Решить неравенство с дробью онлайн: Решение неравенств с модулем онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Метод интервалов — Умскул Учебник

На этой странице вы узнаете

• Как мы ежедневно расставляем знаки неравенства в жизни?
• Как быстро определить верное обозначение точки на прямой?
• Как правильно чередовать знаки на числовой прямой?

Решая уравнение, мы стремимся к тому, чтобы обе части были равны. Но существуют такие примеры, где мы заведомо знаем, что два выражения не могут быть равны между собой. Они называются неравенствами. 

Метод интервалов

Неравенство — это алгебраическое выражение, в котором одна сторона имеет отличное от другой значение. В неравенствах обычно одна сторона больше другой.

Для записи неравенств используют знаки > , < , ≥ , ≤ . 

При этом “>” и “<” — это строгие знаки неравенства, а “≥” и “≤” — нестрогие знаки неравенства. 

Их отличие в том, что нестрогие знаки неравенства включают граничные точки в итоговый промежуток, а строгие — нет.  

Как мы ежедневно расставляем знаки неравенства в жизни? Посмотрим на привычные ситуации с точки зрения строгости знаков неравенства. Например, возьмем известную игру “Камень, ножницы, бумага”. Правила игры говорят нам, что камень всегда побеждает ножницы, а бумага побеждает камень. Если перенести это на язык неравенства, то получится: Теперь зайдем в магазин цифровой техники и попробуем выбрать себе новый мобильный телефон. Задачка непростая, не так ли? Две разные модели могут настолько незначительно отличаться друг от друга своими характеристиками, что будут казаться почти одинаковыми. Тогда мы можем сказать, что они практически равны между собой, то есть неравенство нестрогое. Но один из них всё-таки понравился нам больше. И каждый наш выбор, каждый шаг – это расстановка знака неравенства в настоящей жизни. Просто по бокам от него не цифры и переменные, а существующие ситуации и вещи.

Рассмотрим пример неравенства (х — 10)(х + 21) > 0.  

Его можно решить несколькими способами. Например, вспомним, что положительным будет произведение двух положительных или двух отрицательных множителей, тогда получается совокупность из двух систем. 

Однако этот способ решения очень трудоемкий и требует много времени. А если множителей будет больше, например, три или четыре, то время на решение в разы увеличивается. 

Небольшой секрет тайм-менеджмента: как сократить время при решении неравенств?  В таких случаях на помощь приходит метод интервалов.

Метод интервалов — специальный алгоритм решения для сложных неравенств вида f(x) > 0. При этом знак неравенства может быть любым.

Интервал — это промежуток на числовой прямой, ограниченный двумя различными числами. 

Алгоритм решения неравенств методом интервалов 1 шаг. Перенести все части неравенства в одну сторону так, чтобы с другой остался только 0.   2 шаг. Найти нули функции, для этого необходимо решить уравнение f(x) = 0.  3 шаг. Начертить числовую прямую и отметить на ней все полученные корни. Таким образом, числовая прямая разобьется на интервалы.  4 шаг. Определить знаки на каждом интервале. Для этого необходимо подставить любое удобное значение в f(x) и определить, какой знак будет иметь функция на данном интервале.

Расставляя полученные корни на прямой, необходимо отмечать их точками. При этом от того, какая отмечена точка (выколотая или закрашенная), будет зависеть ответ. 

• Если в неравенстве стоит строгий знак неравенства, то все точки на прямой должны быть выколотыми. 

Таким образом, граничные точки не будут включены в итоговый промежуток. Для записи таких точек используют круглые скобочки. Например, в промежуток (2;3) включаются все значения от 2 до 3, но не включаются граничные точки.  

• Если в неравенстве стоит нестрогий знак неравенства, то найденные корни должны быть отмечены закрашенными точками. 

Это означает, что мы включаем их в итоговый промежуток. Для записи таких точек используют квадратные скобочки. Например, в промежуток [2;3] включаются все значения от 2 до 3, в том числе и граничные точки. 

• Если в неравенстве появляются ограничения и некоторые точки нельзя взять в ответ, то такие точки должны быть выколотыми на числовой прямой, при этом знак самого неравенства может быть как строгим, так и нестрогим. 

