9-й класс. Урок по теме «Решение уравнений и неравенств с параметром»
- Земцова Инна Викторовна
Разделы: Математика
Цель: Выработка навыка решения уравнений и неравенств с параметром различными способами. Развитее творческих способностей, математической культуры.
.
Приложение. Рисунки к уроку
Ход урока
I. Устно:
а) Сравнить: –а и 3а
- если а=0, то –а=3а
- если а<0, то –а>3а
- если а>0, то –а<3а
б) Решить уравнение: ах=1
- если а=0, то 0х=1 нет решений
- если а≠0, то х=1/а
в) Решить неравенство: ах<1
- если а=0, то 0<1 верно х- любое
- если а<0, то х>1/а
г) Решить неравенство: ах>1
- если а=0, то 0>1 нет решений
- а>0, то х>1/a
- а<0, то x<1/a
II.
Сегодня на уроке решение уравнений и неравенств, содержащих модуль и параметр.
На карточках за доской учащиеся решают
1 ученик
1) Решить неравенство: |x+3|> -a²
- если а=0, то |x+3|>0 при всех х≠-3
- если а≠0, то x- любое
2 ученик
2) Решить уравнение |x²-1|+|a(x-1)|=0
Это возможно только при
Рассмотрим второе уравнение а(х-1)=0
а) если а≠0, то х=1, что уд. первому ур-нию
б) если а=0, то х- любое, но из первого х=±1
Ответ:
- при а≠0, х=1
- при а=0, х=±1.
3 ученик. Решить уравнение для каждого а
4 ученик. При каждом действительном значении а вычислить сумму различных действительных корней уравнения
5 ученик. При каких значениях параметра а уравнение |x²-2x-3|=a имеет ровно 3 корня. (Графический способ)
Построим график функции у=х²-2х-3
1) х²-2х-3=0
х1=-1 х2=3
(-1;0) (3;0)
Точки пересечения с осью ох
2) хв= =1
ув=1-2-3=-4
(1;-4)- вершина
3)
х |
-2 |
4 |
у |
5 |
5 |
Рисунок №1
- при а<0 решений нет
- при а=0 2 решения х1=-1 х2=3
- при 0<a<4 4 решения
- при а=4 3 решения х1=1 х2,3=1±2√2
- при а>4 2 решения
III Работа с классом.
1. Решить уравнение для каждого m
mx+1=x+m
mx-x=m-1
(m-1)[=m-1
1) если m=1, то 0х=0 х- любое
2) если m≠1, то х=1
2. Для каждого а решить уравнение.
=2
3. Решить неравенство
2ах+5>а+10х
2(а-5)х>а-5
а) при а=5 нет решений 0х>0
б) при а-5>0
а>5
х> x>
в) при а<5 x<
4. Решить для каждого а
ах²-5х+1=0
1) а=0 -5х+1=0
х=
2) а≠0 Д=25-4а
а) Д=0, 25-4а=0
4а=25
а=
х=; x=5:
x=
б) Д<0, 25-4а<0
-4a<-25
a> нет решений
в) Д>0, а< и а≠0
х=
5. Найти значение параметра а при каждом из которых уравнения
(а-2)х²-2ах+2а-3=0 положительны.
1 способ.а≠2 а)
рисунок №2 рисунок №3
Рисунок №10
При х1>0, x2>0
6. Для каждого m решить уравненине
m²x-m²+6=4x+m
(m²-4)x=m²+m²-6
1) m=±2
m=2, 0x=12 нет решений
m=-2, 0x=8 нет решений
2) m≠±2,
при m=2, х- любое
7.
При каком m корни уравнения x²-2x+m=0 удовлетворяет условию
7х²-2х1=47
8. При каких значениях в корне уравнения х²-2(b+2)x+b²+12=0
рисунок №11
Рисунок №12
IV. Подведение итогов урока.
V. Домашнее задание:
1. Найти все значения а, при котором сумма квадратов корней уравнения х²-ах+а+7=0 равнялось 10
2. Задание №5 …
3. №3 оформить в тетрадь
4. а) 3+кх≤3х+к
б) ах-6≤2а-3х
Страница 82 — ГДЗ Математика 2 класс. Моро, Бантова. Учебник часть 1
- Главная
- ГДЗ
- 2 класс
- Математика
- Моро, Бантова. Учебник
- Уравнение
- Страница 82.
Часть 1
Часть 1Вернуться к содержанию учебника
Уравнение
Вопрос
1. 1) Найди среди следующих записей уравнения, выпиши их и реши.
| 30 + х > 40 | 45 — 5 = 40 | 60 + x = 90 |
| 80 — x | 38 — 8 < 50 | x — 8 = 10 |
2) Сравни уравнения: чем они похожи, чем различаются?
х + 8 = 48 48 — х = 8
Ответ
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Вопрос
2. Прочитай уравнение и подбери такое значение неизвестного, при котором получится верное равенство.
| х + 3 = 13 | 18 = y + 10 | 14 = x + 7 |
Ответ
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Вопрос
3.
Реши задачи разными способами.
2) У Коли было 5 тетрадей в клетку и 4 тетради в линейку. Ему купили ещё 6 тетрадей в линейку. Сколько всего тетрадей стало у Коли?
Ответ
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Вопрос
4. В одной канистре осталось 7 л бензина, а в другой — 6 л. Сколько литров бензина осталось в двух канистрах?
Ответ
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Вопрос
5.
| 3 + 67 67 + 3 | 34 — (18 — 9) 34 — 8 |
| 9 + 28 9 + 26 | 75 — (14 — 6) 75 — 7 |
Ответ
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Вопрос
6.
Найди значения выражений b + 20, 14 + b, 80 — b и b — 9 при b = 70, b = 23 и b = 11.
Ответ
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Вопрос
7. Сравни длины ломаных.
Ответ
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Вопрос
8. Вставь в окошки числа 5, 6, 8, 9, чтобы равенства и неравенство стали верными.
Ребусы:
Ответ
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Вопрос
Проверочные работы, с. 34, 35.
Ответ
На нашем сайте есть решение варианта 1 проверочной работы на странице 34.
На нашем сайте есть решение варианта 2 проверочной работы на странице 35.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Вернуться к содержанию учебника
Уравнения с переменными (предварительная алгебра, введение в алгебру) – Mathplanet
В этом разделе вы узнаете, как решать уравнения, содержащие неизвестные переменные. Вы научитесь решать уравнения в уме, используя таблицу умножения, а также научитесь находить решение уравнения с заданными числами, а также используя обратные операции.
Вы можете решить простое уравнение в уме, используя таблицу умножения.
Пример
$$\begin{array}{lcl} 8x=64 \end{array}$$
$$\begin{array}{lcl} 8\cdot x=64 \end{array}$$
На какое число нужно умножить 8, чтобы получить 64? Используя таблицу умножения, мы знаем, что это число равно 8.
$$8\cdot 8=64$$
Решая уравнение, мы выясняем, какое значение x (или любой другой переменной) делает утверждение верным. (удовлетворяет уравнению).
Пример
Какое из следующих чисел является решением уравнения? х = 2, 7 или 8?
$$14-x=7$$
Здесь вам даны числа 2, 7 и 8. Одно из этих чисел будет удовлетворять уравнению. Если вы не знаете решение сразу, вы можете выяснить, какое из заданных чисел дает правильный ответ, подставив разные значения x.
$$\begin{matrix} x=2\Стрелка вправо & 14-2=12& {\color{red} {Неверно}}\: \: \\ x=7\Стрелка вправо & 14-7=7\: & {\color{green} {Верно}} \\ x=8\Rightarrow & 14-8=6\: & {\color{red} {Неправильно}}\: \: \end{matrix}$$
Ответ: x=7
Вы уже решали уравнения, решения которых довольно легко увидеть, используя мысленную арифметику или закономерности. Большинство уравнений решить сложнее, и вам придется упростить уравнение, прежде чем вы увидите решение.
Один из способов сделать это — использовать обратные операции.
Операция, например, сложение, умножение, деление и вычитание. Обратная операция — это операция, которая обращает эффект другой операции. Сложение и вычитание обратны друг другу, так же как деление и умножение обратны друг другу.
Пример
С цифрами
$$18+4=22$$
$$18+4{\color{blue} \, -\, 4}=22{\color{blue} \, — \, 4}$$
$$18=18$$
С переменными и числами
$$x+4=22$$
$$x+4{\color{blue} \, -\, 4 }=22{\color{blue} \, -\, 4}$$
$$x=18$$
Вычитаем по 4 с обеих сторон.
Пример
С переменными и числами
$$ x\cdot 2=10$$
$$\frac{x\cdot 2}{{\color{blue} 2}}=\frac{10}{{\color{blue} 2}}$$
$$x=5$$
Разделим обе части на 2
Решим следующее уравнение
Почему уравнения важны?
Почему уравнения важны?
Учитывая часы, которые учителя математики тратят
обучая учащихся решать уравнения,
легко было бы предположить, что наиболее важным
что делать с уравнением, чтобы найти решение.
Но это бывает редко. Большинство уравнений
которые возникают в контексте реального мира, не могут быть решены.
Даже если они могут, часто проще и быстрее
использовать вычислительный метод, чтобы найти численное
решение. Настоящая сила уравнений в том, что они
предоставить очень точный способ описать различные
особенности мира. (Вот почему решение
уравнение может быть полезным, когда его можно найти. ) Прежде чем я окажусь заваленным сотнями разгневанных
электронные письма от учителей, которые не хотят, чтобы их ученики
понять, что научиться решать уравнения
не важно, я должен сказать, что это действительно
важное упражнение. Но причина не в том, что
студент, скорее всего, найдет ее или себя на самом деле
решение уравнений — вне урока математики, т.е.
Скорее, овладение процессами, необходимыми для решения
уравнения, возможно, лучший способ стать адептом
в понимании того, что говорят нам уравнения.
Одна из самых драматичных иллюстраций неважность — вне самой математики — решение уравнений предусмотрено современной физикой. Фундаментальная теория материи, которую физики работа с сегодняшним днем является самой точной научной теорией мир когда-либо знал. Прогнозы, сделанные на основу фундаментальных уравнений материи имеют проверено экспериментально во многих местах десятичные дроби. И все же ни одно из этих уравнений не было решено. Вы должны вернуться к 1920 секунд, чтобы найти уравнения материи, которые кто-либо смог решать.
Жить, как мы, в мире, наполненном высокими технологиями
гаджеты, которые зависят от современной физики —
компьютер, на котором я это пишу, и проигрыватель компакт-дисков
это развлекает меня, потому что я просто
два таких — очевидно, что отсутствие решения
вряд ли сдерживал физиков, или
инженеры, которые принимают современную физическую теорию и
превратить его в продукты.
Без точного понимания
предоставленные уравнениями, в мире не было бы
кремниевые чипы, проигрыватели компакт-дисков, медицинские МРТ
экзамены или многие другие вещи, которые мы сейчас принимаем
как должное. Но ни одно из этих приложений
требуется, чтобы эти уравнения решались в
строгий математический смысл.
Физики потратили последние восемьдесят лет, пытаясь найти единую структуру, которая объясняет, что сейчас считается (единственными) четырьмя фундаментальными силами природа: электромагнетизм, гравитация, сильное ядерное сила и слабое ядерное взаимодействие. Большая часть усилий был направлен на разработку расширения квантовой теории, которую физики называют «квантовой теория поля» (КТП). Картина материи, которую дает КТП данный нам, который представляет наши лучшие текущие знания о природа материала, из которого состоит вселенная, обычно называют «стандартной моделью частиц». физика».
Эдвард Виттен из Института перспективных исследований в
Принстон, штат Нью-Джерси, один из нынешних лидеров этого
продолжающееся исследование, описал текущую версию
КТП как «научная теория двадцатого века, использующая
математика двадцать первого века».
Под этим он подразумевает, что
многое из математики еще предстоит проработать — в
Другими словами, математикам еще предстоит решить
уравнения!
Может показаться, что Виттен жестоко обращается с математиками. за опоздание, а на самом деле он просто реалистичный. Ученые и математики были в это положение раньше. Большая часть науки Ньютона зависела о методах исчисления, которые он изобрел для цель, но детали исчисления не были полностью разрабатывалась как математическая теория до двухсот лет спустя!
Конкретная нерешенная математическая проблема, возникающая
Исследование QFT было выбрано в качестве одного из семи
Проблемы тысячелетия, которые
Глиняная математика
Институт объявил в 2000 году,
предложить приз в размере 1 миллиона долларов тому, кто первым
решить каждую проблему. (Я описываю эти семь проблем в
как можно ближе к терминам непрофессионала в моей недавней книге
Проблемы тысячелетия: семеро
Величайшие нерешенные математические загадки нашего времени.
) Эта конкретная проблема тысячелетия, единственная на
список, который исходит из современной физики, требует решения
(при определенных условиях) в Yang-Mills
уравнения (квантовый полевой аналог уравнений Максвелла
для электромагнетизма), вместе с последующим
объяснение, основанное на этом решении, так называемого
«массовый разрыв» (предполагаемое и наблюдаемое до сих пор
минимальный уровень массы, которую может иметь любая материя).
Несмотря на свое происхождение в физике, проблема в том виде, в каком она сформулирована по существу является математическим. Действительно, многие физики рассматривают проблему как в значительной степени уже решено. Фрэнк Вильчек из Массачусетского технологического института, одна из ведущих фигур в КТП и один из инициаторов квантовой хромодинамика (КХД), наиболее полная теория в рамках общей структуры QFT, комментарии:
«В частности, имеются прямые доказательства существования
из основных элементов теории [КХД] — кварки и
глюонов — и для основных взаимодействий
постулаты теории.
Большая часть доказательств получена из исследований
струй в высокоэнергетических процессах и сравнение их
наблюдаемые свойства с очень точными и однозначными
расчеты в КХД… Другой вид доказательств взят из
фактически интегрируя полные уравнения напрямую, используя
мощные компьютеры. Эта работа непосредственно адресована и к
меня эффективно решает, проблема Клэя. Мы не только знаем
что есть массовый разрыв, но рассчитали его, и
удачно сравнил с реальностью. Конечно я
понимать, что численные результаты, какими бы убедительными и
хорошо контролируются, традиционно не считаются
математические доказательства».
Если физики вроде Вильчека рассматривают проблему Клея
как уже решено, почему Институт Клэя включил
он в их списке семи самых сложных и
важные нерешенные математические задачи на старте
третьего тысячелетия? Ответ предоставлен
Артур Джаффе из Гарвардского университета, эксперт в области
математика квантовой теории поля и до недавнего времени
директор Института Клэя.
Он сказал: «В
проблема теории Янга-Миллса и массового разрыва
Гипотеза была выбрана в качестве проблемы тысячелетия, потому что
ее решение ознаменовало бы начало новой крупной
область математики, имеющая глубокие и основательные
связи с нашим нынешним пониманием
вселенной.» Другими словами, решение уравнений — это
важная цель в математике.
Замечание Яффе, однако, не означает, что
решение теории Янга-Миллса и массового разрыва
проблема, если бы она была обнаружена на следующей неделе, не
имеют серьезные последствия для физики. Напротив,
это почти наверняка привело бы со временем к увеличению
понимание материи, а оттуда к черт знает чему
новые технологические гаджеты для улучшения и улучшения наших
Мир. Но — и именно поэтому Вильчек и Яффе не
в конфликте здесь — приложения почти наверняка
не начинать с раствор, как таковой, вернее
будет исходить из 90 107 методов, которые 90 108 использовали, чтобы найти это
решение. Как это часто бывает в математике, в
в долгосрочной перспективе метод, вероятно, будет более важным
чем ответ.