примеры решения, обратная матрица, определение
В данной статье мы расскажем о матричном методе решения системы линейных алгебраических уравнений, найдем его определение и приведем примеры решения.
Определение 1Метод обратной матрицы — это метод, использующийся при решении СЛАУ в том случае, если число неизвестных равняется числу уравнений.
Пример 1Найти решение системы n линейных уравнений с n неизвестными:
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1an1x1+an2x2+…+annxn=bn
Матричный вид записи: А×X=B
где А=а11а12⋯а1nа21а22⋯а2n⋯⋯⋯⋯аn1аn2⋯аnn — матрица системы.
X=x1x2⋮xn — столбец неизвестных,
B=b1b2⋮bn — столбец свободных коэффициентов.
Из уравнения, которое мы получили, необходимо выразить X. Для этого нужно умножить обе части матричного уравнения слева на A-1:
A-1×A×X=A-1×B.
Так как А-1×А=Е, то Е×X=А-1×В или X=А-1×В.
ЗамечаниеОбратная матрица к матрице А имеет право на существование только, если выполняется условие det A не равен нулю.
В том случае, если det A не равен нулю, у системы имеется только один вариант решения: при помощи метода обратной матрицы. Если det А = 0, то систему нельзя решить данным методом.
Пример 2Решаем СЛАУ методом обратной матрицы:
2×1-4×2+3×3=1×1-2×2+4×3=33×1-x2+5×3=2
Как решить?
- Записываем систему в виде матричного уравнения АX=B, где
А=2-431-243-15, X=x1x2x3, B=132.
- Выражаем из этого уравнения X:
X=A-1×B
- Находим определитель матрицы А:
det A= 2-431-243-15=2×(-2)×5+3×(-4)×4+3×(-1)×1-3×(-2)×3—1×(-4)×5-2×4-(-1)=-20-48-3+18+20+8=-25
det А не равняется 0, следовательно, для этой системы подходит метод решения обратной матрицей.
- Находим обратную матрицу А-1 при помощи союзной матрицы. Вычисляем алгебраические дополнения Аij к соответствующим элементам матрицы А:
А11=(-1)(1+1)-24-15=-10+4=-6,
А12=(-1)1+21435=-(5-12)=7,
А13=(-1)1+31-23-1=-1+6=5,
А21=(-1)2+1-43-15=-(-20+3)=17,
А22=(-1)2+22335-10-9=1,
А23=(-1)2+32-43-1=-(-2+12)=-10,
А31=(-1)3+1-43-24=-16+6=-10,
А32=(-1)3+22314=-(8-3)=-5,
А33=(-1)3+32-41-2=-4+4=0.
- Записываем союзную матрицу А*, которая составлена из алгебраических дополнений матрицы А:
А*=-675171-10-10-50
- Записываем обратную матрицу согласно формуле:
A-1=1detA(A*)T: А-1=-125-617-1071-55-100,
- Умножаем обратную матрицу А-1 на столбец свободных членов В и получаем решение системы:
X=A-1×B=-125-617-1071-55-100132=-125-6+51-207+3-105-30+0=-101
Ответ: x1=-1; x2=0; x3=1
Решение задач
от 1 дня / от 150 р.
Курсовая работа
от 5 дней / от 1800 р.
Реферат
от 1 дня / от 700 р.
Автор: Ирина Мальцевская
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Свойства обратной матрицы.
Понятие обратной матрицы, равенство , определения операций над матрицами и свойства определителя матрицы позволяют обосновать следующие свойства обратной матрицы:
Для невырожденной квадратной матрицы
Для обратимой матрицы А выполняется равенство .
Для любого отличного от нуля числа k справедливо равенство .
Для невырожденных квадратных матриц А и В одного порядка выполняется равенство .
Нахождение элементов обратной матрицы с помощью решения соответствующих систем линейных алгебраических уравнений.
Рассмотрим еще один способ нахождения обратной матрицы для квадратной матрицы Апорядка n на n.
Этот метод основан на решении n систем линейных неоднородных алгебраических уравнений с n неизвестными. Неизвестными переменными в этих системах уравнений являются элементы обратной матрицы.
Идея очень проста. Обозначим обратную матрицу как X, то есть, . Так как по определению обратной матрицы , то
Приравнивая соответствующие элементы по столбцам, получим n систем линейных уравнений
Решаем
их любым способом и из найденных значений
составляем обратную матрицу.
Разберем этот метод на примере.
Пример.
Дана матрица . Найдите обратную матрицу.
Решение.
Примем . Равенство дает нам три системы линейных неоднородных алгебраических уравнений:
Не будем расписывать решение этих систем, при необходимости обращайтесь к разделурешение систем линейных алгебраических уравнений.
Из первой системы уравнений имеем , из второй — , из третьей — . Следовательно, искомая обратная матрица имеет вид . Рекомендуем сделать проверку, чтобы убедиться в правильности результата.
Подведем итог.
Мы рассмотрели понятие обратной матрицы, ее свойства и три метода ее нахождения.
Пример решений методом обратной матрицы
Задание
1. Решить
СЛАУ методом обратной матрицы.
2
x
Начало формы
Конец формы
Решение.
Запишем матрицу в виде:
Вектор
B:
BT =
(1,2,3,4)
Главный
определитель
Минор
для (1,1):
=
5•(6•1-3•2)-7•(3•1-3•2)+4•(3•2-6•2) = -3
Минор
для (2,1):
=
3•(6•1-3•2)-7•(3•1-3•1)+4•(3•2-6•1) = 0
Минор
для (3,1):
=
3•(3•1-3•2)-5•(3•1-3•1)+4•(3•2-3•1) = 3
Минор
для (4,1):
=
3•(3•2-6•2)-5•(3•2-6•1)+7•(3•2-3•1) =
3
Определитель
минора
∆
= 2•(-3)-3•0+5•3-4•3 = -3
Транспонированная матрица
Алгебраические дополнения ∆1,1 = 5•(6•1-2•3)-3•(7•1-2•4)+2•(7•3-6•4) = -3 ∆1,2 = -3•(6•1-2•3)-3•(7•1-2•4)+1•(7•3-6•4) = 0 ∆1,3 = 3•(3•1-2•3)-3•(5•1-2•4)+1•(5•3-3•4) = 3 ∆1,4 = -3•(3•2-2•6)-3•(5•2-2•7)+1•(5•6-3•7) = -3 ∆2,1 = -3•(6•1-2•3)-3•(5•1-2•4)+2•(5•3-6•4) = 9 ∆2,2 = 2•(6•1-2•3)-3•(5•1-2•4)+1•(5•3-6•4) = 0 ∆2,3 = -2•(3•1-2•3)-3•(3•1-2•4)+1•(3•3-3•4) = -6 ∆2,4 = 2•(3•2-2•6)-3•(3•2-2•5)+1•(3•6-3•5) = 3 ∆3,1 = 3•(7•1-2•4)-5•(5•1-2•4)+2•(5•4-7•4) = -4 ∆3,2 = -2•(7•1-2•4)-3•(5•1-2•4)+1•(5•4-7•4) = 1 ∆3,3 = 2•(5•1-2•4)-3•(3•1-2•4)+1•(3•4-5•4) = 1 ∆3,4 = -2•(5•2-2•7)-3•(3•2-2•5)+1•(3•7-5•5) = 0 ∆4,1 = -3•(7•3-6•4)-5•(5•3-6•4)+3•(5•4-7•4) = -12 ∆4,2 = 2•(7•3-6•4)-3•(5•3-6•4)+3•(5•4-7•4) = -3 ∆4,3 = -2•(5•3-3•4)-3•(3•3-3•4)+3•(3•4-5•4) = 9 ∆4,4 = 2•(5•6-3•7)-3•(3•6-3•5)+3•(3•7-5•5) = -3 Обратная матрица
33,1)
x1 =
2
x2 =
-1
x3 =
-0.33
x4 =
1см. также решений СЛАУ методом обратной матрицы online. Для этого введите свои данные и получите решение с подробными комментариями.
Задание 2. Систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы. Сделать проверку полученного решения. Решение:xml:xls
Пример 2. Записать систему уравнений в матричной форме и решить с помощью обратной матрицы. Решение:xml:xls
Пример.
Дана система трех линейных уравнений
с тремя неизвестными. Требуется: 1) найти
ее решение с помощью формул
Крамера;
2) записать систему в матричной форме и
решить ее средствами матричного
исчисления. Методические
рекомендации.
После решения методом Крамера, найдите
кнопку «Решение методом обратной
матрицы для исходных данных». Вы
получите соответствующее решение. Таким
образом, данные вновь заполнять не
придется.
Решение.
Обозначим через А — матрицу коэффициентов
при неизвестных; X — матрицу-столбец
неизвестных; B — матрицу-столбец свободных
членов:
|
Вектор
B:
BT=(4,-3,-3)
С
учетом этих обозначений данная система
уравнений принимает следующую матричную
форму: А*Х = B.
Если матрица А —
невырожденная (ее определитель отличен
от нуля, то она имеет обратную матрицу
А-1.
Умножив обе части уравнения на А-1,
получим: А-1*А*Х
= А-1*B,
А-1*А=Е.
Это
равенство называется матричной
записью решения системы линейных
уравнений.
Для нахождения решения системы уравнений
необходимо вычислить обратную матрицу
А-1.
Система
будет иметь решение, если определитель
матрицы A отличен от нуля.
Найдем
главный
определитель.
∆=-1•(-2•(-1)-1•1)-3•(3•(-1)-1•0)+2•(3•1-(-2•0))=14
Итак,
определитель 14 ≠ 0, поэтому продолжаем
решение. Для этого найдем обратную
матрицу через алгебраические
дополнения.
Пусть имеем невырожденную
матрицу А:
A= |
|
Тогда:
A=1/∆ |
|
где
Aij —
алгебраическое дополнение элемента
aij в
определителе матрицы А, которое является
произведением (—1)i+j на
минор (определитель) n-1 порядка,
полученный вычеркиванием i-й строки
и j-го столбца
в определителе матрицы А.
Транспонированная
матрица
AT= |
|
Вычисляем алгебраические дополнения.
A1,1=(-1)1+1 |
|
∆1,1=(-2•(-1)-1•1)=1
A1,2=(-1)1+2 |
|
∆1,2=-(3•(-1)-0•1)=3
A1,3=(-1)1+3 |
|
∆1,3=(3•1-0•(-2))=3
A2,1=(-1)2+1 |
|
∆2,1=-(3•(-1)-1•2)=5
A2,2=(-1)2+2 |
|
∆2,2=(-1•(-1)-0•2)=1
A2,3=(-1)2+3 |
|
∆2,3=-(-1•1-0•3)=1
A3,1=(-1)3+1 |
|
∆3,1=(3•1-(-2•2))=7
A3,2=(-1)3+2 |
|
∆3,2=-(-1•1-3•2)=7
A3,3=(-1)3+3 |
|
∆3,3=(-1•(-2)-3•3)=-7 Обратная матрица
A-1=1/14 |
|
Вектор результатов X X=A-1 • B
|
X=1/14 |
X=1/14 |
|
XT=(-1,1,2)
x1=-14 / 14=-1
x2=14 / 14=1
x3=28 / 14=2 Проверка.