Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° косинусов гСомСтрия: Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° синусов, Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° косинусов β€” ΡƒΡ€ΠΎΠΊ. ГСомСтрия, 9 класс.

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° косинусов | это… Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° косинусов?

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° косинусов — Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°:

Для плоского Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° со сторонами ΠΈ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ , ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΌ сторонС , справСдливо ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:

.

КласcичСскоС Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎΒ Β 

Рассмотрим Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ABC. Из Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ C Π½Π° сторону AB ΠΎΠΏΡƒΡ‰Π΅Π½Π° высота CD. Из Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ADC слСдуСт:

,

Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π° для Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ADC ΠΈ BDC:

ΠŸΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²Ρ‹Π΅ части ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ (1) ΠΈ (2) ΠΈ:

ΠΈΠ»ΠΈ

.

Π‘Π»ΡƒΡ‡Π°ΠΉ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΏΡ€ΠΈ основании Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠΉ (ΠΈ высота ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ основания), ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅Π½ рассмотрСнному.

ВыраТСния для сторон b ΠΈ c:

.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹Β Β 

Одно ΠΈΠ· самых красивых ΠΈ простых Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π² Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ косинусов являСтся Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Π΅Ρ‘ Π² ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости.

ВнСсём Π² ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ABC Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° А совпала с Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, Π° прямая АВ Π»Π΅ΠΆΠ°Π»Π° Π½Π° прямой ОΠ₯. Π’Π²Π΅Π΄Ρ‘ΠΌ обозначСния AB=c,AC=b,CB=a, a ΡƒΠ³ΠΎΠ» CAB=Ξ±(ΠΏΠΎΠΊΠ° Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ξ±β‰ 90Β°).
Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° A ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ (0;0), Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° B(c;0). Π§Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ sin ΠΈ cos, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ сторону АБ=b Π²Ρ‹Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π‘. Π‘(bΓ—cosΞ±;bΓ—sinΞ±). ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π‘ ΠΎΡΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠΌ ΠΈ остром ΡƒΠ³Π»Π΅ Ξ±.
Зная ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π‘ ΠΈ B, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ зная, Ρ‡Ρ‚ΠΎ CB=a, найдя Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ равСнство:



Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ
(основноС тригономСтричСскоС тоТдСство), Ρ‚ΠΎ

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π°.
Π‘Ρ‚ΠΎΠΈΡ‚ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для прямого ΡƒΠ³Π»Π° Ξ±, Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ cos90Β°=0 ΠΈ

aΒ²=bΒ²+с² — извСстная всСм Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°. Но Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π² основС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°, Ρ‚ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Π΅Ρ‘ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ косинусов Π½Π΅ совсСм ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ.

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

  • 1 БлСдствиС ΠΈΠ· Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ косинусов
  • 2 Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ
  • 3 Π’Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΈ обобщСния
    • 3.1 Π§Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Ρ‘Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ
    • 3.2 БимплСкс
  • 4 Π‘ΠΌ. Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅
  • 5 Π›ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°

БлСдствиС ΠΈΠ· Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ косинусов

БлСдствиС Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ косинусов опираСтся Π½Π° свойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ cos:

  • Если , Ρ‚ΠΎ cosΞ±>0
  • EcΠ»ΠΈ Ξ±=90Β°, Ρ‚ΠΎ cosΞ±=0
  • Если , Ρ‚ΠΎ cosΞ±<0

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π½Π΅Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΠΌ соsΞ±:



, ΠΏΡ€ΠΈ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… b ΠΈ c (Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ это ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ сторон), Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚:

  • Если , ΡƒΠ³ΠΎΠ» Ξ±Β β€” острый
  • Если , ΡƒΠ³ΠΎΠ» Ξ±Β β€” прямой
  • Если , ΡƒΠ³ΠΎΠ» Ξ±Β β€” Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠΉ

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ

УтвСрТдСния, ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π° ΠΈ эквивалСнтныС Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ косинусов, Π±Ρ‹Π»ΠΈ сформулированы ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ для случаСв острого ΠΈ Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° Π² 12 ΠΈ 13 прСдлоТСниях II ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ «Начал» Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π°.

УтвСрТдСния, эквивалСнтныС Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ косинусов для сфСричСского Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ»ΠΈΡΡŒ Π² сочинСниях ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠ² стран Π‘Ρ€Π΅Π΄Π½Π΅ΠΉ Азии. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ косинусов для сфСричСского Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π² ΠΏΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ сформулировал Π Π΅Π³ΠΈΠΎΠΌΠΎΠ½Ρ‚Π°Π½, Π½Π°Π·Π²Π°Π² Π΅Ρ‘ Β«Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΠ»ΡŒΠ±Π°Ρ‚Π΅Π³Π½ΠΈΡΒ» (ΠΏΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π°Π»-Π‘Π°Ρ‚Ρ‚Π°Π½ΠΈ).

