Решить по алгебре пример: Mathway | Графический калькулятор

Содержание

Как научиться решать примеры по алгебре намного быстрее?

В седьмом классе уже нет обычной математики: она делится на более сложные предметы - алгебру и геометрию. И именно на этом этапе у многих учеников начинаются серьезные сложности с обучением. Это связано с тем, что появляется много новых, непростых тем. В 7 классе ученики изучают математическую модель, линейную функцию, степень с натуральным показателем, одночлены, многочлены и многое другое. Домашние задания, как и упражнения в классе, становятся больше, объемнее. Если допустить одну маленькую ошибку, то ее исправление нередко занимает полчаса и больше.

Вот почему гдз по алгебре 7 класс мордкович - пособие, которое всегда нужно иметь под руками. Это решебник, благодаря которому ученик в любой момент проверит то, что он написал, и сможет обнаружить ошибку, не тратя на это много времени. ГДЗ подходят для самых разных задач - подготовки домашнего задания, работы в классе, повторения всего материала перед контрольными работами.

Чем дальше идет обучение в седьмом классе, тем полезнее решебник, потому что запомнить большой объем информации очень трудно - и надежная «шпаргалка» никогда не помешает.

Чем удобны пособия по алгебре

Если посоветоваться с учителем можно только в классе, то решебник всегда под рукой - и там уже есть правильные ответы на все вопросы. А еще многие примеры предполагают получение ответа разными способами. Обычно ученику приходит в голову только один способ, а до остальных догадаться трудно. Как раз решебник и подскажет, как еще можно добиться того же результата, но другим путем - это очень полезно для развития мозга и для последующего обучения.

Онлайн-формат обучения еще больше плюсов

На сайте Випгдз все пособия представлены в онлайн-формате, и у этого решения сразу несколько плюсов:

  • Максимальная экономия места в рюкзаке и на книжных полках. Решебники по всем предметам остаются в телефоне или компьютере - для доступа к ним достаточно интернета и подходящего устройства.
  • Удобство поиска упражнений. Задачи и примеры пронумерованы с учетом того, как они располагаются в учебнике. Все находится за считаные минуты, а то и секунды.
  • Возможность использовать пособия в школе. Есть учителя, которые не очень жалуют ГДЗ, а потому запрещают брать такие книги в школу. Но если решебник находится в телефоне, он никогда не попадется учителю на глаза.

«Випгдз» - это хорошая помощь для тех, кто хочет отлично справляться с домашними заданиями, повышать уровень знаний и решать контрольные на высокие оценки. Если тщательно изучать тему, тренироваться и параллельно проверять свои ответы в ГДЗ, каждый урок принесет еще больше пользы.

как сдать ОГЭ по математике — Учёба.ру

Чем раньше начнешь готовиться к ЕГЭ,
тем выше будет балл Поможем подготовиться, чтобы сдать экзамены на максимум и поступить в топовые вузы на бюджет. Первый урок бесплатно

Ольга Евсеева,

преподаватель математики физико-математической школы Института довузовской подготовки

Московского технологического университета (МИРЭА, МИТХТ, МГУПИ)

По вашему мнению, насколько хорошо девятиклассники сейчас знают математику? Насколько сложен для них этот ОГЭ?

Не сказала бы, что школьники не знают математику. Как правило, к нам на занятия приходят ребята с неплохим начальным уровнем, с хорошими навыками выполнения арифметических действий и преобразования выражений, знакомые с методами решения линейных, квадратных уравнений и неравенств — то есть со всем тем, что они должны знать к началу 9 класса. Конечно, глубина знаний и умение ими пользоваться напрямую зависят от количества часов математики в школе: при изучении предмета на базовом уровне это три-четыре часа алгебры и два часа геометрии в неделю, на углубленном уровне — пять-семь часов алгебры и три часа геометрии. Поскольку ОГЭ состоит из двух частей, первая из которых проверяет базовый уровень подготовки, а вторая включает более сложные задания, ребятам, изучающим в школе базовую математику, необходимо выделить дополнительное время для подготовки.

Иногда школьных уроков и самостоятельной работы достаточно, чтобы сдать ОГЭ на хорошо и отлично. В качестве подспорья можно использовать различные сайты и учебную литературу в открытом доступе. Возникающие вопросы можно обсудить на форумах или со школьным учителем. Но занятия на курсах помогают последовательно разобрать темы, систематизировать материал, проверить глубину его усвоения. Ведь после ОГЭ ребят через два года ждет более трудное испытание — ЕГЭ, в котором часть базовых заданий аналогичны заданиям повышенной и высокой сложности из ОГЭ. Девятиклассники впервые сдают экзамен, содержащий так много заданий, и его длительность составляет 3 часа 55 минут. Безусловно, для ребят это непросто.

Расскажите про структуру экзамена и систему начисления баллов. За какие задания на ОГЭ по математике ставится наибольшее количество баллов?

Всего школьникам предлагается 26 заданий. До недавнего времени экзамен состоял из трех частей — «Математика», «Реальная математика» и «Геометрия». С 2018 года раздела «Реальная математика» в ОГЭ больше нет, а его задания распределены между модулями «Алгебра» и «Геометрия».

Ребятам предстоит решить 17 задач по алгебре (14 задач в части 1 и три в части 2) и девять задач по геометрии (шесть задач в части 1 и три в части 2). Задания части 1 требуют краткого ответа в виде числа или последовательности цифр, которые вносятся в бланк ответов № 1. Развернутые решения заданий части 2 и ответы к ним записываются на бланке ответов № 2. За правильный ответ на каждое из заданий № 1-20 ставится 1 балл. Эти задания проверяются автоматически при сканировании бланков. Задания № 21-26 проверяют двое независимых экспертов, хотя при значительном расхождении оценок назначается проверка третьим экспертом. Эти задания могут быть оценены от 0 до 2 баллов. Таким образом, максимально за работу можно получить 32 первичных балла. Пятерка ставится за результат от 22 баллов, четверка — от 15 баллов, тройка — от 8 баллов (из них не менее 4 баллов по алгебре и 2 баллов по геометрии).

Как видите, для положительной оценки достаточно решить лишь восемь задач из части 1, а для пятерки — безошибочно выполнить базовую часть экзамена и только одно из заданий повышенной сложности. Вроде бы задача «сдать ОГЭ на отлично» не кажется такой уж сложной. Однако с заданиями повышенной сложности из части 2 ребятам придется снова столкнуться на ЕГЭ, уже в его базовой части. Например, задание № 22 повышенного уровня сложности — «текстовая задача» — аналогично заданию № 11 из части 1 ЕГЭ. Поэтому, как мне кажется, ребятам уже в 9 классе надо освоить методы и приемы решения заданий из части 2.

По вашему опыту преподавания, какие разделы математики самые сложные для школьников и вызывают наибольшее затруднение? Какие темы самые простые?

В модуле «Алгебра» это, прежде всего, исследование функций и построение их графиков. Задания на эту тему входят и в часть 1, и в часть 2 ОГЭ. В задании № 10 нужно установить соответствие между графиками функции и формулами, которые их задают. Здесь школьники часто ошибаются, пытаясь угадать ответ вместо того, чтобы рассуждать логически. В части 1 можно еще отметить задания на преобразование и вычисление выражений, если там содержатся радикалы: задание № 4, где надо найти значение выражения, и задание № 12, где сначала выражение надо упростить, а потом вычислить. Работать с корнями правильно получается далеко не у всех. Также не всегда ребятам удается справиться с заданием № 13 — «задачей прикладного содержания», где из несложной формулы нужно выразить одну из величин, найти ее значение, а ответ записать в указанных единицах измерения. Сложность здесь как раз заключается в переходе от одной размерности к другой.

В модуле «Геометрия» в части 1 включены задачи, относящиеся к ключевым разделам курса геометрии. И все же, если в задании встречаются такие темы, как «вписанная и описанная окружности», «вписанные углы», «соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника», «подобие треугольников», показатель его решаемости падает.

Меньше всего ошибок девятиклассники допускают в заданиях на чтение таблиц и диаграмм, нахождение вероятности случайного события.

Какие есть «подводные камни» в заданиях части 2? На что нужно обратить внимание при подготовке к заданиям повышенной сложности?

Задание № 21 В этом задании необходимо решить уравнение или неравенство, преобразовать алгебраическое выражение. При решении рациональных и дробно-рациональных уравнений, а также уравнений высших степеней необходимо обращать внимание на возможность потери решения (при сокращении на выражение, которое может быть равным нулю) или получение посторонних решений (которые обнуляют знаменатель или обращают исходное уравнение в выражение, не имеющее смысла). При решении неравенств надо помнить, что при умножении неравенства на отрицательное выражение оно меняет знак. Зачастую школьники либо просто не обращают внимание на знак величины, на которую умножают неравенство, либо умножают неравенство на выражение, содержащее переменную.
Задание № 22 Это текстовая задача, как правило, на «движение», «работу», «концентрации растворов» или «смеси и сплавы». Для ее решения необходимо составить уравнение или систему уравнений. Я бы посоветовала ребятам для наглядности обязательно заполнять таблицу, в которую вносятся известные по условию величины, выбранная переменная или переменные, после чего в пустые клетки вписываются соответствующие им величины, выраженные через введенные переменные, и только потом приступать к составлению уравнения (или системы).
Задание № 23 Построение графика функции. Для правильного выполнения этого задания необходимо знать свойства следующих функций: линейная, квадратичная, либо функция, описывающая обратно пропорциональную зависимость. Также необходимо уметь строить графики этих функций, знать правила преобразования графиков. Очень часто встречаются задания, в которых формулу, задающую исходную функцию, можно преобразовать, после чего она значительно упрощается. Здесь необходимо помнить, что область определения исходной и получившейся функции могут не совпадать.
Задание № 24 Геометрическая задача вычислительного характера. Школьник должен решить планиметрическую задачу, применяя различные теоретические знания из курса геометрии.
Задание № 25 Геометрическая задача на доказательство с использованием стандартных приемов. Здесь надо обратить внимание на умение математически грамотно и ясно записать решения, приведя все необходимые обоснования и пояснения.
Задание № 26 Для решения этой задачи школьникам нужно владеть широким спектром приемов и способов рассуждений. Здесь возможно потребуются и дополнительные построения, и знание утверждений, не так часто используемых в школьном курсе. Например, теорема об угле между касательной и хордой; теорема о секущих и касательной; свойства высоты прямоугольного треугольника, опущенной из прямого угла; свойства биссектрис, медиан, высот треугольника; теорема Чевы; теорема Менелая.

Что нужно делать школьнику, чтобы подготовиться к экзамену наилучшим образом? Как вы посоветуете им распределить свое время?

На занятиях со школьниками я обычно придерживаюсь следующей стратегии. Во-первых, мы полностью проходим программу 9 класса, начиная с отработки основных навыков и умений по следующим темам: преобразование алгебраических выражений, решение уравнений и неравенств, числовые последовательности, функции, их свойства и графики, элементы статистики и теории вероятностей. Постепенно повышая уровень заданий, мы переходим к решению задач повышенной и высокой сложности и стараемся уделить этим заданиям как можно больше внимания. Не менее трети времени следует посвятить геометрии, и здесь также нужно двигаться «от простого к сложному».

Во-вторых, необходимо готовиться к самому формату ОГЭ, к его структуре. Если ученик хорошо умеет решать задачи, но ни разу не пробовал написать работу в этом формате, ему сложно будет оценить количество затрачиваемого времени на часть 1 и 2. Обязательно нужно научиться правильно распределять свои силы.

Многие девятиклассники не используют предлагаемое на экзамене время полностью, у них просто не хватает усидчивости. Ребята сдают работу раньше, хотя еще остались нерешенными задания повышенной сложности. Зачастую и в заданиях части 1 бывают ошибки по невнимательности, которые сам школьник не смог найти и исправить. На ЕГЭ же складывается обратная ситуация. Выпускники прилежно готовятся к экзамену, считают, что времени мало. Им хочется еще раз проверить свои решения и подумать над заданиями высокой сложности.

Какие источники вы рекомендуете использовать для самостоятельной подготовки к экзамену?

