Решить систему уравнений по формулам крамера и с помощью обратной матрицы: Метод обратной матрицы онлайн

Методы решения систем линейных уравнений. Метод Крамера решения систем линейных уравнений. Решение матричных уравнений.

ОГБПОУ «НОВГОРОДСКИЙ АГРОТЕХНИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ»

Инструкционная карта на выполнение

Практического занятия № 2 по дисциплине

«Математика»

Тема: Методы решения систем линейных уравнений

Наименование работы:. Метод Крамера решения систем линейных уравнений. Решение матричных уравнений.

Наименование объектов контроля и оценки	Основные показатели оценки результата
Умения: Решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности. Знания: Основные понятия и методы математического анализа, дискретной математики, теории вероятностей и математической статистики	Оценка результатов выполнения практических работ

Норма времени: 4 часа;

Условия выполнения: учебный кабинет;

Оснащение рабочего места: инструкционная карта, калькулятор

Правила по технике безопасности: С правилами техники безопасности на рабочем месте ознакомлены;

Литература: Хрипунова М. Б. Высшая математика. Учебник и практикум для спо М.:Юрайт.2018г.-474с

Уровни усвоения: 1 – 2 задания – 2 уровень

Домашнее, самостоятельное задание – 3 уровень

Теоретическая часть.

1. Решение систем уравнений методом Крамера.

Пример: Решить систему уравнений:

Решение:

Найдем определитель, составленный из коэффициентов в левой части системы уравнений:

Далее найдем определитель, который получаем из предыдущего заменой первого столбца на столбец свободных членов из правой части системы уравнений:

Следующий определитель получаем путем замены второго столбца на столбец свободных членов из правой части системы уравнений:

Находим решение системы по формулам:

Примечание:

При решении системы уравнений возможны три случая:

1. Определитель системы не равен нулю. Тогда система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера: , и

2. Определитель системы равен нулю. Если при этом хотя бы один из определителей не равен нулю, то система решений не имеет.

3. Если , то система имеет бесчисленное множество решений.

1. Вычисление обратной матрицы

Матрица является обратной для матрицы А, если

Е – единичная матрица,

Пример: Найти обратную матрицу для матрицы

Решение:

Найдем определитель

Найдем алгебраические дополнения для матрицы А

Находим обратную матрицу по формуле:

1. Решение системы уравнений матричным способом:

Пример: Решить систему уравнений матричным способом:

Решение:

В матричной форме данная система имеет вид: , а решение

Матрицу находили в ранее разобранном примере.

Тогда:

Окончательно имеем:

Практическая часть.

1. Найти обратную матрицу:

а) , б)

в) , г)

1. Решить систему уравнений методом Крамера и с помощью обратной матрицы.

а) б) в)

г) д) е)

домашнее задание:

Решить систему уравнений методом Крамера и с помощью обратной матрицы.

Самостоятельная работа:

Решить систему уравнений методом Крамера и с помощью обратной матрицы

1 вариант.

2 вариант

Критерии оценки:

«5» — Система решена двумя способами. Возможна 1 вычислительнае ошибка;

«4» — Система решена двумя способами, при этом допущены 2 вычислительные ошибки; либо система решена одним способом (матричным) без ошибок.

«3» — Система решена одним способом (метод Крамера), либо матричным (допущена одна вычислительная ошибка)

«2» — Задание не выполнено, либо допущено много вычислительных ошибок (более 2-х в каждом задании)

примеры решения, обратная матрица, определение

В данной статье мы расскажем о матричном методе решения системы линейных алгебраических уравнений, найдем его определение и приведем примеры решения.

Определение 1

Метод обратной матрицы — это метод, использующийся при решении СЛАУ в том случае, если число неизвестных равняется числу уравнений.

Пример 1

Найти решение системы n линейных уравнений с n неизвестными:

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1an1x1+an2x2+…+annxn=bn

Матричный вид записи: А×X=B

где А=а11а12⋯а1nа21а22⋯а2n⋯⋯⋯⋯аn1аn2⋯аnn — матрица системы.

X=x1x2⋮xn — столбец неизвестных,

B=b1b2⋮bn — столбец свободных коэффициентов.

Из уравнения, которое мы получили, необходимо выразить X. Для этого нужно умножить обе части матричного уравнения слева на A-1:

A-1×A×X=A-1×B.

Так как А-1×А=Е, то Е×X=А-1×В или X=А-1×В.

Замечание

Обратная матрица к матрице А имеет право на существование только, если выполняется условие det A не равен нулю. Поэтому при решении СЛАУ методом обратной матрицы, в первую очередь находится det А.

В том случае, если det A не равен нулю, у системы имеется только один вариант решения: при помощи метода обратной матрицы. Если det А = 0, то систему нельзя решить данным методом.

Пример 2

Решаем СЛАУ методом обратной матрицы:

2×1-4×2+3×3=1×1-2×2+4×3=33×1-x2+5×3=2

Как решить?

• Записываем систему в виде матричного уравнения АX=B, где

А=2-431-243-15, X=x1x2x3, B=132.  

• Выражаем из этого уравнения X:

X=A-1×B

• Находим определитель матрицы А:

det A= 2-431-243-15=2×(-2)×5+3×(-4)×4+3×(-1)×1-3×(-2)×3—1×(-4)×5-2×4-(-1)=-20-48-3+18+20+8=-25

det А не равняется 0, следовательно, для этой системы подходит метод решения обратной матрицей.

• Находим обратную матрицу А-1  при помощи союзной матрицы. Вычисляем алгебраические дополнения Аij к соответствующим элементам матрицы А:

А11=(-1)(1+1)-24-15=-10+4=-6,

А12=(-1)1+21435=-(5-12)=7,

А13=(-1)1+31-23-1=-1+6=5,

А21=(-1)2+1-43-15=-(-20+3)=17,

А22=(-1)2+22335-10-9=1,

А23=(-1)2+32-43-1=-(-2+12)=-10,

А31=(-1)3+1-43-24=-16+6=-10,

А32=(-1)3+22314=-(8-3)=-5,

А33=(-1)3+32-41-2=-4+4=0.

• Записываем союзную матрицу А*, которая составлена из алгебраических дополнений матрицы А:

А*=-675171-10-10-50

• Записываем обратную матрицу согласно формуле:

A-1=1detA(A*)T: А-1=-125-617-1071-55-100,

• Умножаем обратную матрицу А-1 на столбец свободных членов В и получаем решение системы:

X=A-1×B=-125-617-1071-55-100132=-125-6+51-207+3-105-30+0=-101

Ответ: x1=-1; x2=0; x3=1

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Навигация по статьям

Предыдущая статья

Исследование СЛАУ. Общие сведения

Следующая статья

Метод Гаусса

• Исследование СЛАУ. Общие сведения
• Итерационные методы решения СЛАУ
• Метод Гаусса
• Метод Жордана-Гаусса
• Метод Крамера
• Все темы по математике

• Дипломные работы
• Курсовые работы
• Рефераты
• Контрольные работы
• Отчет по практике
• Все предметы

Узнать подробнее

Программирование

Заказать такую же работу

задания обьем по заданию

• Вид работы:

  Контрольная работа

• Выполнена:

  22 декабря 2022 г.

• Стоимость:

  800 руб

Заказать такую же работу

Современные АЗС перспективы перехода на газовое топливо

• Вид работы:

  Реферат

• Выполнена:

  9 декабря 2022 г.

• Стоимость:

  1 200 руб

Заказать такую же работу

методом наименьших квадратов найти эмперическую формулу

• Вид работы:

  Решение задач

• Выполнена:

  8 декабря 2022 г.

• Стоимость:

  1 600 руб

Заказать такую же работу

Исследование эффективности компьютерных сетей

• Вид работы:

  Лабораторная работа

• Выполнена:

  17 октября 2022 г.

• Стоимость:

  2 400 руб

Заказать такую же работу

РАЗРАБОТКА КОТЛОВАНА ВЫБОР ЭКСКАВАТОРА И АВТОСАМОСВАЛА

• Вид работы:

  Контрольная работа

• Выполнена:

  7 июля 2022 г.

• Стоимость:

  1 300 руб

Заказать такую же работу

Смотреть все работы по java

14. Обратная матрица и правило Крамера

Преподавание, линейная алгебра и геометрия I UW

11 января 2019 м_корч

Проблемы, решения.

Теперь воспользуемся определителями и попутно введем понятие обратной матрицы.

Обратная матрица

Матрица является обратной к матрице , если , где – единичная матрица (матрица с единицами по диагонали и нулями везде). Обратная матрица обозначается как . Поскольку и , мы видим, что . Это означает, что только матрицы с ненулевыми определителями могут иметь свои обратные. Поэтому мы называем такие матрицы обратимыми.

Как вычислить обратную заданную матрицу? Недавно мы упоминали, что операции над строками матрицы, приводящие к уменьшенной «ступенчатости» for, на самом деле являются умножением на матрицу. Представьте, что мы преобразуем матрицу, состоящую из матрицы вместе с единичной матрицей, в редуцированную «ступенчатую» форму. Так как это квадратная матрица с ненулевым определителем, мы получим единичную матрицу в левой части: . Но заметьте, что если это матрица операций со строками, то . Поэтому и . Из первого уравнения следует, что . Второй то. Таким образом, мы получаем обратную матрицу справа после этих операций!

Напр. вычислим обратную следующую матрицу:

   

Итак:

   

   

И поэтому:

   

Определение одного элемента обратной матрицы

Если вам нужна не вся матрица, а только некоторые элементы, следующий способ кажется полезным. Он использует сопряженную матрицу к заданной. Сопряженная матрица — это матрица, в которой в -й строке и -м столбце стоит определитель матрицы (матрица без -й строки и -го столбца, здесь нет ошибки, здесь играет роль перестановка), умноженная на . Выполняется следующее равенство:

   

Следовательно, если мы хотим вычислить значение во второй строке и первом столбце из предыдущего примера, мы вычеркнем второй столбец и первую строку и вычислим определители, и получим:

   

что согласуется с результатом, полученным первым методом!

Правило Крамера

Имея систему уравнений с переменными, мы можем попытаться решить ее с помощью правила Крамера. Пусть – матрица этой системы без столбца свободных коэффициентов. Пусть – матрица , в которой вместо -го столбца поставлен столбец свободных коэффициентов. Тогда:

• если , система имеет ровно одно решение. Решение находится по следующей формуле: ,
• если , и хотя бы одно из не равно , система не имеет решений,
• если и для каждого , может быть ноль или бесконечно много решений — метод Крамера не дает точного ответа.

решим следующую систему уравнений:

   

Следовательно:

   

Так как эта система имеет ровно одно решение. Для его определения вычисляем остальные определители:

   

   

   

И так , , .

Glowna

Как решить систему уравнений, используя обратную матрицу

Если у вас есть коэффициент, привязанный к переменной на одной стороне матричного уравнения, вы можете умножить на обратный коэффициент, чтобы убрать этот коэффициент и оставить вас с просто переменная. Например, если 3 x = 12, как бы вы решили уравнение? Вы бы разделили обе части на 3, что равносильно умножению на 1/3, чтобы получить x = 4. Так и с матрицами.

В переменной форме обратная функция записывается как f ^–1 ( x ), где f ^–1 – обратная функция 90 076 ф. Аналогичным образом вы называете обратную матрицу; обратная матрица A равна A ^–1 . Если A, B и C являются матрицами в матричном уравнении AB = C, и вы хотите решить для B, как вы это делаете? Просто умножьте на обратную матрицу A (если обратная существует), которую вы напишите так:

A ^–1 [AB] = A ^–1 C

Таким образом, упрощенная версия будет B = A ^–1 C.

Теперь, когда вы упростили основное уравнение, вам нужно вычислить обратную матрицу в чтобы вычислить ответ на задачу.

Прежде всего необходимо установить, что обратные есть только у квадратных матриц — другими словами, количество строк должно быть равно количеству столбцов. И даже тогда не каждая квадратная матрица имеет обратную. Если определитель матрицы не равно 0, то матрица имеет обратную.

Как найти обратную матрицу

Когда матрица имеет обратную, у вас есть несколько способов найти ее, в зависимости от того, насколько велика матрица. Если матрица представляет собой матрицу 2×2, то вы можете использовать простую формулу, чтобы найти обратную. Однако для чего-то большего, чем 2 x 2, вы должны использовать графический калькулятор или компьютерную программу (многие веб-сайты могут найти для вас обратную матрицу).

Если вы не используете графический калькулятор, вы можете дополнить исходную обратимую матрицу единичной матрицей и использовать элементарные операции со строками, чтобы получить единичную матрицу там, где когда-то была исходная матрица. Эти вычисления оставляют обратную матрицу, где у вас была идентичность изначально. Однако этот процесс сложнее.

С учетом сказанного, вот как найти обратную матрицу 2-x-2:

Если матрица A является матрицей 2-x-2

, ее обратная сторона выглядит следующим образом:

Просто следуйте этому формату с любым Матрица 2×2, которую вас просят найти.

Как решать уравнения

Вооружившись системой уравнений и знанием того, как использовать обратные матрицы, вы можете выполнить ряд простых шагов, чтобы прийти к решению системы, опять же используя проверенную старую матрицу. Например, вы можете решить следующую систему, используя обратные матрицы:

Эти шаги показывают вам путь:

1. Запишите систему в виде матричного уравнения.

   Если записать матричное уравнение, получится

   .

2. Создайте обратную матрицу коэффициентов из матричного уравнения.

   Вы можете использовать эту обратную формулу:

   В этом случае a = 4, b = 3, c = –10 и d = –2. Следовательно, ad – bc = 22. Следовательно, обратная матрица равна

   .

3. Умножьте обратную матрицу коэффициентов в начале с обеих сторон уравнения.

   Теперь у вас есть следующее уравнение:

4. Отменить матрицу слева и перемножить матрицы справа.

   Обратная матрица, умноженная на матрицу, уравновешивается. У вас осталось

5. Умножьте скаляр, чтобы решить систему.

   Вы закончите со значениями x и y :

Обратите внимание, что умножение скаляра обычно проще после умножения двух матриц.