Π’ Π•Π²Ρ€ΠΎΠΏΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ косинусов популяризовал Ѐрансуа Π’ΠΈΠ΅Ρ‚ Π² XVI столСтии. Π’ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ XIX столСтия Π΅Ρ‘ стали Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π² принятых ΠΏΠΎ сСй дСнь алгСбраичСских обозначСниях.

Π’Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΈ обобщСния

  • Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ косинусов (сфСричСская гСомСтрия) ΠΈΠ»ΠΈ Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° косинусов для Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Π³Ρ€Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°.
  • Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ косинусов (гСомСтрия ЛобачСвского)

Π§Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Ρ‘Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ

Возводя Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ тоТдСство ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠΎΠΉ косинусов для Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Ρ‘Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²:

, Π³Π΄Π΅ Β β€” ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми AB ΠΈ CD.

Или ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅:

БимплСкс

ΠΏΡ€ΠΈ этом ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π·Π°Ρ‡Π΅Ρ€ΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ строку ΠΈ столбСц, Π³Π΄Π΅ находится ΠΈΠ»ΠΈ .

AΒ β€” ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ гранями ΠΈ , -Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ, находящаяся ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ i ,- расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ i ΠΈ j.

Π‘ΠΌ. Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅

  • РСшСниС Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²
  • БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
  • Π‘ΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π‘Ρ€Π΅Ρ‚ΡˆΠ½Π°ΠΉΠ΄Π΅Ρ€Π°
  • Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° косинусов для Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Π³Ρ€Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°
  • БфСричСская Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° косинусов
  • Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° котангСнсов
  • Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° синусов
  • Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° тангСнсов

Π›ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°

  • ΠŸΠΎΠ½Π°Ρ€ΠΈΠ½ Π―. П. ЭлСмСнтарная гСомСтрия. Π’ 2 Ρ‚Ρ‚.Β β€” М.: МЦНМО, 2004.Β β€” Π‘.Β 84-85.Β β€” ISBN 5-94057-170-0

Π£Ρ€ΠΎΠΊ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° косинусов 9 ΠΊΠ»

План-конспСкт ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ° ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅: Β«Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° косинусов»

Π£Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ : Калинина ЕвгСния Π“Π΅Π½Π½Π°Π΄ΡŒΠ΅Π²Π½Π°, МОУ «БОШ β„–33Β» Π“. Баранск

  • Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ косинусов ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡

  • Π‘ΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΡΠ²ΠΎΠ΅Π½ΠΈΡŽ всСми учащимися стандартного ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅;

  • Π€ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΒ  ΠΈ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Β Π½Π°Π΄ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ умСния ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌΒ  сравнСния,Β Β  постановки ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ, ΠΎΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Β ΡƒΠΆΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡ‹ΠΌΠΈ гСомСтричСскими понятиями ΠΈ Ρ„Π°ΠΊΡ‚Π°ΠΌΠΈ, рассуТдСниСм Β ΠΏΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ;

  • Π Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅:

  • Β Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ тригономСтричСский Π°ΠΏΠΏΠ°Ρ€Π°Ρ‚ ΠΊΠ°ΠΊ срСдство Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ гСомСтричСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡;

  • Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ психичСскиС  свойства: ΠΏΠ°ΠΌΡΡ‚ΡŒ, Π²Π΅Ρ€Π±Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π½ΡƒΡŽ, ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

Π₯ΠΎΠ΄ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°

  1. Новый ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ справка:Β Π’ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° косинусов Π±Ρ‹Π»Π° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° ΡƒΡ‡Ρ‘Π½Ρ‹ΠΌ –матСматиком аль-Π‘ΠΈΡ€ΡƒΠ½ΠΈ (973-1048 Π³.Π³.). Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ синусов , ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ: Β«Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΒ», Ρ‚.Π΅. ΠΊΠ°ΠΊ зная ΠΎΠ΄Π½ΠΈ ΠΈΠ· основных элСмСнтов Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° (ΠΈΡ… 6: 3 ΡƒΠ³Π»Π° ΠΈ 3 стороны), Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°:Β ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ любой стороны Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ суммС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π΄Π²ΡƒΡ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… сторон Π±Π΅Π· ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния этих сторон Π½Π° косинус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ.

Π”Π°Π½ΠΎ:

Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ АВБ.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ:

1.Β  ;

2.Β  ;

3.Β  .

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ.

Одно ΠΈΠ· самых красивых ΠΈ простых Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π² Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ косинусов являСтся Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Π΅Ρ‘ Π² ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости.

ВнСсём Π² ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΒ ABCΒ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ точка А совпала с Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, Π° прямая 

АВ лСТала Π½Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΠΉΒ ΠžΠ₯. Π’Π²Π΅Π΄Ρ‘ΠΌ обозначСния AB=c,AC=b,CB=a, a ΡƒΠ³ΠΎΠ»Β CAB=Ξ±(ΠΏΠΎΠΊΠ° Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎΒ Ξ±β‰ 90Β°).
Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Β AΒ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ (0;0), Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Β B(c;0). Π§Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽΒ sinΒ ΠΈΒ cos, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ сторону АБ=bΒ Π²Ρ‹Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈΒ Π‘.Β Π‘(bΓ—cosΞ±;bΓ—sinΞ±). ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈΒ Π‘Β ΠΎΡΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠΌ ΠΈ остром ΡƒΠ³Π»Π΅Β Ξ±.
Зная ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹Β Π‘Β ΠΈΒ B, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ зная, Ρ‡Ρ‚ΠΎΒ CB=a, найдя Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ равСнство:



Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ
Β (основноС тригономСтричСскоС тоТдСство), Ρ‚ΠΎ

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π°.
Π‘Ρ‚ΠΎΠΈΡ‚ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для прямого ΡƒΠ³Π»Π°Β Ξ±, Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚Β cos90Β°=0 ΠΈΒ aΒ²=bΒ²+с² — извСстная всСм Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°.

  1. Π—Π°ΠΊΡ€Π΅ΠΏΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°:

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΏΠΎ Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆΠ°ΠΌ. Π§Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ кодоскопа. ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ учащиСся ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π· ΠΏΡ€ΠΎΠ³ΠΎΠ²Π°Ρ€ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΡƒ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 1

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:Β  .

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 2

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:Β 4.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 3

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:Β 60Β°.

3.Π˜Ρ‚ΠΎΠ³ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°

ΠŸΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡΡ тСст

  1. Если ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ стороны Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ суммС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π΄Π²ΡƒΡ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π΅Π³ΠΎ сторон, Ρ‚ΠΎ эта сторона Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²:

Π°) Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°
Π±) прямого ΡƒΠ³Π»
Π²) острого ΡƒΠ³Π»Π°

  1. Π’Β  АВБ извСстны Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ сторон АВ ΠΈ Π’Π‘. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ сторону АБ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ:

Π°) ΡƒΠ³Π»Π° А
Π±) ΡƒΠ³Π»Π° Π’
Π²) ΡƒΠ³Π»Π° Π‘

  1. Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ со сторонами 5, 6 ΠΈ 7 см:

Π°) ΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ
Π±) ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ

Π²) Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ

  1. Если Π²Β  АВБ   А=48Β°;Β  Β Π’=72Β°, Ρ‚ΠΎ наибольшСй стороной Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° являСтся сторона:

Π°) АВ
б) АБ
Π²) Π’Π‘

  1. Если ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ стороны Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° большС суммы ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π΄Π²ΡƒΡ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π΅Π³ΠΎ сторон, Ρ‚ΠΎ эта сторона Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²:

Π°) острого ΡƒΠ³Π»Π°
Π±) прямого ΡƒΠ³Π»Π°
Π²) Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°

Π‘Π°ΠΌΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠ°. ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹:

1

2

3

4

5

Π±

Π±

Π°

Π±

Π²

4.

Π”ΠΎΠΌΠ°ΡˆΠ½ΡΡ Β Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°: ΠΏ. 98 Β β„–1025(Π±, Π², Π³).

Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ косинусов (ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ косинусов)

Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ косинусов (взаимозамСняСмо извСстный ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ косинусов ΠΈΠ»ΠΈ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ косинусов) являСтся ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π° Π² Ρ‚ΠΎΠΌ смыслС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ° послСднСй ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π° ΠΈΠ· Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡΡ‹ ΠΊΠ°ΠΊ частный случай. Однако всС Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΏΠΎ-Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠΌΡƒ, нСявно зависят ΠΎΡ‚ пифагорСйского ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠ° ΠΈΠ»ΠΈ явно ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π΅Π³ΠΎ. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°. НапримСр, для ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡ‚Ρ‹, Ρ‚. Π΅. для ΠΎΡ…Π²Π°Ρ‚Π° случая Β΅ = 0, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ этот случай ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ Π½Π΅ слСдуСт ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… (Β΅<90 ΠΈ Β΅>90). Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π² Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° косинусов нСпосрСдствСнно доказываСтся Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°. По этой ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅ ΠΌΠ½Π΅ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ косинусов Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°. МнС Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‡Ρ€Π΅Π·Π²Ρ‹Ρ‡Π°ΠΉΠ½ΠΎ Π»ΡŽΠ±ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π½ΠΎ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° косинусов, ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ нСзависимом ΠΎΡ‚ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅

Π”ΠΆΡƒΠ»ΠΈΠ°Π½ Π“ΠΈΠ»Π±ΠΈ возмутился послСдним ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ: Π½Π° страницС Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° косинусов Π²Ρ‹ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚Π΅: «МнС Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π½ΠΎ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎ любом Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° косинуса, ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ нСзависимом ΠΎΡ‚ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°Β». ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ: Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ косинусов Π²Π΅Ρ€Π΅Π½ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, Π° Π½Π΅ Π² сфСричСской ΠΈΠ»ΠΈ гипСрболичСской Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, поэтому ΠΎΠ½ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π·Π°Π²ΠΈΡΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΊΠΈ плоскости. А ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΊΠ° Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ плоскости ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π· ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ dsΒ² = dxΒ² + dyΒ², Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°. Π‘ любой Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΊΠΎΠΉ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€ Π½Π΅ выполняСтся, ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ косинусов Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ.

Однако Π”ΠΆΠΎΠ½ ΠœΠΎΠ»ΠΎΠΊΠ°Ρ‡ ΠΏΡ€ΠΈΠ΄ΡƒΠΌΠ°Π» Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅, ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΅, Π½Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°. Как ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΡΡΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ парадокс?

Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ косинусов

Для Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° со сторонами a , b ΠΈ c ΠΈ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ Β΅, ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ сторонС c, ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ

c 2 = a 2 + b 2 — 2abΒ·cos(Β΅)

НиТС приводится Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° косинуса, присланноС ΠΌΠ½Π΅ Π΄ΠΎΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π‘ΠΊΠΎΡ‚Ρ‚ΠΎΠΌ Π‘Ρ€ΠΎΠ΄ΠΈ ΠΈΠ· ΠœΠ΅Π΄ΠΈΡ†ΠΈΠ½ΡΠΊΠΎΠΉ ΡˆΠΊΠΎΠ»Ρ‹ ΠœΠ°ΡƒΠ½Ρ‚-Π‘ΠΈΠ½Π°ΠΉ, Нью-Π™ΠΎΡ€ΠΊ. Π’ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅, говоря ΠΎ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°Ρ…, Π΄-Ρ€ Π‘Ρ€ΠΎΠ΄Π΄ΠΈ ссылаСтся Π½Π° своС Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ

Если ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Π½Π΅ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, всС Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎ связи ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ сторон. Для опрСдСлСнности возьмСм Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ a ΠΈ b Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ сторон BC ΠΈ AC, соотвСтствСнно, ΠΈ рассмотрим Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ c стороны AB ΠΊΠ°ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Β΅, Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΏΡ€ΠΈ C. Нам понадобятся Π΄Π²Π΅ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎ стСпСни Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ: Ссли Π΄Π²Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ сСкущиС Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ ΠΊΡ€ΡƒΠ³, ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ расстояний вдоль ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Π΄ΠΎ Π±Π»ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΉ ΠΈ дальнСй Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ сСкущСй; Если Π΄Π²Π΅ Ρ…ΠΎΡ€Π΄Ρ‹ окруТности ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°, Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ расстояний ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния Π΄ΠΎ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ…ΠΎΡ€Π΄Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ расстояний ΠΊ окруТности ΠΏΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ Ρ…ΠΎΡ€Π΄Π΅.

Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈ случая:

Если Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, постройтС Ρ‚Ρ€ΠΈ высоты ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅, окруТности с Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ Π’Π‘ ΠΈ АБ. Как ΠΈ Ρ€Π°Π½ΡŒΡˆΠ΅, ΠΏΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΆΠΈΠ΅ высоты ΠΎΡ‚ Π‘ Π΄ΠΎ АВ ΠΈ Π΄Π²Π΅ окруТности ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, скаТСм P, которая Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ AB Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ BP ΠΈ PA Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ x ΠΈ ΠΈ соотвСтствСнно. Если Q ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ основаниС высоты ΠΎΡ‚ A, ΡƒΠ³ΠΎΠ» AQC прямой, Π° Q Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° окруТности Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ AC. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠ° ΠΏΠΎΠ΄Ρ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ QC ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ Π± cos(Β΅). Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ R ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ основаниС высоты ΠΎΡ‚ B; Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° R Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° окруТности BC, Π° RC Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ cos(Β΅). Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ мощности для случая Π΄Π²ΡƒΡ… сСкущих состояний, для ΠΌΠΎΡ‰Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ B ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ окруТности AC, Ρ‡Ρ‚ΠΎ a ( a Β —Β  b cos(Β΅))&nbsp=Β  xc ; для стСпСни Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ окруТности BC ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ b ( b Β —Β  a cos(Β΅))&nbsp=Β  yc . Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ сразу Π΄Π°Π΅Ρ‚ a 2 Β +Β  b 2 Β —Β 2 ab cos(Β΅)Β =Β ( x Β +Β  y ) c Β =Β  c 2 , Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ косинусов.