Например, если необходимо решить неравенство с дробью, то нули знаменателя на числовой прямой обязательно должны быть обозначены выколотыми точками. 

Как быстро определить верное обозначение точки на прямой? В случае сомнений мы всегда можем проверить себя по простой схеме. Вывод: — если знак неравенства строгий, то все точки будут выколотыми; — если знак неравенства нестрогий, то точки будут закрашенными, кроме тех точек, которые нельзя взять в ответ (например, они не удовлетворяют ОДЗ).

Стоит отметить, что непрерывная функция будет менять знак только в точках, в которых она равна 0. Подробнее узнать про смену знака функции можно в статье «Определение и график функции». Именно поэтому в методе интервалов мы ищем и отмечаем нули функции на прямой — только при переходе через них будет меняться знак функции. 

При этом существует способ, с помощью которого можно быстро расставить знаки на прямой. Достаточно определить знак на одном из интервалов, а дальше чередовать знаки при переходе через каждую точку на прямой. 

Правила чередования знаков: 

• Если корень повторяется нечетное количество раз (то есть его степень нечетная), то знак при переходе на следующий интервал меняется.

• Если корень повторяется четное количество раз (его степень четная), то знак при переходе на следующий интервал не меняется. 

Как правильно чередовать знаки на числовой прямой? Всегда будет нелишним перепроверить знак на каждом интервале, подставив значения в функцию, и  убедиться в правильности расстановки знаков на прямой.   Но при расстановке можно пользоваться следующим алгоритмом, что значительно сократит время расстановки знаков.

Рассмотрим несколько примеров, чтобы на практике разобрать применение метода интервалов для решения неравенств.  

Пример 1. Решить неравенство x² + 8x — 33 > 0. 

1. Первым шагом необходимо найти нули функции, для этого приравниваем выражение слева к 0: x² + 8x — 33 = 0. 

2. Находим корни уравнения, получаем х = 3 и х = -11. 

3. Расставляем полученные корни на числовой прямой. Поскольку знак неравенства строгий, то точки должны быть выколотыми:

4. Дальше необходимо определить знаки на каждом интервале. Для этого подставим х = -12 в x² + 8x — 33. Получаем: 

(-12)² + 8*(-12) — 33 = 144 — 96 — 33 = 15. 

Получается положительное число, следовательно, интервал от минус бесконечности до -11 положительный. Поскольку все корни в неравенстве повторяются нечетное количество раз (по одному разу), то знаки чередуются. 2 ((-3) + 2)} = \frac{9 + 3 — 2}{9 * (-1)} = \frac{10}{-9}\)

Промежуток отрицательный. 

4. Дальше расставляем знаки, чередуя их. При этом следует заметить, что х = 0 — корень, повторяющийся четное количество раз (поскольку у х² четная степень). Следовательно, при переходе через эту точку знак функции меняться не будет. 

В ответ необходимо включить отрицательные промежутки, следовательно: х ∈ (-∞; -2) U [-1; 0) U (0; 2]. 

Фактчек

• Метод интервалов позволяет упростить решение любого  неравенства, а также экономит время, которое ограничено на экзамене. 
• Чтобы решить неравенство с помощью метода интервалов необходимо найти нули функции, расставить их на числовой прямой, а после определить знак каждого полученного интервала. 
• Нули функции на прямой обозначаются точками, при этом закрашенные точки включают граничные значения в итоговый промежуток, а незакрашенные, напротив, исключают их из промежутка.  
• Для определения знака на каждом интервале необходимо подставить любое значение из этого интервала в функцию. 
• Для упрощения расстановки знаков можно пользоваться правилами чередования, определив знак только на одном интервале, а дальше менять знаки на каждом следующем. При этом если корень встречается в функции нечетное количество раз, то знак при переходе через эту точку на следующий интервал меняется, а если корень встречается четное количество раз, то знак на следующем интервале не меняется. 

Проверь себя

Задание 1. 
Какие знаки неравенства существуют?

1. Строгие
2. Нестрогие
3. Строгие и нестрогие 
4. Больше и меньше

Задание 2. 
Какой знак неравенства может встретиться в методе интервалов?

1. Только больше или меньше. 
2. Только “больше или равно” или “меньше или равно”. 
3. Только “больше” и “больше или равно” или только “меньше” и “меньше или равно”.
4. Любой. 

