неравенство не имеет решений, так как 4х > 0 при всех х € R.
Второе неравенство запишем в виде 4х > 40, откуда х > 0.
Ответ. х > 0.
Задача 3.
Графически решить уравнение (1/3)х = х – 2/3.
Решение.
1) Построим графики функций у = (1/3)
2) Опираясь на наш рисунок, можно сделать вывод, что графики рассмотренных функций пересекаются в точке с абсциссой х ≈ 1. Проверка доказывает, что
х = 1 – корень данного уравнения:
(1/3)1 = 1/3 и 1 – 2/3 = 1/3.
Иными словами, мы нашли один из корней уравнения.
3) Найдем другие корни или докажем, что таковых нет. Функция (1/3)х убывающая, а функция у = х – 2/3 возрастающая. Следовательно, при х > 1 значения первой функции меньше 1/3, а второй – больше 1/3; при х < 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3.
Геометрически это означает, что графики этих функций при х > 1 и х < 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.
Ответ. х = 1.
!!! Заметим, что из решения этой задачи, в частности, следует, что неравенство (1/3) х > х – 2/3 выполняется при х < 1, а неравенство (1/3)х < х – 2/3 – при х > 1.
© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Новая страница 1
Новая страница 1Методическая разработка по теме
Показательная функция, уравнения и неравенства.
Цель работы:
Систематизация материала по теме Показательная функция, уравнения и неравенства.
Задачи:
1. Систематизировать способы решения показательных уравнений и неравенств.
2.
Разработать
материал для организации контроля за усвоением темы.
3. Разработать тематическое планирование изучения материала, выделив инвариантную и вариативную части знаний и умений учащихся.
Данная тема изучается в 10-11 классах, в зависимости от учебника, по которому ведется обучение.
Основная цель изучения темы определена в программе — познакомить учащихся с показательной функцией, научить решать показательные уравнения и неравенства, системы показательных уравнений.
Тема является относительно простой для усвоения школьниками, поэтому вызывает у них интерес. Она является базовой для подготовки учащихся к введению понятия логарифма, логарифмической функции и ее свойств.
Показательные уравнения
и неравенства часто встречаются на выпускных экзаменах, без умения их решать
невозможно успешно сдать Единый государственный экзамен или вступительный
экзамен по математике.
Опыт показывает, что, довольно легко решая простые показательные уравнения и неравенства, которых много в учебниках, школьники тем не менее, теряются при необходимости решить чуть более сложное уравнение
или упростить выражение, содержащее показательное выражение.
Работая в последние годы на подготовительных курсах Чебоксарского кооперативного института Российского университета кооперации, сталкиваюсь с тем, что выпускники 11-ых классов слабо владеют
способами решения
показательных уравнений, формально и поверхностно усваивают свойства
показательной функции, не умеют применять свойство монотонности
показательной функции при решении показательных неравенств.
Тематическое планирование темы Показательная функция, уравнения, неравенства.
|
Тема урока |
Показательная функция |
Показательные уравнения |
Показательные неравенства |
Системы показательных уравнений |
|
Кол-во часов |
2ч |
3ч |
3ч |
2ч |
|
Что должен знать ученик а) инвариантная часть
б) вариативная часть |
Определение показательной функции, три основных свойства показательной функции
То же самое |
Знать вид показательных уравнений, алгоритм решения простейших показательных уравнений QUOTE
Знать алгоритм решения показательного уравнения QUOTE , однородных уравнений второго порядка, уравнений с модулем; решаемые с помощью разложения на множители; уравнение вида QUOTE
|
Знать определение и вид показательных неравенств, алгоритм решения QUOTE , метод замены
Знать алгоритм решения показательных неравенств QUOTE |
Способ подстановки решения систем, способ сложения
Способ подстановки решения систем, способ сложения, метод замены переменных |
|
Что должен уметь ученик а) инвариантная часть
б) вариативная часть |
Строить график показательной функции
Уметь строить графики показательной функции вида QUOTE находить область значений показательной функции |
Уметь решать показательные уравнения вида QUOTE
Уметь решать показательные уравнения вида QUOTE , однородные уравнения второго порядка, уравнения с модулем, уравнения вида QUOTE |
Решать показательные неравенства по алгоритму
Уметь решать показательные неравенства вида QUOTE |
Решать системы показательных уравнений и неравенств способом подстановки и способом сложения
Решать смешанные системы |
|
Контроль знаний, умений, навыков |
Практическая работа |
Тестовая работа |
Разноуровневая самостоятельная работа |
Контрольная работа, зачет |
Виды показательных уравнений
1.
QUOTE
2. QUOTE
3. QUOTE
4. QUOTE
5. QUOTE
6. Однородные уравнения второго порядка
7. Уравнения с модулем
8. Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители
9. Смешанные уравнения
10. Уравнения вида QUOTE
Методы решения показательных уравнений
1. Приведение к одному основанию
2. Сведение к квадратному уравнению
3. Разложение на множители
4. Решение уравнений вида QUOTE
5.
