Пример линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами · Как пользоваться Контрольная Работа РУ
Рассмотрим примеры того, как решить однородные и неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами с помощью калькулятора дифференциальных уравнений.
Для того чтобы решить линейное дифф. ур-ние с постоянными коэф. онлайн, зайдите на страницу калькулятора:
Рассмотрим сначала пример с однородным уравненим:
2
d d
3*--(y(x)) + ---(y(x)) = 0
dx 2
dx Для этого в форму нужно ввести вот такое выражение:
3*y’ + y» = 0
Вы получите такое подробное решение:
Дано уравнение:
::
2
d d
3*--(y(x)) + ---(y(x)) = 0
dx 2
dx
Это дифф. уравнение имеет вид:
::
y'' + p*y' + q*y = 0,
где
::
p = 3
::
q = 0
Называется линейным однородным
дифф. ур-нием 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это ур-ние не представляет особой сложности
Сначала отыскиваем корни характеристического ур-ния
::
2
k + p*k + q = 0
В нашем случае характ. ур-ние будет иметь вид:
::
2
k + 3*k = 0
- это простое квадратное ур-ние
Корни этого ур-ния:
::
k1 = -3
::
k2 = 0
Т.к. характ. ур-ние имеет два корня,
и корни не имеют комплексный вид, то
решение соотв. дифф. ур-ния имеет вид:
::
k1*x k2*x
y(x) = C1*e + C2*e
Получаем окончательный ответ:
::
-3*x
y(x) = C2 + C1*e
Далее, рассмотрим пример с неоднородным дифференциальным уравнением:
2
d d / 2\ x
- 2*--(y(x)) + ---(y(x)) = \1 + x /*e
dx 2
dx Указанный пример можно ввести в форму калькулятора так:
-2*y’ + y» = (1 + x^2)*exp(x)
После Вы получите подробный ответ:
Дано уравнение:
::
2
d d / 2\ x
- 2*--(y(x)) + ---(y(x)) = \1 + x /*e
dx 2
dx
Это дифф. уравнение имеет вид:
::
y'' + p*y' + q*y = s,
где
::
p = -2
::
q = 0
::
/ 2\ x
s = -\1 + x /*e
Называется линейным однородным
дифф. ур-нием 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это ур-ние не представляет особой сложности
Сначала отыскиваем корни характеристического ур-ния
::
2
k + p*k + q = 0
В нашем случае характ. ур-ние будет иметь вид:
::
2
k - 2*k = 0
- это простое квадратное ур-ние
Корни этого ур-ния:
::
k1 = 0
::
k2 = 2
Т.к. характ. ур-ние имеет два корня,
и корни не имеют комплексный вид, то
решение соотв. дифф. ур-ния имеет вид:
::
k1*x k2*x
y(x) = C1*e + C2*e
::
2*x
y(x) = C1 + C2*e
Мы нашли решение соотв. однородного ур-ния
Теперь надо решить наше неоднородное уравнение
::
y'' + p*y' + q*y = s
Используем метод вариации произвольной постоянной
Считаем, что C1 и C2 - это функции от x
И общим решением будет:
::
2*x
y(x) = C2(x)*e + C1(x)
где C1(x) и C2(x)
согласно методу вариации постоянных найдём из системы:
::
d d
--(C1(x))*y1(x) + --(C2(x))*y2(x) = 0
dx dx
::
d d d d
--(C1(x))*--(y1(x)) + --(C2(x))*--(y2(x)) = f(x)
dx dx dx dx
где
y1(x) и y2(x) - линейно независимые частные решения ЛОДУ,
y1(x) = 1 (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(2*x) (C1=0, C2=1).
А свободный член f = - s, или
::
/ 2\ x
f(x) = \1 + x /*e
Значит, система примет вид:
::
d 2*x d
--(C2(x))*e + --(C1(x)) = 0
dx dx
::
d d d d / 2*x\ / 2\ x
--(1)*--(C1(x)) + --(C2(x))*--\e / = \1 + x /*e
dx dx dx dx
или
::
d 2*x d
--(C2(x))*e + --(C1(x)) = 0
dx dx
::
d 2*x / 2\ x
2*--(C2(x))*e = \1 + x /*e
dx
Решаем эту систему:
::
/ 2\ x
d -\1 + x /*e
--(C1(x)) = -------------
dx 2
::
/ 2\ -x
d \1 + x /*e
--(C2(x)) = ------------
dx 2
- это простые дифф. ур-ния, решаем их
::
/
|
| / 2\ x
| -\1 + x /*e
C1(x) = C3 + | ------------- dx
| 2
|
/
::
/
|
| / 2\ -x
| \1 + x /*e
C2(x) = C4 + | ------------ dx
| 2
|
/
или
::
/ 2 \ x
\-3 - x + 2*x/*e
C1(x) = C3 + ------------------
2
::
/ 2 \ -x
\-3 - x - 2*x/*e
C2(x) = C4 + -------------------
2
Подставляем найденные C1(x) и C2(x) в
::
2*x
y(x) = C2(x)*e + C1(x)
Получаем окончательный ответ:
::
x 2*x 2 x
y(x) = C3 - 3*e + C4*e - x *e
где C3 и C4 есть константыwww.kontrolnaya-rabota.ru
Решение дифференциальных уравнений второго порядка
Решение простых дифференциальных уравнений второго порядка
Дифференциальные уравнения второго порядка вида
решаются двукратным интегрированием.
Решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка
Здесь коэффициенты – постоянные действительные числа. Решение этого уравнения будем искать в виде
Подставим эту функцию в уравнение (1):
Поскольку , то функция (2) будет решением линейного однородного уравнения тогда и только тогда, когда будет выполняться равенство
Уравнение (3) называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (1). А многочлен n-й степени называется характеристическим многочленом этого уравнения.
Замечание. Корни характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами могут быть как действительными, так и комплексными (простыми и кратными) числами.
Утверждение
1. Если числа – различные действительные корни характеристического уравнения (3) линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (1), то функции образуют фундаментальную систему решений этого уравнения и общее решение уравнения имеет вид:
Утверждение 2. Если – действительный корень характеристического уравнения кратности два, то функции – фундаментальная система решений уравнения (1), общее решение этого уравнения имеет вид:
Утверждение 3. Если – комплексно сопряженные корни характеристического уравнения (3), которое соответствует однородному дифференциальному уравнению второго порядка (1), то функции образуют фундаментальную систему решений этого уравнение и общее решение записывается в виде:
Решение линейных неоднородных ДУ второго порядка
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка
Коэффициенты – некоторые действительные числа, – непрерывная на отрезке функция, называемая
Общее решение этого уравнения имеет вид
где – произвольные постоянные, – фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения (1), – частное решение неоднородного уравнения (4).
Частное решение можно найти методом подбора (или методом неопределенных коэффициентов) в случае, если правая часть уравнения есть одной из функций вида
или
Здесь – заданные многочлены степени n, – известный многочлен степени m, – некоторые действительные числа.
Метод подбора нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения (4) с функцией вида (5), (6) в правой части состоит в том, что частное решение уравнения ищут в виде
– многочлен степени n с неопределенными коэффициентами, s=0 при , которое не является корнем характеристического многочлена, или s кратности , где — корень характеристического многочлена.
или
– многочлены степени k с неопределенными коэффициентами, s=0 ( не является корнем характеристического многочлена), или s кратности — корень характеристического многочлена.
соответственно.
Принцип суперпозиции. Если функция – решение линейного дифференциального уравнения
то тогда функция
есть решением уравнения
или
ru.solverbook.com
| В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в виде
где F − заданная функция указанных аргументов. Если дифференциальное уравнение можно разрешить относительно второй производной В случае произвольных дифференциальных уравнений второго порядка, их порядок можно понизить, если эти уравнения обладают определенной симметрией. Ниже мы обсудим 2 типа таких уравнений (случаи 6 и 7):
Случай 1. Уравнение вида y»= f (x) Если дано уравнение y» = f(x), то его порядок можно понизить введением новой функции p(x), такой, чтоy’ = p(x). В результате мы получим дифференциальное уравнение первого порядка Решая его, находим функцию p(x). Затем решаем второе уравнение и получаем общее решение исходного уравнения.Случай 2. Уравнение вида y»= f (y) Здесь правая часть уравнения зависит только от переменной y. Вводим новую функцию p(y), полагаяy’ = p(y). Тогда можно записать: и уравнение принимает вид: Решая его, находим функцию p(y). Затем находим решение уравнения y’ = p(y), то есть функцию y(x).Случай 3. Уравнение вида y»= f (y’ ) В данном случае для понижения порядка вводим функцию y’ = p(x) и получаем уравнение которое является уравнением первого порядка с разделяющимися переменными p и x. Интегрируя, находим функцию p(x) и затем функциюСлучай 4. Уравнение вида y»= f (x,y’ ) Используем подстановку y’ = p(x), где p(x) − новая неизвестная функция, и получаем уравнение первого порядка Интегрируя, определяем функцию p(x). Далее решаем еще одно уравнение 1-го порядка и находим общее решение y(x).Случай 5. Уравнение вида y»= f (y,y’ ) Для решения такого уравнения, также как и в случае 2, вводим новую функцию p(y), полагая y’ = p(y). Дифференцирование этого равенства по x приводит к уравнению В результате наше исходное уравнение записывается в виде уравнения 1-го порядка Решая его, находим функцию p(y). Затем решаем еще одно уравнение первого порядка и определяем общее решение y(x).Рассмотренные 5 случаев понижения порядка не являются независимыми. Исходя из структуры уравнений, ясно, что случай 2 следует из случая 5, а случай 3 вытекает из более общего случая 4. Случай 6. Функция F(x, y, y’, y») является однородной функцией аргументов y, y’, y» Если левая часть дифференциального уравнения удовлетворяет условию однородности, т.е. для любого k справедливо соотношение то порядок уравнения можно понизить с помощью подстановки После нахождения функции z(x) исходная функция y(x) находится интегрированием по формуле где C2 − постоянная интегрирования.Случай 7. Функция F(x, y, y’, y») является точной производной Если удается найти такую функцию Ф(x, y, y’), не содержащую второй производной y» и удовлетворяющую равенству то решение исходного уравнения представляется интегралом Таким образом уравнение второго порядка можно привести к уравнению первого порядка.В некоторых случаях левую часть исходного уравнения можно преобразовать в точную производную, используя интегрирующий множитель. |
diffur.ucoz.ru