Задание 3. 
Какое утверждение верное?

1. Если в неравенстве строгий знак неравенства, то точки на числовой прямой закрашены.
2. Если в неравенстве строгий знак неравенства, то точки на числовой прямой выколоты.
3. Если в неравенстве нестрогий знак неравенства, то все точки на числовой прямой закрашены, даже если в неравенстве есть ограничения.
4. Если в неравенстве нестрогий знак неравенства, то все точки на числовой прямой выколоты. 

Задание 4. 
Какое утверждение верное? 

1. При переходе на числовой прямой на следующий интервал, знак на интервале всегда будет меняться.
2. Если корень встречается в неравенстве четное количество раз, то при переходе через него на следующий интервал знак не меняется.
3. Если корень встречается в неравенстве нечетное количество раз, то при переходе через него на следующий интервал знак не меняется.
4. Невозможно определить правильное чередование знаков на прямой, не подставляя значение из каждого интервала в функцию.

Задание 5. 
Если в неравенстве строгий знак неравенства, то какие скобочки могут встретиться в ответе? 

1. Круглые
2. Квадратные
3. И круглые, и квадратные
4. Ни один из перечисленных вариантов 

Ответы: 1. — 3 2. — 4 3. — 2 4. — 2 5. — 1 

Решение неравенств, методы решения различных неравенств

Любая школьная программа по математике включает в себя материал о неравенствах. Они окружают школьника повсюду: в формулах, алгебраических аксиомах и задачах. Что же такое неравенства и как выглядит решение неравенств?

Любая школьная программа по математике включает в себя материал о неравенствах. Они окружают школьника повсюду: в формулах, алгебраических аксиомах и задачах. Что же такое неравенства и как выглядит решение неравенств?

Неравенство предполагает в своем условии различие между двумя частями выражения. Всего их два типа: строгие и нестрогие. Нестрогие неравенства допускают вариант, в котором их части равны (в данном случае используются знаки «больше или равно» и «меньше или равно»). Строгие неравенства не позволяют использовать ответы, при которых их части становятся равны. В этом случае решение неравенств включает в себя знаки «больше», «меньше» и «не равно».

Чаще всего неравенства имеют в ответе целый диапазон значений, включая как целые числа, так и множество дробных. Чтобы дать полный и единственно верный ответ, записывают не точные значения, а их интервалы. Решение неравенств происходит чаще всего методом промежутков, где проверяется, в какой части отрезка координат выполняются все условия, позволяющие составить правильное неравенство. Ответ записывается в форме «неизвестное принадлежит отрезку координат с данными границами». Пример записи ответа – х Є (7; 10], где круглая скобка обозначает строгое неравенство, а квадратная – нестрогое (то есть 10 является одним из возможных вариантов ответа, а 7 – нет). Если интервал возможных решений неравенства уходит в бесконечность, то знак бесконечности в ответе всегда выделяется круглой скобкой.

Неравенств бывает множество видов, однако самые сложные вопросы возникают в двух случаях: это решение иррациональных и дробных неравенств.

Что такое иррациональное неравенство? Это неравенство, одна из частей которого является корнем функции. Выглядит такое неравенство достаточно сложно как для неопытного школьника, так и для многих студентов математических кафедр. Однако решение иррациональных неравенств достаточно простое: необходимо просто возвести все неравенство в степень, в корне которой находится одна из его частей. Стоит соблюдать лишь одно правило: если одна из функций является отрицательной, возведение в четную степень исказит неравенство и сделает его отличным от оригинала по самой его сути. Поэтому решение иррациональных неравенств является одним из тех моментов, на которых ошибается львиная доля экзаменуемых школьников и студентов.

Решение дробных неравенств тоже достаточно простое. Дробное неравенство – это такое, в котором одна из частей является дробью. Что же сделать, чтобы составить верное решение дробных неравенств? Попросту умножить обе части неравенства на величину знаменателя одной из функций. Это приведет функцию в более простой вид, что позволит быстро и без особых усилий рассчитать верный диапазон решений неравенства.