Использование свойств монотонности показательной функции QUOTE
6. Графический способ
Практическая работа
1. Постройте на одном чертеже графики функций: ,
2. Найдите область значений каждой из этих функций на данном отрезке.
3. На каком отрезке надо задавать функцию: а) ; б) ; в) , чтобы ее областью значений был данный отрезок?
|
Вариант I |
Вариант II |
Вариант III |
Вариант IV |
|
1. 2. [-2;3] |
|
1. a = 2. [-3;2] 3. a) [] б) [] в) [] |
1. a = 2. [1;2]
б) [] в) [] |
а = 2
Ответ: Вариант
I:
2.
[];
[];
[].
Вариант II: 2. []; []; [].
Вариант III: 2. []; []; [].
3. [2;3]; [0;2]; [-3;4].
Вариант IV: 2. []; []; [].
3. [0;2]; [0;2]; [1;2].
Тестовая работа
1. Сравните n и k, если верно неравенство
<
A. n = k Б. n > k В. n < k Г. Нельзя определить
2. Решить уравнение .
A.
x
= 3 Б.
x
= -3 В.
x
=
Г.
x
=
3. Какой из графиков является графиком функции ?
А.
4. Решите уравнение .
A. x = 3 Б. x = 4 В. x = Г. x = -3
5. Решите уравнение .
A. x = 0 Б. x = 0 и x = 2 В. x = 2 Г. x = 0 и x = 1
Ответ: В Г Г А В
Самостоятельная работа
Вариант 1
1.
Решите уравнение:
а); б) .
2.Решите неравенство:
а) ; б) ;
Вариант 2
1.Решите уравнение:
а); б) .
2.Решите неравенство:
а) ; б) .
Вариант 3
1.Решите уравнение:
а); б) .
2.Решите неравенство:
а) ; б) .
Вариант 4
1.Решить уравнение:
а) ; б)
2.Решите неравенство:
а) б)
Вариант 5
1.Решите уравнение:
а); б)
2.
Решите неравенство:
Вариант 6
1.Решите уравнение:
а); б) .
2.Решите неравенство:
.
Вариант 7
1.Решите неравенство .
2.Решите уравнение:
а) ; б) .
Вариант 8
1.Решите неравенство .
2.Решите уравнение:
а) ; б) .
Контрольная работа
Вариант 1 Вариант 2
1.
Решите уравнение: 1.Решите уравнение:
а) а)
б) б)
в) . в) .
2.Решите неравенство: 2.Решите неравенство:
а) ; а) ;
б) б)
в) в)
3.Найдите все такие t, что 3.Найдите все такие t, что
.
.
4.При каких значениях а 4.При каких значениях а
уравнение уравнение
имеет ровно один корень? имеет ровно один корень?
Зачет
по теме Показательная функция, уравнения и неравенства ,10 класс.
Цель зачета:
Проверить знание основных теоретических вопросов темы: «Показательная функция», умения решать показательные уравнения и неравенства.
План урока:
I.Исторический обзор.
II.Теоретические вопросы.
III.Обязательные задачи.
IV.Дополнительные задачи
V.
Подведение итогов.
Ход урока:
I.Историческая справка (сообщение подготовлено учеником и рассчитано на 4-5 мин)
II.Теоретические вопросы: — 10 мин (в режиме взаимоконтроля, результаты заносятся в рейтинговую таблицу).
1) Функция какого вида называется показательной?
2) Область определения показательной функции?
D(f)=(-?;+?).
3) Множество значений показательной функции?
E(f)=(?;+?).
4) Как зависит изменение показательной функции от основания a?
5) Перечислить основные свойства степеней.
6) Что можно сказать об основании показательной функции
|
|
|
7) Записать решение уравнения ax = ac
a > 0, a?1
8) Записать решение неравенства ax > ac
III.
Обязательная
часть. Учащимся предлагаются 4 варианта заданий, которые они выполняют
индивидуально. Проверка в режиме самоконтроля по готовым ответам. Если задача
решена неверно, то ученик находит ошибку и доводит решение до конца. Результаты
заносятся в рейтинговую таблицу.
1 вариант
1. а) Изобразить схематично график функции у = .
б) Сравните значения функций и ; и
2.Решить уравнения: а) = 125; б) + = 9. в) — 4. +3 = 0.
3. Решить неравенство: 1.
2 вариант
1. а) Изобразить схематично график функции у = .
б) Сравните значения функций и ; и .
2.Решить уравнения: а)
=
81; б) +
=
26; в) —
8.+7
= 0.
3. Решить неравенство: > 0,16.
3 вариант
1. а) Изобразить схематично график функции у = .
б) Сравните значения функций и ; и .
2.Решить уравнения: а) = 216; б) + =0,11; в) — 6.+5 = 0.
3. Решить неравенство: .
4 вариант
1. а) Изобразить схематично график функции у = .
б) Сравните значения функций и ; и .
2.Решить уравнения: а) =1; б) +4. + == 20; в) — 14.-32 = 0.
3. Решить неравенство: .
IY.Дополнительная
часть. Учащимся, выполнившим обязательную часть, предлагаются на выбор задачи
более сложного уровня, которые оцениваются оценкой 4 или 5.
Проверка по
готовым ответам или сдаются на проверку учителю.
Задания на 4. Решить показательные уравнения и неравенства:
Вариант 1 Вариант 2
1.==. 1. 16.=
2.< 1. 2. <
Вариант 3 Вариант 4
1. 2. 1.
2. < 2.
Задания на 5. Решить показательные уравнения и неравенства.
Вариант 1 Вариант 2
1.
1.
0
2. 2.
Вариант 3 Вариант 4
1. 1.
2. 2.
Y. Подведение итогов.
Ученики сдают работы с обязательной частью, дополнительные задачи и рейтинговые таблицы на проверку учителю. Учитель объявляет итоги зачета для тех учащихся, кто сумел справиться с заданиями и получить оценку.
Урок Рабочий лист:Экспоненциальные неравенства | Нагва
Начать практику
В этом рабочем листе мы будем практиковаться в решении экспоненциальных неравенств, все основания которых можно привести к одному и тому же значению.
Q1:
Известно, что 16 находится в интервале [0,25,0,5]. В каком интервале лежит 𝑥?
- А[−0,25,0,5]
- Б[-0,5,-0,25]
- С[−0,5,0,5]
- Д[0,25,0,5]
- Э[−0,5,0,25]
Q2:
Если 13>13, что из следующего должно быть верно относительно 𝑥 и 𝑦?
- А𝑥=𝑦
- Б𝑥>𝑦
- C𝑦>𝑥
Q3:
Найдите значения 𝑥, удовлетворяющие следующему неравенству: 4>8.
- А𝑥2
- Б𝑥1
- C𝑥>2
- Д𝑥>1
- Э𝑥0
Q4:
Найдите все значения 𝑥, удовлетворяющие следующему неравенству: 2>2.
- А𝑥1
- B𝑥>3
- C𝑥3
- Д𝑥0
- E𝑥>1
Q5:
Предположим, что 𝑎𝑥𝑏 является решением следующего неравенства: 13>19. Находить 𝑏−𝑎.
Q6:
Найдите все значения 𝑥, которые удовлетворяют следующему неравенству: 1≥4.
- А𝑥≤4
- B𝑥≥−94
- C𝑥≤−94
- Д𝑥≥−4
- E𝑥≤−4
Q7:
Найдите все значения 𝑥, удовлетворяющие следующему неравенству:
(0,01)≥110.
- А𝑥≥−5
- B𝑥≥−2
- C𝑥≤−2
- Д𝑥≥5
- E𝑥≥−53
Q8:
Найдите все значения 𝑥, удовлетворяющие следующему неравенству: −423≤−9.
- А𝑥≤−3
- B𝑥≥−3
- C𝑥≥1
- D𝑥≤1
- E𝑥≥3
Q9:
Найдите все значения 𝑥, удовлетворяющие неравенству (0.01)1.
- А𝑥>5
- B𝑥>2
- C𝑥5
- Д𝑥92
- E𝑥>92
Q10:
Найдите все значения 𝑥, которые удовлетворяют следующему неравенству:
2≤14.
- А𝑥≤2
- Б𝑥≥2
- C𝑥≤4
- D𝑥≤−2
- E𝑥≥4
Nagwa использует файлы cookie, чтобы обеспечить вам максимальное удобство на нашем веб-сайте. Узнайте больше о нашей Политике конфиденциальности. 9{x-6}}$?
Последняя обновленная дата: 22 января 2023
•
Общее представление: 207,3K
•
Просмотры сегодня: 5,03K
Ответ
Проверено
207,3K+ виды
Hint:
207,3K+ виды
. неравенства сначала сделаем основание в обеих частях неравенства одинаковым.
Тогда, если мы получим одно и то же основание с обеих сторон, мы будем сравнивать степени, используя один и тот же знак неравенства. Упростив полученное уравнение, мы получим искомый ответ. 9{\left( x-6 \right)}$
Теперь, поскольку основания в обеих частях уравнения одинаковы, мы можем сравнить степени. Тогда получим
$\Rightarrow x-4\le 2\left( x-6 \right)$
Теперь, упростив полученное уравнение, получим
$\begin{align}
& \Rightarrow x-4\le 2x-12 \\
& \Стрелка вправо x-2x\le -12+4 \\
& \Стрелка вправо -x\le -8 \\
& \Стрелка вправо x\ge 8 \\
\end{align}$
Следовательно, решив данное показательное неравенство, мы получим значение x, которое должно быть больше или равно 8.
Примечание: Следует отметить, что если мы умножаем или делим обе части на отрицательное число или когда мы меняем значения с левой стороны на правую или наоборот, направление неравенства меняется. Альтернативный способ решить экспоненциальное неравенство — применить логарифмирование к обеим частям уравнения.