1.Решение систем линейных уравнений методом гаусса – жордана
1.1. Основные понятия
Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет следующий вид:
Здесь хj ( j=1, n ) – переменные ( или неизвестные) системы, аij ( i =1,m; j = 1,n ) – коэффициенты при переменных, вi ( i =1,m ) – свободные члены.
Решением системы ( І.І) называется всякий набор значений переменных х1, х2, …, хn, при котором все уравнения превращаются в тождества. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной – в противном случае.
Например, система
совместна, так как она имеет, в частности, такое решение:
х1 = 1; х2 = 2; х3 = 0 . Система же
несовместна.
Две
системы линейных уравнений называются равносильными,
если каждое решение одной из них является
решением другой, и наоборот.
Если
какое-либо уравнение системы умножить
на постоянный множитель λ
Наконец если, в системе есть уравнение вида
0∙х1 + 0∙х2 + … + 0∙ хn = 0, то такое уравнение можно убрать, получив систему, равносильную исходной.
1.2. Приведение системы линейных уравнений к жордановой форме
Процесс отыскания решения системы линейных уравнений начинается с того, что система приводится к жордановой форме.
Определение. Жордановой формой системы (I.I) называется система линейных уравнений, обладающая следующими свойствами:
а) она равносильна системе (I.I)
б)
в каждом уравнении жордановой формы
есть такая переменная, которая входит
в это уравнение с коэффициентом 1, а в
остальные уравнения — с коэффициентом
0.
Так, если системе (I.I) равносильна следующая система линейных уравнений:
(1.2)
то (І.2) есть жорданова форма для (I.I). При этом переменные х1, х2,… ,хк называются базисными, остальные переменные хк+1,…, хn называются свободными. Жорданова форма всегда является совместной системой линейных уравнений. Действительно, система (І.2) имеет следующее решение:
(І.3)
Так как система (І.2) равносильна системе ( І.І ) , то (І.3) является решением системы (І.І).
Таким образом, если для системы линейных уравнений ( І.І ) существует жорданова форма, то ( І.І ) – совместная система. Несовместная система жордановой формы не имеет.
Покажем, что любую совместную систему можно привести к жордановой форме. Это достигается методом Гаусса-Жордана, который состоит в следующем.
Рассмотрим
первое уравнение системы (І.
І).
Выберем в нем переменную, коэффициент
при которой отличен от нуля. Предположим,
что а11 ≠ 0.
Поделим уравнение на а11.
Получим уравнение
х1+ а12х2 + … + а1nхn = в1 (І.4)
Будем
переменную х1 делать
базисной в жордановой форме. Для этого
ее нужно исключить из остальных уравнений
системы. Чтобы исключить х1 из второго уравнения, умножим уравнение
(І.4) на -а21 и сложим со вторым уравнением. Затем
исключим х1 из
третьего
уравнения, для чего уравнение (І.4) умножим
на –а31 и сложим с третьим уравнением. Аналогично
переменная х1 исключается из остальных уравнений.
Таким образом, взяв в качестве «ведущего»
первое уравнение и проведя серию
«жордановых исключений», мы получим
равносильную (I.I)
систему уравнений, в которой
x1 входит в первое уравнение с коэффициентом
1 , а в остальные
уравнения — с коэффициентом 0.
После этого выбираем в качестве ведущего второе уравнение полученной системы. В этом уравнении берем коэффициент, отличный от нуля (пусть это коэффициент при х2), делим уравнение на этот коэффициент и затем исключаем х2 из всех остальных уравнений (в том числе и из первого). Затем в качестве ведущего выбираем третье уравнение и т.д.
Если на некотором шаге возникнет уравнение вида
0∙х1 + 0∙х2 + … + 0∙ хn = 0 (І.5)
то удаляем его из системы. Если же возникнет уравнение вида
0∙х1 + 0∙х2 + … + 0∙ хn = b ≠ 0, то это свидетельствует о несовместности исходной системы ( І.І), а несовместная система к жордановой форме не приводится.
Таким
образом, метод Гаусса-Жордана совместную
систему линейных уравнений приводит к
жордановой форме, а в случае несовместности
системы обнаруживает несовместность.
Ясно, что в жордановой форме число уравнений не может быть больше числа уравнений в исходной системе. Так, если система (1.2) является жордановой формой для системы (I.I), то , причем строгое неравенство имеет место тогда, когда на некоторых шагах жордановой процедуры удалялись уравнения вида (1.5).
Очевидно, одна и та же система может иметь много различных жордановых форм.
Пример. Привести к жордановой форме
Выберем в качестве ведущего первое уравнение, а в качестве базисной переменной — переменную х1. Поделим первое уравнение на (-1) (коэффициент при х1), получим:
Умножим это уравнение на (+5) и прибавим ко второму уравнению, затем умножим его на (-3) и прибавим к третьему уравнению.
Получим систему:
Теперь сделаем ведущим второе уравнение, а базисной переменной — переменную . Поделив второе уравнение на (-8) и исключивиз первого и третьего уравнений, получим систему:
Наконец,
в третьем уравнении выбираем в качестве
базисной переменную.
Поделим это уравнение на (-1) и исключимиз остальных уравнений. Получим жорданову
форму:
Переменные являются базисными, переменная- свободной.
Численные методы линейной алгебры. Примеры выполнения заданий в Mathcad
Похожие презентации:
Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)
Применение производной в науке и в жизни
Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»
Знакомство детей с математическими знаками и монетами
Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10
Методы обработки экспериментальных данных
Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ
Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии
Дифференциальные уравнения
Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи
1. Тема 3. Численные методы линейной алгебры. Примеры выполнения заданий в Mathcad
2. Метод исключения Гаусса
Задание.
Решить систему линейных алгебраическихуравнений методом исключения Гаусса.
Решение системы линейных алгебраических уравнений с
использованием средств программы Mathcad.
2
3. Метод исключения Гаусса
1-й способ3
4. Метод исключения Гаусса
45. Метод исключения Гаусса
56. Метод исключения Гаусса
2-й способ6
7. Метод исключения Гаусса
78. Метод исключения Гаусса
89. Метод исключения Гаусса
или9
10. Метод исключения Гаусса с выбором главного элемента
1011. Метод исключения Гаусса-Жордана
Задание. Решить систему линейных алгебраическихуравнений методом исключения Гаусса-Жордана.
11
12. Метод исключения Гаусса-Жордана
1213. Метод исключения Гаусса-Жордана
1314. Метод исключения Гаусса-Жордана
1415. Вычисление определителя
Определитель треугольной матрицы равен произведению еедиагональных элементов
Задание.
Вычислить определитель матрицыВычисление определителя матрицы с использованием
средств программы Mathcad.
15
16. Вычисление определителя
1617. Вычисление обратной матрицы
Задание. Вычислить обратную матрицуВычисление обратной матрицы с использованием
средств программы Mathcad.
17
18. Вычисление обратной матрицы
1819. Вычисление обратной матрицы
1920. Вычисление обратной матрицы
2021. Вычисление обратной матрицы
2122. Решение системы линейных алгебраических уравнений с использованием метода итераций
Найти решение системы линейных алгебраическихуравнений итерационным методом с точностью 10–3.
22
23. Решение системы линейных алгебраических уравнений с использованием метода итераций
2324. Решение системы линейных алгебраических уравнений с использованием метода итераций
Решение системы уравнений с использованием средствпрограммы Mathcad.
Решение исходной системы уравнений
Решение преобразованной системы уравнений
24
25.
Решение системы линейных алгебраических уравнений с использованием метода итерацийРеализация метода простой итерации в Mathcad25
26. Решение системы линейных алгебраических уравнений с использованием метода итераций
2627. Решение системы линейных алгебраических уравнений с использованием метода итераций
2728. Решение системы линейных алгебраических уравнений с использованием метода итераций
2829. Решение системы линейных алгебраических уравнений с использованием метода итераций
Реализация итерационного метода Гаусса-Зейделя в Mathcad29
30. Решение системы линейных алгебраических уравнений с использованием метода итераций
3031. Решение системы линейных алгебраических уравнений с использованием метода итераций
3132. Решение системы линейных алгебраических уравнений с использованием метода итераций
3233. Вычисление собственных значений и собственных векторов матрицы
Вычисление собственных значений и собственных векторов сиспользованием средств программы Mathcad
33
34.
Вычисление собственных значений и собственных векторов матрицы3435. Вычисление собственных значений и собственных векторов матрицы
Вычисление собственных значений35
36. Вычисление собственных значений и собственных векторов матрицы
3637. Вычисление собственных значений и собственных векторов матрицы
Вычисление собственных векторов37
38. Вычисление собственных значений и собственных векторов матрицы
3839. Вычисление собственных значений и собственных векторов матрицы
39Спасибо
за внимание!
40
English Русский Правила
Используйте метод Гаусса-Жордана для решения системы уравнений. y=-9+x y=-5+z z=6-x
Конечная математика
Алисса Г.
спросил 23.07.20Подписаться І 1
Подробнее
Отчет
2 ответа от опытных наставников
Лучший Новейшие Самый старыйАвтор: Лучшие новыеСамые старые
Уильям В.
ответил 23.07.20
Репетитор
5,0 (838)
Математика и естественные науки стали проще — учитесь у инженера на пенсии
Смотрите таких репетиторов
Смотрите таких репетиторов
Обратите внимание, что есть много способов решить эту проблему. Это просто один из способов. Это может совпадать или не совпадать с шагами, которые использует кто-то другой.
Объяснение:
1) Преобразуйте уравнения в матрицу (позиция 1). Умножьте строку 1 на «-1», добавьте к строке 3 и замените строку 3 результатами, чтобы получить позицию 2
2) Умножьте строку 2 на «-1», добавьте к строке 3 и замените строку 3 результатами, чтобы получить позиция 3.
3) Разделите строку 3 на 2, чтобы получить позицию 4
4) Сложите строки 3 и 2 и замените строку 2 на результат, чтобы получить позицию 5
5) Добавьте строки 2 и 2 и замените строку 2 на результат, чтобы получить позицию 6.
Интерпретируйте позицию 6, чтобы получить ответ: x = 5, y = -4, z = 1
Голосовать за 1 голос против
Подробнее
Отчет
Патрик Б. ответил 23.07.20
Репетитор
4.7 (31)
Репетитор/учитель математики и информатики
Смотрите таких репетиторов
Смотрите таких репетиторов
набор решений (x=5, y=-4, z=1)
переписывание:
-x + y + 0z = -9
0x + y — z = -5
z + 0y + z = 6
Таким образом, матрица имеет вид:
-1 1 0 -9
0 1 -1 -5
1 0 1 6
добавляет строку3 + строку1 —> строку1
0 1 1 -3
0 1 -1 -5
1 0 1 6
добавляет строку 2 + строку 1 —> строку 1
0 2 0 -8
0 1 -1 -5
1 0 1 6
, тогда 2y = -8
уравнение 2 говорит: y — z = -5
-4 — z = -5
-z = -1
z = 1
исходное первое уравнение говорит: -x + y = -9
— х + -4 = -9
-x = -5
x = 5
набор решений (x=5, y=-4, z=1)
Голосовать за 0 голос против
Подробнее
Отчет
Все еще ищете помощи? Получите правильный ответ, быстро.
Задайте вопрос бесплатно
Получите бесплатный ответ на быстрый вопрос.
Ответы на большинство вопросов в течение 4 часов.
ИЛИ
Найдите онлайн-репетитора сейчас
Выберите эксперта и встретьтесь онлайн. Никаких пакетов или подписок, платите только за то время, которое вам нужно.
Gauss/Jordan: Меньше переменных, чем уравнений
Gauss/Jordan: Меньше переменных, чем уравнений ГАУСС/ДЖОРДАН ПРИМЕР «c»
МЕНЬШЕ ПЕРЕМЕННЫХ, ЧЕМ УРАВНЕНИЯ
Когда переменных меньше, чем уравнений, мы поступаем так же, как и в предыдущем случае.
другие примеры GAUSS/JORDAN. ГАУСС/ИОРДАНИЯ
процедура заканчивается, как правило, матрицей, левая часть которой содержит один или
больше строк нулей.
Таким образом, дилемма студента состоит в том, как интерпретировать
такие строки нулей. Ниже приведен пример с 3 уравнениями и
2 переменные; смотри что будет, особенно ближе к концу :
| Чтобы проверить свои расчеты разворота, попробуйте PIVOT ENGINE. |
|
| рядовые операции P2 для первые повороты названы ниже |
| |
| Строковые операции P2 ниже |
| |
Далее мы должны выполнить
Р2
| Теперь мы перепишем каждую строку этой матрицы в виде уравнения, просто так как мы записали исходные уравнения в виде матрицы |
|
|