Если исходный Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Π΅ Π΄Π²Π° случая:

Если ΡƒΠ³ΠΎΠ» C Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠΉ, Ρ‚ΠΎ высота ΠΎΡ‚ C пСрСсСкаСт сторону AB, скаТСм, Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ P, Π½ΠΎ высоты ΠΈΠ· A ΠΈ B Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π²Π½Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Основания этих высот находятся Π½Π° пСрСсСчСниС сторон Π’Π‘ ΠΈ АБ, ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ окруТностями с Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°ΠΌΠΈ АБ ΠΈ Π’Π‘, соотвСтствСнно; Π½Π°Π·ΠΎΠ²Π΅ΠΌ ΠΈΡ… Q ΠΈ R. Как ΠΈ Ρ€Π°Π½ΡŒΡˆΠ΅, ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ x ΠΈ y ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ BP ΠΈ PA. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΡƒΠ³ΠΎΠ» C Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠΉ, cos(Β΅) мСньшС нуля, Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ RC ΠΈ QC Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΈ — a cos(Β΅) ΠΈ — b cos(Β΅) соотвСтствСнно. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ для стСпСни B ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ окруТности AC a ( a Β —Β  b cos(Β΅))&nbsp=Β  xc , Π° для ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ A ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ окруТности BC b ( b Β —Β  a cos(Β΅))&nbsp=Β  yc . Как ΠΈ ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅, слоТСниС Π΄Π²ΡƒΡ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ косинусов.

НаконСц, Ссли ΡƒΠ³ΠΎΠ» C острый, Π°, скаТСм, ΡƒΠ³ΠΎΠ» B Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠΉ, Ρ‚ΠΎ высота ΠΈΠ· B пСрСсСкаСт сторона AC, скаТСм, Π² R, Π½ΠΎ высоты ΠΎΡ‚ A ΠΈ C Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π²Π½Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ со сторонами CB ΠΈ AB, ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ соотвСтствСнно, скаТСм, Π² Q ΠΈ P. Как ΠΈ ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅, Q ΠΈ P Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π½Π° окруТностях с Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ АБ ΠΈ Π’Π‘ соотвСтствСнно. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ расстояниС BP ΠΊΠ°ΠΊ z . ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° RC Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ a cos(Β΅), Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Π° QC Ρ€Π°Π²Π½Π° b cos(Β΅), для мощности ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ A ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ окруТности BC b ( b Β —Β  a cos(Β΅))&nbsp=Β ( c Β +Β  z ) c , Π°, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠΎ мощности для Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ для мощности B ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ AC a ( b cos(Β΅)Β —Β  a )&nbsp=Β  zc . Π’ этом случаС Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния ΠΈΠ· ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ косинусов. ΠšΠ­Π”.

Π”ΠΎΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π‘Ρ€ΠΎΠ΄Π΄ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ прСдоставил ΠΏΡ€Π΅ΠΊΡ€Π°ΡΠ½ΡƒΡŽ Β«Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽΒ» Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρƒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ„Π°ΠΉΠ»Π° Geometer’s Sketchpad. Π³Π΄Π΅ двиТущаяся Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π° «C» прСкрасно автоматичСски ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ случаями Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π°.

Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ мСстС. Одно Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Π±Π΅Π· слов являСтся прямым ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° пифагорСйского утвСрТдСния Π’Π°Π±ΠΈΡ‚Π° ΠΈΠ±Π½ ΠšΡƒΡ€Ρ€Ρ‹. БущСствуСт Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Β«Ρ€Π°Π·Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚Ρ‹ΠΉ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Β». ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ косинусов допускаСт нСсколько ΠΈΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ, ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡƒΡŽ Π›Π°Ρ€Ρ€ΠΈ Π₯Ρ‘Π½ΠΎΠΌ, которая нСсколько ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°.

