|
|||
|
Это решение однако не было им опубликовано, но было сообщено одному ученику – Флориде. Последний, находясь в 1535 году в Венеции, вызвал на состязание уже известного в то время математика Тарталью из Брешии и предложил ему несколько вопросов, для разрешения которых нужно было уметь решать уравнения третьей степени. Но Тарталья уже нашел раньше сам решение таких уравнений и, мало того, не только одного того частного случая, который был решен Феррео, но и двух других частных случаев. Тарталья принял вызов и сам предложил Флориде также свои задачи. Результатом состязания было полное поражение Флориде. Тарталья решил предложенные ему задачи в продолжение двух часов, между тем как Флориде не мог решить ни одной задачи, предложенной ему его противником (число предложенных с обеих сторон задач было 30). Тарталья продолжал, подобно Феррео, скрывать свое открытие, которое очень интересовало Кардано, профессора математики и физики в Милане. Последний готовил к печати обширное сочинение об арифметике, алгебре и геометрии, в котором он хотел дать также решение уравнений 3-ей степени.
Здесь впервые вводится знак равенства (=). Во Франции в 1558 году появилось первое сочинение об алгебре, принадлежащее Пелетариусу; в Голландии Стевин в 1585 г. не только изложил исследования, известные уже до него, но и ввел некоторые усовершенствования в алгебру. Например, он уже обозначал неизвестные. Правда, для обозначения неизвестных он использовал всего лишь числа, обведенные в кружочек. Так первая неизвестная (теперь обычно обозначаемая x) у него обозначалась обведенной в кружочек единицей, вторая – обведенной двойкой, и так далее. Громадные успехи сделала алгебра после сочинений Виета, который первый рассмотрел общие свойства для уравнений произвольных степеней и показал способы для приблизительного нахождения корней каких бы то ни было алгебраических уравнений. Он же первый обозначил величины, входящие в уравнения буквами, и тем придал алгебре ту общность, которая составляет характеристическую особенность алгебраических исследований нового времени. Он же подошел весьма близко к открытию формулы бинома, найденной впоследствии Ньютоном, и, наконец, в его сочинениях можно даже встретить разложение отношения стороны квадрата, вписанного в круг к дуге круга, выраженное в виде бесконечного произведения.
Исключительное право сохранено за автором текста. Решение уравнений третьей степени различными способами
Похожие презентации:
Решение систем уравнений различными способами
Квадратные уравнения и различные способы их решения
Решение квадратных уравнений различными способами
Различные способы решения иррациональных уравнений
Решение квадратных уравнений различного вида, разными способами
Различные способы при разложении многочлена на множители
Разложение многочлена на множители различными способами
Методы решения уравнений
Решение одного тригонометрического уравнения несколькими способами. 10 класс
Методы решения уравнений
1. Проект по алгебре: «Решение уравнений третьей степени различными способами».
Выполнила ученица 9 классаЗингейской СОШ
Пушкарева Марина
2. Цель проекта:
• Совершенствовать свои умения и навыкипри решении уравнений;
• Познакомиться с историческими
сведениями о решении уравнений;
• Представить материал в виде презентации.
3. Омар Хайям (ок. 1048- ок. 1123)
Описал всевозможные видыуравнений третьей степени и
рассмотрел сложные и
красивые способы
геометрических построений
для отыскания их решения.
3
2
аx bx cx d 0
• В начале XVI века в крупных
торговых городах Северной Италии
были популярны математические
состязания. Математики публично
вызывали соперников на поединок,
причем на победителя обычно
делались денежные ставки. В это
время быстро распространялось
преподавание арифметики,
необходимой в торговле, и
публичные состязания обеспечивали
соперничающим преподавателям
известность и привлекали учеников.
Задачи формулировались для
числовых значений, но иногда
требовали решения алгебраических
уравнений более высокого порядка.
Результаты состязаний
обнародовались, но методы
решения математических задач —
оружие в борьбе за репутацию и
доходы — каждый из участников
противоборства предпочитал
держать в секрете.
• Николо Тарталья (ребёнок
из очень бедной семьи,
мать не могла платить за
образование, поэтому
мальчик в школе узнал
только половину азбуки,
всеми остальными
знаниями он овладел
самостоятельно). В 6 лет
он получил удар мечом в
гортань от французского
воина и с тех пор говорил
с трудом, отсюда и
прозвище Тарталья
(заика). Он вывел
формулы для решения
уравнений 3-ей степени,
но своё открытие держал
в тайне.
Никколо Тарталья
(1499-1557)
• Джероламо Кардано (медик)
занимался астрологией,
составлял гороскопы.
Кардано неоднократно
обращался к Тарталье с
просьбой сообщить ему
формулу для решения
кубических уравнений и
обещал хранить её в
секрете. Он не сдержал
слово и опубликовал
формулу, указав, что
Тарталье принадлежит честь
открытия «такого
прекрасного и
удивительного,
превосходящего все таланты
человеческого духа».
Джероламо Кардано
(1501-1576)
7. x³-3x-2=0 1) Разложение на множители:
x³-3x-2=x³+x²-x²-x-2x-2=0
x²(x+1)-x(x+1)-2(x+1)=0
(x+1)(x²-x-2)=0
x=-1
D=1+8=9
x₁=2
x₂=-1
Ответ: -1; 2.
8. 2) Решение с помощью теоремы Безу: x³-3x-2=0
x³-3x-2=0
(-1)³ -3(-1)-2=0
x=-1
x³-3x-2 x+1
x³+x²
x²-x-2
-x²-3x
-x²-x
-2x-2
-2x-2
0
• x³-3x-2 =(x+1)(x²-x-2)=0
Ответ: -1; 2.
9. 3) Графический способ решения:
• x³-3x-2=0• Ответ: -1; 2.
10. x³-7x+6=0 1) Разложение на множители:
x³-7x+6=0
x(x²-1)-6(x-1)=0
x(x-1)(x+1)-6(x-1)=0
(x²+x-6)(x-1)=0
D=1+24=25
x-1=0
x₁=2
x=1
x₂=3
Ответ: -3; 1; 2.
11. 2) Решение с помощью теоремы Безу: 1³-7+6=0
• 1³-7+6=0• x³-7x+6 x-1
• x³-x²
x²+x-6
x²-7x
-x²+x
-6x+6
-6x+6
0
x³-7x+6=(x-1)(x²+x-6)
x=1
x²+x-6=0
D=1+24=25
x₁=2
x₂=-3
Ответ: -3; 1; 2.
12. 3) Графический способ решения:
• Ответ: -3; 1; 2.13. x³-13x+12=0 1) Разложение на множители:
x³-13x+12=0
x³-x-12x+12=0
x(x²-1)-12(x-1)=0
x(x-1)(x+1)-12(x-1)=0
(x²+x-12)(x-1)=0
D=1+48=49
x=1
x₁=3
x₂=-4
Ответ: -4; 1; 3.
14. 2) Решение с помощью теоремы Безу: x³-13x+12=0
x³-13x+12=0
1-13+12=0
x=1
x³-13x+12 x-1
x³-x²
x²+x-12
x²-13x
x²-x
-12x+12
-12x+12
0
• x³-13x+12=(x-1)(x²+x12)=0
• x=1
D=1+48=49
x₁=3
x₂=-4
Ответ: -4; 1; 3.
15. 3) Графический способ решения:
• Ответ: -4; 1; 3.16. 2x³+x²-3=0 1) Разложение на множители:
2x³+x²-3=0
3x³-x³+x²-3=0
3(x³-1)-x²(x-1)=0
3(x-1)(x²+x+1)-x²(x-1)=0
(x-1)(3x²+3x+3-x²)=0
(x-1)(2x²+3x+3)=0
x=1
2x²+3x+3=0
D=9-24=-15
Ответ: 1.
17. 2) Решение с помощью теоремы Безу: 2x³+x²-3=0
• 2x³+x²-3 x-1• 2x³-2x² 2x²+3x+3
3x²-3
3x²-3x
3x-3
3x-3
0
• (x-1)(2x²+3x+3)=0
• x=1 или 2x²+3x+3=0
D=9-24=-15
Ответ: 1.
18. 3) Графический способ решения:
• Ответ: 1.English Русский Правила
Скандал давно минувших дней
Борис Дружинин
«Квантик» №7, 2014
Ни одно научное открытие не носит имени своего истинного автора.
Принцип Арнольда (открыт С. Стиглером)
Как-то в редакции одного математического журнала за чашкой чая зашёл разговор о справедливости в науке. Вспомнили, что «кольца Ньютона» открыл Гук, «преобразования Лоренца» первым выполнил Фитцджеральд, в Америке за 500 лет до Колумба побывал Эйрик Рыжий, а ещё за 100 лет до него — Гунбьёрн. В математике Гаусс разработал «неевклидову геометрию» до Лобачевского, Бойяи и Римана, «формулами Виета» пользовались ещё до его рождения.
– И «формулу Кардано» для решения кубического уравнения сам Кардано попросту украл у Тартальи, — припомнил кто-то.
«Великое искусство»
В 1545 году из-под пера Джероламо Кардано вышла книга «Великое искусство» (Ars magna), собравшая все новейшие достижения в математике к середине XVI века.
И сразу разразился скандал.
Но сначала немного истории.
Мрачное средневековье погрузило европейскую науку, в том числе и математику, в спячку на тысячу лет. Труды греческих учёных оказались никому не нужными, и про них попросту забыли. Конечно, купцы привозили отрывочные сведения о достижениях арабских математиков, но это купцы, их интересовала арифметика. Однако жизнь продолжалась, экономика развивалась, и ей потребовались научные и технические достижения.
Математика сдвинулась с «мёртвой точки». Даже стали проводиться математические состязания, некое подобие дуэлей. Два математика посылали друг другу определённое число задач, кто больше решит, тот и победитель. И этот победитель не только получал звание великого математика, но и вполне мог занять весьма привлекательное в материальном отношении место математика при дворе герцога, короля, а то и самого Папы Римского. Так что сражаться было за что.
Загубить науку можно быстро, буквально в течение жизни одного поколения.
А для восстановления науки требуются столетия. И в XVI веке европейские математики только осваивали наследие древних греков, индусов и арабов. Рецепты решения квадратных уравнений определённого вида встречались ещё в древнем Вавилоне. Евклид в некоторых задачах на построение фактически решал квадратные уравнения. Умели их решать и арабские математики. Правда, решали они их при помощи геометрических построений, но зато получали правильные ответы. Кубические уравнения решать никто не умел.
И вот в книге Кардано появились общие формулы корней кубического уравнения! Сенсация! Греки остались позади! Но откуда взялся скандал?
Дель Ферро, Фиоре и Тарталья
Первым справился с решением кубического уравнения вида x3+ ax = b профессор математики из Болонского университета Сципион дель Ферро. Перед смертью в 1526 году он поделился своей находкой с учениками. Один из них, некий Антонио Фиоре, попытался при помощи этого подарка стать непобедимым в поединках математиков.
Никколо родился около 1500 года. Ещё в детстве он получил ранение горла, говорил с трудом, за что и получил прозвище Тарталья, что значит «заика». Бедная семья не могла оплатить учёбу сына в школе, но мальчик упорно постигал сам все науки, в том числе и математику. К моменту описываемых событий он уже получил известность и за пределами родной Брешии.
Поединок
Фиоре предложил Тарталье тридцать задач, и каждая была связана с необходимостью решения уравнения третьей степени. В то время такие задачи считались неразрешимыми в общем случае. Поэтому почти до конца срока Тарталья даже не пытался их решать: он собирался обличить противника в том, что тот дал ему задачи, с которыми сам не может справиться. Но тут до Тартальи дошли слухи, что у Фиоре есть способ решать такие уравнения. Приложив огромные усилия, Тарталья и сам нашёл такой способ, быстро расправился со всеми тридцатью задачами и отправил свои записи нотариусу, исполнявшему роль судьи.
Что же касается Фиоре, то он не смог решить ни одной задачи, предложенной ему Тартальей. Более того, он не смог решить и ни одной своей задачи, хотя владел методом дель Ферро. И это ещё раз доказывает необходимость регулярных занятий и тренировок. Любой человек знает, что забить гвоздь можно, если приставить его острым концом к доске и ударить молотком. Знать-то он знает, но научится грамотно забивать только после того, как погнёт тысячу гвоздей и сотню раз попадёт по пальцам — естественно, по своим.
К математике подобное утверждение относится в гораздо большей степени. Фиоре, получив от дель Ферро готовый рецепт нахождения корней кубического уравнения, не сомневался, что теперь-то он справится с любой задачей, и поэтому не утруждал себя подготовкой к состязанию. А вот Тарталья сам решил кубическое уравнение в общем виде, получил прекрасную практику обращения с такими уравнениями, поэтому и одолел все задачи за несколько дней.
И вот ирония судьбы. Формула корня кубического уравнения, открытая дель Ферро и независимо от него Тартальей, носит имя Кардано.
Так в чём же дело?
|
Кардано
Цель, к которой я стремился, заключалась в увековечении моего имени…
Дж. Кардано
Джероламо Кардано родился в 1501 году. Получив прекрасное образование, он проявил себя во многих областях деятельности. Знаменитый врач, успешно лечивший важных особ.
Талантливый инженер, предложивший для кареты испанского короля Карла V подвеску, чтобы карета Его Величества не наклонялась на неровных дорогах, оставаясь горизонтальной (сегодня мы такой подвес называем кардановым). Физик, экспериментально измеривший отношение плотности воздуха к плотности воды. Правда, немного ошибся, но кто и сейчас сможет померить точнее теми же приборами? Азартный игрок, заложивший основы теории вероятностей.
А ещё Кардано занимался математикой. Он долго уговаривал Тарталью открыть ему секрет решения кубических уравнений, чтобы украсить им книгу «Великое искусство». Своё желание он аргументировал так: никто больше не станет состязаться с Тартальей в решении задач, потому что он умеет решать кубические уравнения, а другие не умеют. Под влиянием ли этого, вполне убедительного, аргумента или по какой-то другой причине, но Тарталья в конце концов уступил. Только поставил при этом условие, что Кардано не будет публиковать его открытие без разрешения самого Тартальи.
Кардано согласился. Но когда один из учеников дель Ферро поделился с ним рецептом своего учителя, Кардано счёл себя свободным от обязательств, выданных им Тарталье, и опубликовал способ решения кубического уравнения. Так появилась «формула Кардано», хотя сам Кардано не скрывал приоритета дель Ферро и Тартальи.
И сейчас, пять веков спустя, вряд ли кто-нибудь сможет до конца разобраться в этой воистину детективной истории.
|
При этом решения, вычисленные по формуле, получаются действительными.Четвёртая степень
Без упоминания Феррари, Абеля и Галуа рассказ об истории решения кубических уравнений был бы неполным.
Полторы тысячи лет математики не могли подступиться к кубическому уравнению, но стоило его решить, как буквально тут же было решено в общем виде и уравнение четвёртой степени. Сделал это ученик Кардано Луиджи Феррари. Любопытно, что для решения этого уравнения требуется «по пути» решить вспомогательное уравнение третьей степени.
Все попытки решить в общем виде уравнение пятой степени в следующие три века успехом не увенчались. И вот в 1826 году норвежский математик Нильс Абель доказал, что общей формулы для решения уравнений пятой степени не существует, и для уравнений более высоких степеней — тоже. Своё открытие Абель сделал в 24 года, но прожил огорчительно мало, всего 27 лет.
Ещё меньше, неполный 21 год, прожил гениальный французский математик Эварист Галуа.
Он продолжил исследования Абеля, определив, как по виду алгебраического уравнения узнать, решается ли оно. Метод, предложенный Галуа, положил начало фундаментальному разделу математики — теории групп. Название «группа» предложил сам Галуа. Погиб он на дуэли. В ночь перед дуэлью Галуа изложил на бумаге свои мысли о математике. Разобраться в этих записках и понять идеи Галуа математики смогли только через много десятилетий.
И ещё важная деталь. Решение уравнения третьей степени привело математиков к необходимости заняться комплексными числами. Функции комплексного переменного играют немалую роль в современной теоретической физике и электротехнике, не говоря уже о самой математике.
Решение уравнений в Excel (5 полезных примеров)
Excel имеет множество функций, которые могут выполнять различные задачи. Помимо выполнения различных статистических и финансовых анализов, мы можем решать уравнения в Excel. В этой статье мы проанализируем популярную тему «Решение уравнений в Excel разными способами с соответствующими иллюстрациями».
Скачать практическую рабочую тетрадь
Как решать уравнения в Excel
5 примеров решения уравнений в Excel
1. Решение полиномиальных уравнений в Excel
1.1 Решение кубического уравнения
я. Использование поиска цели
II. Использование надстройки «Поиск решения»
1.2 Решение квадратного уравнения
я. Решите, используя функцию поиска цели
II. Использование надстройки «Поиск решения»
2. Решение линейных уравнений
2.1 Использование матричной системы
2.2 Использование надстройки «Поиск решения»
2.3 Использование правила Крамера для решения одновременных уравнений с 3 переменными в Excel
3. Решение нелинейных уравнений в Excel
4. Решение экспоненциального уравнения
5. Решение дифференциальных уравнений в Excel
Вывод
Загрузить рабочую тетрадь Загрузите эту практическую рабочую тетрадь, чтобы тренироваться, пока вы читаете эту статью.
Как решать уравнения в Excel
Прежде чем приступить к решению уравнений в Excel, давайте посмотрим, какие уравнения какими методами будут решаться.
Типы решаемых уравнений в Excel:
Существуют различные виды уравнений. Но не все можно решить в Excel. В этой статье мы будем решать следующие типы уравнений.
- Кубическое уравнение,
- Квадратное уравнение,
- Линейное уравнение,
- Экспоненциальное уравнение,
- Дифференциальное уравнение,
- Нелинейное уравнение
Средства Excel для решения уравнений:
Существует несколько специальных инструментов для решения уравнений в Excel, таких как надстройка Excel Solver и функция Goal Seek . Кроме того, вы можете решать уравнения в Excel численно/вручную, используя матричную систему и т.
д.
5 Примеры решения уравнений в Excel
1. Решение полиномиальных уравнений в Excel
Полиномиальное уравнение представляет собой комбинацию переменных и коэффициентов с арифметическими операциями.
В этом разделе мы попытаемся решить различные полиномиальные уравнения, такие как кубические, квадратурные, линейные и т. д.
1.1 Решение кубического уравнения
полиномиальное уравнение степени три называется кубическим полиномиальным уравнением.
Здесь мы покажем два способа решения кубического уравнения в Excel.
я. Использование поиска цели
Здесь мы будем использовать функцию Excel Goal Seek для решения этого кубического уравнения.
Предположим, у нас есть уравнение:
Y= 5X 3 -2X 2 +3X-6
Мы должны решить это уравнение и найти значение X .
📌 Шаги:
- Сначала разделим коэффициенты на четыре ячейки.
- Здесь мы хотим узнать значение X . Предположим, что начальное значение X равно ноль , и вставляем 92+E5*C7+F5
- Затем нажмите кнопку Введите и получите значение Y .
Теперь мы представим функцию Goal Seek .
- Перейдите на вкладку Данные .
- Выберите параметр Поиск цели в разделе Анализ «что, если» .
- Появится диалоговое окно Поиск цели .
Мы должны вставить сюда ссылку на ячейку и значение.
- Выберите Cell H5 в качестве ячейки Set. Эта ячейка содержит уравнение.
- И выберите Cell C7 как Путем изменения ячейки , которая является переменной. Значение этой переменной изменится после операции.
- Введите 20 в поле В значение , которое является значением, принятым для уравнения.
- Наконец, нажмите кнопку OK .
Отображается состояние операции. В зависимости от нашего заданного целевого значения эта операция вычислила значение переменной в ячейке C7 .
- Снова нажмите OK .
Это конечное значение X .
ii. Использование надстройки Solver
Решатель — Надстройка . В этом разделе мы будем использовать эту надстройку Solver для решения данного уравнения и получения значения переменной.
Надстройки Solver не существуют в Excel по умолчанию.
Сначала мы должны добавить эту надстройку.📌 Шаги:
- Устанавливаем значение переменной ноль (0) в наборе данных.
- Перейти к Файл >> Опции .
- Появится окно Параметры Excel .
- Выберите Надстройки с левой стороны.
- Выберите Надстройки Excel и нажмите кнопку Перейти .
- Надстройки Появится окно.
- Отметьте опцию Solver Add-in и нажмите OK .
- Мы видим надстройку Solver на вкладке Data .
- Нажмите на Solver .
- Появится окно Параметры решателя .
- Мы вставляем ссылку на ячейку уравнения в поле Set Object .
- Затем установите флажок Значение и введите 20 в соответствующее поле.
- Вставьте ссылку на ячейку поля переменной.
- Наконец, нажмите Solver .
- Выберите Keep Solver Solution и нажмите OK .
- Посмотрите на набор данных.
Мы видим, что значение переменной изменилось.
1.2 Решение квадратного уравнения
Полиномиальное уравнение второй степени называется квадратным полиномиальным уравнением.
Здесь мы покажем два способа решения квадратного уравнения в Excel.
Здесь мы решим следующее квадратное уравнение.
Y=3X 2 +6X-5
я. Решить с помощью функции поиска цели
Мы решим это квадратное уравнение, используя функцию Goal Seek .
Взгляните на раздел ниже.📌 Шаги:
- Сначала разделим коэффициенты переменных.
- Установите начальное значение X 92+D5*C7+E5
- Нажмите кнопку Введите сейчас.
Мы получаем значение Y , учитывая, что X равно нулю.
Теперь мы воспользуемся функцией Goal Seek , чтобы получить значение X . Мы уже показали, как включить функцию Goal Seek .
- Поместите ссылку на ячейку переменной и уравнения в диалоговое окно Поиск цели
- Примите значение уравнения 18 и поместите его в поле раздела To value .
- Наконец, нажмите OK .
Получаем окончательное значение переменной X .
ii. Использование надстройки Solver
Мы уже показали, как добавить надстройку Solver в Excel. В этом разделе мы будем использовать этот Solver для решения следующего уравнения.
📌 Шаги:
- Мы помещаем ноль ( 0 ) в ячейку C7 в качестве начального значения X .
- Затем введите следующую формулу в ячейку G5 .
- Нажмите кнопку Введите .
- Войдите в надстройку Solver , как показано выше.
- Выберите ссылку на ячейку уравнения в качестве объекта.
- Поместите ссылку на ячейку переменной.
- Также установите значение уравнения как 18 .
- Наконец, нажмите Решить .
- Установите флажок Keep Solver Solution в окне Solver Results .
- Наконец, нажмите кнопку OK .
2. Решение линейных уравнений
Уравнение, в котором любая переменная имеет максимальную степень 1 называется линейным уравнением.
2.1 Использование матричной системы
Функция MINVERSE возвращает обратную матрицу для матрицы, хранящейся в массиве.
Функция МУМНОЖ возвращает матричное произведение двух массивов, массив с тем же количеством строк, что и массив1 , и столбцов, как массив2 .
Этот метод использует матричную систему для решения линейных уравнений. Здесь 3 линейных уравнения даны с 3 переменные x , y и z . Уравнения:
3x+2+y+z=8,
11x-9y+23z=27,
8x-5y=10
Мы будем использовать функции MINVERSE и MMULT для решения данных уравнений.
📌 Шаги:
- Сначала мы разделим переменную коэффициентов в разных ячейках и отформатируем их как матрицу.
- Мы сделали две матрицы. Один с коэффициентами переменной, а другой с константами.
- Добавим еще две матрицы для нашего расчета.
- Затем мы найдем обратную матрицу A , используя функцию MINVERSE .
- Вставьте следующую формулу в ячейку C7 .
=МИНВЕРС(C5:E7)Это формула массива.
- Нажмите кнопку Введите .
Обратная матрица успешно сформирована.
- Теперь применим формулу, основанную на функции МУМНОЖ , к ячейке H9 .
=МУМНОЖ(C9:E11,H5:H7)Мы использовали две матрицы размера 3 x 3 и 3 x 1 в формуле, и результирующая матрица имеет размер 3 х 1 .
- Нажмите кнопку Введите еще раз.
А это решение переменных, используемых в линейных уравнениях.
2.2 Использование надстройки «Поиск решения»
Мы будем использовать надстройку Solver для решения 3 уравнений с 3 переменными.
📌 Шаги:
- Сначала мы разделим коэффициенты, как показано ранее.
- Затем добавьте два раздела для значений переменных и вставьте уравнения.
- Устанавливаем начальное значение переменных ноль ( 0 ).
- Вставьте следующие три уравнения в ячейки с E10 по E12 .
=C5*C10+D5*C11+E5*C12=C6*C10+D6*C11+E6*C12=C7*C10+D7*C11+E7*C12- Теперь перейдите к функции Solver .
- Установите ссылку на ячейку 1-го уравнения в качестве цели.
- Установите значение уравнения 8 .
- Вставьте диапазон переменных в отмеченное поле.
- Затем нажмите кнопку Добавить .
- Появится окно Добавить ограничение .
- Поместите ссылку на ячейку и значения, как показано на изображении ниже.
- Вставьте второе ограничение.
- Наконец, нажмите OK .
- Добавлены ограничения. Нажмите кнопку Решить .
- Посмотрите на набор данных.
Мы видим, что значение переменных изменилось.
2.3 Использование правила Крамера для решения одновременных уравнений с 3 переменными в Excel
Когда два или более линейных уравнения имеют одни и те же переменные и могут быть решены одновременно, они называются одновременными уравнениями.
Мы будем решать одновременные уравнения, используя правило Крамера . Функция MDETERM будет использоваться для нахождения определителей.Функция MDETERM возвращает определитель матрицы массива.
📌 Шаги:
- Разделить коэффициенты на LHS и RHS .
- Добавляем 4 секций, чтобы построить матрицу, используя существующие данные.
- Мы будем использовать данные LHS для построения Matrix D .
- Теперь мы построим Matrix Dx.
- Просто замените коэффициенты X на RHS .
- Аналогично построить 9Матрицы 0042 Dy и Dz .
- Поместите следующую формулу в ячейку F11 , чтобы получить определитель матрицы D .
=MDETERM(C10:E12)- Нажмите кнопку Введите .
- Аналогичным образом найдите определители Dx, Dy и Dz, применив следующие формулы.
=MDETERM(C14:E16)=MDETERM(C18:E20)=MDETERM(C22:E24)- Переместить в ячейку I6 .
- Разделите определитель Dx на D , чтобы получить значение X .
=F15/F11- Нажмите кнопку Введите , чтобы получить результат.
- Таким же образом получите значения Y и Z по следующим формулам:
=F19/F11=F23/F11Наконец, мы решаем одновременные уравнения и получаем значение трех переменных.
3. Решение нелинейных уравнений в Excel
Уравнение со степенью 2 или больше, чем 2 , и которое не образует прямую линию, называется нелинейным уравнением.
В этом методе мы будем решать нелинейные уравнения в Excel, используя функцию Excel Solver .
У нас есть два нелинейных уравнения.
📌 Шаги:
- Мы вставляем уравнение и переменные в набор данных.
- Сначала рассмотрим значение переменной 92
- Мы добавляем новую строку в набор данных для суммы.
- После этого поместите следующее уравнение в ячейку C12 .
=СУММ(С5:С6)- Нажмите кнопку Введите и сумму RHS обоих уравнений.
- Здесь мы применим функцию Excel Solver .
- Вставьте ссылки на ячейки в отмеченные поля.
- Установите значение равным 0.
- Затем нажмите кнопку Добавить , чтобы добавить ограничения.
- Мы добавляем ограничения 1st , как показано на рисунке.
- Снова нажмите кнопку Добавить для ограничения 2nd .
- Введите ссылки на ячейки и значения.
- Наконец, нажмите OK .
- Мы видим, что ограничения добавлены в Решатель .
- Нажмите кнопку Solver .
- Установите флажок Keep Solver Solution и нажмите OK .
- Посмотрите сейчас на набор данных.
Мы успешно получаем значения X и Y .
4. Решение экспоненциального уравнения
Экспоненциальное уравнение содержит переменную и константу. В показательном уравнении переменная рассматривается как степень или степень основания или константы.
В этом методе мы покажем, как решить показательное уравнение, используя функцию EXP .
Функция EXP возвращает e, возведенное в степень заданного числа.
Мы рассчитаем будущее население области с заданным темпом роста. Для этого мы будем следовать приведенному ниже уравнению.
Здесь,
Po = Текущее или исходное население
Р = Скорость роста
Т = Время
P = Уважаемый для будущего населения.
Это уравнение имеет экспоненциальную часть, для которой мы будем использовать функцию EXP .
📌 Шаги:
- Здесь в наборе данных указаны текущая численность населения, целевые темпы роста и количество лет. Мы рассчитаем будущее население, используя эти значения.
- Введите следующую формулу на основе функции EXP для ячейки C7 .
= КРУГЛЫЙ (C4*EXP(C5*C6),0)Мы использовали функцию ОКРУГЛ , так как совокупность должна быть целым числом.
- Теперь нажмите кнопку Введите , чтобы получить результат.
Это будущее население через 10 лет в соответствии с предполагаемым темпом роста.
5. Решение дифференциальных уравнений в Excel
Уравнение, которое содержит хотя бы одну производную неизвестной функции, называется дифференциальным уравнением.
Производная может быть обыкновенной или частичной.Здесь мы покажем, как решить дифференциальное уравнение в Excel. Нам нужно найти dy/dt , дифференцирование y относительно t . Мы отметили всю информацию в наборе данных.
📌 Шаги:
- Установите начальное значение n , t и y из предоставленной информации.
- Введите следующую формулу в ячейку C6 для t .
=C5+$G$5Эта формула была сгенерирована из t(n-1) .
- Теперь нажмите кнопку Ввод .
- Введите другую формулу в ячейку D6 для y .
=D5+(C5-D5)*$G$5Эта формула была получена из уравнения y(n+1) .
- Еще раз нажмите кнопку Enter .
- Теперь увеличьте значения до максимального значения t , что составляет 1,2 .
Мы хотим построить график, используя значения t и y .
- Перейдите на вкладку Вставка .
- Выберите график из группы Диаграмма .
- Посмотрите на график.
Это график y против t .
- Теперь дважды щелкните график и минимальное и максимальное значения оси графика. Измените размер горизонтальной линии.
- После этого измените размер вертикальной линии.
- После настройки оси наш график выглядит так.
Теперь найдем дифференциальное уравнение.
- Рассчитайте дифференциальное уравнение вручную и поместите его в набор данных.
- После этого составьте уравнение на основе этого уравнения и поместите его в ячейку E5 .
=-1+C5+1.5*EXP(-C5)- Нажмите кнопку Введите и перетащите значок Ручка заполнения .
- Снова заходим на график и нажимаем правую кнопку мыши.
- Выберите параметр Select Data в контекстном меню .
- Выберите параметр Добавить в окне Выберите источник данных .
- Выберите ячейки столбца t со значениями X и ячейки столбца y_exact со значениями Y в окне Edit Series .
- Опять же, посмотрите на график.
ЗаключениеВ этой статье мы описали, как решать различные типы уравнений.
Я надеюсь, что это удовлетворит ваши потребности в решении нескольких уравнений в Excel. Пожалуйста, посетите наш веб-сайт Exceldemy.com и дайте свои предложения в поле для комментариев.3rd degree equation solver
- Expression
- Equation
- Inequality
- Contact us
- Simplify
- Factor
- Expand
- GCF
- LCM
- Solve
- Graph
- System
- Решение
- График
- Система
- Математический решатель на вашем сайте
Наших пользователей:
Программное обеспечение очень помогло в изучении радикальных уравнений, теперь мне не нужно тратить так много времени на домашнее задание по алгебре.
Гвен Фербер, ТеннессиЯ все еще учусь, как его использовать, но то, что я узнал, здорово. Спасибо!
Х.М., ТехасМогу я просто сказать тебе, какой ты замечательный? Вам это может показаться простым, но вы только что восстановили мою веру в человечество (немалое дело).
Спасибо за ваш добрый и быстрый ответ.
Дейл Морриси, ФлоридаОкончив среднюю школу, я был одним из лучших учеников по математике в классе. Поступление в колледж было унизительным, потому что внезапно я стал едва ли средним. Итак, мои родители помогли мне выбрать Алгебратор, и через несколько недель я снова вернулся. Ваша программа не только отлично подходит для начинающих, как мои младшие братья в старшей школе, но и помогла мне, как новому студенту колледжа!
Кэтрин, ИллинойсНе могу передать, как я счастлива, что наконец-то нашла программу, которая меня действительно чему-то учит!!!
Дана Уайт, ИллинойсСтуденты, борющиеся со всевозможными задачами по алгебре, узнают, что наше программное обеспечение спасает им жизнь. Вот поисковые фразы, которые сегодняшние поисковики использовали, чтобы найти наш сайт. Сможете ли вы найти среди них свою?
Поисковые фразы, использованные 01.
01.2014:- тест по математике для компетентных экзаменов
- КАК ИЗВЛЕЧЬ КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ МЕТОДОМ ДЕЛЕНИЯ
- План медицинского обслуживания
- научите себя алгебре электронная книга
- Бюджетные формы
- сложные задачи на квадратный корень
- Скоростные свидания в Майами
- программирование биномиального представления в десятичное
- академические математические мелочи
- тест по математике для второго класса сложение и вычитание
- Программное обеспечение для инвестиционных советников
- Алгебра, КС3, вопросы
- Английский год 11+ контрольные работы онлайн практика
- Степени доктора наук
- помогите решить GCF калькулятора экспоненты
- Подать заявку на получение карты Mastercard
- Недвижимость во Франции на продажу
- Лазерный глазной хирург Теннесси
- Алгебра Холта, глава 8
- Юридическая фирма Батон-Руж
- образ ti 84 ПЗУ
- Вестерн Экспресс Авиакомпания
- стихи по алгебре
- Страхование жизни CE
- Калькулятор преобразует число «192» в двоичное число
- Автострахование Индианы
- бесплатная помощь с домашним заданием по алгебре среднего уровня
- почему алгебра
- Мгновенные градусы
- оценка функциональной записи с использованием коэффициента разности
- Прескотт Адвокат
- Путешествие по Каймановым островам
- , выражающий проценты десятичными дробями
- Летние рабочие листы по математике для 6-го класса
- Остин, штат Техас, глазные врачи
- Матрица и вектор стали проще для TI-89 бесплатно
- Оценка пригодности
- Учебники по химии
- Коробка для завтрака Bonanza
- Аврора Адвокат
- Образование Миссури
- Щелкните фильм
- скачать викторины с ответами на университетский уровень
- вопросы к предыдущему экзамену 12 класс
- Ноутбуки Lenovo
- БЕСПЛАТНЫЕ ЛИСТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПЕРВОГО КЛАССА ДЛЯ ПЕЧАТИ
- бесплатные концепции и модели алгебры в колледже шаг за шагом
- скачать книги макдугал литтел
- концепция перестановки ppt
- Роскошные выходные в Эдинбурге
- Программное обеспечение для бизнес-планов
- Этна Мичиган
- Канкун Каникулы
- квадратный корень из экспоненты
- система дифференциальных уравнений нелинейная
- дроби первого сорта
- решение переменных n-го корня
- Брокер ведет
- сеть учителей
- значение дроби проверки java
- tI83 плюс как оценить подкоренные выражения
- решить математические задачи вершина параболы
- линейная алгебра II (упражнения и решения)
- помощь в поиске областей задач по алгебре
- Круизы в Австралию
- Учебник по учету затрат — Бесплатно
- Филиал Комиссии
- задачи по алгебре университетского уровня для печати
- Алгебра в колледже с ключом ответов Принцип
- , используемый для упрощения многочлена
- программное обеспечение для предварительной алгебры
- математические задачи для ged
- Решения для студентов колледжа по алгебре 9-е издание Густафсон Фриск
- практических вопросов по целочисленной алгебре для gr . 9
- ti89 титановая дифференциация для чайников
- Викинг Киров Круизы
- Решение дробных уравнений Сложение Вычитание
- Адвокаты по уголовным делам Онтарио
- Одежда чикагских медведей
- Закон о строительстве
- Тестовые вопросы для 6-го класса
- Подарки для мужчин
- Адвокаты по уголовным делам Хьюстона
- Финансовый планировщик
- упростить выражение с делением
- Домашнее задание онлайн для 6-х классов
- использовать математические символы онлайн для рабочих листов
- вычислить третий корень Java
- Учебник по булевой алгебре
- Земельные и строительные ссуды Алабама
- рабочие листы по математике prentice hall ответы
- Спортивный маркетинг
- excel, многочлен
- Выкупной фонд
- триганометрия
- Алгебраические графики
- Деление многочленов на двучлен
- Персональный консультант по банкротству
- упражнение по принципам управления вопрос и ответ
Предыдущий Далее «Кубическая формула»
«Кубическая формула»Введение.
Знание квадратичной формулы старше пифагорейской
Теорема. С другой стороны, решение кубического уравнения было первым крупным
история успеха математики эпохи Возрождения в Италии.
Решение было впервые опубликовано Джироламо Кардано (1501-1576) в своей книге по алгебре Ars Magna .Наша цель — найти действительный корень кубического уравнения
ось 3 + ось 2 + с х 91 593 + 91 590 д 91 593 = 0.
Затем два других корня (действительные или комплексные) можно найти с помощью полиномиального деления и квадратичной формулы. Решение проходит в два этапа. Во-первых, кубическое уравнение «угнетено»; затем решают депрессивную кубику.Депрессивное кубическое уравнение.
Этот трюк, который преобразует общее кубическое уравнение в новое кубическое уравнение с отсутствующими x 2 — срок обусловлен Николь Фонтана Тарталья (1500-1557). Применяем замену
г.
к кубическому уравнению, чтобы получить:
Умножая и упрощая, получаем «вдавленную» кубическую
Давайте попробуем это для примера
2 x 3 -30 x 2 +162 x -350=0.
Наша замена будет х = y +5; расширяя и упрощая, получаем вдавленное кубическое уравнениег 3 +6 г -20=0.
Решение депрессивной кубики.
Нам осталось решить депрессивное кубическое уравнение видаy 3 + Ay = B .
Как это сделать, было обнаружено ранее Шипионе дель Ферро (1465-1526).Найдем s и t так, что
3 ст = А (1) с 3 — т 3 = Б . (2)
Получается, что y = s — t будет решением вдавленной кубики. Давайте проверим, что: Замена A , B и y , как указано, преобразует наше уравнение в( с — t ) 3 +3 ст ( с — t )= с 3 — t 3 .
Это верно, поскольку мы можем упростить левую часть, используя биномиальную формулу:( s 3 -3 s 2 t +3 st 2 — t 3 )+(3 s 2 t -3 st 2 )= с 3 — т 3 .
Как мы можем найти s и t удовлетворяющие (1) и (2)? Решение первого уравнения для s и подстановка в (2) дает:
Упрощая, это превращается в «трехквадратичное» уравнение
которое с помощью замены u = t 3 становится квадратным уравнением
Отсюда мы можем найти значение для u по квадратичной формуле, затем получить t , затем s и все готово.Сделаем расчет для нашего примера
y 3 +6 y =20.
Нам нужно s и t , чтобы удовлетворить3 ст = 6 (3) с 3 — т 3 = 20. (4)
Решение для s в (3) и подстановка результата в (4) дает:
что умножается на t 3 становитсят 6 +20 т 3 -8=0.
Используя квадратичную формулу, получаем, что
Мы отбросим отрицательный корень, затем возьмем кубический корень, чтобы получить t :
По уравнению (4),
Наше решение y для депрессивного кубического уравнения представляет собой разность s и t :
Решение нашего исходного кубического уравнения2 x 3 -30 x 2 +162 x -350=0
дан кем-то
Заключительные замечания.
Я не буду обсуждать небольшую проблему, с которой вы можете столкнуться, если будете следовать намеченному маршруту. О какой проблеме я говорю?Вскоре после открытия метода решения кубического уравнения, Лодовико Феррари (1522-1565), ученик Кардано, нашел аналогичный метод решения уравнения четвертой степени.
Этот раздел основан на главе книги 9.1233 Путешествие через гения Уильям Данэм.
Упражнение 1.
Покажите, что 91 590 y 91 593 = 2 является решением нашей вдавленной кубическойг 3 +6 г -20=0.
Затем найдите два других корня. Какой из корней равен нашему решению
Ответ.
Упражнение 2.
Преобразуйте кубическое уравнениеx 3 -6 x 2 +14 x -15=0
г. в депрессивный куб.Ответ.
Упражнение 3.
Найдите действительный корень кубического уравнения в упражнении 2.
Сначала мы должны добавить эту надстройку.
Взгляните на раздел ниже.
Мы будем решать одновременные уравнения, используя правило Крамера . Функция MDETERM будет использоваться для нахождения определителей.
Производная может быть обыкновенной или частичной.
Я надеюсь, что это удовлетворит ваши потребности в решении нескольких уравнений в Excel. Пожалуйста, посетите наш веб-сайт Exceldemy.com и дайте свои предложения в поле для комментариев.
Спасибо за ваш добрый и быстрый ответ. 
01.2014:
9
Знание квадратичной формулы старше пифагорейской
Теорема. С другой стороны, решение кубического уравнения было первым крупным
история успеха математики эпохи Возрождения в Италии.
Решение было впервые опубликовано Джироламо Кардано (1501-1576) в своей книге по алгебре Ars Magna .
Я не буду обсуждать небольшую проблему, с которой вы можете столкнуться, если будете следовать намеченному маршруту. О какой проблеме я говорю?