Решение системы уравнений в Excel
1386 16.10.2022 Скачать пример
Возможно вы слышали о нобелевском лауреате, психологе и исследователе по имени Дэниель Канеман. Канеман занимался наукой, которую называют термином «поведенческая экономика», т.е. изучал реакции, поведение и суждения людей в типовых жизненных (и экономических) ситуациях и условиях неопределенности.
В его книге, которая называется «Думай медленно — решай быстро» (очень рекомендую, кстати) в качестве одного из примеров когнитивных искажений — несознательной автоматической реакции — приводится следующая задача:
Бейсбольная бита и мяч стоят вместе 1 доллар 10 центов.
Бита дороже мяча на 1 доллар.
Сколько стоит мяч?
Подозреваю, что вашей первой рефлекторной мыслью, скорее всего, будет «10 центов!» 🙂 Но весьма скоро, я уверен, вы сообразите, что на самом деле всё не так примитивно и для получения ответа нужно решить простую систему уравнений (здесь b — это бита, а m — это мяч):
Конечно можно «тряхнуть стариной» и решить всё вручную на бумажке через подстановку переменных — как-то так:
Но, во-первых, на практике уравнения могут быть сложнее и переменных может оказаться сильно больше двух и, во-вторых, у нас с вами есть Microsoft Excel — универсальный мега-инструмент, величайшее изобретение человечества. Так что давайте-ка лучше разберём как решить нашу задачу с его помощью.
Способ 1. Матричные функции МУМНОЖ и МОБР
Само собой, изобретать велосипед тут не надо — прогрессивное человечество в лице математиков давным-давно придумало кучу способов для решения подобных задач.
Сначала записываем числовые коэффициенты, стоящие перед нашими переменными в виде матрицы (в нашем случае — размером 2х2, в общем случае — может быть и больше).
Затем находим для неё так называемую обратную матрицу , т.е. матрицу, при умножении которой на исходную матрицу коэффициентов получается единица. В Excel это легко сделать с помощью стандартной математической функции МОБР (MINVERSE):
Здесь важно отметить, что если у вас свежая версия Excel 2021 или Excel 365, то достаточно ввести эту функцию обычным образом в первую ячейку (G7) — сразу получится динамический массив с обратной матрицей 2х2. Если же у вас более старая версия Excel, то эту функцию нужно обязательно вводить как формулу массива, а именно:
- Выделить диапазон для результатов — G7:H8
- Ввести функцию =МОБР(B7:C8) в строку формул
- Нажать на клавиатуре сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter
Замечательное свойство обратной матрицы состоит в том, что если умножить её на значения правых частей наших уравнений (свободные члены), то мы получим значения переменных, при которых левые и правые части уравнений будут равны, т.
е. решения нашей задачи. Выполнить такое матричное умножение можно с помощью ещё одной стандартной экселевской функции МУМНОЖ (MMULT):
Если у вас старая версия Excel, то не забудьте также ввести её в режиме формулы массива, т.е. сначала выделить диапазон K7:K8, а после ввода функции нажать сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.
Само собой, уравнений и переменных может быть больше, да и посчитать всё можно сразу в одной формуле, вложив используемые функции одна в другую:
Не так уж и сложно, правда? Однако надо понимать, что этот метод подходит только для решения систем линейных уравнений. Если у вас в уравнениях используются функции посложнее четырех базовых математических действий, то зачастую проще будет пойти другим путем — через подбор.
Способ 2. Подбор надстройкой «Поиск решения» (Solver)
Принципиально другой способ решения подобных задач — это итерационные методы, т.
е. последовательный подбор значений переменных, чтобы после подстановки их в наши уравнения мы получили верные равенства. Само собой, подбор имеется ввиду не тупой и долгий (брутфорс), а умный и быстрый, благо математики, опять же, давным-давно придумали кучу различных методов для решения таких задач буквально за несколько итераций.
В Microsoft Excel некоторые из этих методов реализованы в стандартной надстройке Поиск решения (Solver). Её можно подключить через Файл — Параметры — Надстройки — Перейти (File — Options — Add-ins — Go to) или на вкладке Разработчик — Надстройки (Developer — Add-ins).
Давайте рассмотрим её использование на следующей задаче. Предположим, что нам с вами нужно решить вот такую систему из двух нелинейных уравнений:
Подготавливаем основу для оптимизации в Excel:
Здесь:
- В жёлтых ячейках C9:C10 лежат текущие значения наших переменных, которые и будут подбираться в процессе оптимизации.
В качестве стартовых можно взять любые значения, например, нули или единицы — роли не играет. Для удобства, кстати, этим ячейкам можно дать имена, назвав их именами переменных x и y, — для этого выделите диапазон C9:C10 и выберите команду Формулы — Создать из выделенного — Слева (Formulas — Create from selection — Left column). - В зелёных ячейках E9:E10 введены наши уравнения с использованием либо прямых ссылок на жёлтые ячейки переменных, либо созданных имён (так нагляднее). В результате мы видим, чему равны наши уравнения при текущих значениях переменных.
- В синих ячейках F9:F10 введены значения правых частей наших уравнений, к которым мы должны стремиться.
В качестве стартовых можно взять любые значения, например, нули или единицы — роли не играет. Для удобства, кстати, этим ячейкам можно дать имена, назвав их именами переменных x и y, — для этого выделите диапазон C9:C10 и выберите команду Формулы — Создать из выделенного — Слева (Formulas — Create from selection — Left column). Теперь запускаем нашу надстройку на вкладке Данные — Поиск решения (Data — Solver) и вводим в появившемся диалоговом окне следующие параметры:
- Оптимизировать целевую функцию (Set target cell) — любая из двух наших зелёных ячеек с уравнениями, например E9.
- Изменяя ячейки переменных (By changing cells) — жёлтые ячейки с текущими значениями переменных, которыми мы «играем».
- Добавляем ограничение с помощью кнопки Добавить (Add) и задаём равенство левой и правой части наших уравнений, т.е. зелёного и голубого диапазонов.
- В качестве метода решения выбираем Поиск решения нелинейных задач методом ОПГ, т.к. уравнения у нас нелинейные. Для линейных можно смело выбирать симплекс-метод.
После нажатия на кнопку Найти решение (Solve) через пару мгновений (или не пару — это зависит от сложности задачи) мы должны увидеть окно с результатами. Если решение найдено, то в жёлтых ячейках отобразятся подобранные значения наших переменных:
Обратите внимание, что поскольку мы здесь используем итерационные, а не аналитические методы, то зеленые ячейки не совсем равны голубым, т.е. найденное решение не абсолютно точно. На практике, конечно же, такой точности вполне достаточно для большинства задач, и если необходимо, её можно настроить, вернувшись в окно Поиск решения и нажав кнопку Параметры (Options).
Решение систем уравнений методом наименьших квадратов
Решение систем уравнений методом наименьших квадратов1.10. Решение систем линейных уравнений методом наименьших квадратов
Технология решения систем линейных уравнений для случая, когда m=n, рассмотрена в п.1.6. Однако в общем случае m может быть не всегда равно n. Возможны три случая: m<n, m= n и m>n.
При m<n, если система является совместной, то она не определена и имеет бесконечное множество решений.
Если m>n и система совместна, то матрица А имеет по крайней мере m-n линейно независимых строк. В этом случае решение может быть получено отбором n любых линейно независимых уравнений и применением формулы X=A-1 х B.
Однако, при решении задачи в электронной таблице удобнее применить более общий
подход — метод наименьших квадратов. Для этого обе части уравнения нужно
умножить на транспонированную матрицу системы Ат :
АтАХ=АтВ.
Затем обе части уравнения нужно
умножить на (АтА)-1 . Если эта матрица существует, то
система определена. С учетом того, что
(АтА)-1АтА=Е, получаем решение системы в виде
Х=(АтА)-1 АтВ.
Рассмотрим технологию решения систем линейных уравнений методом наименьших квадратов на примере.
Пример 6. Решить систему
Решение:
1. Введите значения элементов матрицы А в диапазон рабочего листа (А2:B4).
2. Введите значения элементов вектора В в ячейки рабочего листа, например D2:D4 (см рис.7).
3. Транспонируйте исходную матрицу, для чего выделите
диапазон ячеек размерностью 3 х 2 (А6:C7), введите в него формулу =
ТРАНСП(А2:В4) и нажмите
комбинацию клавиш Ctrl + Shift + Enter — в выделенном диапазоне будет вычислен
результат транспонирования.
4. Вычислите произведение АТВ, для чего выделите диапазон из двух ячеек (Е6:Е7) и введите в него формулу МУМНОЖ(А6:C7;D2:D4).
5. Вычислите произведение АТА, для чего выделите диапазон (А9:В10) и введите в него формулу МУМНОЖ(A6:C7;А2:В4).
6. Выделите диапазон (D9:E10), введите в него формулу МОБР(А9:B10) для вычисления обратной матрицы (АТА)-1
7. Для вычисления итогового результата -решения системы уравнений выделите диапазон (В12:В13) и введите в него формулу для умножения матриц (АТА)-1 АТА МУМНОЖ(D9:E10;A9:B10). В ячейках В12 и В13 будет получен результат решения системы.
Рисунок 7
Упражнение 7. Решите в электронной таблице системы:
К предыдущей К следующей Открыть содержание темыРешение линейных уравнений — 4 метода, пошаговые решения, примеры
Решение линейных уравнений означает нахождение значений переменных, заданных в линейных уравнениях.
Линейное уравнение представляет собой комбинацию алгебраического выражения и символа равенства (=). Оно имеет степень 1 или его можно назвать уравнением первой степени. Например, x + y = 4 — это линейное уравнение. Иногда нам может понадобиться найти значения переменных, участвующих в линейном уравнении. Когда нам дано два или более таких линейных уравнения, мы можем найти значения каждой переменной, решая линейные уравнения. Существует несколько методов решения линейных уравнений. Остановимся подробно на каждом из этих методов.
| 1. | Решение линейных уравнений с одной переменной |
| 2. | Решение линейных уравнений методом подстановки |
| 3. | Решение линейных уравнений методом исключения |
| 4. | Графический метод решения линейных уравнений |
| 5. | Метод перекрестного умножения |
6. | Часто задаваемые вопросы о решении линейных уравнений |
Решение линейных уравнений с одной переменной
Линейное уравнение с одной переменной является уравнением первой степени и имеет только один переменный член. Он имеет вид «ax+b = 0», где «a» — ненулевое число, а «x» — переменная. Решая линейные уравнения с одной переменной, мы получаем только одно решение для данной переменной. Примером этого является 3x — 6 = 0. Переменная «x» имеет только одно решение, которое рассчитывается как 9.0049
3x — 6 = 0
3x = 6
х = 6/3
x = 2
Для решения линейных уравнений с одной переменной упростите уравнение так, чтобы все переменные члены переносились в одну сторону, а постоянное значение — в другую. Если есть какие-либо дробные члены, найдите LCM (наименьшее общее кратное) и упростите их так, чтобы переменные члены были с одной стороны, а постоянные члены — с другой. Давайте разработаем небольшой пример, чтобы понять это.
4x + 8 = 8x — 10. Чтобы найти значение «x», давайте упростим и перенесем члены «x» в одну сторону, а постоянные члены — в другую.
4x — 8x = -10 — 8
-4x = -18
4x = 18
х = 18/4
При упрощении получаем x = 9/2.
Решение линейных уравнений методом подстановки
Метод подстановки — один из методов решения линейных уравнений. В методе подстановки мы перестраиваем уравнение таким образом, что одно из значений подставляется во второе уравнение. Теперь, когда у нас осталось уравнение с одной переменной, мы можем решить его и найти значение этой переменной. В двух заданных уравнениях можно взять любое уравнение и найти значение переменной и подставить в другое уравнение. Для решения линейных уравнений методом подстановки выполните шаги, указанные ниже. Поясним это на примере решения следующей системы линейных уравнений.
х + у = 6 —————(1)
2x + 4y = 20 ————(2)
Шаг 1: Найдите значение одной из переменных, используя любое из уравнений.
В этом случае найдем значение «х» из уравнения (1).
х + у = 6 ———(1)
x = 6 — y
Шаг 2: Подставьте значение переменной, найденное на шаге 1, во второе линейное уравнение. Теперь давайте подставим значение «x» во второе уравнение 2x + 4y = 20,9.0003
х = 6 — у
Подставляя значение ‘x’ в 2x + 4y = 20, получаем
2(6 — y) + 4y = 20
12 — 2г + 4г = 20
12 + 2г = 20
2г = 20 — 12
2г = 8
у = 8/2
y = 4
Шаг 3: Теперь подставьте значение ‘y’ в уравнение (1) или (2). Подставим значение ‘y’ в уравнение (1).
х + у = 6
х + 4 = 6
х = 6 — 4
х = 2
Следовательно, методом подстановки решаются линейные уравнения, и значение x равно 2, а y равно 4.
Решение линейных уравнений методом исключения
Метод исключения — еще один способ решения системы линейных уравнений. Здесь мы пытаемся умножить либо переменный термин «x», либо переменный термин «y» на постоянное значение, так что либо переменные члены «x», либо переменные члены «y» компенсируются и дают нам значение другая переменная.
Давайте разберемся с этапами решения линейных уравнений методом исключения. Рассмотрим данные линейные уравнения:
2х + у = 11 ———— (1)
x + 3y = 18 ———- (2)
Шаг 1: Проверить, расположены ли термины таким образом, чтобы за термином «x» следовал термин «y» и знак равенства, а после знака равенства должен стоять постоянный член. Данный набор линейных уравнений уже устроен правильным образом: ax+by=c или ax+by-c=0.
Шаг 2: Следующим шагом является умножение одного или обоих уравнений на постоянное значение таким образом, чтобы сокращались либо члены «x», либо члены «y», что помогло бы нам найти значение другая переменная. Теперь в уравнении (2) давайте умножим каждый член на число 2, чтобы сделать коэффициенты x одинаковыми в обоих уравнениях.
x + 3y = 18 ———- (2)
Умножая все члены уравнения (2) на 2, получаем
2(x) + 2(3y) = 2 (18). Теперь уравнение (2) принимает вид
2x + 6y = 36 ————(2)
Шаг 3: Следующим шагом является упрощение этих двух уравнений путем сложения или вычитания их ( в зависимости от того, какая операция требуется для отмены x терминов).
Теперь, вычитая два уравнения, мы можем сократить члены «x» в обоих уравнениях.
Следовательно, у = 5,
Шаг 4: Используя значение, полученное на шаге 3, найдите значение другой переменной, подставив значение в любое из уравнений. Подставим значение ‘y’ в уравнение (1). Получаем,
2х+у=11
2х + 5 = 11
2х = 11 — 5
2х = 6
х = 6/2
x = 3
Следовательно, решая линейные уравнения, мы получаем значение x = 3 и y = 5.
Графический метод решения линейных уравнений
Другой метод решения линейных уравнений — использование графика. Когда нам дана система линейных уравнений, мы графически рисуем оба уравнения, находя значения «y» для разных значений «x» в системе координат. Как только это будет сделано, мы найдем точку пересечения этих двух линий. Значения (x, y) в точке пересечения дают решение этих линейных уравнений. Возьмем два линейных уравнения и решим их графическим методом.
х + у = 8 ——-(1)
y = x + 2 ———(2)
Возьмем некоторые значения для ‘x’ и найдем значения ‘y’ для уравнения x + y = 8. Это также может быть переписывается как y = 8 — x.
| х | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| у | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 |
Возьмем некоторые значения для «x» и найдем значения для «y» в уравнении y = x + 2.
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| у | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Нанеся эти точки на координатную плоскость, получим вот такой график.
Теперь мы найдем точку пересечения этих линий, чтобы найти значения «x» и «y». Две прямые пересекаются в точке (3,5). Следовательно, x = 3 и y = 5 при использовании графического метода решения линейных уравнений.
Этот метод также используется для поиска оптимального решения задач линейного программирования. Рассмотрим еще один метод решения линейных уравнений — метод перекрестного умножения.
Метод перекрестного умножения для решения линейных уравнений
Метод перекрестного умножения позволяет нам решать линейные уравнения, выбирая коэффициенты всех членов («x», «y» и постоянных членов) в формате, показанном ниже, и применяя формулу для нахождения значений «x». и «у».
Темы, связанные с решением линейных уравнений
Просмотрите приведенные статьи, связанные с решением линейных уравнений.
- Линейные уравнения
- Применение линейных уравнений
- Линейные уравнения с двумя переменными
- Линейные уравнения и полуплоскости
- Линейные уравнения и неравенства с одной переменной
Часто задаваемые вопросы о решении линейных уравнений
Что означает решение линейных уравнений?
Уравнение, имеющее степень 1, называется линейным уравнением.
У нас могут быть линейные уравнения с одной переменной, линейные уравнения с двумя переменными, линейные уравнения с тремя переменными и многое другое в зависимости от количества переменных в нем. Решение линейных уравнений означает нахождение значений всех переменных, присутствующих в уравнении. Это можно сделать методом подстановки, методом исключения, графическим методом и методом перекрестного умножения. Все эти методы представляют собой разные способы нахождения значений переменных.
Как использовать метод подстановки для решения линейных уравнений?
Метод подстановки для решения уравнений гласит, что для данной системы линейных уравнений необходимо найти значение «x» или «y» из любого из заданных уравнений, а затем подставить найденное значение «x» или «y» в другом уравнении, чтобы можно было найти другое неизвестное значение.
Как использовать метод исключения для решения линейных уравнений?
В методе исключения для решения линейных уравнений мы умножаем константу или число на одно уравнение или на оба уравнения так, чтобы члены «x» или члены «y» были одинаковыми.
Затем мы сокращаем один и тот же член в обоих уравнениях, добавляя или вычитая их, и находим значение одной переменной (либо «x», либо «y»). Найдя одно из значений, подставляем значение в одно из уравнений и находим другое неизвестное значение.
Что такое Графический метод решения линейных уравнений?
В графическом методе решения линейных уравнений мы находим значение ‘y’ из заданных уравнений, подставляя значения x как 0, 1, 2, 3 и т. д., и строим график в системе координат для линии для различных значений ‘x’ для обеих систем линейных уравнений. Мы увидим, что эти две прямые пересекаются в одной точке. Эта точка является решением данной системы линейных уравнений. Если между двумя прямыми нет точки пересечения, то мы рассматриваем их как параллельные прямые, а если мы обнаружили, что обе прямые лежат друг на друге, то они называются совпадающими прямыми и имеют бесконечно много решений.
Каковы этапы решения линейных уравнений с одной переменной?
Линейное уравнение — это уравнение степени 1.
Чтобы решить линейное уравнение с одной переменной, мы подносим переменную к одной стороне, а постоянное значение — к другой. Затем к обеим частям уравнения можно добавить, вычесть, умножить или разделить ненулевое число. Например, линейное уравнение с одной переменной будет иметь вид «х — 4 = 2». Чтобы найти значение «x», мы добавляем постоянное значение «4» к обеим частям уравнения. Следовательно, значение ‘x = 6’.
Какие этапы решения линейных уравнений с тремя переменными?
Чтобы решить систему линейных уравнений с тремя переменными, возьмем любые два уравнения и две переменные. Затем мы берем другую пару линейных уравнений и также решаем для той же переменной. Теперь, когда у нас есть два линейных уравнения с двумя переменными, мы можем использовать метод подстановки, метод исключения или любой другой метод для решения значений двух неизвестных переменных. Найдя эти две переменные, мы подставляем их в любое из трех уравнений, чтобы найти третью неизвестную переменную.
Какие существуют 4 метода решения линейных уравнений?
Методы решения линейных уравнений приведены ниже:
- Метод подстановки
- Метод исключения
- Метод перекрестного умножения
- Графический метод
Методы подстановки и сложения
Результаты обучения
- Используйте метод подстановки, чтобы найти решение(я) системы двух линейных уравнений.
- Используйте метод сложения, чтобы найти решение(я) системы линейных уравнений.
Решение систем уравнений путем подстановки
Решение линейной системы с двумя переменными с помощью графика хорошо работает, когда решение состоит из целых чисел, но если наше решение содержит десятичные дроби или дроби, это не самый точный метод. Рассмотрим еще два метода решения системы линейных уравнений , которые являются более точными, чем построение графика. Одним из таких методов является решение системы уравнений с помощью метод подстановки , в котором мы решаем одно из уравнений для одной переменной, а затем подставляем результат во второе уравнение для решения второй переменной.
Напомним, что мы можем решать только для одной переменной за раз, поэтому метод подстановки ценен и практичен.
Как: Имея систему из двух уравнений с двумя переменными, решите ее методом подстановки.
- Решите одно из двух уравнений для одной из переменных относительно другой.
- Подставьте выражение для этой переменной во второе уравнение, затем найдите оставшуюся переменную.
- Подставьте это решение в любое из исходных уравнений, чтобы найти значение первой переменной. Если возможно, запишите решение в виде упорядоченной пары.
- Проверьте решение обоих уравнений.
Пример. Решение системы уравнений с двумя переменными путем замены
Решите следующую систему уравнений путем замены.
[латекс]\begin{align}-x+y&=-5 \\ 2x-5y&=1 \end{align}[/latex]
Показать решение
Попробуйте
Вы можете использовать онлайн-инструмент для построения графиков, который поможет вам решить систему уравнений путем замены.
Мы будем использовать следующую систему, чтобы показать вам, как это сделать:
[латекс]\begin{align}x&=y+3 \\ 4&=3x — 2y \end{align}[/latex]
Сначала решите оба уравнения для y:
[латекс]\begin{align}y&=x-3 \\ y&=\frac{3}{2}x — 2 \end{align}[/latex]
Теперь введите [latex]x-3=\frac{3}{2}x — 2[/latex] в Desmos. Вы увидите, что Desmos предоставил вам [latex]x = -2[/latex].
Теперь вы можете подставить [латекс]х = -2[/латекс] в оба уравнения. Если вы получите одинаковый результат для обоих, вы нашли решение упорядоченной пары. Попробуйте.
Показать решение
Вопросы и ответы
Можно ли использовать метод подстановки для решения любой линейной системы с двумя переменными?
Да, но метод работает лучше всего, если одно из уравнений содержит коэффициент 1 или –1, чтобы нам не приходилось иметь дело с дробями.
Следующее видео длится около 10 минут и представляет собой мини-урок по использованию метода подстановки для решения системы линейных уравнений.
Мы представляем три разных примера, а также используем инструмент построения графиков, чтобы обобщить решение для каждого примера.
Решение систем уравнений с двумя переменными методом сложения
Третий метод решения систем линейных уравнений — метод сложения , этот метод также называют метод ликвидации . В этом методе мы добавляем два слагаемых с одной и той же переменной, но с противоположными коэффициентами, так что сумма равна нулю. Конечно, не во всех системах два члена одной переменной имеют противоположные коэффициенты. Часто нам приходится корректировать одно или оба уравнения путем умножения, чтобы исключить одну переменную путем сложения.
Как: Имея систему уравнений, решить, используя метод сложения.
- Напишите оба уравнения с x – и – переменные слева от знака равенства и константы справа.
- Напишите одно уравнение над другим, выстраивая соответствующие переменные. Если одна из переменных в верхнем уравнении имеет противоположный коэффициент той же переменной в нижнем уравнении, сложите уравнения вместе, исключив одну переменную. Если нет, используйте умножение на ненулевое число, чтобы одна из переменных в верхнем уравнении имела коэффициент, противоположный той же переменной в нижнем уравнении, затем добавьте уравнения, чтобы исключить переменную.
- Решите полученное уравнение для оставшейся переменной.
- Подставьте это значение в одно из исходных уравнений и найдите вторую переменную.
- Проверьте решение, подставив значения в другое уравнение.
Пример: Решение системы методом сложения
Решите данную систему уравнений методом сложения.
[латекс]\begin{align}x+2y&=-1 \\ -x+y&=3 \end{align}[/latex]
Показать решение
Ключевые выводы
Пример: Использование метода сложения при необходимости умножения одного уравнения
Решите данную систему уравнений методом сложения .
[латекс]\begin{align}3x+5y&=-11 \\ x — 2y&=11 \end{align}[/latex]
Показать решение
Попробуйте
Решите систему уравнений сложением.
[латекс]\begin{align}2x — 7y&=2\\ 3x+y&=-20\end{align}[/latex]
Показать решение
Пример: Использование метода сложения, когда требуется умножение обоих уравнений
Решите данную систему уравнений с двумя переменными методом сложения.
[латекс]\begin{align}2x+3y&=-16 \\ 5x — 10y&=30\end{align}[/latex]
Показать решение
Пример: Использование метода сложения в системах уравнений, содержащих дроби
Решите данную систему уравнений с двумя переменными методом сложения.
[латекс]\begin{align}\frac{x}{3}+\frac{y}{6}&=3 \\[1 мм] \frac{x}{2}-\frac{y}{ 4}&=1 \end{выравнивание}[/latex]
Показать решение
Попробуйте
Решите систему уравнений сложением.