ВригономСтрия

  • Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ тригономСтрия?
  • Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ слоТСния ΠΈ вычитания для синуса ΠΈ косинуса
    • Бинус Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ суммы
    • Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ слоТСния ΠΈ вычитания для синуса ΠΈ косинуса II
    • Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ слоТСния ΠΈ вычитания для синуса ΠΈ косинуса III
    • Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ слоТСния ΠΈ вычитания для синуса ΠΈ косинуса IV
    • Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ слоТСния ΠΈ вычитания
  • Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ косинусов (ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ косинусов)
  • ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ 36 градусов
  • ВангСнс 22,5 o — Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Π±Π΅Π· слов
  • Бинус ΠΈ косинус ΡƒΠ³Π»Π° 15 градусов
  • Бинус, косинус ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠŸΡ‚ΠΎΠ»Π΅ΠΌΠ΅Ρ
  • arctan(1) + arctan(2) + arctan(3) = Ο€
  • ВригономСтрия ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ наблюдСния
  • арктангСнс(1/2) + арктангСнс(1/3) = арктангСнс(1)
  • Π§ΡƒΠ΄ΠΎ ΠœΠΎΡ€Π»ΠΈ
  • Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° НаполСона
  • ВригономСтричСскоС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ слоТной Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ сангаку
  • ВригономСтричСская Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° комплСксных чисСл
  • ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ синуса ΠΈ косинуса
  • Ξ”ABC ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ, Ссли ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ссли sinΒ²A + sinΒ²B + sinΒ²C = 2
  • Π Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ удостовСрСния
  • ΠžΡ…ΠΎΡ‚Π½ΠΈΡ‡ΡŒΠΈ прямыС ΡƒΠ³Π»Ρ‹
  • Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π° биссСктрисС прямого ΡƒΠ³Π»Π°
  • ВригономСтричСскиС тоТдСства с арктангСнсами
  • Π‘ΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ высот Π² Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ β€” тригономСтричСскоС Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ
  • ВригономСтрия Π±Π°Π±ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ
  • Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π‘ΠΈΠ½Π΅ с косинусами
  • Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ Π»ΠΈΡ†ΠΎ ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ тригономСтричСской идСнтичности
  • нСравСнство cos/sin
  • На пСрСсСчСнии kx ΠΈ |sin(x)|
  • Π‘Π΅Π²ΠΈΠ°Π½Ρ‹ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΈ
  • Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°
  • Π₯ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠ°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³Π³Π΅Ρ€Π°
  • Π•Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π·ΠΎΠ»ΠΎΡ‚ΠΎΠ΅ сСчСниС Π² ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅
  • ВригономСтричСская Π»Π΅ΠΌΠΌΠ° Π›Π΅ΠΎ Π”ΠΆΡƒΠ΄ΠΆΡƒΠΊΠ°
  • Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ свойство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° вписанной окруТности
  • МногоС ΠΈΠ· ΠΌΠ°Π»ΠΎΠ³ΠΎ
  • Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ косинусов ΠΈ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ синусов эквивалСнтны
  • Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ тригономСтрия Π² равностороннСм Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅
  • ВригономСтричСскоС наблюдСниС Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅
  • БыстроС Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ cos(pi/7)cos(2. pi/7)cos(3.pi/7)=1/8
  • Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ косинусов (ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ косинусов)
  • Π˜Π»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ косинусов
  • Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ синусов ΠΈ косинусов
  • Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ косинусов: Мозаика плоскости
  • Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ косинусов: ΠΏΠΎ Π’Π°Π±ΠΈΡ‚Ρƒ ΠΈΠ±Π½ ΠšΡƒΡ€Ρ€Π΅
  • Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ косинусов: развСрнутая вСрсия
  • Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ косинусов (нСзависимый ΠΎΡ‚ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°)
  • Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ косинусов ΠΏΠΎ подобию
  • Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ косинусов Π›Π°Ρ€Ρ€ΠΈ Π₯Π΅Π½Π°
  • Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ косинусов — Π•Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½Π° PWW
  • Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ косинусов — Π•Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½Π° PWW
  • Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ косинусов ΠΏΠΎ Π΄Ρ€Π΅Π²Π½Π΅ΠΌΡƒ скольТСнию
  • Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ косинуса: PWW Π‘. ΠšΡƒΠ½Π³Π°

|ΠšΠΎΠ½Ρ‚Π°ΠΊΡ‚Ρ‹| |Главная страница| |Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅| |ГСомСтрия| |Π’Π²Π΅Ρ€Ρ…|

Copyright Β© 1996-2018 АлСксандр Π‘ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΈ прилоТСния

ΠŸΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΡ‚Π΅ ΠΌΠ½Π΅ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π°ΠΌ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½Ρƒ. Π”Π²Π° ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠ°, Бэм ΠΈ Моника, ΡΡ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚, сколько Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… трСбуСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π΄ΠΎ ΡˆΠΊΠΎΠ»Ρ‹ Π½Π° вСлосипСдС ΠΈΠ· Π΄ΠΎΠΌΠ°. Они ΠΏΡ€ΠΈΡˆΠ»ΠΈ ΠΊ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄ΠΎΠΌ Бэма находится Π² 4 милях ΠΎΡ‚ ΡˆΠΊΠΎΠ»Ρ‹, Π° Π΄ΠΎΠΌ Моники β€” Π² 3 милях. Они Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ выяснили, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ», ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ двумя расстояниями ΠΎΡ‚ ΠΈΡ… Π΄ΠΎΠΌΠΎΠ² Π΄ΠΎ ΡˆΠΊΠΎΠ»Ρ‹, Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 43 o . Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ набросаСм это. ΠœΡ‹ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ построСн, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ΅.

Π Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1, Айша Амри — StudySmarter Originals

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, исходя ΠΈΠ· этой ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ, Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄, с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π΄ΠΎΠΌΠΎΠΌ Бэма ΠΈ Моники? К ΡΡ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ, Π²Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π·Π»ΠΎ! Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, сущСствуСт Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°, которая ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‡ΡŒ Π½Π°ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ эту ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡƒ. ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ косинусов. Π’ этой Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ ΠΌΡ‹ познакомимся с Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌ косинусов ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ².

Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ косинусов

Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ косинусов опрСдСляСтся ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ

a2=b2+c2-2bccosA.

ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ Π½Π°Ρ‡Π½Π΅ΠΌ, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ углубимся Π² эту Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ, вспомнив ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ косинусов ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π΅ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ вывСсти Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ косинусов, ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅.

РСзюмС: ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ сначала вспомним Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π° для Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° с ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΞΈ.

ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, Айша Амри — StudySmarter Originals

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ,

c2=a2+b2.

ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ косинус ΡƒΠ³Π»Π° находится ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ дСлСния ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π° Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρƒ. Π­Ρ‚ΠΎ извСстно ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ косинуса

cosΞΈ=adjacenthypotenuse=bc.

Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° косинусов

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΈΠ΄Π΅ΠΈ, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ ΠΈΠΌΠΈ Π² качСствС ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π±Π»ΠΎΠΊΠ° для установлСния Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° косинусов. Рассмотрим Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ABC Π½ΠΈΠΆΠ΅.

Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ косинусов, Айша Амри — StudySmarter Originals

Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ABC Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½ Π½Π° Π΄Π²Π° Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°: ABD ΠΈ BCD. Оба эти Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅, Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ пСрпСндикулярным ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ BD Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π° h. Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° b Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ дСлится Π½Π° Π΄Π²Π° участка AD = x ΠΈ CD = b – x. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ABD Ρ€Π°Π²Π½Π° AB = c, Π° Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° BCD Ρ€Π°Π²Π½Π° BC = a.

ΠŸΡ€ΠΎΠ°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π΄Π»ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ a, b, c ΠΈ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ A. По Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π° ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ DBC ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅

a2=(b-x)2+h3.

Раскладывая (b — x) 2 , ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ

a2=b2-2bx+x2+h3.

Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ это для Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ADB ΠΊΠ°ΠΊ

c2=x2+h3.

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠ² это Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ вмСсто x 2 + h 2 Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ

a2=b2-2bx+c2.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ x Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ косинуса ΠΊΠ°ΠΊ

cosA=xc⇒x=ccosA.

ЗамСняя это Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для x, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ

a2=b2-2bΓ—ccosA+c2.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ свойство пСрСстановочности ΠΈ пСрСставляя Π΅Π³ΠΎ, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ косинусов

a2=b2+c2-2bccosA.

, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΈ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ этого Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π°.

Π’Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Ρ‹ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° косинусов

Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ косинусов ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΅Ρ‰Π΅ Π΄Π²Π° Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π°, ΠΏΠΎΠΌΠΈΠΌΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅. По Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ косинусов ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ ΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ нСизвСстной стороны Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Однако Ρƒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ‚Ρ€ΠΈ стороны ΠΈ Ρ‚Ρ€ΠΈ ΡƒΠ³Π»Π°. Π’ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… случаях Π½Π°ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ½Π°Π΄ΠΎΠ±ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ это понятиС ΠΊ любой ΠΈΠ· Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… сторон, Ссли Π½Π°ΠΌ потрСбуСтся Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΈΡ… ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹. Рассмотрим Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ABC Π½ΠΈΠΆΠ΅.

Π’Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΈ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° косинусов, Айша Амри — StudySmarter Originals

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ значСния a, b ΠΈ c ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ стороны этого Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Π£Π³Π»Ρ‹ A, B ΠΈ C ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· этих сторон соотвСтствСнно. Π•ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° косинусов для этого Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.

a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ подходят для нахоТдСния Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ нСизвСстной стороны ΠΏΠΎ измСрСниям Π΄Π²ΡƒΡ… сторон ΠΈ ΡƒΠ³Π»Ρƒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ. Однако, Ссли Π½Π°ΠΌ Π΄Π°Π½Ρ‹ значСния Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… сторон, Π½Π°ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ½Π°Π΄ΠΎΠ±ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ нСизвСстный ΡƒΠ³ΠΎΠ». Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ вычислСния, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ выраТСния Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠ²Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ для нСизвСстного ΡƒΠ³Π»Π°.

cosA=b2+c2-a22bccosB=a2+c2-b22accosC=a2+b2-c22ab

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° косинусов

Π’ этом Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΌΡ‹ рассмотрим нСсколько Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‡ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ², ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ косинусов. ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ косинусов ΠΊ Π»ΡŽΠ±ΠΎΠΌΡƒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΡƒ, учитывая ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π² Π΄Π²ΡƒΡ… случаях:

  1. Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… сторон ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΊ Π½ΠΈΠΌ ΡƒΠ³ΠΎΠ»

  2. Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… сторон

Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΏΠΎ Π΄Π²ΡƒΠΌ сторонам ΠΈ ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ»

Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ABC, зная b = 17, c = 16 ΠΈ A = 83 o .

РСшСниС

НарисуСм этот Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1, Айша Амри — StudySmarter Originals

НачнСм с использования Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° косинусов, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ a.

a2=b2+c2-2accosAβ‡’a2=(17)2+(16)2-2(17)(16)cos(83)β‡’a2=545-544cos(83)β‡’a=545-544cos(83) )β‡’aβ‰ˆ21,88(ΠΈΡΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎ Π΄Π²ΡƒΡ… Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² послС запятой)

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, a составляСт ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ 21,88 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ синусов, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» C.

sinAa=sinCcβ‡’sin(83)21,88=sinC16β‡’sinC=16sin(83)21,88β‡’C=sin-116sin(83)21,88β‡’Cβ‰ˆ46,54o(ΠΈΡΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎ Π΄Π²ΡƒΡ… Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² послС запятой)

25 0902 Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, C ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 4 2 09,02 . НаконСц, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» B ΠΊΠ°ΠΊ

A+B+C=180oβ‡’B=180o-A-Cβ‡’Bβ‰ˆ180o-83o-46,54oβ‡’Bβ‰ˆ50,46o

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, B ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 50,46 o .

РСшСниС Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΏΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΠΌ сторонам

Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π½ΠΈΠΆΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, учитывая a = 14, b = 11 ΠΈ c = 5.

РСшСниС

НачнСм с использования Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° косинусов для нахоТдСния ΡƒΠ³Π»Π° A.

cosA=b2+c2-a22bcβ‡’cosA=(11)2+(5)2-(14)22(11)(5) β‡’cosA=-50110β‡’cosA=-511β‡’A=cos-1-511β‡’Aβ‰ˆ117,04o(ΠΈΡΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎ Π΄Π²ΡƒΡ… Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² послС запятой)

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, A ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 117,04 o . ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° ΠΌΡ‹ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌ синусов, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» B. o(ΠΈΡΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎ Π΄Π²ΡƒΡ… Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² послС запятой)

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, B ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 44,41 ΠΈΠ»ΠΈ . НаконСц, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» C ΠΊΠ°ΠΊ

A+B+C=180oβ‡’C=180o-A-Bβ‡’Cβ‰ˆ180o-117,04o-44,41oβ‡’Cβ‰ˆ18,55o

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, C ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 18,55 o .

Π Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ с Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌ косинусов

Рэнди готовится ΠΊ ΠΌΠ°Ρ€Π°Ρ„ΠΎΠ½Ρƒ. Он Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°Π΅Ρ‚ своС ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΡˆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΈΠ΅, ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π΅ΠΆΠ°Π² 9 миль Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ поворачиваСтся ΠΈ Π±Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π΅Ρ‰Π΅ 11 миль. Π”Π²Π΅ стороны Π΅Π³ΠΎ Π±Π΅Π³Π° ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ ΡƒΠ³ΠΎΠ» 79 o . Как Π΄Π°Π»Π΅ΠΊΠΎ находится Рэнди ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π² ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ 11-мильного ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° ΠΏΡƒΡ‚ΠΈ?

РСшСниС

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π½Π°Ρ‡Π½Π΅ΠΌ с наброска этой ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ d прСдставляСт собой расстояниС ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Рэнди Π΄ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° Π΅Π³ΠΎ 11-мильного Π±Π΅Π³Π°.

Π Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2, Айша Амри — StudySmarter Originals

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π½Π°ΠΌ Π΄Π°Π½Ρ‹ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Π΄Π²ΡƒΡ… сторон ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ косинусов, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ d.

d2=(9)2+(11)2-2(9)(11)cos(79)β‡’d2=202-198cos(79)β‡’d=202-198cos(79)β‡’dβ‰ˆ12,81 миль (ΠΈΡΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎ Π΄Π²ΡƒΡ… Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² послС запятой )

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, d составляСт ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ 12,81 ΠΌΠΈΠ»ΠΈ.

НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» X шага Π·Π°Π΄Π½Π΅ΠΉ части стопы Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΠ°, срСдний шаг ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ составляСт 27 дюймов, Π° срСдний шаг β€” 32 дюйма.

РСшСниС

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π½Π°Ρ‡Π½Π΅ΠΌ с наброска этой ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹. ЗСлСная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° прСдставляСт ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ шаг, сдСланный Π·Π°Π΄Π½Π΅ΠΉ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ стопы Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΠ°.

Π Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3, Айша Амри — StudySmarter Originals

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π½Π°ΠΌ Π΄Π°Π½Ρ‹ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… сторон. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ косинусов, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» шага, X.

cosX=(32)2+(27)2-(27)22(32)(27)β‡’cosX=10241728β‡’cosX=1627β‡’X=cos-11627β‡’Xβ‰ˆ53,66o(ΠΈΡΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎ Π΄Π²ΡƒΡ… Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² послС запятой)

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, X составляСт ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ 53,66 o .

РСшСниС ΠΊΠΎΡΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²

ΠšΠΎΡΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ β€” это Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ прямого ΡƒΠ³Π»Π°. НиТС ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ².

НаклонныС Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ, Айша Амри — StudySmarter Originals

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ, Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Π° хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ стороны ΠΈ значСния Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Π΄Π²ΡƒΡ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Если Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ, Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΡŒ Π»ΠΈ нашС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ с примСнСния Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° синусов ΠΈΠ»ΠΈ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° косинусов.

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *