Что такое область значения функции и как ее найти: виды, свойства, примеры решения задач

Область определения функции y(x)

Областью определения называют множество значений аргумента при котором существует значение функции и обозначают или . Областью значений называют множество чисел, которые принимает функция при прохождении аргументом всех значений из области определения.
Ее обозначают или . Графически обе области хорошо иллюстрирует следующий рисунок

Для схематической функции рассматриваемые области принимают значения

Методика нахождения области определения для всех функций одна и та же: нужно выявить точки при которых функция не существует, а затем исключить из множества действительных чисел . В результаты получим набор промежутков или интервалов, точки, которые образуют область определения.

Особенности элементарных функций

1) Если функция имеет вид полинома то ее областью определения будет вся действительная ось или . Такая функция определена повсюду.

2) Дробно рациональная функция , где – полиномы, областью определения имеет значения аргумента при которых знаменатель не превращается в ноль. Сначала находим решения уравнения, если те существуют, вырезаем из множества действительных значений. В результате получим набор интервалов

где – корни уравнения .

3) Функция содержит корень парного степени . В таком случае областью определения будут точки , при которых подкоренная функция принимает неотрицательные значения, т.е. решения неравенства .

4) Если корень содержит знаменатель

то область определения определяют из строгого неравенства .

5) Если в знаменателе имеем корень нечетной степени

то область определения находим из условия .

5) Если является логарифмом от другой функции , то по свойству логарифма область определения находим из условия . Как правило, это будет интервал или несколько интервалов.

6) Экспонента областью определения имеет множество аргументов , для которых определена . Например, функция определена на всей действительной оси.

7) Простые тригонометрические функции (косинус и синус) определены на всем множестве действительных чисел .

8) Тангенс и котангенс областями определения имеют интервалы, граничащих между собой точками

для первой функции и

для второй, т.е.

В случаях когда при аргументах есть множители , точки в которых функция не существует следует определять из условия

Подобным образом и для котангенса

9) Следует отметить, что обратные тригонометрические функции — арксинус и арккосинус областями значений имеют отрезок . Для отыскания областей определения необходимо решить двойное неравенство

Например, для функции имеем неравенство с которого получим

При суперпозиции функций, то есть когда задана их комбинацию, нужно находить область определения каждой из функций, после чего — сечение найденных областей.

Пример.

Решение.

Область определения первого слагаемого находим из неравенства

Второй и третий дадут следующий вклад

Сечением найденных областей будет интервал

—————————————

Находите области определения по приведенной выше схеме, выключайте все лишние промежутки и точки и не допускайте ошибок. Помните, что установление областей определения — это одно из самых простых заданий при исследовании функции.

Посмотреть материалы:

• Исследования функции и построения графика
• Интервалы монотонности функции
• Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
• Локальный экстремум функции. Примеры
• Выпуклость и вогнутисть графика функции
• Асимптоты функции

Помогите решить / разобраться (М)

Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное

Правила форума

Someone	Re: Найти область значения функции без использования производной 14.10.2019, 00:27
Заслуженный участник 23/07/05 17973 Москва	Можно ещё написать уравнение с параметром и попытаться определить, при каких значениях это уравнение имеет решение.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

2.

ПРИМЕЧАНИЕ. Это заархивированная версия этих заметок 2020-21 гг., которая может быть устаревшей. Текущие студенты CSC110/111 должны посетить текущую страницу заметок, https://www.teach.cs.toronto.edu/~csc110y/fall/notes/.

Одно из ключевых назначений функций — разделить различные вычисления в программе, чтобы нам не приходилось беспокоиться о них всех сразу. Когда мы пишем наш код в отдельных функциях, мы можем сосредоточиться на работе только с одной функцией и игнорировать остальной код в других функциях.

Одним из способов, которым Python поддерживает этот способ проектирования программ, является разделение переменных в каждой функции, так что вызов функции может обращаться только к своим собственным переменным, но не к переменным, определенным в других функциях . В этом разделе мы рассмотрим, как это работает, и узнаем больше о том, как Python отслеживает вызовы функций и переменные.

Пример 1: введение области действия локальной переменной

Рассмотрим пример из предыдущего раздела:

 квадрат по определению (x: число с плавающей запятой) -> число с плавающей запятой:
    """Возврат х в квадрате.

    >>> квадрат(3.0)
    9,0
    >>> квадрат(2,5)
    6,25
    """
    возврат х ** 2 

Параметр x — это переменная , которой присваивается значение в зависимости от того, когда была вызвана функция. Поскольку эта переменная полезна только внутри тела функции, Python не позволяет сделать ее доступной снаружи тела. Мы говорим, что x — это локальная переменная из квадратных , потому что она ограничена телом функции. Вот еще один способ выразить это, используя важное новое определение. Область переменной — это места в коде, где можно получить доступ к этой переменной. Локальная переменная функции — это переменная, областью действия которой является тело этой функции.

Давайте проиллюстрируем это, сначала создав переменную в консоли Python, а затем вызвав квадрат 9.0020 .

 >>> n = 10,0
>>> результат = квадрат (n + 3,5) 

Мы знаем, что при вызове Square сначала вычисляется его аргумент-выражение n + 3,5 , в результате чего получается значение 13,5 , которое затем присваивается параметру x . Теперь давайте рассмотрим, как выглядит модель памяти при вычислении оператора return . Наивная диаграмма просто показала бы две переменные n и x и соответствующие им значения: мы не показываем результат , потому что ему еще не присвоено значение; это происходит только после возврата квадрат .

Но это очень обманчиво! В наших диаграммах модели памяти мы группируем переменные в зависимости от того, вводятся ли они в консоли Python или внутри функции:

Мы используем имя __main__ для обозначения таблицы переменных, определенных в консоли Python. Это специальное имя в Python — подробнее об этом позже. Внутри тела квадрат , единственная переменная , которую можно использовать, равна x , а снаружи в консоли Python только переменная , которую можно использовать, равна n . Поначалу это может показаться сложным, но эти диаграммы моделей памяти — хороший способ визуализировать происходящее. В момент, когда вычисляется тело квадрата, активна только таблица « квадрат » в модели памяти:

Но после того, как квадрат возвращается, и мы возвращаемся к консоли Python, таблица « квадрат » больше не доступна, и активна только таблица __main__ :

Попытка доступа к переменной x из консоли Python приводит к ошибке:

 >>> n = 10,0
>>> квадрат(n + 3,5)
182,25
>>> х
Traceback (последний последний вызов):
  Файл "", строка 1, в 
NameError: имя «x» не определено 

Пример 2: повторяющиеся имена переменных

Принцип «отдельных таблиц» в нашей модели памяти применяется даже тогда, когда мы используем одно и то же имя переменной в двух разных местах. Предположим, мы изменили наш пример выше, чтобы использовать x вместо n в консоли Python:

 >>> х = 10,0
>>> результат = квадрат (х + 3,5) 

Следуя тем же рассуждениям, что и выше, выражение аргумента x + 3,5 вычисляется для получения 13,5 , которое затем присваивается параметру x . Изменяет ли это переменную x в консоли Python? Нет! Это разные переменные, даже если они имеют одно и то же имя.

Мы можем подтвердить это после оценки вызова функции, проверив значение исходного x .

 >>> х = 10,0
>>> результат = квадрат (х + 3,5)
>>> результат
182,25
>>> х
10,0 

Вот как выглядит наша модель памяти после возврата квадратов :

Пример 3: (не)доступ к переменным другой функции

Наш последний пример в этом разделе включает две функции, одна из которых вызывает другую:

 квадрат по определению (x: число с плавающей запятой) -> число с плавающей запятой:
    """Возврат х в квадрате. 

    >>> квадрат(3.0)
    9,0
    >>> квадрат(2,5)
    6,25
    """
    вернуть х**2


def Square_of_sum (числа: список) -> float:
    """Вернуть квадрат суммы заданных чисел."""
    итог = сумма (числа)
    обратный квадрат (всего) 

Давайте сначала вызовем нашу новую функцию Square_of_sum в консоли Python:

 >>> числа = [1,5, 2,5]
>>> результат = квадрат_суммы (числа)
>>> результат
16.0 

Мы можем проследить, что происходит в трех точках, когда мы вызываем Square_of_sum :

Из этих диаграмм видно, как список [1. 5, 2.5] передается из консоли в Square_of_sum , и как число 4.0 передается из Square_of_sum в квадрат .

Теперь предположим, что мы хотим сделать что-то немного глупое: иметь квадратных доступа к всего вместо x . Из нашей модели памяти мы знаем, что этим переменным должно быть присвоено одно и то же значение, поэтому поведение программы не должно измениться, верно?

 квадрат по определению (x: число с плавающей запятой) -> число с плавающей запятой:
    """Возврат х в квадрате.

    >>> квадрат(3.0)
    9,0
    >>> квадрат(2,5)
    6,25
    """
    return total ** 2 # Теперь мы используем total вместо x


def Square_of_sum (числа: список) -> float:
    """Вернуть квадрат суммы заданных чисел."""
    итог = сумма (числа)
    обратный квадрат (всего) 

Давайте посмотрим, что произойдет, когда мы попытаемся позвонить Square_of_sum в консоли Python теперь:

 >>> числа = [1,5, 2,5]
>>> Square_of_sum(числа)
Traceback (последний последний вызов):
  Файл "", строка 1, в 
  Файл "", строка 15, в square_of_sum
  Файл "", строка 9, в квадрате
NameError: имя «всего» не определено 

Произошла ошибка! Посмотрим на состояние памяти при вызове квадрата (то же самое, что и выше):

Что ж, действительно есть переменная total и переменная x с одним и тем же значением, 4. 0 . Так почему же мы получаем эту ошибку? Правило Python для локальной области видимости: локальная переменная доступна только в теле функции, она определена . Здесь оператор return total ** 2 находится в теле квадрат , но пытается получить доступ к локальной переменной другой функции ( Square_of_sum ). Когда интерпретатор Python пытается получить значение total , он ищет только в области квадрат и не находит total , что приводит к NameError .

Несколько неинтуитивный момент в этом поведении заключается в том, что это происходит даже когда Square_of_sum все еще активен . В нашем примере Square вызывается из Square_of_sum , поэтому переменная total действительно существует в памяти Python — она просто недоступна. Хотя это может показаться ограничением языка, на самом деле это хорошо: это предотвращает случайное использование переменной из совершенно другой функции при работе с функцией.

Резюме

В этом разделе мы узнали, как Python обрабатывает локальных переменных , сделав их доступными только из той функции, в которой они определены. Хотя мы надеемся, что это интуитивно понятно, некоторые детали и диаграммы, которые мы здесь представили, носили чисто технический характер. Рекомендуем вернуться к этому разделу через несколько дней и просмотреть этот материал, возможно, объяснив своими словами, что происходит в каждом примере. Вы также можете попрактиковаться в рисовании диаграммы модели памяти в этом стиле для будущего кода, который вы пишете.

 [1] 0 1 2 3
[1] «Питон» «Р»
[1] 1 2 3 4
[1] «Деби» «Сандип» «Субхам» «Шиба»
[[1]]
[1] 1 2 3 4
[[2]]
[1] «Деби» «Сандип» «Субхам» «Шиба» 

 Ошибка: неожиданный символ в "2b"
Выполнение остановлено 

 [1] 5
[1] 10 

 Ошибка печати (возраст): объект 'возраст' не найдено 

 Возраст:
[1] 18 

 Ошибка печати(а): объект "а" не найден 

 [1] 10
[1] 10
[1] 10