  • «Сайт ФИПИ». На нем вы найдете открытый банк заданий ОГЭ.
  • Сборник «ОГЭ. Математика 2018. Типовые и тестовые задания». Таких сборников очень много, нужно обращать внимание на гриф «рекомендовано ФИПИ».
  • Учебные пособия Центра непрерывного математического образования. Например, сборник «Подготовка к ОГЭ по математике. Методические указания. Разбор задач». На 500 страницах здесь можно найти подробный разбор каждой из 26 задач экзамена и множество вариантов каждой из них для самостоятельного решения.
  • «Сайт Alexlarin.net». Здесь каждую неделю выкладывается новый вариант ОГЭ и новый вариант ЕГЭ. Ребятам дается семь дней на размышление. Они могут обсуждать свои решения на специальном форуме. Потом вывешиваются правильные ответы.
  • «РешуЕГЭ». На сайте доступен большой банк заданий. Тесты можно составлять самостоятельно, выбирая лишь те темы, над которыми необходимо поработать. Небольшой минус — тесты часто получаются похожими друг на друга.

3. Решение задач с помощью уравнений

 

§ 3. Решение задач с помощью уравнений.

Вам неоднократно приходилось решать задачи с помощью составления уравнений. Разнообразие решённых задач является лучшим подтверждением эффективности и универсальности этого метода. В чём же заключается секрет его силы?

Дело в том, что условия непохожих друг на друга задач удаётся записать математическим языком. Полученное уравнение — это результат перевода условия задачи с русского языка на математический.

Часто условие задачи представляет собой описание какой–то реальной ситуации. Составленное по условию уравнение называют математической моделью ситуации.

Конечно, чтобы получить ответ, уравнение надо решить. Для этого в алгебре разработаны различные методы и приёмы. С некоторыми из них вы уже знакомы, многие другие вам ещё предстоит изучить.

Найденный корень уравнения — это ещё не ответ задачи. Следует выяснить, не противоречит ли полученный результат реальной ситуации, описанной в условии задачи.

Рассмотрим, например, такие задачи.

1) За 4 ч собрали 6 кг ягод, причём каждый час собирали одинаковое по массе количество ягод. Сколько ягод собирали за один час?

2) Несколько мальчиков собрали 6 кг ягод. Каждый из них собрал по 4 кг. Сколько мальчиков собирали ягоды?

По условию этих задач можно составить одно и то же уравнение 4х = б, корнем которого является число 1,5. Но в первой задаче ответ «полтора килограмма ягод за час» является приемлемым, а во второй ответ «ягоды собирали полтора мальчика» — нет. Поэтому вторая задача не имеет решений.

При решении задач на составление уравнений удобно придерживаться такой последовательности действий.

⊕ ⇒ 1. По условию задачи составить уравнение (сконструировать математическую модель задачи).
2. Решить полученное уравнение.
3. Выяснить, соответствует ли найденный корень смыслу задачи, и записать ответ.

Эту последовательность действий, состоящую из трёх шагов, можно назвать алгоритмом решения текстовых задач.

ПРИМЕР 1. Рабочий должен был выполнить заказ за 8 дней. Однако, изготавливая ежедневно 12 деталей сверх нормы, он уже за б дней работы не только выполнил заказ, но и изготовил дополнительно 22 детали. Сколько деталей ежедневно изготавливал рабочий?

Решение. Пусть рабочий изготавливал ежедневно х деталей. Тогда по плану он должен был изготавливать ежедневно (х– 12) деталей, а всего их должно было быть изготовлено 8(х– 12). На самом деле он изготовил 6х деталей.

Так как по условию значение выражения 6х на 22 больше значения выражения 8(х – 12), то получаем уравнение:
6х – 22 = 8(х – 12).
Тогда 6х – 22 = 8х – 96;
6х – 8х = –96 + 22;
—2х = –74;
х = 37.

Ответ: 37 деталей. ■

ПРИМЕР 2. Велосипедист проехал 65 км за 5 ч. Часть пути он ехал со скоростью 10 км/ч, а оставшийся путь — со скоростью 15 км/ч. Сколько времени он ехал со скоростью 10 км/ч и сколько — со скоростью 15 км/ч?

Решение. Пусть велосипедист ехал х ч со скоростью 10 км/ч. Тогда со скоростью 15 км/ч он ехал (5 – х) ч. Первая часть пути составляет 10х км, а вторая — 15(5 – х) км. Всего велосипедист проехал 10х + 15(5 – х) км. Поскольку весь путь составил 65 км, то получаем уравнение:

10х + 15(5 – х) = 65.
Отсюда 10х + 75 – 15х = 65;
–5х = –10; х = 2.
Следовательно, со скоростью 10 км/ч он ехал 2 ч, а со скоростью 15 км/ч — 3 ч.

Ответ: 2 ч, 3 ч. ■

 


Ознакомительная версия для принятия решения о покупке книги: Мерзляк, Поляков: Алгебра. Углубленный уровень: 7 класс. Учебник — М.: Вентана-Граф, 2019 (Российский учебник). 3. Решение задач с помощью уравнений.

Как решать вирусные математические задачи

Помните задачу, которую недавно пытались решить всем интернетом: 8 ÷ 2(2 + 2)? У одних получался ответ 1, у других — 16. Математик и журналистка Ивлин Лэмб в своей статье для Scientific American объясняет, в чем там настоящая сложность. Рассказываем с учебником в руках!

Сначала напомним суть проблемы. В задаче 8 ÷ 2(2 + 2) у одних получается ответ 16, у других — 1.

Ответ зависит от того, в какой последовательности производить вычисления. Правило последовательности действий можно найти в учебнике математики для третьего класса: «Действия в числовых выражениях выполняют в следующем порядке: 1) действия, записанные в скобках; 2) умножение и деление; 3) сложение и вычитание».

Значит, сначала необходимо вычислить 2 + 2 (получается 4), а затем 8 ÷ 2 ⋅ 4 (получается 16).

Однако в методическом пособии для преподавателей алгебры говорится: «В алгебре тот же порядок действий, что и в арифметике, но есть исключение: в алгебре знак умножения связывает компоненты действия сильнее, чем знак деления, поэтому знак умножения опускается. Например, a ÷ b ⋅ c = a ÷ (b ⋅ c)». Более того, автор методички упоминает, что математики Павел Александров и Андрей Колмогоров предлагали распространить этот алгебраический принцип и на арифметику, однако «это предложение не нашло поддержки».

Если вам в свое время вдолбили это в голову, вы, увидев, что знак умножения перед скобкой опущен, могли воспринять умножение как действие с более высоким приоритетом и действовать иначе: сначала вычислить 2 + 2 (получается 4), затем умножить результат на 2 (получается 8), затем вычислить 8 ÷ 8 и получить ответ 1.

Если так, то вы не одиноки — так же задачу решают и некоторые калькуляторы.

Но, считает математик и журналистка Ивлин Лэмб, проблема несколько шире, чем холивар, о котором скоро все забудут (предыдущий был всего полгода назад — тогда в задаче были другие числа, но те же знаки). Настоящая проблема в том, что люди берутся решать задачу, несмотря на возможное разночтение.

Если порядок вычислений предполагает разные варианты, значит, задача сформулирована неточно. Убедиться в этом должен прежде всего тот, кто задачу формулирует. Но и тот, кто пытается ее решить, должен иметь смелость сказать, что запись некорректна или в ней не хватает данных.

Однако

травмированные школой люди только рады получить лишнее подтверждение тому, что математика — это минное поле,

считает Лэмб. Вместо того чтобы решать очередную задачу из интернета, стоит разобраться, в чем подвох: корректные задачи вирусными не становятся.

О подвохе, кстати, предупреждают все в той же методичке: «Для устранения недоразумений […] предпочтительнее пользоваться в качестве знака деления чертой или ставить скобки». В таком случае выражение могло бы выглядеть иначе:

(8 ÷ 2)(2 + 2)

8 ÷ (2(2 + 2))

Литература

  • Моро М. И., Волкова С. И., Степанова С.В. Учебник: Математика 3-й класс. М.: Просвещение, 2014.

  • Шустеф М.Ф. Методика преподавания алгебры. Курс лекций. Минск, 1967.

Где можно учиться по теме #математика

Читайте нас в Facebook, VK, Twitter, Instagram, Telegram (@tandp_ru) и Яндекс.Дзен.

Дар или навык? Что такое математические способности и как их развить

Успехи других людей – это всегда немного загадка. Почему у одних получается решать сложные математические задачи, а другие, как бы ни старались, не могут выйти на новый уровень? Неужели математика и правда подвластна не всем? На эти вопросы ответил Назар Агаханов, председатель Центральной предметно-методической комиссии по математике Всероссийской олимпиады школьников. С 1995 года руководил национальной командой России на международных математических олимпиадах. 

В 2010 году Назар Хангельдыевич стал лауреатом премии Правительства РФ в области образования за научно-практическую разработку «Система развития всероссийских предметных олимпиад школьников, отбора и подготовки национальных сборных команд России на международные олимпиады по физике и математике». Когда проявляются математические способности, как их развивать и кому не стоит идти в олимпиадное движение – рассказал эксперт.

Фото: https://mipt.ru/

Математические способности – это умение построить новые модели, не повторяющие стандартные алгоритмы, которым научили в школе. На базе таких маленьких открытий и строятся наука и технологии. Именно поэтому математика позволяет находить способных детей. 

Некоторые ученые считают, что порядка 10% людей обладают высокими математическими способностями. И это нормально. Если нет математических способностей, значит, есть что-то другое. Важно помогать детям открывать интересные сферы, но не навязывать. 

«Каждый родитель хочет, чтобы его ребенок вырос успешным человеком, и сейчас очень популярна позиция, что развивать нужно с пеленок. Может быть, так и есть, но в  любом случае лучше отталкиваться от искреннего интереса ребенка. Талант погибнет, если заставлять его делать несвойственное. Часто родители хотят использовать любые возможности, в частности, например, отправляют заниматься ментальной арифметикой, ложно полагая, что это шаг в математику, но это бессмысленная трата времени, ведь математика – это творчество. Не зря же задачи и решения называют красивыми», – говорит Назар Агаханов.

Чаще всего склонность к математике начинает проявляться в начальной школе, но это не значит, что сразу нужно вести ребенка на несколько кружков и интенсивно развивать эти способности. Достаточно одного урока занимательной математики в неделю. 

Более серьезные кружки начинают работу с учениками 5-6 классов. На этом этапе изучения математики обогнать сверстников очень легко. Круг задач еще достаточно узок и владение приемами их решения позволяет обойти даже, возможно, потенциально более сильных сверстников именно за счет знаний, а вот дальше, в 7-8 классах, для высоких результатов нужно чувствовать математику, здесь и проявляются математические способности. В это время преподаватели работают со школьником на развитие математического аппарата, укрепляется который уже в старших классах. 

Поэтому нередко бывает, что ярко проявляющие себя в 5-7 классах школьники начинают терять свои позиции в старших классах и выгорают от непонимания, почему теперь не получается быть сильнее других. Хотя выгорание возможно и по другой причине –  слишком долгие занятия олимпиадными задачами. Интерес все-таки нужно поддерживать, переключаясь на другую деятельность. 

  

Характер и воля: что помогает добиваться успехов в олимпиадах

Трудолюбие и готовность много работать – наверное, самые очевидные качества, которые нужны в любой сфере для достижения высоких результатов. 

«Способности – это фундамент. Чтобы подняться на несколько ступенек вверх, нужно работать. При наличии этих двух пунктов и еще хорошего педагога, все остальное уходит на второй план. Даже атмосфера в семье и материальное благополучие. В сборную часто попадают дети,  у которых не очень устроено семейное положение. Можно даже сделать частный вывод, что чем больше благоустроен быт, тем меньше ребенок настроен трудиться», – рассказывает Назар Агаханов.

Еще один важный пункт, над которым нужно работать каждому олимпиаднику, – психологическая устойчивость. На олимпиаде ребенок от волнения может показать результат хуже, чем его потенциал. Более ярко это проявляется в спорте, когда ребенок, приезжая на международные соревнования, проваливается. Нужно уметь воспринимать состязания не как конкурс, где тебе придется преодолевать невероятные сложности, а как  удовольствие от того, что ты встретишься с интересными задачами и попробуешь их решить. Самостоятельно психологическую устойчивость развивать сложно. Для этого важна среда. 

«Задумайтесь, почему в хороших математических школах так много детей, показывающих высокие результаты? Во-первых, конечно, в лучших школах собираются лучшие учителя. Во-вторых, в конкурентной борьбе с равными тебе сверстниками ты привыкаешь – нужно доказывать, что ты лучший. Несколько раз сначала ты можешь сорваться из-за волнения, а дальше уже будешь спокоен», – говорит Назар Агаханов.

Интересуйтесь всем: советы по эффективному олимпиадному тренингу

Если юный математик идет в олимпиадное движение только ради поступления в университет, лучше оставить эту затею. По словам эксперта, количество бюджетных мест по России определенно превосходит количество способных ребят, заканчивающих школы. Проблемы с тем, чтобы ребенок был талантлив в математике, а его не хотели брать на учебу в вуз, нет. Такие ребята с легкостью сдают экзамены. Повторимся, этот фактор абсолютно для математики не работает. 

Пожалуй, нужно искренне любить соревноваться, чтобы спокойнее переживать возможный стресс. А педагог поможет раскрыть способности и стать лучше. Заниматься с преподавателями можно и онлайн, и оффлайн. Но эксперт уверен, что онлайн-формы не заменят личного общения.

«Важен не объем пройденного материала, а то, как преподаватель послушал решение и рассуждения ребенка. Именно поэтому подготовка к международным олимпиадам во всех странах проходит примерно одинаково – учитель помогает разобрать ошибки, а не начитывает лекции. Школьник может увидеть решения тысяч задач и от этого не продвинуться, но, если он сам углубился в вопрос, попробовал решить, увидел трудные места, ему приоткроется новое знание. Дистанционные формы, к сожалению, в этом не столь эффективны, потому что важен живой диалог и прямая беседа. При этом место проживания – не крест для успехов. Хорошие преподаватели есть в регионах и это факт», – утверждает Назар Агаханов

Еще одна возможность прокачаться – различные турниры и летние школы, которые есть практически в каждом регионе. Можно подобрать для себя наиболее подходящие. Такие площадки собирают большое количество ребят из разных городов в одном месте, дают возможность и пообщаться, и вместе решать задачи, и познакомиться с  педагогами, которые входят в жюри.

Еще один важный пункт на пути к эффективным занятиям – вовремя отдыхать. Спорт, прогулки, активный отдых – хороший инструмент для качественной перезагрузки между занятиями. Но не единственный. 

«Большое количество открытий в математике происходит на стыке дисциплин, когда ты можешь переключиться, перенести свои способности на другое направление, в котором не являешься специалистом самого высокого уровня. Поэтому при стремлении добиться чего-то серьезного в математике, стоит интересоваться всеми предметами в школе и вообще разносторонне развиваться», – говорит Назар Агаханов

Отсюда возникает вопрос, если тратить время на другие интересы, то сколько тогда нужно заниматься именно математикой? Конкретного ответа здесь нет, все очень индивидуально. Формулу поможет выработать внутреннее ощущение – заниматься нужно ровно столько, чтобы чувствовать, что ты находишься в форме. А вот перед олимпиадными турами важно не перегружать мозг слишком интенсивными занятиями, чтобы не устать. 

  

Обрати внимание: самые распространенные ошибки начинающих олимпиадников

Многие начинающие олимпиадники делают ошибки из-за того, что не продумывают решение глубоко. Чаще всего это происходит из-за невнимательности и игнорирования части условий. Поэтому Назар Агаханов рекомендует, как банально бы это ни было, детально читать условия задач и использовать в решении все обозначенные параметры. 

В решении геометрических задач чаще всего встречаются логические ошибки, когда то, что надо доказать, каким-то образом встраивается в логику решения. Пример:  нужно доказать равенство углов. Школьник отталкивается от фразы «так как эти углы равны», решает задачу и попадает в логическую ловушку, делая некорректные выводы. 

Распространенная ошибка в алгебре и комбинаторике – длинное решение с перебором вместо короткого. Решение методом перебора – нормальный подход, но, если пропускается какой-то случай, решение может не засчитаться, потому что именно в этом случае и было верное решение.

ГДЗ по Алгебре 7 класс: Макарычев

Решебник по алгебре для 7 класс Макарычев  от Путина – это сборник готовых решений и ответов на задачи и примеры учебника, составленного коллективом авторитетных российских ученых: Ю.Н. Макарычевым, Н.Г. Миндюком, К.И. Нешковым, С.Б. Суворовым.

ГДЗ по алгебре 7 класс: Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

В 7 классе школьники приступают к углубленному изучению отдельной сферы математики – алгебры. Порой многие из них начинают испытывать трудности с решением задач и выполнением примеров. Родители в этой ситуации видят всего одно решение – нанимать ребенку репетитора.

Однако проблему можно решить и без приглашения специалистов извне: достаточно воспользоваться ГДЗ по алгебре для 7 класса Макарычев. В книге приведены не только готовые ответы, но и пошаговый алгоритм выполнения домашнего задания. Это позволит школьникам разобраться дома с непонятыми в классе примерами, а их родителям – взять под контроль успеваемость своего чада.

Для того чтобы оптимизировать расход времени и сил на выполнение алгебраических задач и примеров, стоит воспользоваться интерфейсом нашего сайта, который позволяет:

  • выбрать в таблице нужный номер и перейти на решеное задание;
  • получить доступ к базе ответов с любого электронного гаджета;
  • открыть для себя несколько вариантов решения одного и того же примера.

Поскольку база сборников ГДЗ обновляется регулярно, то школьники могут быть уверенными в правильности выполнения домашней работы, как с позиции правил языка, так и с точки зрения ее оформления.

Решебник по алгебре 7 класс Макарычев - учебник 2013-2017г.

В большинстве общеобразовательных школ России ныне используется учебник 2013 года, который составлен группой российских ученых во главе с Макарычевым Ю.Н.

Алгебра Макарычева – это 46 тем, распределенных между 6-ю крупными разделами. Книга знакомит школьников с базовыми алгебраическими понятиями:

  1. преобразование выражений и решение уравнений с одной переменной;
  2. основные типы функций и построение их графиков в декартовой системе координат;
  3. формулы сокращенного умножения: структура и применение;
  4. математические действия с одночленами и многочленами;
  5. системы линейных уравнений и два метода их решения.

Каждая тема пособия подкреплена примерами и задачами, как стандартного типа, так и повышенного уровня сложности.

Неполные квадратные уравнения. Примеры и решение

Неполное квадратное уравнение – это уравнение вида

ax2 + bx + c = 0,

в котором хотя бы один из коэффициентов  b  или  c  равен нулю. Следовательно, неполное квадратное уравнение может иметь вид:

ax2 + bx = 0,   если   c = 0;
ax2 + c = 0,   если   b = 0;
ax2 = 0,   если   b = 0   и   c = 0.

Решение неполных квадратных уравнений

Чтобы решить уравнение вида  ax2 + bx = 0,  надо разложить левую часть уравнения на множители, вынеся  x  за скобки:

x(ax + b) = 0.

Произведение может быть равно нулю только в том случае, если один из множителей равен нулю, значит:

x = 0   или   ax + b = 0.

Чтобы  ax + b  было равно нулю, нужно, чтобы

Следовательно, уравнение  ax2 + bx = 0  имеет два корня:

x1 = 0   и   x2 = -b .
a

Неполные квадратные уравнения вида  ax2 + bx = 0,  где  b ≠ 0,  решаются разложением левой части на множители. Такие уравнения всегда имеют два корня, один из которых равен нулю.

Пример 1. Решите уравнение:

a2 - 12a = 0.

Решение:

a2 - 12a = 0
a(a - 12) = 0
a1 = 0      a - 12 = 0
a2 = 12

Пример 2. Решите уравнение:

7x2 = x.

Решение:

7x2 = x
7x2 - x = 0
x(7x - 1) = 0
x1 = 0      7x - 1 = 0 
7x = 1 

Чтобы решить уравнение вида  ax2 + c = 0,  надо перенести свободный член уравнения  c  в правую часть:

ax2 = -c,   следовательно,   x2 = -c .
a

В этом случае уравнение не будет иметь корней, так как квадратный корень нельзя извлечь из отрицательного числа.

Если данное неполное уравнение будет иметь вид  x2 - c = 0,  то сначала опять переносим свободный член в правую часть и получаем:

x2 = c.

В этом случае уравнение будет иметь два противоположных корня:

x1 = +√c ,     x2 = -√c .

Неполное квадратное уравнение вида  ax2 + c = 0,  где  c ≠ 0,  либо не имеет корней, либо имеет два корня, которые являются противоположными числами.

Пример 1. Решите уравнение:

24 = 2y2.

Решение:

24 = 2y2
24 - 2y2 = 0
-2y2 = -24
y2 = 12
y1 = +√12      y2 = -√12

Пример 2. Решите уравнение:

b2 - 16 = 0.

Решение:

b2 - 16 = 0
b2 = 16
b1 = 4      b2 = -4

Уравнение вида  ax2 = 0  всегда имеет только один корень:  x = 0.  Так как  a ≠ 0,  то из  ax2 = 0  следует, что  x2 = 0,  значит, и  x = 0.  Любое другое значение  x  не будет являться корнем данного уравнения.

Алгебраические методы решения систем

Цели обучения

  • Используйте метод замены
    • Решите систему уравнений, используя метод подстановки.
    • Распознавать системы уравнений, не имеющие решения или бесконечное число решений
  • Используйте метод исключения без умножения
    • Решите систему уравнений, когда умножение не требуется для исключения переменной
  • Используйте метод исключения с умножением
    • Использование умножения в сочетании с методом исключения для решения системы линейных уравнений
    • Распознавать, когда решение системы линейных уравнений подразумевает, что существует бесконечное число решений

Решите систему уравнений методом подстановки

В последних парах разделов мы проверили, что упорядоченные пары являются решениями систем, и использовали графики, чтобы классифицировать, сколько решений имеет система двух линейных уравнений.Что, если нам не дана точка пересечения или она не очевидна из графика? Можем ли мы еще найти решение этой системы? Конечно, можно, используя алгебру!

В этом разделе мы изучим метод подстановки для нахождения решения системы линейных уравнений с двумя переменными. На протяжении всего курса мы использовали подстановку по-разному, например, когда использовали формулы для вычисления площади треугольника и простого процента. Мы подставили значения, которые мы знали, в формулу, чтобы найти значения, которых мы не знали.Идея аналогична применительно к системам решения, в этом процессе всего несколько этапов. Сначала вы решите одну переменную, а затем подставите это выражение в другое уравнение. Чтобы понять, что это означает, давайте начнем с примера.

Пример

Найдите значение x для этой системы.

Уравнение A: [латекс] 4x + 3y = −14 [/ латекс]

Уравнение B: [латекс] y = 2 [/ латекс]

Показать решение Задачу просит решить для x .Уравнение B дает вам значение y , [latex] y = 2 [/ latex], поэтому вы можете подставить 2 в уравнение A для y.

[латекс] \ begin {array} {r} 4x + 3y = −14 \\ y = 2 \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Подставьте [латекс] y = 2 [/ латекс] в уравнение A.

[латекс] 4x + 3 \ влево (2 \ вправо) = - 14 [/ латекс]

Упростите и решите уравнение для x.

[латекс] \ begin {array} {r} 4x + 6 = −14 \\ 4x = −20 \ x = −5 \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Ответ

[латекс] x = −5 [/ латекс]

Вы можете заменить значение переменной, даже если это выражение.Вот пример.

Пример

Решите для x и y .

Уравнение A: [латекс] y + x = 3 [/ латекс]

Уравнение B: [латекс] x = y + 5 [/ латекс]

Показать решение Цель метода подстановки - переписать одно из уравнений в терминах одной переменной. Уравнение B говорит нам, что [латекс] x = y + 5 [/ latex], поэтому имеет смысл заменить [latex] y + 5 [/ latex] в уравнение A для x .

[латекс] \ begin {array} {l} y + x = 3 \\ x = y + 5 \ end {array} [/ latex]

Подставьте [латекс] y + 5 [/ латекс] в уравнение A для x .

[латекс] \ begin {array} {r} y + x = 3 \\ y + \ left (y + 5 \ right) = 3 \ end {array} [/ latex]

Упростите и решите уравнение для y.

[латекс] \ begin {array} {r} 2y + 5 = \, \, \, \, 3 \\\ подчеркивание {−5 \, \, \, \, \, - 5} \\ 2y = - 2 \\ y = −1 \ end {array} [/ latex]

Теперь найдите x , подставив это значение для y в любое уравнение, и решите для x . Здесь мы будем использовать уравнение A.

[латекс] \ begin {array} {r} y + x = 3 \\ - 1 + x = 3 \\\ подчеркивание {+1 \, \, \, \, \, \, \, \, \, +1} \\ x = 4 \ end {array} [/ latex]

Наконец, проверьте решение [latex] x = 4 [/ latex], [latex] y = −1 [/ latex], подставив эти значения в каждое из исходных уравнений.

[латекс] \ begin {массив} {r} y + x = 3 \\ - 1 + 4 = 3 \\ 3 = 3 \\\ text {TRUE} \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {массив} {l} x = y + 5 \\ 4 = −1 + 5 \\ 4 = 4 \\\ text {TRUE} \ end {array} [/ latex]

Ответ

[латекс] x = 4 [/ латекс] и [латекс] y = -1 [/ латекс]

Решение - [латекс] (4, -1) [/ латекс].

Помните, решение системы уравнений должно быть решением каждого из уравнений внутри системы. Упорядоченная пара [latex] (4, −1) [/ latex] действительно работает для обоих уравнений, поэтому вы знаете, что это также решение системы.

Давайте посмотрим на другой пример, замена которого включает свойство распределения.

Пример

Решите для x и y .

[латекс] \ begin {array} {l} y = 3x + 6 \\ - 2x + 4y = 4 \ end {array} [/ latex]

Показать решение Выберите уравнение для замены.

Первое уравнение говорит вам, как выразить y через x , поэтому имеет смысл подставить 3 x + 6 во второе уравнение для y .

[латекс] \ begin {array} {l} y = 3x + 6 \\ - 2x + 4y = 4 \ end {array} [/ latex]

Подставьте [латекс] 3x + 6 [/ latex] вместо y во второе уравнение.

[латекс] \ begin {array} {r} −2x + 4y = 4 \\ - 2x + 4 \ left (3x + 6 \ right) = 4 \ end {array} [/ latex]

Упростите и решите уравнение для x.

[латекс] \ begin {array} {r} −2x + 12x + 24 = 4 \, \, \, \, \, \, \, \\ 10x + 24 = 4 \, \, \, \, \ , \, \, \\\ подчеркивание {−24 \, \, - 24 \, \, \, \,} \\ 10x = −20 \\ x = −2 \, \, \, \ end {array} [/ латекс]

Чтобы найти y , подставьте это значение вместо x обратно в одно из исходных уравнений.

[латекс] \ begin {array} {l} y = 3x + 6 \\ y = 3 \ left (−2 \ right) +6 \\ y = −6 + 6 \\ y = 0 \ end {array} [/ латекс]

Проверьте решение [латекс] x = −2 [/ latex], [latex] y = 0 [/ latex], подставив их в каждое из исходных уравнений.

[латекс] \ begin {array} {l} y = 3x + 6 \\ 0 = 3 \ left (−2 \ right) +6 \\ 0 = −6 + 6 \\ 0 = 0 \\\ text { ИСТИНА} \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {r} −2x + 4y = 4 \\ - 2 \ left (-2 \ right) +4 \ left (0 \ right) = 4 \\ 4 + 0 = 4 \\ 4 = 4 \\\ текст {ИСТИНА} \ end {array} [/ latex]

Ответ

[латекс] x = -2 [/ латекс] и [латекс] y = 0 [/ латекс]

Решение: (−2, 0).

В приведенных выше примерах одно из уравнений уже было дано нам в терминах переменной x или y . Это позволило нам быстро подставить это значение в другое уравнение и найти одно из неизвестных.

Иногда вам, возможно, придется сначала переписать одно из уравнений в терминах одной из переменных, прежде чем вы сможете произвести замену. В приведенном ниже примере вам сначала нужно изолировать одну из переменных, прежде чем вы сможете заменить ее в другое уравнение.

Пример

Решите для x и y .

[латекс] \ begin {array} {r} 2x + 3y = 22 \\ 3x + y = 19 \ end {array} [/ latex]

Показать решение Выберите уравнение для замены. Второе уравнение,

[латекс] 3x + y = 19 [/ latex], может быть легко переписан в терминах y , поэтому имеет смысл начать с этого.

[латекс] \ begin {массив} 2x + 3y = 22 \\ 3x + y = 19 \ end {array} [/ latex]

Перепишите [латекс] 3x + y = 19 [/ latex] в виде y .

[латекс] \ begin {array} 3x + y = 19 \\ y = 19–3x \ end {array} [/ latex]

Замените [латекс] 19–3x [/ латекс] на y в другом уравнении.

[латекс] \ begin {array} {r} 2x + 3y = 22 \\ 2x + 3 (19–3x) = 22 \ end {array} [/ latex]

Упростите и решите уравнение для x.

[латекс] \ begin {array} {r} 2x + 57–9x = 22 \, \, \, \, \\ - 7x + 57 = 22 \, \, \, \, \\ - 7x = −35 \\ x = 5 \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Подставьте [latex] x = 5 [/ latex] обратно в одно из исходных уравнений, чтобы найти y.

[латекс] \ begin {array} {r} 3x + y = 19 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\ 3 \ left (5 \ right ) + y = 19 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\ 15 + y = 19 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\ y = 19−15 \\ y = 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Проверьте оба решения, подставив их в каждое из исходных уравнений.

[латекс] \ begin {array} {r} 2x + 3y = 22 \\ 2 (5) +3 \ left (4 \ right) = 22 \\ 10 + 12 = 22 \\ 22 = 22 \\\ текст {ИСТИНА} \\\\ 3x + y = 19 \\ 3 \ left (5 \ right) + 4 = 19 \\ 19 = 19 \\\ text {TRUE} \ end {array} [/ latex]

Ответ

[латекс] x = 5 [/ латекс] и [латекс] y = 4 [/ латекс]

Решение (5, 4).

В следующем видео вам будет показан пример решения системы двух уравнений с использованием метода подстановки.

Если бы вы выбрали другое уравнение для начала в предыдущем примере, вы все равно смогли бы найти то же решение. Это действительно вопрос предпочтений, потому что иногда решение для переменной приводит к необходимости работать с дробями. По мере того, как вы приобретете больший опыт в алгебре, вы сможете предвидеть, какой выбор приведет к более желаемым результатам.

Распознавать системы уравнений, не имеющие решения или бесконечное число решений

Когда мы изучили методы решения линейных уравнений с одной переменной, мы обнаружили, что некоторые уравнения не имеют решений, а другие имеют бесконечное количество решений. Мы снова увидели это поведение, когда начали описывать решения систем уравнений с двумя переменными.

Вспомните этот пример из модуля 1 для решения линейных уравнений с одной переменной:

Решите для x .[латекс] 12 + 2x – 8 = 7x + 5–5x [/ латекс]

[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {l} 12 + 2x-8 = 7x + 5-5x \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \, 2x + 4 = 2x + 5 \ end {array} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {l} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 2x + 4 = 2x + 5 \\\, \, \ , \, \, \, \, \, \ underline {-2x \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, - 2x \, \, \, \, \, \, \, \,} \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \, 4 = \, 5 \ end {array} [/ latex]

Это ложное утверждение означает, что не существует решений этого уравнения. Таким же образом вы можете увидеть такой результат, когда используете метод подстановки, чтобы найти решение системы линейных уравнений с двумя переменными.В следующем примере вы увидите пример системы двух уравнений, не имеющей решения.

Пример

Решите для x и y .

[латекс] \ begin {array} {l} y = 5x + 4 \\ 10x − 2y = 4 \ end {array} [/ latex]

Показать решение Поскольку первое уравнение [латекс] y = 5x + 4 [/ latex], вы можете заменить [latex] 5x + 4 [/ latex] на y во втором уравнении.

[латекс] \ begin {array} {r} y = 5x + 4 \\ 10x − 2y = 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\ 10x – 2 \ left (5x + 4 \ right) = 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Разверните выражение слева.

[латекс] 10x – 10x – 8 = 4 [/ латекс]

Объедините похожие члены в левой части уравнения.

[латекс] 10x – 10x = 0 [/ latex], поэтому у вас остается [latex] −8 = 4 [/ latex].

[латекс] \ begin {array} {r} 0–8 = 4 \\ - 8 = 4 \ end {array} [/ latex]

Ответ

Утверждение [latex] −8 = 4 [/ latex] неверно, поэтому решения нет.

Вы получаете ложное утверждение [латекс] −8 = 4 [/ латекс]. Что это значит? График этой системы проливает свет на то, что происходит.

Линии параллельны, они никогда не пересекаются, и у этой системы линейных уравнений нет решения. Обратите внимание, что результат [latex] −8 = 4 [/ latex] - это , а не как решение. Это просто ложное утверждение, и оно указывает на то, что не существует решения .

Мы также видели линейные уравнения с одной переменной и системы уравнений с двумя переменными, которые имеют бесконечное количество решений. В следующем примере вы увидите, что происходит, когда вы применяете метод подстановки к системе с бесконечным числом решений.

Пример

Решите относительно x и y.

[латекс] \ begin {массив} {l} \, \, \, y = −0,5x \\ 9y = −4,5x \ end {array} [/ latex]

Показать решение

Подставляя -0,5 x вместо y во втором уравнении, вы получаете следующее:

[латекс] \ begin {array} {r} 9y = −4.5x \\ 9 (−0.5x) = - 4.5 \, \, \, \\ - 4.5x = −4.5x \ end {array} [/ латекс]

На этот раз вы получите верное утверждение: [латекс] −4,5x = −4,5x [/ латекс]. Но что означает такой ответ? Опять же, построение графиков может помочь вам разобраться в этой системе.

Эта система состоит из двух уравнений, которые представляют одну и ту же линию; две линии коллинеарны. Каждая точка на линии будет решением системы, и поэтому метод подстановки дает верное утверждение. В этом случае существует бесконечное количество решений.

В следующем видео вы увидите пример решения системы, имеющей бесконечное количество решений.

В следующем видео вы увидите пример решения системы уравнений, не имеющей решений.

Решите систему уравнений методом исключения

Метод исключения для решения систем линейных уравнений использует добавочное свойство равенства. Вы можете добавить одно и то же значение к каждой стороне уравнения, чтобы исключить один из переменных членов. В этом методе вам может потребоваться, а может и не потребоваться сначала умножить члены в одном уравнении на число. Сначала мы рассмотрим примеры, в которых умножение не требуется для использования метода исключения.В следующем разделе вы увидите примеры использования умножения после того, как познакомитесь с идеей метода исключения.

С помощью этого метода легче показать, чем рассказать, поэтому давайте сразу же рассмотрим несколько примеров.

Если сложить два уравнения,

[латекс] x – y = −6 [/ latex] и [latex] x + y = 8 [/ latex] вместе, посмотрите, что произойдет.

[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {l} \, \, \, \, \, xy = \, - 6 \\\ подчеркивание {+ \, x + y = \, \, \, 8} \\\, 2x + 0 \, = \, \, \, \, 2 \ end {array} [/ latex]

Вы исключили член y , и это уравнение можно решить, используя методы решения уравнений с одной переменной.

Давайте посмотрим, как эта система решается методом исключения.

Пример

Используйте устранение, чтобы решить систему.

[латекс] \ begin {array} {r} x – y = −6 \\ x + y = \, \, \, \, 8 \ end {array} [/ latex]

Показать решение Добавьте уравнения.

[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} xy = \, \, - 6 \\ + \ underline {\, \, x + y = \, \, \, \, \, 8} \\ \, \, \, \, \, \, 2x \, \, \, \, \, = \, \, \, \, \, \, 2 \ end {array} [/ latex]

Решите для x .

[латекс] \ begin {array} {r} 2x = 2 \\ x = 1 \ end {array} [/ latex]

Подставьте [latex] x = 1 [/ latex] в одно из исходных уравнений и решите относительно y .

[латекс] \ begin {array} {l} x + y = 8 \\ 1 + y = 8 \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, y = 8– 1 \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, y = 7 \ end {array} [/ latex]

Обязательно проверьте свой ответ в обоих уравнениях!

[латекс] \ begin {array} {r} x – y = −6 \\ 1–7 = −6 \\ - 6 = −6 \\\ text {TRUE} \\\\ x + y = 8 \ \ 1 + 7 = 8 \\ 8 = 8 \\\ текст {ИСТИНА} \ end {array} [/ latex]

Ответы проверяют.

Ответ

Решение (1, 7).

К сожалению, не все системы справляются с этим легко. Как насчет такой системы, как [латекс] 2x + y = 12 [/ latex] и [latex] −3x + y = 2 [/ latex].Если вы сложите эти два уравнения вместе, никакие переменные не будут исключены.

[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {l} \, \, \, \, 2x + y = 12 \\\ подчеркивание {-3x + y = \, \, \, 2} \\ - x + 2y = 14 \ end {array} [/ latex]

Но вы хотите исключить переменную. Итак, давайте добавим противоположность одного из уравнений к другому уравнению. Это означает умножение каждого члена в одном из уравнений на -1, чтобы знак каждого члена был противоположным.

[латекс] \ begin {array} {l} \, \, \, \, 2x + \, \, y \, = 12 \ rightarrow2x + y = 12 \ rightarrow2x + y = 12 \\ - 3x + \, \, y \, = 2 \ rightarrow− \ left (−3x + y \ right) = - (2) \ rightarrow3x – y = −2 \\\, \, \, \, 5x + 0y = 10 \ end {array} [/ латекс]

Вы удалили переменную y , и теперь проблема может быть решена.

В следующем видео описывается аналогичная проблема, при которой можно устранить одну переменную, сложив два уравнения вместе.

Осторожность! Когда вы добавляете противоположность одного целого уравнения к другому, не забудьте изменить знак КАЖДОГО члена с обеих сторон уравнения. Это очень распространенная ошибка.

Пример

Используйте устранение, чтобы решить систему.

[латекс] \ begin {array} {r} 2x + y = 12 \\ - 3x + y = 2 \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Показать решение Вы можете исключить переменную y , добавив противоположность одного из уравнений к другому уравнению.

[латекс] \ begin {array} {r} 2x + y = 12 \\ - 3x + y = 2 \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Перепишите второе уравнение как противоположное.

Доп. Решите для x .

[латекс] \ begin {array} {r} 2x + y = 12 \, \\ 3x – y = −2 \\ 5x = 10 \, \\ x = 2 \, \, \, \, \ end { array} [/ latex]

Подставьте [latex] y = 2 [/ latex] в одно из исходных уравнений и решите относительно y .

[латекс] \ begin {array} {r} 2 \ left (2 \ right) + y = 12 \\ 4 + y = 12 \\ y = 8 \, \, \, \ end {array} [/ latex ]

Обязательно проверьте свой ответ в обоих уравнениях!

[латекс] \ begin {array} {r} 2x + y = 12 \\ 2 \ left (2 \ right) + 8 = 12 \\ 4 + 8 = 12 \\ 12 = 12 \\\ text {TRUE} \\\\ - 3x + y = 2 \\ - 3 \ left (2 \ right) + 8 = 2 \\ - 6 + 8 = 2 \\ 2 = 2 \\\ текст {ИСТИНА} \ end {array} [/ латекс]

Ответы проверяют.

Ответ

Решение (2, 8).

Ниже приведены еще два примера, показывающих, как решать линейные системы уравнений с использованием исключения.

Пример

Используйте устранение, чтобы решить систему.

[латекс] \ begin {массив} {r} −2x + 3y = −1 \\ 2x + 5y = \, 25 \ end {array} [/ latex]

Показать решение Обратите внимание на коэффициенты каждой переменной в каждом уравнении. Если вы сложите эти два уравнения, член x будет удален, поскольку [latex] −2x + 2x = 0 [/ latex].

[латекс] \ begin {массив} {r} −2x + 3y = −1 \\ 2x + 5y = \, 25 \ end {array} [/ latex]

Сложите и решите для и .

[латекс] \ begin {array} {r} −2x + 3y = −1 \\ 2x + 5y = 25 \, \\ 8y = 24 \, \\ y = 3 \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Подставьте [латекс] y = 3 [/ latex] в одно из исходных уравнений.

[латекс] \ begin {array} {r} 2x + 5y = 25 \\ 2x + 5 \ left (3 \ right) = 25 \\ 2x + 15 = 25 \\ 2x = 10 \\ x = 5 \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Проверить решения.

[латекс] \ begin {array} {r} −2x + 3y = −1 \\ - 2 \ left (5 \ right) +3 \ left (3 \ right) = - 1 \\ - 10 + 9 = - 1 \\ - 1 = −1 \\\ текст {ИСТИНА} \\\\ 2x + 5y = 25 \\ 2 \ left (5 \ right) +5 \ left (3 \ right) = 25 \\ 10 + 15 = 25 \\ 25 = 25 \\\ текст {ИСТИНА} \ end {array} [/ latex]

Ответы проверяют.

Ответ

Решение: (5, 3).

Пример

Используйте исключения, чтобы найти x и y.

[латекс] \ begin {array} {r} 4x + 2y = 14 \\ 5x + 2y = 16 \ end {array} [/ latex]

Показать решение Обратите внимание на коэффициенты каждой переменной в каждом уравнении. Вам нужно будет добавить противоположное одному из уравнений, чтобы исключить переменную y , так как [latex] 2y + 2y = 4y [/ latex], но [latex] 2y + \ left (−2y \ right) = 0 [ /латекс].

[латекс] \ begin {array} {r} 4x + 2y = 14 \\ 5x + 2y = 16 \ end {array} [/ latex]

Замените одно из уравнений на противоположное, сложите и решите для x .

[латекс] \ begin {array} {r} 4x + 2y = 14 \, \, \, \, \\ - 5x – 2y = −16 \\ - x = −2 \, \, \, \\ x = 2 \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Подставьте [latex] x = 2 [/ latex] в одно из исходных уравнений и решите относительно y .

[латекс] \ begin {array} {r} 4x + 2y = 14 \\ 4 \ left (2 \ right) + 2y = 14 \\ 8 + 2y = 14 \\ 2y = 6 \, \, \, \ \ y = 3 \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Ответ

Решение: (2, 3).

Проверьте последний пример - подставьте (2, 3) в оба уравнения. Получается два верных утверждения: 14 = 14 и 16 = 16!

Обратите внимание, что вы могли бы использовать противоположное первому уравнению, а не второе уравнение, и получить тот же результат.

Распознавать системы, у которых нет решения или бесконечное количество решений

Как и в случае с методом подстановки, метод исключения иногда удаляет как v ariables, и вы получаете либо истинное, либо ложное утверждение. Напомним, ложное утверждение означает, что решения нет.

Давайте посмотрим на пример.

Пример

Решите для x и y.

[латекс] \ begin {массив} {r} -x – y = -4 \\ x + y = 2 \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Показать решение Добавьте уравнения, чтобы исключить член x .

[латекс] \ begin {array} {r} -x – y = -4 \\\ underline {x + y = 2 \, \, \,} \\ 0 = −2 \ end {array} [/ latex ]

Ответ

Нет решения.

Построение этих линий показывает, что они являются параллельными линиями и, как таковые, не имеют общих точек, подтверждая отсутствие решения.

Если обе переменные исключены, и вы остаетесь с истинным утверждением, это означает, что существует бесконечное количество упорядоченных пар, которые удовлетворяют обоим уравнениям. По сути, уравнения - это одна и та же линия.

Пример

Решите для x и y .

[латекс] \ begin {array} {r} x + y = 2 \, \, \, \, \\ - x − y = -2 \ end {array} [/ latex]

Показать решение Добавьте уравнения, чтобы исключить член x .

[латекс] \ begin {array} {r} x + y = 2 \, \, \, \, \\\ underline {-x − y = -2} \\ 0 = 0 \, \, \, \ , \, \ end {array} [/ latex]

Ответ

Существует бесконечное количество решений.

Построение графика этих двух уравнений поможет проиллюстрировать, что происходит.

На следующем видео система уравнений, не имеющая решений, решается методом исключения.

Решите систему уравнений, когда необходимо умножение, чтобы исключить переменную

Многократное добавление уравнений или добавление противоположности одного из уравнений не приведет к удалению переменной. Посмотрите на систему ниже.

[латекс] \ begin {array} {r} 3x + 4y = 52 \\ 5x + y = 30 \ end {array} [/ latex]

Если вы сложите приведенные выше уравнения или сложите противоположное одному из уравнений, вы получите уравнение, в котором по-прежнему есть две переменные.Итак, давайте теперь сначала воспользуемся свойством умножения равенства. Вы можете умножить обе части одного уравнения на число, которое позволит вам исключить ту же переменную из другого уравнения.

Мы делаем это с умножением. Обратите внимание, что первое уравнение содержит член 4 y , а второе уравнение содержит член y . Если вы умножите второе уравнение на −4, когда вы сложите оба уравнения, переменные y в сумме дадут 0.

В следующем примере показаны все шаги по поиску решения этой системы.

Пример

Решите для x и y .

Уравнение A: [латекс] 3x + 4y = 52 [/ латекс]

Уравнение B: [латекс] 5x + y = 30 [/ латекс]

Показать решение Ищите термины, которые можно исключить. В уравнениях нет членов размером x или y с одинаковыми коэффициентами.

[латекс] \ begin {array} {r} 3x + 4y = 52 \\ 5x + y = 30 \ end {array} [/ latex]

Умножьте второе уравнение на [латекс] −4 [/ латекс], чтобы получить одинаковый коэффициент.

[латекс] \ begin {array} {l} \, \, \, \, \, \, \, \, \, 3x + 4y = 52 \\ - 4 \ left (5x + y \ right) = - 4 \ влево (30 \ вправо) \ end {array} [/ latex]

Перепишите систему и добавьте уравнения.

[латекс] \ begin {array} {r} 3x + 4y = 52 \, \, \, \, \, \, \, \\ - 20x – 4y = −120 \ end {array} [/ latex]

Решите для x .

[латекс] \ begin {array} {l} −17x = -68 \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, x = 4 \ end {array} [/ latex ]

Подставьте [latex] x = 4 [/ latex] в одно из исходных уравнений, чтобы найти y .

[латекс] \ begin {array} {r} 3x + 4y = 52 \\ 3 \ left (4 \ right) + 4y = 52 \\ 12 + 4y = 52 \\ 4y = 40 \\ y = 10 \ end {array} [/ latex]

Проверьте свой ответ.

[латекс] \ begin {array} {r} 3x + 4y = 52 \\ 3 \ left (4 \ right) +4 \ left (10 \ right) = 52 \\ 12 + 40 = 52 \\ 52 = 52 \\\ текст {ИСТИНА} \\\\ 5x + y = 30 \\ 5 \ влево (4 \ вправо) + 10 = 30 \\ 20 + 10 = 30 \\ 30 = 30 \\\ текст {ИСТИНА} \ конец {array} [/ latex]

Ответы проверяют.

Ответ

Решение (4, 10).

Осторожность! Когда вы используете умножение для исключения переменной, вы должны умножить КАЖДЫЙ член в уравнении на выбранное вами число.Забыть умножить каждый член - распространенная ошибка.

Есть другие способы решить эту систему. Вместо умножения одного уравнения, чтобы исключить переменную при добавлении уравнений, вы могли бы умножить обоих уравнений на разные числа.

На этот раз удалим переменную x . Умножьте уравнение A на 5 и уравнение B на [латекс] -3 [/ латекс].

Пример

Решите для x и y .

[латекс] \ begin {array} {r} 3x + 4y = 52 \\ 5x + y = 30 \ end {array} [/ latex]

Показать решение Ищите термины, которые можно исключить.В уравнениях нет членов размером x или y с одним и тем же коэффициентом.

[латекс] \ begin {array} {r} 3x + 4y = 52 \\ 5x + y = 30 \ end {array} [/ latex]

Чтобы использовать метод исключения, вы должны создать переменные с одинаковым коэффициентом - тогда вы можете их исключить. Умножьте верхнее уравнение на 5.

[латекс] \ begin {array} {r} 5 \ left (3x + 4y \ right) = 5 \ left (52 \ right) \\ 5x + y = 30 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\ 15x + 20y = 260 \, \, \, \, \, \, \\ 5x + y = 30 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Теперь умножьте нижнее уравнение на −3.

[латекс] \ begin {array} {r} 15x + 20y = 260 \, \, \, \, \, \, \, \, \\ - 3 (5x + y) = - 3 (30) \\ 15x + 20y = 260 \, \, \, \, \, \, \, \, \\ - 15x – 3y = −90 \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} [ / латекс]

Затем сложите уравнения и решите относительно y .

[латекс] \ begin {array} {r} 15x + 20y = 260 \\ - 15x – 3y = \, - 90 \\ 17y = 170 \\ y = \, \, \, 10 \ end {array} [ / латекс]

Подставьте [latex] y = 10 [/ latex] в одно из исходных уравнений, чтобы найти x .

[латекс] \ begin {array} {r} 3x + 4y = 52 \\ 3x + 4 \ left (10 \ right) = 52 \\ 3x + 40 = 52 \\ 3x = 12 \\ x = 4 \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Вы пришли к тому же решению, что и раньше.

Ответ

Решение (4, 10).

Эти уравнения были умножены на 5 и [латекс] −3 [/ латекс] соответственно, потому что это дало вам члены, которые в сумме дают 0. Не забудьте умножить все члены уравнения.

В следующем видео вы увидите пример использования метода исключения для решения системы уравнений.

Можно использовать метод исключения с умножением и получить результат, который не указывает никаких решений или бесконечно много решений, точно так же, как с другими методами, которые мы изучили для поиска решений систем.В следующем примере вы увидите систему, которая имеет бесконечно много решений.

Пример

Решите для x и y .

Уравнение A: [латекс] x-3y = -2 [/ латекс]

Уравнение B: [латекс] -2x + 6y = 4 [/ латекс]

Показать решение Ищите термины, которые можно исключить. В уравнениях нет членов размером x или y с одинаковыми коэффициентами.

[латекс] \ begin {array} {r} x-3y = -2 \\ - 2x + 6y = 4 \ end {array} [/ latex]

Умножьте первое уравнение на [latex] 2 [/ latex] так, чтобы члены x исключались.

[латекс] \ begin {array} {l} \, \, \, \, \, \, \, \, \, 2 \ left (x-3y \ right) = 2 \ left (-2 \ right) \\ - 2x + 6y = 4 \ end {array} [/ latex]

Перепишите систему и добавьте уравнения.

[латекс] \ begin {array} {r} 2x-6y = -4 \\ - 2x + 6y = 4 \\ 0x + 0y = 0 \\\, \, \, \, \, \, \, \ , 0 = 0 \ end {array} [/ latex]

Вам знакомо такое решение? Это представляет собой решение всех действительных чисел для линейных уравнений, и это представляет то же самое, когда вы получаете такой результат с системами. Если мы решим оба этих уравнения относительно y, вы увидите, что это одно и то же уравнение.

Решите уравнение A относительно y:

[латекс] \ begin {array} {r} x-3y = -2 \\ - 3y = -x-2 \\ y = \ frac {1} {3} x + \ frac {2} {3} \ end {array} [/ latex]

Решите уравнение B относительно y:

[латекс] \ begin {array} -2x + 6y = 4 \\ 6y = 2x + 4 \\ y = \ frac {2} {6} x + \ frac {4} {6} \ end {array} [/ латекс]

Уменьшите дроби, разделив числитель и знаменатель обеих дробей на 2:

[латекс] y = \ frac {1} {3} + \ frac {2} {3} [/ latex]

Оба уравнения одинаковы, если записаны в форме пересечения наклона, и поэтому набором решений для системы являются все действительные числа.

Ответ

Решение: x и y могут быть действительными числами.

В следующем видео метод исключения используется для решения системы уравнений. Обратите внимание, что сначала нужно умножить одно из уравнений на отрицательное. Вдобавок у этой системы есть бесконечное количество решений.

Сводка

Метод подстановки - это один из способов решения систем уравнений. Чтобы использовать метод подстановки, используйте одно уравнение, чтобы найти выражение для одной из переменных в терминах другой переменной.Затем замените это выражение этой переменной во втором уравнении. Затем вы можете решить это уравнение, поскольку теперь оно будет иметь только одну переменную. Решение с использованием метода подстановки даст один из трех результатов: одно значение для каждой переменной в системе (с указанием одного решения), неверное утверждение (с указанием отсутствия решений) или истинное утверждение (с указанием бесконечного числа решений).

Объединение уравнений - мощный инструмент для решения системы уравнений.Сложение или вычитание двух уравнений для исключения общей переменной называется методом исключения (или добавления). Как только одна переменная исключена, становится намного проще найти другую.

Умножение можно использовать для настройки соответствующих членов в уравнениях перед их объединением, чтобы помочь в поиске решения системы. При использовании метода умножения важно умножить все члены с обеих сторон уравнения, а не только один член, который вы пытаетесь исключить.

Решение уравнений - алгебра II

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее то информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса - изображению, ссылке, тексту и т. д. - относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Задач со словами - Полный курс алгебры

10

Примеры

Проблемы

ЗАДАЧИ СО СЛОВАМИ требует практики в переводе словесного языка на алгебраический язык.См. Урок 1, Задача 8. Тем не менее, проблемы со словами делятся на разные типы. Ниже приведены некоторые примеры.

Пример 1. ax ± b = c . Все проблемы, подобные следующей, в конечном итоге приводят к уравнению в такой простой форме.

Джейн потратила 42 доллара на обувь. Это было на 14 долларов меньше, чем вдвое, чем она потратила на блузку. Сколько была кофточка?

Решение. У каждой проблемы со словом неизвестный номер.В этой проблеме цена кофточки. Всегда позволяйте x представлять неизвестное число. То есть пусть на вопрос ответит x .

Тогда пусть x будет тем, сколько она потратила на блузку. В задаче говорится, что «Это», то есть 42 доллара, было на 14 долларов меньше, чем двукратное значение x .

Вот уравнение:

2 x -14 = 42.
2 x = 42 + 14 (Урок 9)
= 56.
x = 56
2
= 28.

Блузка стоила 28 долларов.

Пример 2. Всего в классе б мальчиков. Это в три раза больше, чем в четыре раза девушек. Сколько девочек в классе?

Решение. Опять же, пусть x представляет неизвестное число, которое вас просят найти: Пусть x будет количеством девушек.

(Хотя b неизвестно - это произвольная константа - это не то, что вас просят найти.)

В задаче указано, что «Это» - b - на три больше, чем в четыре раза x :

4 x + 3 = б .
Следовательно,
4 x = б - 3
x = б -3
4
.

Решение здесь не число, потому что оно будет зависеть от значения b . Это тип «буквального» уравнения, очень распространенного в алгебре.

Пример 3. Целое равно сумме частей.

Сумма двух чисел равна 84, и одно из них на 12 больше, чем другое. Какие два числа?

Решение. В этой задаче нам предлагается найти два числа.Следовательно, мы должны позволить x быть одним из них. Тогда пусть x будет первым числом.

Нам говорят, что другое число - еще 12, x + 12.

В задаче указано, что их сумма равна 84:

= 84

Линия размером x + 12 является символом группировки, называемым vinculum . Это избавляет нас от написания скобок.

У нас:

2 x = 84–12
= 72.
x = 72
2
= 36.

Это первое число. Следовательно, другой номер -

.

x + 12 = 36 + 12 = 48.

Сумма 36 + 48 равна 84.

Пример 4.Сумма двух последовательных чисел составляет 37. Какие они?

Решение . Два последовательных числа равны 8 и 9 или 51 и 52.

Пусть тогда x будет первым числом. Тогда число после него будет x + 1.

В задаче указано, что их сумма равна 37:

= 37

2 x = 37 - 1
= 36.
x = 36
2
= 18.

Два числа - 18 и 19.

Пример 5. Одно число на 10 больше другого. Сумма, состоящая из удвоенного меньшего и трехкратного большего, равна 55.Какие два числа?

Решение. Пусть x будет меньшим числом.

Тогда большее число на 10 больше: x + 10.

Состояние проблемы:

.
2 x + 3 ( x + 10) = 55.
Это означает
2 x + 3 x + 30 = 55.Урок 14.
5 x = 55 - 30 = 25.
x = 5.

Это меньшее число. Чем больше число, тем больше на 10: 15.

Пример 6. Разделите 80 долларов между тремя людьми так, чтобы у второго было вдвое больше, чем у первого, а у третьего было на 5 долларов меньше, чем у второго.

Решение . Опять же, нас просят найти более одного числа. Мы должны начать с того, что допустим, что x будет тем, сколько получает первый человек.

Затем второй получает вдвое больше, 2 x .

А третий получает на 5 долларов меньше, 2 x - 5.

Их сумма 80 $:

5 x = 80 + 5
x = 85
5
= 17.

Вот сколько получает первый человек. Следовательно, второй получает

2 x = 34.
А третий получает
2 x -5 = 29.

Сумма 17, 34 и 29 на самом деле равна 80.

Пример 7.Нечетные числа. Сумма двух подряд идущих нечетных чисел равна 52. Какие два нечетных числа?

Решение . Во-первых, четное число кратно 2: 2, 4, 6, 8 и так далее. В алгебре принято представлять четное число как 2 n , где при вызове переменной « n » подразумевается, что n будет принимать целые числовые значения: n = 0, 1, 2 , 3, 4 и т. Д.

Нечетное число на 1 больше (или на 1 меньше) четного.Итак, представим нечетное число как 2 n + 1.

Пусть 2 n + 1 будет первым нечетным числом. Далее будет еще 2 - это будет 2 n + 3. Задача утверждает, что их сумма 52:

2 n + 1 + 2 n + 3 = 52.

Теперь мы решим это уравнение для n , а затем заменим решение в 2 n + 1, чтобы найти первое нечетное число.У нас:

4 n + 4 = 52
4 n = 48
n = 12.

Следовательно, первое нечетное число 2 · 12 + 1 = 25.Итак, следующее 27. Их сумма 52.

Проблемы

Задача 1. У Джули 50 долларов, что на восемь долларов больше, чем у Джона. Сколько у Джона? (Сравните Пример 1.)

Во-первых, что вы позволите представить в формате x ?

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!

Неизвестный номер - сколько у Джона.

Что такое уравнение?

2 x + 8 = 50.

Вот решение:

x = 21

доллар США

Проблема 2. Карлотта потратила на рынке 35 долларов. Это было на семь долларов меньше, чем в три раза больше, чем она потратила в книжном магазине; сколько она там потратила?

Вот уравнение.

3 x - 7 = 35

Вот решение:

x = 14

долларов США

Проблема 3.Есть b черных мраморов. Это на четыре больше, чем в два раза больше красных шариков. Сколько там красных шариков? (Сравните Пример 2.)

Вот уравнение.

2 x + 4 = b

Вот решение:

Проблема 4. Джанет потратила 100 долларов на книги. Это было на долларов меньше, чем в пять раз больше, чем она потратила на обед.Сколько она потратила на обед?

Вот уравнение.

5 x - к = 100

Вот решение:

Задача 5. Целое равно сумме частей.

Сумма двух чисел равна 99, и одно из них на 17 больше, чем другое. Какие два числа? (Сравните Пример 3.)

Вот уравнение.

Вот решение:

Задача 6. Класс из 50 учеников делится на две группы; в одной группе на восемь меньше, чем в другой; сколько в каждой группе?

Вот уравнение.

Вот решение:

Проблема 7.Сумма двух чисел равна 72, и одно из них в пять раз больше другого; какие два числа?

Вот уравнение.

x + 5 x = 72.

Вот решение:

x = 12. 5 x = 60.

Задача 8. Сумма трех последовательных чисел 87; кто они такие? (Сравните Пример 4.)

Вот уравнение.

Вот решение:

28, 29, 30.

Задача 9. Группа из 266 человек состоит из мужчин, женщин и детей. Мужчин в четыре раза больше, чем детей, а женщин в два раза больше, чем детей. Сколько их там?

(Чему вы положите равным x - количеству мужчин, женщин или детей?)

Пусть x = Количество детей.Тогда
4 x = Количество мужчин. И
2 x = Количество женщин.
Вот уравнение:

x + 4 x + 2 x = 266

Вот решение:

х = 38.4 x = 152. 2 x = 76.

Задача 10. Разделите 79 долларов между тремя людьми так, чтобы у второго было в три раза больше, чем у первого, а у третьего было на два доллара больше, чем у второго. (Сравните Пример 6.)

Вот уравнение.

Вот решение:

11, 33, 35 долларов.

Задача 11. Разделите 15,20 доллара между тремя людьми так, чтобы у второго было на доллар больше, чем у первого, а у третьего - на 2,70 доллара больше, чем у второго.

Вот уравнение.

Вот решение:

3,50 доллара США, 4,50 доллара США, 7,20 доллара США.

Задача 12. Два последовательных нечетных числа таковы, что три раза первое будет на 5 больше, чем в два раза больше второго.Что это за два нечетных числа?

(см. Пример 7, где мы представляем нечетное число как 2 n + 1.)

Решение . Пусть первое нечетное число будет 2 n + 1.

Тогда следующий 2 n + 3 - потому что будет еще 2.

Задача состоит в следующем:

3 (2 n + 1) = 2 (2 n + 3) + 5.
Это означает:
6 n + 3 = 4 n + 6 + 5.
2 нет = 8.
нет = 4.

Следовательно, первое нечетное число 2 · 4 + 1 = 9. Следующее - 11.

И это верное решение, потому что в соответствии с проблемой:

3 · 9 = 2 · 11 + 5.

Следующий урок: Неравенство

Содержание | Дом


Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.


Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]


Введение в алгебру | SkillsYouNeed

Многие люди думают, что уравнения и алгебра им недоступны - мысль о необходимости работать с уравнениями наполняет их страхом. Однако не стоит бояться уравнений.

Хорошая новость заключается в том, что уравнения на самом деле являются относительно простыми концепциями, и с небольшой практикой и применением некоторых простых правил вы можете научиться управлять ими и решать их.

Эта страница предназначена для ознакомления вас с основами алгебры и, надеюсь, с тем, чтобы вы чувствовали себя более комфортно при решении простых уравнений.

Что такое уравнение?


Уравнение - это два выражения по обе стороны от символа, указывающего на их взаимосвязь.

Это отношение может быть равно (=), меньше (<) или больше (>), или может иметь некоторую комбинацию. Например, меньше или равно (≤) или даже не равно (≠) или приблизительно равно (≈). Это известно как , равенство символов.

Таким образом, простые уравнения включают 2 + 2 = 4 и 5 + 3> 3 + 4.

Однако, когда большинство людей говорят об уравнениях, они имеют в виду алгебраические уравнения.

Это уравнения, в которых используются как буквы, так и числа.Буквы используются для замены некоторых чисел, если числовое выражение было бы слишком сложным или если вы хотите обобщить, а не использовать конкретные числа. Их также можно использовать, когда вы знаете значения в части уравнения, но другие значения неизвестны, и вам нужно их вычислить.

Алгебраические уравнения решаются путем определения чисел, которые обозначают буквы.

Мы можем превратить два простых уравнения выше в алгебраические, подставив \ (x \) вместо одного из чисел:

2 + 2 = \ (\ boldsymbol {x} \)

Мы знаем, что 2 + 2 = 4, что означает, что \ (x \) должно быть равно 4.Таким образом, решение уравнения: \ (\ boldsymbol {x} \) = 4 .

5 + 3> 3 + \ (\ boldsymbol {x} \)

Мы знаем, что 5 + 3 = 8. Уравнение говорит нам, что 8 больше, чем (>) 3 + \ (x \).

Нам нужно переставить уравнение так, чтобы \ (x \) было с одной стороны, а все числа - с другой, иначе мы не сможем найти значение \ (x \). Правило перестановки уравнений: то, что вы делаете с одной стороной, вы также должны делать с другой .Подробнее об этом ниже.

Уберите по 3 с обеих сторон (8 - 3 = 5), тогда уравнение станет

5> \ (\ boldsymbol {x} \)

Мы видим, что \ (x \) должно быть меньше 5 ( \ (x \) <5 ).

Мы не можем сказать более точно, что такое \ (x \) с информацией, которую нам дают. Однако в исходном уравнении, которое мы использовали в качестве нашего примера, мы заменили 4 на \ (x \), что действительно меньше 5.

Нет никакого волшебства в использовании фигурного символа «x» (\ ({x} \)).Вы можете использовать любую понравившуюся букву, хотя \ ({x} \) и \ ({y} \) обычно используются для обозначения неизвестных элементов уравнений.

Переменные и константы


Буква, используемая для замены числа в алгебре, называется переменной , потому что она означает разные числа каждый раз, когда вы ее используете.

Это отличается от конкретной буквы, которая всегда используется для замены одного и того же числа, например \ (\ pi \) (pi), которое всегда равно 3.142. Такая буква называется константой .

В алгебраическом уравнении любые заданные числа также являются константами, потому что они всегда остаются неизменными.

Если вам нужно решить уравнение, содержащее константу, вам всегда сообщат ее значение.


Члены уравнения

Член - это часть уравнения, которая отделена от других частей, обычно символом сложения (+) или вычитания (-).

Группа терминов называется выражением, скорее как математическое предложение или описание.Некоторые математические выражения могут выглядеть довольно устрашающе, полные цифр и букв, некоторые из которых могут быть даже греческими. Однако главное - рассматривать каждый термин отдельно и разбивать его на вещи, которые вам известны или которые вы можете решить. Если вы сделаете это, вы начнете понимать, что это не всегда так сложно, как вы думали вначале.

Термины могут быть просто числами, или они могут быть просто буквами, или они могут быть комбинацией букв и цифр, например 2 \ (\ boldsymbol {x} \), 3 \ (\ boldsymbol {xy} \) или 4 \ (\ boldsymbol {x} \) 2 .

В термине, состоящем из букв и цифр, число известно как коэффициент , а буква - это переменная . Коэффициент - это просто «множитель» - он говорит вам, сколько чего-то (переменной) у вас есть в этом термине.

Термины, которые имеют точно такую ​​же переменную, называются , как и термины , и вы можете складывать, вычитать, умножать или делить их, как если бы они были простыми числами. Например:

Уравнение 2 \ (x \) + 3 \ (x \) равно 5 \ (x \), просто 2 лота \ (x \) плюс 3 лота \ (x \), чтобы получить 5 лотов \ (х \) (5 \ (х \)).2 $$

Вы, , не можете складывать или вычитать «непохожие термины». Однако вы можете умножить их, комбинируя переменные и умножая коэффициенты вместе.

Так, например, 3 \ (y \) × 2 \ (x \) = 6 \ (xy \) (потому что 6 \ (xy \) просто означает 6 раз \ (x \) раз \ (y \)) .

Вы можете разделить непохожие члены, превратив их в дроби и сократив их. Начните с цифр, затем с букв.

Так, например:

\ (\ large {6xy ÷ 3x} \)

x
$$ \ frac {6xy} {3x} $$ = $$ \ frac {2xy} {x} $$ = $$ \ frac {2y} {1} $$ = $$ 2г $$
Разделите верхнюю
и нижнюю
на 3
Разделите верхний
и нижний
на
1 можно игнорировать
, потому что
все, что делится на
на 1, само по себе является

Преобразование и решение уравнений

Во многих случаях для решения уравнения вам, вероятно, потребуется переставить его .Это означает, что вам нужно переместить термины так, чтобы в итоге вы получили только термины, содержащие \ (x \) с одной стороны символа равенства (например, =,> или <), и все числа с другой.

Этот процесс иногда называют изолирующим \ (x \) .

Вы можете переставлять уравнения с помощью набора простых правил:

  1. Что бы вы ни делали с одной стороной уравнения, вы, , должны сделать то же самое с другой. Так вы сохраните отношения между ними.Неважно, что вы делаете, убираете ли вы 2, прибавляете 57, умножаете на 150 или делите на \ (x \). Пока вы делаете это с обеих сторон, уравнение остается правильным. Это может помочь представить ваше уравнение как набор весов или качелей, которые всегда должны балансировать.

  2. На нашей странице Дополнение объясняет, что не имеет значения, в каком порядке вы добавляете, ответ все тот же. Это означает, что вы можете переставить выражение, чтобы объединить схожих терминов и упростить сложение.Это относится и к вычитанию , если вы помните из нашей страницы, посвященной положительным и отрицательным числам , что вычитание аналогично добавлению отрицательного числа . Так, например, 10-3 = 10 + (-3).

  3. Уравнения также работают в соответствии с BODMAS , поэтому не забывайте выполнять вычисления в правильном порядке.

  4. Всегда приводите уравнение к простейшей возможной форме: умножайте скобки, делите вниз, исключайте дроби и складывайте / вычитайте все подобные члены.

Рабочих примеров:

Попытайтесь решить эти уравнения для \ (x \), щелкните поля, чтобы увидеть работу и ответы.

$$ \ large {x + 3 = 5 × 4} $$
  • Как и в любом другом вычислении, сначала произведите умножение. 5 × 4 = 20
  • Итак \ (x \) + 3 = 20
  • Следующий шаг - убрать по три с обеих сторон
  • \ (х \) + 3 - 3 = 20 - 3
  • 20 - 3 = 17.

Это оставляет вам ответ: \ (x \) = 17

$$ \ large {5 + x + 21 = 3 + 6 × 5} $$
  • Сначала сделайте расчет с правой стороны, потому что он не включает никаких букв.Скобок нет, поэтому сначала умножение, затем сложение.
  • 6 × 5 = 30 и 30 + 3 = 33.
  • Вычисление слева является сложением, поэтому вы можете перемещать члены, пока не соберете все числа вместе:
    5 + \ (x \) + 21 = \ (x \) + 5 + 21
    и 5 + 21 = 26.
  • Итак, теперь у вас есть 26 + \ (x \) = 33
  • Теперь можно убрать 26 с обеих сторон
  • 26 + \ (х \) - 26 = \ (х \) = 33 - 26
  • И 33 - 26 = 7.2 + 5 = 13 - 4} $$
    • Переставьте так, чтобы все числа были на одной стороне, убрав по пять с каждой стороны.
    • Теперь у вас
      \ (x \) 2 = 13-4-5, поэтому
    • \ (х \) 2 = 4
    • Теперь вам нужно извлечь квадратный корень из обеих частей, потому что вы хотите найти значение \ (x \), а не \ (x \) 2 .
    • Вы знаете, что 2 × 2 = 4, что означает, что квадратный корень из 4 = 2

    \ (х \) = 2



    Уравнения и графики

    Любое уравнение, в котором существует связь только между двумя переменными, \ (x \) и \ (y \), можно нарисовать в виде линейного графика, где \ (x \) идет вдоль горизонтальной оси (иногда называемой x- ось) и \ (y \) по вертикальной оси (иногда называемой осью y).

    Вы можете вычислить точки на вашем графике, решив уравнение для конкретных значений \ (x \).

    Примеры:

    \ (\ large {y = 2x + 3} \)
    \ (х \) 0 1 2 3 4 5 6
    выч. 2 (0) + 3 2 (1) + 3 2 (2) + 3 2 (3) + 3 2 (4) + 3 2 (5) + 3 2 (6) + 3
    \ (у \) 3 5 7 9 11 13 15

    Преимущество построения графика уравнения состоит в том, что затем вы можете использовать его для вычисления значения \ (y \) для любого заданного значения \ (x \) или, действительно, \ (x \) для любого заданного значения. \ (y \), глядя на график.2 + х + 4} \)

    Когда \ (x \) = 0, \ (y \) = 0 + 0 + 4 = 4
    , когда \ (x \) = 1, \ (y \) = 1 + 1 + 4 = 6
    , когда \ ( x \) = 2, \ (y \) = 4 + 2 + 4 = 10
    и так далее ...

    \ (х \) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
    \ (у \) 4 6 10 16 24 34 46 60 76 94 114

    Экстраполировать


    Еще одно преимущество построения вашего уравнения на графике состоит в том, что вы можете экстраполировать свои данные (числовую информацию) для получения больших значений \ (x \) или \ (y \).Экстраполяция означает, что вы расширяете свой график, продолжая линию, которую вы нарисовали из своих данных, чтобы оценить значения \ (x \) и \ (y \) за пределами диапазона данных, которые у вас уже есть.

    В первом примере уравнение дает прямую линию, поэтому экстраполировать этот график несложно. Однако необходимо соблюдать осторожность при экстраполяции графика, который не является прямой линией, как во втором примере.


    Заключение

    На этой странице объясняется, как решать простые уравнения, а также взаимосвязь между уравнениями и графиками, что дает вам альтернативный способ решения уравнений.

    Теперь вы готовы перейти к более сложным уравнениям, включая одновременные уравнения и квадратные уравнения.


    Практических вопросов по бесплатной алгебре - Практика с ключом видеоответа

    5. D
    Цена увеличилась с 20 долларов до 25 долларов (5 долларов), поэтому вопрос 5 - какой процент от 20. Или 5/20 = x / 100; 500/20 = 25%

    6. С

    7. D
    В первый раз Брайан ответил правильно на 150 вопросов, а во второй раз он ответил на 30% правильнее, поэтому
    150 + (30/100 * 150); 30% от 150 = 45, или (30 * 150) / 100
    , поэтому 150 + 45 = 195

    8.В

    Позвольте нам позвонить по этому номеру по x:

    Это число увеличивается на 2: x + 2

    Затем умножается на 3: 3 (x + 2)

    Результат 24: 3 (x + 2) = 24… Решая это линейное уравнение, получаем значение числа:

    х + 2 = 24/3

    х + 2 = 8

    х = 8 - 2

    х = 6

    9. B

    Мой возраст: x

    Мой брат старше меня на 3 года: x + 3

    Моему отцу на 3 года меньше моего возраста, чем в 2 раза: в 2 раза - 3

    Возраст моего отца, разделенный на 5, равен возрасту моего брата, разделенному на 3: (2x - 3) / 5 = (x + 3) / 3

    Путем крестового умножения:

    5 (x + 3) = 3 (2x - 3)

    5x + 15 = 6x - 9

    х = 24

    Возраст моего отца: 2 лет. 24 - 3 = 48 - 3 = 45

    10. С

    Есть две дроби, содержащие x, и знаменатели разные. Во-первых, давайте найдем общий знаменатель, чтобы упростить выражение. Наименьший общий множитель 4 и 7 равен 28. Тогда

    7 (x - 2) / 28 - 4 (3x + 5) / 28 = - 3 . 28/28… Так как теперь обе части записаны в знаменателе 28, мы можем их исключить:

    7 (x - 2) - 4 (3x + 5) = - 84

    7x - 14 - 12x - 20 = - 84

    - 5x = - 84 + 14 + 20

    - 5x = - 50

    х = 50/5

    х = 10

    11.В

    Мы можем следовать методу извне внутрь, чтобы решить этот тип проблем. x находится во внутренней части этой дроби; затем нам нужно сузить круг, чтобы достичь x:

    1 / (1 + 1 / (1 - 1 / x)) = 4

    Это означает, что (1 + 1 / (1 - 1 / x)) равно 1/4. Затем

    1 + 1 / (1 - 1 / x) = 1/4

    1 / (1 - 1 / x) = 1/4 - 1

    1 / (1 - 1 / x) = - 3/4

    Это означает, что 1 - 1 / x = - 4/3. Затем

    1 - 1 / x = - 4/3

    1 + 4/3 = 1 / x

    1 / х = 7/3

    Итак, x = 3/7.

    Решение задач с помощью алгебры | Матназия

    Дрю Лэннинг

    Использование алгебры для решения словесных задач - очень мощное приложение математики. К сожалению, многие студенты не чувствуют себя комфортно, используя алгебру для решения реальных задач, даже если они чувствуют себя комфортно со своими навыками алгебры. Проблема в том, что учащиеся изучают все инструменты алгебры, но теряются, когда приходит время выбирать правильные инструменты и решать реальные проблемы.Цель этой статьи - описать шаги, необходимые для решения реальных проблем. Конечно, без буквы х мы бы ничего не сделали!

    Давайте начнем с перечисления шагов для решения алгебраической задачи со словами:

    1. Прочтите задачу и решите, что означает «x». Это самая легкая часть. Например, если в задаче задается возраст Марии в 2032 году, тогда пусть x равно возрасту Марии в 2032 году. Если в задаче задается вопрос о расстоянии между лодкой A и лодкой B, тогда пусть x представляет собой расстояние между лодкой A и лодкой B.Не зацикливайтесь на этом шаге. Это действительно так просто!

    2. Определите все другие переменные, описанные в задаче, в терминах x. Предположим, мы знаем, что сестра Марии Джулия на 3 года старше Мэри. Это означает, что в 2032 году возраст Джулии будет x + 3 года.

    3. Напишите уравнение, складывающее все числа вместе. Этот шаг зависит от формулировки вопроса. Например, если мы знаем, что сумма возрастов Марии и Джулии в 2032 году составляет 67 лет, то мы можем написать x + (x + 3) = 67.Если мы знаем, что возраст Мэри в 2032 году составляет девять десятых возраста Джулии в 2032 году, то мы бы написали x = (9/10) * (x + 3).

    4. Решите уравнение. Это довольно простой шаг. Откройте набор инструментов алгебры и решите уравнение для x, которое вы создали на шаге 3. Если вы правильно определили x, все готово!

    Вот наш первый полный пример: сумма трех последовательных чисел, кратных семи, равна 168. Каково значение среднего числа?

    1. Пусть x будет значением среднего числа.

    2. Нам нужно найти способ представить наименьшее и наибольшее числа в последовательности с помощью того, что мы знаем о x. Поскольку три числа являются последовательными кратными семи, первое число будет на семь меньше, чем x (мы можем записать это как «X – 7»), а последнее число будет на семь больше, чем x (или «x + 7»).

    3. Мы знаем, что три числа должны добавить к 168, поэтому мы пишем: (x – 7) + x + (x + 7) = 168.

    4. (x - 7) + x + (x + 7) = 168

      3x = 168

      х = 56

      Вот и все! Среднее число - 56.

    Давайте попробуем другую задачу: в настоящее время Эбигейл на три года старше половины возраста Сьюзен. Через двенадцать лет возраст Сьюзен будет на семь больше, чем на три четверти возраста Абигейл. Сколько лет Эбигейл сегодня?

    1. Пусть сегодня x будет ровесником Эбигейл.

    2. Нам нужно представить текущий возраст Сьюзан, а также будущие возрасты обеих девочек в единицах x. Начнем с нынешнего возраста Сьюзан. Мы знаем x = 3+.5 * (возраст Сьюзен), поэтому небольшая алгебра показывает, что сегодняшний возраст Сьюзен можно представить как 2 (x – 3). Определить их будущий возраст очень просто. Будущий возраст Абигейл - x + 12, а будущий возраст Сьюзан - 2 (x – 3) +12.

    3. Уравнение, связывающее все вместе, требовало, чтобы мы использовали тот факт, что будущий возраст Сьюзен на семь больше, чем три четверти будущего возраста Абигейл. Три четверти - это всего 75%, поэтому мы можем составить одно огромное уравнение, написав 0,75 (x + 12) + 7 = 2 (x – 3) +12.Левая сторона - ровно на семь больше, чем три четверти будущего возраста Эбигейл, а правая сторона - только будущий возраст Сьюзан.

    4. ,75 (x + 12) + 7 = 2 (x - 3) + 12

      0,75x + 9 + 7 = 2x -6 +12

      0,75x + 16 = 2x + 6

      10 = 1,25x

      х = 10 / 1,25 = 8

      Итак, после всей этой работы мы выяснили, что Эбигейл сейчас 8 лет!

    Как видите, четыре описанных выше шага - отличный способ решить многие проблемы с помощью последовательного и методичного подхода.Мы надеемся, что эти советы помогут вам при решении задач со словами с помощью мощных инструментов алгебры!

    Примеры алгебраических уравнений с вопросами и решениями

    Q 1. Одного человека спросили о его сыновьях и дочерях. Он ответил: «У каждого из моих сыновей столько братьев, сколько сестер, а у каждой из моих дочерей братьев вдвое больше, чем сестер». Сколько сыновей и дочерей у этого мужчины?

    БЕСПЛАТНЫЕ живые мастер-классы от нашего звездного факультета с более чем 20-летним опытом.Зарегистрируйтесь сейчас

    Sol: Пусть сыновей будет x, а дочерей y. Итак, согласно вопросу, x - 1 = y ........ (1)
    And 2 (y - 1) = x ........ (2). Решая эти простые уравнения, мы получаем x = 4 и y = 3.

    Q 2. Решите уравнение: P 2 - 8P - 33 = 0

    Sol: P = 11 или P = - 3. ⇒ Мы можем разложить вышеприведенное уравнение на множители как (P - 11) (P + 3) = 0

    Q 3. Если один корень квадратного уравнения P 2 - 12P + Q = 0 является троекратным корнем другого корня, то найдите значение Q.

    Сол. Пусть один корень будет 'a', тогда другой корень будет 3a. Также сумма корней = a + 3a = 4a = 12 ⇒ a = 3.
    Произведение корней = Q ⇒ a × 3a = 3a2 ⇒ 3 × 9 = 27

    Q 4. Человек нанял рабочего при условии, что он заплатит ему в общей сложности рупий. 10000, а также дать ему цикл после службы в два года. Он прослужил всего 1,5 года и получил цикл и рупии. 7000. Найдите стоимость цикла в рупиях.

    Sol: Пусть стоимость цикла будет x рупий.Таким образом, мы можем составить простое линейное уравнение как 1,5 / 2 (10000 + x) = 7000 + x. Решая это линейное уравнение с одной переменной, получаем x = 2000.

    Q 5. Если разница между квадратами двух последовательных чисел равна 17, то найдите числа.

    Сол. Пусть числа - это P и P + 1. Дано, что (P + 1) 2 - (P) 2 = 17
    ⇒ (P + 1 - P) (P + 1+ P) = 17 ⇒ (2P + 1) = 17 ⇒ 2P = 16 ⇒ P = 8.
    Итак, числа 8 и 9.

    Обязательно ознакомьтесь со статьями по алгебраическим уравнениям

    Q 6. Для получения 1 кг ладу необходимо смешать 4 кг сахара и 2 кг муки, а для получения 1 кг барфи необходимо смешать 6 кг сахара и 4 кг муки. Сколько килограммов каждого вида сладостей было произведено, если известно, что было использовано 260 кг сахара и 160 кг муки?

    Sol: Возьмем x за килограмм ладу, а у - за килограмм барфи. Теперь уравнение становится 4x + 6y = 260 & 2x + 4y = 160.
    Решите эти линейные уравнения и получите значение x как 20 и значение y как 30. Итак, требуемые ингредиенты составляют 20 кг и 30 кг.

    Q7. Решить: 2P 2 - P - 28 = 0

    Sol: Факторизуя данное квадратное уравнение, получаем 2P 2 - 8P + 7P - 28 = 0
    ⇒ 2P (P - 4) + 7 (P - 4) = 0
    ⇒ (P - 4) ( 2P + 7) = 0 ⇒ P = 4 или P = -7.

    Q8. В классе несколько учеников и несколько скамеек. Если 3 ученика сидят на скамейке, то 3 ученика остаются стоять.Если на скамейке рассаживаются 4 ученика, то 3 скамейки остаются свободными. Найдите количество учеников и скамейки в классе.

    Sol: Пусть количество учеников равно x, а количество скамеек равно y. Таким образом, мы можем составить два линейных уравнения как 3y + 3 = x ....... (1) и x / 4 = y - 3 ....... (2). Решая эти уравнения, получаем x = 48 и y = 15. Следовательно, в классе 48 учеников и 15 скамеек.

    Начните подготовку с БЕСПЛАТНОГО доступа к 25+ мокам, 75+ видео и 100+ тестам по главам.Зарегистрироваться сейчас

    Q9. Если корни P2 - 4P + Q = 0 равны, найти значение Q.

    Сол. Дано, что корни равны. Таким образом, значение Дискриминанта (D) должно быть равно нулю. Мы знаем, что значение D равно b2 - 4ac, что равно 0. Следовательно (-4) 2 - 4Q = 0 ⇒ 4Q = 16 ⇒ Q = 4

    Q10. При каком значении k линейные уравнения 2x + 3y = k и 4x + 6y = 10 будут иметь бесконечно много решений?

    Sol: Для бесконечного множества решений данные три отношения будут равны, т.е.е 2/4 = 3/6 = k / 10. Решая это уравнение, мы получаем значение k как 5.

    .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *