Решить уравнение x в квадрате x 0: решите уравнение x в квадрате -x=0

{2}+2 x-3}

Содержание

Как решить, что х в квадрате равно 0? – Обзоры Вики

Дополнительно Сколько решений имеет X в квадрате 0? Квадрат любого действительного числа всегда положителен, поэтому нет решений с вещественными числами к этой проблеме.

Чему равен квадратный корень из x² 0? Корень (ноль) линейного уравнения x-2=0 равен 2.

Зачем вам использовать свойство нулевого продукта?

Свойство нулевого продукта помогает нам решать уравнения с помощью факторинга. … Используя свойство нулевого произведения, либо (x – 1) = 0, либо (x – 5) = 0. Следовательно, решения равны x = 1 и x = 5. Однако свойство нулевого произведения нельзя применять к матрицам, поскольку два матрицы P и Q могут иметь произведение 0.

Как работает свойство продукта 0? Произведение факторов равно ноль тогда и только тогда, когда один или несколько множителей равны нулю. … Это особенно полезно при решении квадратных уравнений.

Почему мы используем свойство нулевого произведения? Свойство нулевого произведения говорит нам, что если произведение любого количества выражений равно нулю, то хотя бы одно из них должно быть равно нулю: a⋅b⋅c=0 означает, что a=0 или b=0 или c=0 Вот почему мы решаем квадратные уравнения, сначала приравнивая их к нулю! Теперь мы можем разложить этот полином на члены.

Как упростить X 2 2?

Что такое x2 в квадратном уравнении? Квадратное уравнение имеет x2 (х в квадрате) срок. («Квадрат» по-латыни означает «квадрат».) … Мы можем решить графически, приравняв многочлен к y вместо 0, мы получим уравнение, график которого представляет собой параболу. Х-пересечения параболы (если они есть) соответствуют решениям исходного квадратного уравнения.

Как поставить ноль проблеме?

Каким еще словом можно обозначить свойство нулевого продукта? Свойство нулевого произведения, также называемое принцип нулевого продукта, утверждает, что для любых действительных чисел a и b, если ab = 0, то либо a равно нулю, b равно нулю, либо оба a и b равны нулю.

Что означает слово product в заголовке свойства нулевого продукта?

В алгебре свойство нулевого произведения утверждает что произведение двух ненулевых элементов не равно нулю.

Как решить эту математическую задачу?

Вот четыре шага, которые помогут легко решить любые математические задачи:

Внимательно прочтите, поймите и определите тип проблемы. …
Нарисуйте и просмотрите свою проблему. …
Разработайте план ее решения. …
Решать проблему.

Применяется ли свойство нулевого произведения ко всем уравнениям? Да; Свойство нулевого продукта утверждает, что по крайней мере один из факторов a и b должен быть равен нулю. Возможно, что оба множителя равны нулю.

3-8

9 Оценить квадратный корень из 12 10 Оценить квадратный корень из 20 11 Оценить квадратный корень из 50 94 18 Оценить квадратный корень из 45 19 Оценить квадратный корень из 32 20 Оценить квадратный корень из 18 93-8 9 Оценить квадратный корень из 12 10 Оценить квадратный корень из 20 11 Оценить квадратный корень из 50 94 18 Оценить квадратный корень из 45 19 Оценить квадратный корень из 32 20 Оценить квадратный корень из 18 92+bx+c=0 в стандартной форме.

Самый простой способ решения квадратного уравнения, но не всегда легко применимый, — факторизация. Этот метод зависит от следующего свойства.

СВОЙСТВО НУЛЕВОГО ФАКТОРА

Если a и b — комплексные числа, при этом ab = 0, то a = 0 или b=0, или и то, и другое

В следующем примере показано, как свойство нулевого множителя используется для решения квадратное уравнение.

Пример 1.

92 + bx + c = 0, a!=0, заполнив квадрат:

1. Если a!=1, умножьте обе части уравнения на 1/a.

2. Перепишите уравнение так, чтобы постоянный член стоял один по одну сторону от знака равенства
.

3. Возведите в квадрат половину коэффициента при x и прибавьте этот квадрат к обеим частям уравнения
.

4. Разложите полученный трехчлен на множители как полный квадрат и объедините члены на

другой стороне.

5. Используйте свойство квадратного корня для завершения решения. 92=5/9.

Теперь используйте свойство квадратного корня и свойство частного для радикалов, чтобы получить

z-2/3=+-root(5/9)

z-2/3=+-root(5)/(3)

z=2/3+-(корень(5))/(3).

Эти два решения могут быть записаны как

(2+-корень(5))/(3)

с сокращением набора решений как {(2+-корень(5))/(3)}.

Вот как наш пошаговый решатель квадратных уравнений решает поставленную выше задачу. Вы можете увидеть решенные похожие проблемы, нажав на кнопку «Решить похожие». 92-2x+4=0

x=(2+-корень(4-16))/2) a=1,b=-2,c=4

x=(2+-корень(-12) )/(2)

x=(2+-2i(root(3)))/(2)

x=1+-(i)root(3) Вычтем 2 из числителя и уменьшим условия.

Набор решений {-2,1+-(i)root(3)}.

Давайте посмотрим, как наш решатель кубических уравнений решает эту и подобные задачи. Нажмите кнопку «Решить подобное», чтобы увидеть больше примеров.

Решить похожую задачуВведите свою задачу

Иногда необходимо решить буквальное уравнение для переменной, которая возводится в квадрат. В таких случаях мы обычно применяем свойство квадратного корня уравнений или квадратную формулу. 92 — 4ac, называется дискриминантом. Когда числа a, b и c являются целыми числами (но не обязательно в противном случае), значение дискриминанта можно использовать для определения того, будут ли решения рациональными, иррациональными или мнимыми числами. Если дискриминант равен 0, то будет только одно отличное решение. (Почему?)

Дискриминант квадратного уравнения дает следующую информацию о решениях уравнения.

ДИСКРИМИНАНТ

92-4(3)(4)))/(2(3))=(1+-корень(-47))/(6)

знаменатель равен нулю. Таким образом, нет никаких вещественных ограничений на x.

2.5 ПРИМЕНЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ

Многие прикладные задачи приводят к квадратным уравнениям. В этом разделе мы приводим примеры нескольких видов таких задач.

ОСТОРОЖНО При решении задач, которые приводят к квадратным уравнениям, мы можем получить решение, которое не удовлетворяет физическим ограничениям задачи. Например, если x представляет собой ширину, а два решения квадратного уравнения равны -9и 1. значение -9 должно быть отклонено, так как ширина должна быть положительным числом.

Пример 1

РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ

Ландшафтный подрядчик хочет сделать открытый гравийный бордюр одинаковой ширины вокруг прямоугольного бассейна в саду. Бассейн имеет длину 10 футов и ширину 6 футов. Материала достаточно, чтобы покрыть 36 квадратных футов. Какой ширины должна быть граница?

Схема бассейна с бордюром представлена на рис. 2.4. Так как нас просят найти ширину границы, пусть

x= ширина границы в футах.

Тогда 6+2x= ширина большего прямоугольника в футах,

и 10+2x= длина большего прямоугольника в футах.

Площадь большего прямоугольника равна (6+2x)(10+2x) квадратных футов, а площадь бассейна составляет 6 * 10 = 60 квадратных футов. Площадь границы находится путем вычитания площадь бассейна из площади большего прямоугольника. Эта разница должна составлять 36 квадратных футов. 92+8x-9=0

(x+9)(x-1)=0

Решения равны -9 и 1. Ширина границы не может быть отрицательной. поэтому граница должна быть шириной 1 фут.

Задачи на скорость работы впервые были представлены в разделе 2.2. Напомним, что если работу можно выполнить за x единиц извести, скорость работы будет равна 1/x работы в единицу времени.

Пример 2

РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ НА РАБОТЕ

Пэт и Майк каждую ночь убирают офисы в офисном здании в центре города. Работаю один. Пэту требуется на 1 час меньше времени, чем Майку, чтобы завершить работу. Работая вместе, они могут закончить работу за 6 часов. Однажды ночью Па! звонит больным. Сколько времени потребуется Майку, чтобы выполнить эту работу в одиночку?

Пусть

x= время, когда Майк должен выполнить работу в одиночку,

x-1= время, когда Пэт должен выполнить работу в одиночку.

Стоимость Майка и Пэт указана. соответственно. 1/х и 1/(х — 1) работы в час. Если мы умножим время, проработанное вместе, 6 часов, на каждую ставку, мы получим дробную часть работы, выполненной каждым человеком. Это обобщено на следующей диаграмме.

Дискриминант	Количество решений	Тип решения
Положительный. идеальный квадрат	Два	Рационал
Положительный, но не идеальный квадрат	Два	Иррациональное
Ноль	Один (двойной раствор)	Рационал

	Тариф	Время	Часть
Майк	1/х	6	6(1/х)=6/х
Пат	1/(х — 1)	6	6(1/(х-1))=6/(х-1)

Поскольку всю работу могут выполнить два человека, сумма лотков должна равняться 1, как показано уравнением

6/x+6/(x-1)=1 , умножьте обе части уравнения на наименьший общий знаменатель x(x — 1).

92-4(1)(6)))/(2(1)) a=1,b=-13,c=6

x=(13+-корень(169-24))/(2)

x=(13+-root(145))/(2)

x≈(13+-12,04)/(2)

Используйте калькулятор, чтобы найти это с точностью до десятых, x = 12,5 или x = 0,5 . Решение x = 0,5 не удовлетворяет условиям задачи, так как тогда Пату требуется x — 1 = -0,5 часа для выполнения работы. Майку потребуется 12,5 часов, чтобы выполнить эту работу в одиночку.

Пример 3

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ

Экскурсионный катер плыл вверх по течению от Галта до Ислтона. расстояние 12 миль. На обратном пути вниз по течению лодка двигалась на 3 мили в час быстрее. Если обратный путь занял на 8 минут меньше времени, с какой скоростью лодка плыла вверх по течению?

На приведенной ниже диаграмме представлена сводная информация по задаче, где x представляет скорость восходящего потока.

Записи в столбце для времени находятся из решения формулы расстояния. d = rt для t в каждом случае. 2-6x 92+3x-270=0 Поделить на 2.

(x+18)(x-15)=0

x=-18 или x=15

Отклонить отрицательное решение. Лодка шла против течения со скоростью 15 миль в час.

ОСТОРОЖНО

Когда задачи связаны с разными единицами времени (как в примере 3, где скорость указана в милях в час, а время указано в минутах). необходимо преобразовать в ту же единицу, прежде чем настраивать уравнение.

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы. 92

Пример 4.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ, СВЯЗАННОЙ С ТЕОРЕМОЙ ПИФАГОРА

А вот! имеет форму прямоугольного треугольника. Более длинная сторона треугольника на 20 м длиннее, чем удвоенная длина более короткой стороны. Гипотенуза на 10 метров длиннее длинного катета. Найдите длины трех сторон участка.

Позвольте s = длина более короткой ноги в метрах. Тогда 2x + 20 метров представляет собой длину более длинного катета, а (2s+20)+10=2s+30 метров представляет собой длину гипотенузы. 2+100т

Это можно решить с помощью факторинга.

0 = -4T (4T-25)

-4T = 0 или 4T-25 = 0

T = 0 4T = 25

T = 6,25

снаряд находился на земле до запуска, поэтому он не отвечает на вопрос. Снаряд вернется на землю через 6,25 секунды после запуска.

ДРУГИЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ

Многие уравнения, которые на самом деле не являются квадратными уравнениями, могут быть решены методами, рассмотренными ранее в этой главе. 92+2x-15=0

(x+5)(x-3)=0

x=-5 или xx=3

Теперь предлагаемые решения необходимо проверить в исходном уравнении, x=root(15 -2x).

x=-5

x=корень(15-2x)

-5=корень(15-2(-5)) ?

-5=корень(15+10) ?

-5=корень(25) ?

-5 = 5 FALSE

X = 3

x = корень (15-2x)

3 = корень (15-2 (3))?

3=корень(15-6) ?

3=корень(9) ?

3=3 Верно

Как показывает эта проверка, только 3 является решением, что дает набор решений {3}.

Чтобы решить уравнение, содержащее радикалы, выполните следующие действия.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ С РАДИКАЛАМИ

1.Выделите радикал с одной стороны уравнения.

2. Возведите каждую часть уравнения в степень, совпадающую с индексом радикала, чтобы исключить радикал.

3. Решить полученное уравнение. Если он все еще содержит радикал, повторите шаги 1 и 2.

4. Проверьте каждое предложенное решение в исходном уравнении.

Пример 4.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩЕГО ДВА РАДИКАЛА

Найти корень(2x+3)-корень(x+1)=1.

Если уравнение содержит два радикала, начните с выделения одного из радикалов на одной стороне уравнения. Для этого давайте изолируем root(2x+3) (Шаг 1).

корень(2x+3)=1+корень(x+1) 92-2x-3=0

(x-3)(x+1)=0

x=3 или x=-1

Проверьте эти предложенные решения в исходном уравнении (шаг 4)

Le Le 3.

корень(2x+3)-корень(x+1)=1

корень(2(3)+3)-корень(3+1)=1 ?

корень(9)-корень(4)=1 ?

3-2=1 ?

1=1 Истинно

Пусть x=-1

корень(2x+3)-корень(x+1)+3- корень(2)- 1 корень(x+1)=1

корень

1+1)=1 ?

корень(1)-корень(0)=1 ? 9(1/4)=root(4,b) является главным корнем четвертой степени, поэтому правая часть x не может быть отрицательной. Следовательно. два отрицательных предложенных решения должны быть отвергнуты.

Алгебра. Квадратные уравнения. Часть I

Онлайн-заметки Пола
Главная / Алгебра / Решение уравнений и неравенств / Квадратные уравнения. Часть I

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Уведомление для мобильных устройств

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 2-5: Квадратные уравнения — Часть I 92}\) в уравнении. Мы гарантируем, что этот член будет присутствовать в уравнении, требуя \(a \ne 0\). Обратите внимание, однако, что это нормально, если \(b\) и/или \(c\) равны нулю.

Существует множество способов решения квадратных уравнений. В следующих двух разделах мы рассмотрим четыре из них. Первые два метода не всегда будут работать, но, вероятно, их немного проще использовать, когда они работают. В этом разделе будут рассмотрены эти два метода. Последние два метода всегда будут работать, но часто требуют немного больше работы или внимания, чтобы получить правильный результат. Мы рассмотрим эти методы в следующем разделе.

Итак, приступим.

Решение с помощью факторинга

Как следует из заголовка, здесь мы будем решать квадратные уравнения, разлагая их на множители. Для этого нам понадобится следующий факт.

\[{\mbox{Если}}ab = 0{\mbox{тогда либо}}a = 0{\mbox{и/или}}b = 0\]

Этот факт называется свойством нулевого фактора или принципом нулевого фактора . Все дело в том, что если произведение двух слагаемых равно нулю, то по крайней мере один из слагаемых должен был быть равен нулю с самого начала.

Обратите внимание, что этот факт будет работать, ТОЛЬКО если произведение равно нулю. Рассмотрим следующий продукт.

\[аб = 6\]

В этом случае нет оснований полагать, что либо \(a\), либо \(b\) будет равно 6. Например, мы могли бы иметь \(a = 2\) и \(b = 3\). Так что не злоупотребляйте этим фактом!

Чтобы решить квадратное уравнение с помощью факторизации, мы сначала должны переместить все члены в одну часть уравнения. Это служит двум целям. Во-первых, он приводит квадратичные уравнения в форму, которую можно разложить на множители. Во-вторых, и, возможно, более важно, чтобы использовать свойство нулевого фактора, мы ДОЛЖНЫ иметь ноль на одной стороне уравнения. Если у нас нет нуля на одной стороне уравнения, мы не сможем использовать свойство нулевого фактора. 92} — x — 12 & = 0\\ \left( {x — 4} \right)\left( {x + 3} \right) & = 0\end{align*}\]

Теперь у нас есть произведение двух слагаемых, равное нулю. Это означает, что хотя бы одно из следующего должно быть истинным.

\[\begin{align*}x — 4 & = 0 & \hspace{0,25 дюйма}{\mbox{ИЛИ}}\hspace{0,25 дюйма} & & x + 3 & = 0\\ x & = 4&\hspace {0,25 дюйма}{\mbox{ИЛИ}}\hspace{0,25 дюйма} & & x & = — 3\end{align*}\] 92} + 40 + 14x & = 0\\ \left( {x + 4} \right)\left( {x + 10} \right) & = 0\end{align*}\]

Теперь у нас снова есть произведение двух членов, равное нулю, поэтому мы знаем, что одно или оба из них должны быть равны нулю. Итак, технически нам нужно установить каждую из них равной нулю и решить. Однако обычно это достаточно легко сделать в уме, поэтому с этого момента мы будем решать это в уме.

Решения этого уравнения:

\[x = — 4\hspace{0,25 дюйма}{\mbox{AND}}\hspace{0,25 дюйма}x = — 10\] 92} & = 0\\ \left( {y + 6} \right)\left( {y + 6} \right) & = 0\end{align*}\]

В этом случае у нас есть идеальный квадрат. Мы разбили квадрат, чтобы обозначить, что у нас действительно есть применение свойства нулевого фактора. Однако обычно мы этого не делаем. Обычно мы сразу переходим к ответу из возведенной в квадрат части.

Решение уравнения в этом случае:

\[у = — 6\] 92} — 1 & = 0\\ \left( {2m — 1} \right)\left( {2m + 1} \right) & = 0\end{align*}\]

Теперь примените свойство нулевого коэффициента. Свойство нулевого фактора говорит нам, что

\[\begin{align*}2 м — 1 & = 0 & \hspace{0,25 дюйма}{\mbox{OR}}\hspace{0,25 дюйма} & & 2 м + 1 & = 0\\ 2 м & = 1 & \ hspace{0,25 дюйма}{\mbox{ИЛИ}}\hspace{0,25 дюйма} & & m & = — 1\\ m & = \frac{1}{2} & \hspace{0,25 дюйма}{\mbox{ИЛИ }}\hspace{0,25 дюйма} & & m & = — \frac{1}{2}\end{align*}\] 92} — 2х = 0\]

Теперь заметьте, что все, что мы можем сделать для разложения на множители, это разложить на множители \(x\) всего. Выполнение этого дает,

\[х\влево( {5x — 2} \вправо) = 0\]

Из первого множителя получаем, что \(x = 0\), а из второго получаем, что \(x = \frac{2}{5}\). Это два решения этого уравнения. Обратите внимание: если бы мы отменили \(x\) на первом шаге, мы НЕ получили бы \(x = 0\) в качестве ответа!

Давайте решим здесь еще одну задачу. Мы видели некоторые из них еще в разделе «Решение линейных уравнений», и, поскольку они также могут встречаться с квадратными уравнениями, мы должны продолжить и поработать над тем, чтобы убедиться, что мы можем делать их и здесь.

Пример 2. Решите каждое из следующих уравнений.

\(\displaystyle \frac{1}{{x + 1}} = 1 — \frac{5}{{2x — 4}}\)
\(\displaystyle x + 3 + \frac{3}{{x — 1}} = \frac{{4 — x}}{{x — 1}}\)

Показать все решения Скрыть все решения

Показать обсуждение

Итак, как и в случае с линейными уравнениями, первое, что нам нужно сделать, это очистить знаменатели, умножив их на LCD. 2} — 9x — 5\\ 0 & = \left( {2x + 1} \right)\left( {x — 5} \right)\end{align*}\]

Итак, два решения этого уравнения выглядят так:

\[x = — \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,{\mbox{and}}x = 5\]

Обратите также внимание, что ни одно из этих значений не является тем значением \(x\), которого нам нужно было избежать, и поэтому оба являются решениями.

b \(\displaystyle x + 3 + \frac{3}{{x — 1}} = \frac{{4 — x}}{{x — 1}}\) Показать решение 92} + 3x — 4 & = 0\\ \left( {x — 1} \right)\left( {x + 4} \right) & = 0\end{align*}\]

Итак, квадратное уравнение, которое мы разложили на множители и решили, имеет два решения: \(x = 1\) и \(x = — 4\). Однако, когда мы нашли LCD, мы также увидели, что нам нужно избегать \(x = 1\), чтобы мы не получили деление на ноль. Следовательно, это уравнение имеет единственное решение:

. \[х = — 4\]

Прежде чем перейти к следующей теме, следует отметить, что эту идею факторизации можно использовать и для решения уравнений со степенью больше двух. Рассмотрим следующий пример. 92} — x — 2} \right) & = 0\\ 5x\left( {x — 2} \right)\left( {x + 1} \right) & = 0\end{align*}\]

Теперь здесь сохраняется свойство нулевого фактора. В этом случае у нас есть произведение трех слагаемых, равное нулю. Единственный способ, которым этот продукт может быть равен нулю, — это если один из членов равен нулю. Это означает, что

\[\begin{align*}5x & = 0\hspace{0.25in} \Стрелка вправо & x & = 0\\ x — 2 & = 0\hspace{0.25in} \Стрелка вправо & x & = 2\\ x + 1 & = 0\hspace{0.25in} \Стрелка вправо & x & = — 1\end{align*}\] 92} = d {\ mbox {тогда}} p = \ pm \ sqrt d \]

Здесь есть (потенциально) новый символ, который мы должны сначала определить, если вы его еще не видели. Символ «\( \pm \)» читается как: «плюс или минус» и именно это он нам и говорит. Этот символ является сокращением, которое говорит нам, что у нас действительно есть два числа. Один из них \(p = \sqrt d \), а другой — \(p = — \sqrt d \). Привыкайте к этому обозначению, так как оно будет часто использоваться в следующих парах разделов, когда мы будем обсуждать оставшиеся методы решения. Он также возникнет в других разделах этой главы и даже в других главах. 92} & = \frac{3}{{25}}\hspace{0,25 дюйма} \Rightarrow \hspace{0,25in}y = \pm \sqrt {\frac{3}{{25}}} = \pm \ frac{{\sqrt 3}}{5}\end{align*}\]

В этом случае решения немного запутаны, но многие из них подойдут, так что не беспокойтесь об этом. Также обратите внимание, что, поскольку мы знали, что такое квадратный корень из 25, мы пошли дальше и разделили квадратный корень дроби, как показано. Опять же, помните, что здесь действительно есть два решения, одно положительное и одно отрицательное.

9292} & = — \frac{{49}}{4}\hspace{0.

2} = 5\) Показать решение

Выглядит иначе, чем предыдущие части, но работает точно так же. Свойство квадратного корня можно использовать в любое время, когда у нас есть , где в квадрате равно числу. Это то, что мы имеем здесь. Основное отличие, конечно, в том, что нечто, что возводится в квадрат, — это не одна переменная, а что-то другое. Итак, вот применение свойства квадратного корня для этого уравнения.

\[2t — 9 = \pm \sqrt 5 \]

Теперь нам просто нужно найти \(t\), и, несмотря на «плюс-минус» в уравнении, оно работает так же, как мы решаем любое линейное уравнение. Мы добавим 9 к обеим сторонам, а затем разделим на 2.

\[\begin{align*}2t & = 9 \pm \sqrt 5 \\ t & = \frac{1}{2}\left( {9 \pm \sqrt 5 } \right) = \frac{9} {2} \pm \frac{{\sqrt 5}}{2}\end{align*}\]

Обратите внимание, что мы умножили дробь через скобки для окончательного ответа. Обычно мы будем делать это в этих задачах. Кроме того, НЕ конвертируйте их в десятичные числа, если вас об этом не попросят. Это стандартная форма для этих ответов. При этом мы должны преобразовать их в десятичные числа, чтобы убедиться, что вы можете. Вот десятичные значения двух решений. 92} & = — 81\\ 3x + 10 & = \pm \,9\,i\\ 3x & = — 10 \pm \,9\,i\\ x & = — \frac{{10}}{ 3} \pm 3\,i\end{выравнивание*}\]

Итак, мы снова получили два сложных решения, и обратите внимание, что в обеих предыдущих частях мы поставили часть «плюс или минус» последней. Обычно так пишут.

Как упоминалось в начале этого раздела, мы разобьем эту тему на две части для удобства тех, кто просматривает ее в Интернете. Следующие два метода решения квадратных уравнений, завершающие формулу квадрата и квадрата, приведены в следующем разделе.

Когда квадратное уравнение не имеет решения? (3 способа сказать) – JDM Educational

При работе с квадратными уравнениями мы часто видим одно или два реальных решения. Однако также возможно, что квадратное уравнение не будет иметь действительного решения.

Итак, когда квадратное уравнение не имеет решения? Квадратное уравнение не имеет решения, если дискриминант отрицательный. С точки зрения алгебры это означает, что b ² < 4ac. Визуально это означает, что график квадратичного уравнения (параболы) никогда не будет касаться оси x.

Конечно, квадратное уравнение, не имеющее действительного решения, все равно будет иметь комплексные решения.

В этой статье мы поговорим о том, как определить, что квадратное уравнение не имеет решения. Мы также рассмотрим несколько примеров, а также то, как написать квадратное уравнение с учетом его комплексных решений.

Начнем.

(Вы также можете посмотреть видеообзор этой статьи на YouTube!)

Когда квадратное уравнение не имеет решения?

Есть несколько способов определить, что квадратное уравнение не имеет решения:

Посмотрите на дискриминант – если он отрицателен, квадратного уравнения нет.
Посмотрите на график – если парабола никогда не касается оси x, то квадратное уравнение не имеет действительного решения.
Посмотрите на коэффициенты — есть некоторые частные случаи, которые подскажут вам, когда нет действительного решения квадратного уравнения (подробнее об этом позже в статье!)

Мы начнем с метода, который использует дискриминант.

Посмотрите на дискриминант

Первый способ определить, не имеет ли квадратное уравнение действительного решения, — посмотреть на дискриминант. Если дискриминант отрицателен, то квадратное уравнение не имеет действительного решения.

Дискриминантом является выражение b ² – 4ac под радикалом в квадратичной формуле. Его знак может сказать нам о характере решений соответствующего квадратного уравнения.

Помните, что для квадратного уравнения:

AX ² + BX + C = 0

Дискриминант — это выражение:

B ² — 43267

B ² — 4326711 ² — 43267 B ² — 4AC 929
191911818181818. 92
19191

Чтобы получить отрицательный дискриминант, нам нужно:

b ² – 4ac < 0

или

B ² <4AC

Вот один из примеров квадратичного уравнения без реального решения:

X ² + 2 x + 5 = 5 = 5 = 5 = 5 = 5 = 5 = 5 = 5 = 5 = 5 = 5 = 5 = 5 = 5 = 5 = 5 = 5 = 5 = 5 = 5 = 5 = 5 = 5 = 5 = 5 =
x ² + 2 x
. , a = 1, b = 2, and c = 5. This gives us:
b ²
= (2) ²
= 4
and
4ас
= 4(1)(5)
= 20
Итак, b ² < 4ac (поскольку 4 < 20), и, следовательно, дискриминант отрицательный. Это означает, что квадратное уравнение не имеет действительного решения.
Однако уравнение имеет два комплексных решения: -1 + 2i и -1 – 2i. (Вы можете проверить эти решения, используя квадратичную формулу с a = 1, b = 2 и c = 5).
Вы также можете проверить эти два решения, используя FOIL на (x – (-1 + 2i))(x – (-1 – 2i)) для возврата исходного квадратичного выражения, x ² + 2x + 5. (помните, что i ² = -1).
Вы можете увидеть график этой функции ниже.
Это график параболы из квадратного уравнения y = x ² + 2x + 5.
Если вы внимательно посмотрите, то заметите кое-что интересное в приведенном выше графике: он никогда не касается оси x (то есть парабола никогда не пересекает линию y = 0).
Давайте подробнее рассмотрим, почему это так.
Посмотрите на график
Еще один способ узнать, не имеет ли квадратное уравнение действительного решения, — посмотреть на его график. Для любого квадратного уравнения график будет парабола .
Помните, что одной из ключевых особенностей параболы является ее вершина. Вершина параболы похожа на «вершину горы» (для отрицательных значений а) или «дно долины» (для положительных значений а).
Как видите, квадратичная функция f(x) = x ² – 2x + 2 является параболой, которая никогда не касается оси x, так как вершина (дно долины) лежит над осью x при x = 1. Это означает квадратное уравнение не имеет действительного решения.
Обратите внимание, что квадратное уравнение без действительного решения может иметь график, полностью лежащий под осью x (в этом случае одно из условий состоит в том, что a < 0). Пример ниже:
Как видите, квадратичная функция f(x) = -x ² – 3x – 10 является параболой, которая никогда не касается оси x, так как вершина (вершина горы) лежит ниже оси x при x = -3/ 2. Это означает, что квадратное уравнение не имеет действительного решения.
Как вы можете видеть на первом графике выше, парабола не касается оси x. Это означает, что квадратное уравнение x ² – 2x + 2 = 0 не имеет действительного решения.
Вместо этого у него есть два комплексных решения: 1 + i и 1 – i.
– Будьте осторожны: чтобы квадратное уравнение не имело действительного решения, его график никогда не должен касаться оси x. Если график вообще касается оси x, то он имеет либо одно (повторяющееся) действительное решение, либо два различных действительных решения.
Посмотрите на коэффициенты
Вы также можете посмотреть на коэффициенты квадратного уравнения в стандартной форме, чтобы определить, не имеет ли оно действительного решения.
Помните, что стандартная форма квадратного уравнения имеет ноль с одной стороны и члены в порядке убывания с другой:
ax ² + bx + c = 0
Существует особый случай, который покажет нам, не имеет ли квадратное уравнение действительного решения: если b = 0, когда a и c имеют один и тот же знак (оба положительные или оба отрицательные), то реального решения не будет.
Квадратичная формула становится намного проще, когда b = 0. После упрощения мы находим, что решения представляют собой положительные и отрицательные квадратные корни из –c / a.
Если с и а оба положительны, то с / а положительно, а -с / а отрицательно.
Аналогично, если с и а оба отрицательны, то с / а положительно, а -с / а отрицательно.
В любом из этих случаев мы извлекаем квадратный корень из отрицательного числа, что дает нам два комплексных решения квадратного уравнения (то есть никакого действительного решения).
Например, квадратное уравнение x ² + 4 = 0 не имеет действительного решения. В этом случае a = 1, b = 0 и c = 4.
Поскольку b = 0, когда a и c имеют одинаковый знак (оба положительны), мы знаем, что реального решения нет. На самом деле решения равны 2i и -2i (вы можете проверить это с помощью квадратичной формулы).
Мы также можем проверить это, если ФОЛЬГИРУЕМ (x – 2i)(x + 2i), сократим подобные термины и используем i ² = -1 для упрощения, чтобы вернуться к x ² + 4.
Аналогично , квадратное уравнение -2x ² – 18 не имеет действительного решения. В этом случае a = -2, b = 0 и c = -18.
Поскольку b = 0, когда a и c имеют одинаковый знак (оба отрицательные), мы знаем, что реального решения нет. На самом деле решения 3i и -3i.
Помните, что вы всегда можете воспользоваться калькулятором, чтобы проверить решения квадратного уравнения. Вы также можете использовать решатель квадратных уравнений, такой как этот от WolframAlpha.
для калькулятора Вольфрамальфа, помните, что:
Квадратичный коэффициент (x ² Коэффициент 9295
Линейный коэффициент (x коэффициент).
Примеры квадратных уравнений без вещественного решения
Вот несколько примеров квадратных уравнений без вещественного решения. Посмотрите на них, чтобы увидеть, заметите ли вы шаблон , прежде чем читать дальше.
x ² + x + 1 = 0
x ² + x + 2 = 0
x ² + 3
x ² + 3
x ² + 3
x ² +
x ² + 3
x ² +
x ^{. + x + 4 = 0}
x ² + x + 5 = 0
Вы можете заметить, что все коэффициенты x ² (значения a) равны 1.
Другое Вы можете заметить, что все коэффициенты x (значения b) равны 1,9.1813
Последнее, что вы можете заметить, это то, что константы (значения c) представляют собой последовательность целых чисел:
1, 2, 3, 4, 5
создать больше этих квадратных уравнений без реального решения. Когда мы подставляем a = 1 и b = 1 в квадратичную формулу, дискриминант упрощается до 1 – 4c.
Пока с является положительным числом, большим ¼, мы получим квадратное уравнение без действительного решения. Любое положительное целое число больше ¼, поэтому мы можем выбрать любое из них в качестве c.
Мы также можем изменить знак всех значений b, чтобы получить совершенно новый набор квадратных уравнений без действительного решения: x + 2 = 0
x ² — x + 3 = 0
x ² — x + 4 = 0
x ² —
x ^{2 ^{2 —}}
1 x ^{. После подстановки a = 1 и b = -1 в квадратичную формулу дискриминант все еще упрощается до 1 – 4c.
Еще раз, пока с является положительным числом больше ¼, мы получим квадратное уравнение без действительного решения.
Есть много других возможностей для квадратных уравнений без действительных решений. Все, что вам нужно сделать, это выбрать a, b и c так, чтобы дискриминант был отрицательным (то есть b ² < 4ac).
Всегда ли квадратное уравнение имеет решение?
Квадратное уравнение не всегда имеет действительное решение. Однако квадратное уравнение всегда имеет решение, если мы рассматриваем комплексные/мнимые числа.
С точки зрения действительных решений всегда существует 0, 1 или 2 действительных решения квадратного уравнения, в зависимости от знака дискриминанта.
Если дискриминант положительный, то существует ровно 2 действительных решения.
Если дискриминант равен нулю, существует ровно одно действительное решение (повторяющийся корень).
Если дискриминант отрицательный, то существует ровно 2 комплексных решения (они являются комплексно-сопряженными) без действительного решения.
(Подробнее о том, что представляют собой решения квадратной формулы, вы можете узнать из моей статьи здесь.)
Помните, что два комплексно-сопряженных числа имеют форму a + bi и a – bi. Другими словами, они имеют одинаковую действительную часть, но противоположные мнимые части.
Например, 2 + 3i и 2 – 3i являются комплексно-сопряженными.
Как написать квадратное уравнение без действительного решения?
Теперь пришло время работать в обратном порядке. Имея пару комплексно-сопряженных решений, мы хотим найти квадратное уравнение, имеющее эти решения.
Это легко сделать, если вы знаете метод. Если комплексными решениями являются r и s, то все, что нам нужно сделать, это FOIL (x – r)(x – s), чтобы найти квадратное.
Это дало бы нам квадратное уравнение x ² – (r + s)x + rs. Давайте попробуем пример.
Пример: Написание квадратного уравнения с заданными комплексными решениями (без действительного решения)
Предположим, мы хотим найти квадратное уравнение с корнями 2i и -2i. Тогда мы имеем r = 2i и s = -2i.
Уравнение будет (x – r)(x – s) = 0 с r = 2i и s = -2i. Это дает нам:
(x – 2i)(x – (-2i)) = 0
(x – 2i)(x + 2i) = 0
Использование ФОЛЬГИ слева дает нам x ² – 2ix + 2ix – 4i ² = 0 Подобные условия сокращаются, что дает нам x ² – 4i ² = 0,
Поскольку i ² = -1, мы можем упростить до x 1 2 2 – 4(-1) = 0, или x ² + 4 = 0.
Вы можете увидеть график параболы y = x ² + 4 ниже (обратите внимание, что он никогда не касается оси x).
Как видите, квадратичная функция f(x) = x ² + 4 представляет собой параболу, которая никогда не касается оси x, так как вершина (дно долины) лежит над осью x при x = 0. Это означает, что квадратичная функция уравнение не имеет действительного решения. Заключение
Теперь вы знаете, когда квадратное уравнение не имеет решения (в действительных числах). Вы также знаете, на что обращать внимание с точки зрения дискриминанта, графика и коэффициентов.
Надеюсь, эта статья оказалась вам полезной. Если это так, пожалуйста, поделитесь ею с теми, кто может использовать эту информацию.
Вы можете узнать больше о других методах решения квадратичных уравнений в этом ресурсе Университета Ламара.
Вы можете узнать больше о квадратичных уравнениях в других моих статьях о квадратичных уравнениях с одним решением и квадратичных уравнениях с действительными решениями.
Вы также можете прочитать мою статью о том, когда использовать квадратное уравнение, или мою статью о том, как разложить на множители квадратный бином (вы можете использовать частный случай квадратной формулы).
В этой статье подробно описывается, как использовать квадратичную функцию для нахождения характера решений (действительных или комплексных) кубической функции.
No related posts.}