Существует огромное количество видов неравенств, и решения многих из них разнятся между собой. Необходимо знать и представлять правильный метод решения каждого из них, чтобы грамотно уметь составить условие, записать ответ и получить высокие баллы за работу. Чем похожи решение иррациональных и дробных неравенств? В первую очередь тем, что для их решения применяется упрощение путем уничтожения неудобного фактора (в одном случае – корня, во втором – знаменателя функции).

Поэтому каждый школьник и студент обязан помнить: едва заметив в неравенстве корень либо знаменатель, он должен среагировать и либо возвести обе части неравенства в нужную степень, либо умножить обе части неравенства на знаменатель. Данный метод решения работает в большинстве случаев, кроме задач исключительной сложности (которые, между прочим, встречаются крайне редко). Поэтому можно с уверенностью сказать, что решение неравенств, предложенное выше, будет верным практически в ста процентах случаев.

Выберите и составьте эквивалентную форму выражения, чтобы раскрыть и объяснить свойства величины, представленной выражением. | СС | ЧСА | HSA-SSE | HSA-SSE.B

---

Дополнительные темы

в Выберите и создайте эквивалентную форму выражения, чтобы выявить и объяснить свойства величины, представленной выражением.

---

Popular Tutorials

in Выберите и создайте эквивалентную форму выражения, чтобы раскрыть и объяснить свойства величины, представленной выражением.

• Какова сила частного правила?

  Возвели дробь в степень? Узнайте, как разделить этот показатель степени и поместить его в числитель и знаменатель вашей дроби, используя силу правила частного. Этот урок покажет вам, как!

• Что такое экспоненциальная функция?

  Ищете уравнение с переменной в показателе степени? У вас есть экспоненциальная функция! Узнайте об экспоненциальных функциях в этом руководстве.

• Как разложить трехчлен на множители?

  Разложение трехчленов на множители может быть сложным, но это руководство может помочь! Следите за тем, как прямо на ваших глазах вычисляется трехчлен! Затем проверьте свой ответ, используя метод FOIL, чтобы снова перемножить двучлены и посмотреть, получится ли исходный трехчлен.

• Как решить квадратное уравнение с помощью факторинга?

  Одним из многих способов решения квадратного уравнения является его разложение на множители. В этом уроке вы увидите, как факторизовать квадратное уравнение, используя метод факторинга «догадка и проверка». Затем используйте свойство нулевого произведения, чтобы найти решение!

• Как использовать ярлык для разложения на множители идеального квадратного трехчлена?

  Разложение на множители совершенного квадратного трехчлена? Знаете ли вы, что существует короткий путь к разложению на множители этого специального вида трехчлена? Проверьте это! Это довольно круто, и это может сделать этот процесс немного быстрее!

• Что такое произведение правила степеней?

  Работа с экспонентами может быть очень увлекательной, если вы понимаете, как они работают. В этом уроке вы увидите, как складываются показатели степени, когда вы умножаете одно и то же число, возведенное в разные степени!

• В чем сила силового правила?

  Иногда вы видите число с показателем степени, возведенным в другую степень, и, увидев его впервые, вы, вероятно, подумаете, что это опечатка! Но это не опечатка, это реальная вещь, и есть действительно хороший трюк, чтобы упростить ее, который вы увидите в видео.
• В чем сила правила продукта?

  Есть отличный трюк для возведения произведения двух чисел в степень, и этот урок покажет вам, как именно этот трюк работает.

• Что такое правило отношения сил?

  Работа с экспонентами может быть очень увлекательной, если вы понимаете, как они работают. В этом уроке вы увидите, как складываются показатели степени, когда вы делите одно и то же число, возведенное в разные степени!

• Как разложить полином на множители, используя разность квадратов?

  Пытаетесь разложить на множители двучлен с вычитаемыми множителями с идеальным квадратом? У вас есть задача на разность квадратов! Узнайте, как факторизовать такой бином, как этот, посмотрев этот урок.

• Что такое свойство нулевого продукта?

  Свойство нулевого произведения позволяет разделить произведение факторов на отдельные уравнения. Затем вы можете решить каждое уравнение, чтобы получить решения исходного уравнения! Узнайте все об этом очень полезном свойстве, посмотрев этот урок.

• Как разложить полином на множители, угадывая и проверяя?

  Разложение трехчленов на множители может быть сложным, но это руководство может помочь! Следите за тем, как трехчлен факторизуется с использованием метода догадок и проверок. Что, никакие возможности не работают? Трехчлен должен быть простым! Посмотрите этот урок и посмотрите, что получится!

• Как разложить полином на множители с помощью метода A-C?

  Разложение трехчленов на множители может быть сложным, но это руководство может помочь! Посмотрите, как использовать метод A-C для разложения трехчлена на произведение двух двучленов. Затем используйте метод FOIL, чтобы снова перемножить два бинома, чтобы проверить свой ответ.

• Как найти все возможные делители трехчлена?

  При разложении трехчлена на произведение двух двучленов иногда полезно знать все возможные варианты. В этом уроке используется метод «угадай и проверь», чтобы сделать именно это! Взглянем!
• Как найти шаблон для разложения трехчлена на множители?

  Знаете ли вы, что при разложении трехчлена знаки трехчлена определяют знаки произведения двучленов? Эта информация действительно полезна, когда вы факторизуете трехчлены! Посмотрите этот урок и изучите различные случаи знаков.

• Как выделить общий делитель из разности квадратов?

  Пытаетесь разложить бином? Посмотрите, сможете ли вы выделить наибольший общий множитель. В этом руководстве показано, как разложить бином на множители, сначала выделив наибольший общий множитель, а затем используя разность квадратов. Проверьте это!

• Как узнать, есть ли у вас разница квадратов?

  Не уверены, что бином, который вы разложили на множители, представляет собой задачу на разность квадратов? Этот урок покажет вам, какими характеристиками должен обладать бином, чтобы быть задачей на разность квадратов. Взглянем!

• Как преобразовать квадратичную форму из стандартной формы в вершинную, заполнив квадрат?

  Вершинная форма квадратного уравнения может помочь вам быстро определить вершину этого квадратного уравнения. Следуйте этому руководству, чтобы узнать, как использовать метод завершения квадрата, чтобы изменить квадратное уравнение из стандартной формы в вершинную форму!

• Как преобразовать квадрат из стандартной формы в форму вершины, дополнив квадрат, если a≠1?

  Вы можете преобразовать квадратное уравнение из стандартной формы в вершинную форму, заполнив квадрат! Этот учебник шаг за шагом проведет вас через процесс.

---

Таблица неравенств дробей

Учебники по алгебре!       года.   Пятница, 2 декабря

Дом Вычисления с отрицательными числами Решение линейных уравнений Системы линейных уравнений Решение линейных уравнений графически Алгебра Выражения Вычисление выражений и решение уравнений Правила дробей Факторинг квадратных трехчленов Умножение и деление дробей Деление десятичных дробей на целые числа Сложение и вычитание радикалов Вычитание дробей Факторизация полиномов по группировке Наклоны перпендикулярных линий Линейные уравнения Корни — радикалы 1 График линии Сумма корней квадратного числа Написание линейных уравнений с использованием наклона и точки Факторинг трехчленов со старшим коэффициентом 1 Написание линейных уравнений с использованием наклона и точки Упрощение выражений с отрицательными показателями Решение уравнений 3 Решение квадратных уравнений Родительские и семейные графики Сбор похожих терминов -й Корень Степень частного свойства показателей Сложение и вычитание дробей Проценты Решение линейных систем уравнений методом исключения Квадратичная формула Дроби и смешанные числа Решение рациональных уравнений Умножение специальных биномов Округление чисел Факторинг по группам Полярная форма комплексного числа Решение квадратных уравнений Упрощение сложных дробей Алгебра Общие журналы Операции с числами со знаком Умножение дробей в общем Деление многочленов Многочлены Высшие степени и переменные показатели Решение квадратных неравенств с помощью графика знаков Написание рационального выражения в минимальных терминах Решение квадратных неравенств с помощью графика знаков Решение линейных уравнений Квадрат бинома Свойства отрицательных показателей Обратные функции дроби Вращение эллипса Умножение чисел Линейные уравнения Решение уравнений с одним логарифмическим членом Объединение операций Эллипс Прямые линии Графическое отображение неравенств с двумя переменными Решение тригонометрических уравнений Сложение и вычитание дробей Простые трехчлены как произведения двучленов Соотношения и пропорции Решение уравнений Умножение и деление дробей 2 Рациональные числа Разница двух квадратов Факторизация полиномов по группировке Решение уравнений, содержащих рациональные выражения Решение квадратных уравнений Деление и вычитание рациональных выражений Квадратные корни и действительные числа Порядок действий Решение нелинейных уравнений подстановкой Формулы расстояния и средней точки Линейные уравнения Графики с использованием точек пересечения x и y Свойства экспонентов Решение квадратных уравнений Решение одношаговых уравнений с использованием алгебры Относительно простые числа Решение квадратного неравенства с двумя решениями Квадратика Операции над радикалами Факторизация разности двух квадратов Прямые линии Решение квадратных уравнений с помощью факторинга Графики логарифмических функций Упрощение выражений, включающих переменные Добавление целых чисел Десятичные дроби Факторинг полностью общих квадратных трехчленов Использование шаблонов для умножения двух двучленов Сложение и вычитание рациональных выражений с отличающимися знаменателями Рациональные показатели Горизонтальные и вертикальные линии     Выражение Уравнение Неравенство Contact us Simplify Factor Expand GCF LCM Solve Graph System Solve Graph System Math solver on ваш сайт Наших пользователей: В студенческие годы я была отличницей по математике, но из-за нехватки времени не могла уделять внимание математическому образованию дочери. Это была проблема, которую я не мог решить, и тогда я наткнулся на это программное обеспечение. Алгебратор оказал ей огромную помощь. Теперь она могла выучить основы алгебры. Это было показано в ее оценках за следующий семестр. Коллин Д. Лестер, Пенсильвания Не могу передать, как я счастлива, что наконец-то нашла программу, которая меня действительно чему-то учит!!! Поль Д’Суза, Северная Каролина Ваш новый релиз стал намного более интуитивным! Ваша команда быстро отреагировала. Отличная работа! Я буду рекомендовать новую версию другим студентам. Дженни Лейн, Алабама Я только что получил ваше обновление, я так счастлив, что связался с вами, это было лучше всего для меня и моего обучения. Мне нравится ваша программа, спасибо! Мария Лопес, Калифорния Существует так много программ по алгебре. Я не знаю, как я застрял с вашим, но академически говоря, это лучшее, что когда-либо случалось со мной! Мика Лестер, Мичиган Студенты, борющиеся со всевозможными задачами по алгебре, узнают, что наше программное обеспечение может спасти им жизнь. Вот поисковые фразы, которые сегодняшние поисковики использовали, чтобы найти наш сайт. Сможете ли вы найти среди них свою? Поисковые фразы, использованные 01.07.2010: найти площадь треугольника с заданными вершинами на ТИ-84 преобразование комбинации рабочих листов корни полиномиального выражения Решатель квадратных корней Калькулятор простых радикальных выражений занятия на склоне 6 класс уравнения умножения и деления пример математического стихотворения о тригонометрии вычислить целые числа решение уравнения с дробным показателем уравнения баланса онлайн алгебраические решатели с квадратными корнями извлечение фракций корней рабочие листы по переводу для 7 класса заполнение квадратного рабочего листа ti 84 фольга программа рабочие листы перестановок и комбинаций сложение и вычитание радикалов с дробями Как использовать дробь на t83 задач в гиперболе ti 84 квадратичный решатель Степени дробей математические мелочи и ответ на них Рабочие листы дроби четвертого класса для печати ученица зал ответ решение нелинейных дифференциальных уравнений в Matlab уравнений с переменными рабочими листами научный калькулятор, превращающий десятичные дроби в проценты Онлайн-решатель по алгебре введите вопросы и получите ответ как решить x=tanx год 7 тестов по математике онлайн Рабочие листы по геометрии холла упрощение сложения квадратного корня рабочий лист викторины мира KS2 для начинающих предварительная алгебра Начальный лист по алгебре смешанные номера Чем деление многочлена на двучлен похоже или отличается от деления в длину изменение дроби процентов на десятичную интерактивных комбинаций и перестановок Решатель одновременных уравнений с отработками примеров перестановок и комбинаций алгебра, вынесение квадратных корней на множители домашнее задание по алгебре наибольший общий делитель числа 479 вычислить рациональные выражения 2009 г. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт