Как решить уравнения первой степени
Если есть сложный и трудный предмет для многих учеников, это, без сомнения, математика. В ESO это предмет с наибольшим количеством неудач у студентов и тот, который вызывает больше всего головной боли. В этом предмете одной из самых сложных вещей для изучения являются знаменитые уравнения.
Есть много типов уравнений, хотя те, которые обычно изучаются во время ESO Это первый, второй и третий сорт. Ключ при решении уравнения — начать с первой степени, а затем продолжить с другими. В следующей статье мы собираемся объяснить, как лучше всего решать уравнения первой степени.
Индекс
- 1 Уравнения первой степени
- 2 Научитесь решать уравнения первой степени
- 3 Несколько советов по решению уравнений первой степени
- 4 Некоторые примеры уравнений первой степени
- 4.1 Как решить уравнение с дробью x/4=8
- 4.
- 4.3 Как решить уравнение с отрицательным коэффициентом -5x=45
Уравнения первой степени
Уравнения этого типа также известны как линейные и Их легче всего выучить. Они представляют собой математическое равенство, в котором одно из значений неизвестно. Решая ее, вы должны найти число, соответствующее этому значению.
В уравнениях первой степени неизвестное значение возводится в единицу, в отличие от того, что происходит в других видах уравнений. где значение умножается само на себя один или несколько раз.
Научитесь решать уравнения первой степени
При решении уравнений важно начинать с уравнений первой степени, а оттуда начинать с уравнений второй или третьей степени. Затем мы покажем вам шаги, которые необходимо выполнить для правильного решения уравнений первой степени:
- Первое, что нужно сделать, это сгруппировать все числа чтобы получить X из уравнения. Примером этого может быть: 4-x=x-6, 4+6=x+x.
- Как только вы передадите числа в сторону, вы должны изменить их знак. Таким образом, если число прибавляется в одну сторону, то при передаче его в другую сторону вы должны поставить перед ним знак минус.
- Следующим шагом является решение операций над числами и сгруппируйте все x на другой стороне. Например, 4+4=x+x, 8=2x.
- Последний шаг — разделить результат операции по количеству неизвестных на другой стороне. Например, 8=2x, 8/2=x, 4=x.
Примером этого может быть: 4-x=x-6, 4+6=x+x.В том случае, если имеются более сложные операции, такие как деление или умножение, необходимо решать их в следующем порядке: Сложение, вычитание, умножение и деление. Если бы были круглые скобки, операции внутри них должны были бы быть выполнены в первую очередь.
Несколько советов по решению уравнений первой степени
Если вы освоите уравнения первой степени, вы сможете перейти к решению других типов несколько более сложных уравнений.
как и у второклассников. Затем мы даем вам ряд советов, которые помогут вам решить уравнения первой степени:
- Если есть термин или значение, которое повторяется с обеих сторон, можно убрать или удалить.
- Если в дроби стоит отрицательное число, то вся дробь будет отрицательной. Вы можете поставить знак минус перед всем уравнением и, таким образом, сделать его очень ясным.
- Когда неизвестное отрицательное, вы должны передать его другой стороне, добавив и затем решите остальную часть числа. Это более простой способ решения уравнения.
Некоторые примеры уравнений первой степени
Как решить уравнение с дробью x/4=8
Это так же просто, как переместить 4 на другую сторону и очистить x. При прохождении 4 оно умножается на 8, что дает 32. Таким образом, x будет равен 32.
Как решить уравнение с отрицательным числом -16+x=29
В этом случае, поскольку это отрицательное число, его нужно сгруппировать с другим числом и добавить, чтобы очистить переменную. Таким образом, будет x=29+16, а x будет равно 45.
Как решить уравнение с отрицательным коэффициентом -5x=45
Это так же просто, как передать 5 на другую сторону и Разделите его на 45, чтобы получить х. Поскольку это -5x, деление будет отрицательным. Таким образом, это будет сделано следующим образом: x=-45/5, а x будет равен -9.
Короче говоря, когда дело доходит до правильного решения уравнения первой степени, Вы должны иметь некоторое терпение и обращать внимание на различные операции, которые необходимо выполнить. Уравнения такого типа поначалу могут показаться сложными, поэтому рекомендуется делать их на отдельном листе бумаги. Это нормально иметь ряд ошибок в начале, но с практикой их становится легко решить. После того, как уравнения первой степени хорошо усвоены, гораздо легче и проще решать другие типы несколько более сложных уравнений, таких как уравнения второй и третьей степени.
Содержание статьи соответствует нашим принципам редакционная этика. Чтобы сообщить об ошибке, нажмите здесь.
Вы можете быть заинтересованы
Итоговая контрольная работа по математике 8 класс
Рассмотрено | Утверждаю |
Руководитель МО учителей | Директор МБОУ СОШ № 71 |
математики и информатики | |
/_____________/Тимофеева О.В. | /_____________/Серафимов А.А. |
Протокол № ____ | |
от «_____» марта 2018года | от «______» марта 2018года |
Итоговая контрольная работа по математике в 8 классе
I вариант.
Часть 1.
При выполнении заданий первой части ответы укажите сначала на листах с заданиями, а затем перенесите в бланк № 1.
Все необходимые вычисления, преобразования выполняйте в черновике.
1. Запишите в ответе номера верных равенств.
1) 2) 3) .
Ответ: __________________.
2. Найдите значение выражения (2— 4)2 ∙ 210.
Ответ: ____________________.
3. Для приготовления фарша взяли говядину и свинину в отношении 7 : 13. Какой процент в фарше составляет говядина?
Ответ: ____________________.
4. Укажите номер верного утверждения:
1) a3 0 2) a – b 0 3) ab a + b 1.
5. Решите уравнение х2 – 7х = 0.
В ответ запишите корни, если корней несколько, разделяйте корни точкой с запятой.
Ответ: ____________________.
6. На тренировке в 50 – метровом бассейне пловец проплыл 200 – метровую дистанцию. На рисунке изображён график зависимости расстояния между пловцом и точкой старта от времени движения пловца.
Определите, на каком отрезке дистанции скорость пловца была наибольшей.
1) 0 м – 50 м 2) 50 м – 100 м
3) 100 м – 150 м 4) 150 м – 200 м.
7. Наклонная крыша установлена в трёх вертикальных опорах, расположенных на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота малой опоры
1,8 м, высота большой опоры 2,8 м. Найдите высоту средней опоры.
Ответ: ________________.
8. Упростите выражение: . 1) 2) 3) 6 4)
9. Решите неравенство 3(6 – х) ≥ 2 – х.
Ответ: _______________.
10. Найдите ∟С, если ∟А = 62˚.
Ответ: _________________.
11. Найдите значение выражения: .
1) 1200 2) 12 3) 120 4) 36
12. Укажите в ответе номера верных утверждений.
1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.
2) Если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
3) Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
4) Если в ромбе один из углов равен 90˚, то такой ромб – квадрат.
Ответ: _______________.
13. Из равенства выразите переменную v (все величины положительны).
Ответ: ________________.
14. Мотоциклист проехал 40 км от дома до реки. Возвращаясь обратно со скоростью на 10 км/ч меньшей первоначальной, он затратил на этот путь на 20 минут больше. Найдите первоначальную скорость мотоциклиста.
Если эту скорость обозначить за х км/ч, то задача может быть решена с помощью уравнения:
1) 2) 3) 4) х + 3(х – 10) = 40.
Часть II.
Для ответов на задания 15 – 17 используйте бланк № 2. укажите сначала номер задания, а затем запишите его решение.
15. (2 балла) Решите уравнение:
16. (2 балла) Найдите область определения функции
у = .
17. (3 балла) На сторонах АС и АВ треугольника АВС отмечены соответственно точки В1 и С1. Известно, что АВ1 = 3 см, В1С = 17 см, АС1 = 5 см, С1В = 7см. Докажите, что треугольники АВС и АВ1С1 подобны.
Рассмотрено | Утверждаю |
Руководитель МО учителей | Директор МБОУ СОШ № 71 |
математики и информатики | |
/_____________/Тимофеева О.В. | /_____________/Серафимов А.А. |
Протокол № ____ | |
от «_____» марта 2018года | от «______» марта 2018года |
II вариант.
Часть 1.
При выполнении заданий первой части ответы укажите сначала на листах с заданиями, а затем перенесите в бланк № 1. Все необходимые вычисления, преобразования выполняйте в черновике.
1. Запишите в ответе номера верных равенств.
1) 2) 3) .
Ответ: __________________.
2. Найдите значение выражения (7 4)-2 ∙ 710.
Ответ: ____________________.
3. Для фруктового напитка смешивают яблочный и виноградный сок в отношении 13 : 7. Какой процент в этом напитке составляет виноградный сок?
Ответ: ____________________.
4. Укажите номер верного утверждения:
1) a + b 0 2) 3) ab a – b)c
5. Решите уравнение х2 – 16 = 0.
В ответ запишите корни, если корней несколько, разделяйте корни точкой с запятой.
Ответ: ____________________.
6. На тренировке в 50 – метровом бассейне пловец проплыл 200 – метровую дистанцию.
На рисунке изображён график зависимости расстояния между пловцом и точкой старта от времени движения пловца. Определите, на каком отрезке дистанции скорость пловца была наибольшей.
1) 0 м – 50 м 2) 50 м – 100 м 3) 100 м – 150 м 4) 150 м – 200 м.
7. Наклонная крыша установлена в трёх вертикальных опорах, расположенных на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота малой опоры
1,7 м, высота средней опоры 2,1 м. Найдите высоту большей опоры.
Ответ: ________________.
8. Упростите выражение: .
1) 2) 3) 4) 4
9. Решите неравенство 9(2 – х) ≤ 4 – 7х.
Ответ: _______________.
10. Найдите ∟А, если ∟С = 32˚.
Ответ: _________________.
11. Найдите значение выражения: .
1) 280 2) 2800 3) 28 4) 700
12. Укажите в ответе номера верных утверждений.
1) Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.
2) Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
3) Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
4) Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то такой прямоугольник – квадрат.
Ответ: _______________.
13. Из равенства выразите переменную r (все величины положительны).
Ответ: ________________.
14. Товарный поезд был задержан в пути на 18 минут, а затем на расстоянии в 60 км наверстал это время, увеличив скорость на 10 км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда.
Если принять первоначальную скорость поезда за х км/ч, то задача будет решаться с помощью уравнения:
1) 2) 3) 4)
Часть II.
Для ответов на задания 15 – 17 используйте бланк № 2. укажите сначала номер задания, а затем запишите его решение.
15. (2 балла) Решите уравнение:
16.
(2 балла) Найдите область определения функции
у = .
17. (3 балла) На сторонах АС и АВ треугольника АВС отмечены соответственно точки В1 и С1. Известно, что АВ1 = 4 см, В1С = 17 см, АС1 = 7 см, С1В = 5см. Докажите, что треугольники АВС и АВ1С1 подобны.
3-8Решение и применение рациональных уравнений
Ключевые понятия
- Решение рационального уравнения
- Решить проблему производительности
- Идентифицировать постороннее решение
- Решить проблемы с посторонними решениями
- Решить проблему скорости
Рациональные уравнения
Решение рационального уравнения
Каково решение каждого рационального уравнения?
Рациональное уравнение — это уравнение, содержащее рациональное выражение.
1. 1/x+4 = 2
(x + 4) (1/x+4) = 2(x+4)
1 = 2x + 8
Решение x = -7 /2.
2. 1/x −3 = 5
(x – 3) (1/x−3) = 5(x−3)
1 = 5x – 15
x = 16/5
Решение x = 16/5.
Решение задачи на скорость работы
Артур и Шайенн могут покрасить стену за 6 часов, работая вместе. Шайенн работает вдвое быстрее Артура. Сколько времени потребовалось бы Шайенн, чтобы покрасить стену, если бы она работала одна?
Шаг 1:
Определите нормы труда Артура и Шайенна.
Пусть x представляет количество часов, которое Артуру нужно, чтобы самому покрасить стену.
Артур может покрасить 1 стену за x часов или 1/x стены за 1 час.
Шайенн в два раза быстрее, поэтому Шайенн красит 2/x стены за 1 час.
Вместе они красят 1 стену за 6 часов или 1/6 часть стены за 1 час.
Шаг 2:
Напишите уравнение для их совместной работы.
1/x + 2/x = 1/6x
6x (1/x + 2/x)
= 6x (1/6)
6 + 12 = x
18 = x
Потребовалось Артур 18 часов, чтобы покрасить стену в одиночку. Поскольку Шайенн работала в два раза быстрее Артура, ей потребовалось 9 часов, чтобы покрасить стену в одиночку.
Посторонние решения рациональных уравнений
Определение постороннего решения
Какое решение уравнения 𝟏/𝒙 − 𝟓 + 𝒙/𝒙 − 𝟑 = 𝟐/𝒙 𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟓 ?
Шаг 1: Умножьте каждую часть уравнения на общий знаменатель (x – 5) (x – 3).
(x – 5) (x – 3) (1/x − 5 + x/x − 3) = 2(x − 5) (x − 5)/x2 − 8x
Шаг 2: Перейдите к упрощать.
(х — 5)(х — 3)/х — 5 + х (х — 5)(х — 3)/х — 3 = 2(х — 5) (х — 3)/х 2 — 8x + 15
Шаг 3: Разделите общие множители в числителе и знаменателе.
Вы можете разделить общие множители в предположении, что (x – 5)/(x – 5) = 1 и
(x – 3)/ (x – 3) = 1.
Это верно, только если x ≠ 5 или 3.
Шаг 4: Решите уравнение.
(х – 3) + х (х – 5) = 2
х – 3 + х 2 −5х = 2
х 2 – 4х – 3 = 2
х 2 9 10922 х 9 – 5 = 0(х – 5) (х + 1) = 0
Решение x = 5 является лишним решением , потому что оно делает значение знаменателя в исходном уравнении равным 0.
Решение уравнения
1/x − 5 + x/x −3 = 2/x 2 -8x +15 равно -1.
Подтвердите графиком.
Рассмотрим графики 1/x − 5 + x/x −3 и 2x 2 -8x +15
Обратите внимание, что каждый график имеет вертикальную асимптоту при x = 3 и x = 5.
Следовательно, ни один из них график имеет значение при x = 5. Графики пересекаются только в одной точке при x = -1.
Решение задач с посторонними решениями
Каковы решения следующих уравнений?
1. 5x/x−2 = 7 + 10/x−2
5x/x−2 = 7 + 10/x−2 ———————Запишите исходное уравнение
(x – 2) (5x/x−2) = (7+ 10/x −2x−2)=(7+ 10 (x – 2) ——– Умножьте на ЖК-дисплей.
5x = 7(x – 2) + 10 —————————Распределительная собственность
5x = 7x – 14 + 10 ——––––––––Распределительная собственность
-2x = -4 ———————— ——————Соберите термины и упростите.
х = 2 ———————————————Найти х.
Проверьте решение исходного уравнения. Значение 2 является лишним решением, потому что оно привело бы к тому, что знаменатель в исходном уравнении был бы равен 0. Это уравнение не имеет решения.
2. 3/x−3 = х/х−3 – х/4
3/х−3 = х/х−3 – х/4 ———————Запишите исходное уравнение
( 4)(x – 3)(3/x-3) = (x/x-3 – x/4) (4)(x – 3) ————— Умножить на ЖК-дисплей.
4(3) = 4(x) – x(x – 3) ——————Распределительное свойство
12 = 4x – x 2 + 3x ————————Упрощение.
x 2 – 7x + 12 = 0 ————————Запишите в стандартной форме.
(x – 3)(x – 4) = 0 ————————Коэффициент.
x – 3 = 0 или x – 4 = 0 —————— Решите, используя свойство нулевого произведения.
x = 3 или x = 4 —————————Найти x.
Проверьте решения в исходном уравнении. Значение 3 является лишним решением, потому что оно привело бы к тому, что знаменатель исходного уравнения был бы равен нулю. Единственным решением уравнения является x = 4.
Заявка
Решение задачи на скорость
Плывя по течению реки, Джейк проплыл 16 миль. Несмотря на то, что он плыл вверх по течению на час дольше, чем время, которое он плыл вниз по течению, Джейк смог проплыть только 6 миль против течения. В стоячей воде Джейк плывет со скоростью 5 миль в час. Какова скорость течения в реке?
Решение:
Шаг 1. Формулировка:
Пусть c — скорость течения реки.
Напомним, что расстояние = скорость × время, поэтому время = расстояние/скорость.
Шаг 2. Вычисление:
Решите уравнение для c .
Шаг 3 – Интерпретация:
Решение c = -25 является лишним, поскольку скорость тока не может быть отрицательной.
Скорость течения 3 мили в час.
Вопросы
Вопрос 1
Требуется 12 часов, чтобы наполнить бассейн с двумя трубами, при этом вода в одной трубе течет в три раза быстрее, чем в другой. За какое время более медленная труба наполнит бассейн сама?
Решение:
Предположим, что труба 1 наполняет бассейн за x часов. Таким образом, он может заполнить 1/x бассейна за 1 час.
Поскольку вода в трубе 2 течет в три раза быстрее, чем в трубе 1, труба 2 может заполнить 3/x бассейна за 1 час.
Вместе они заполняют 1 бассейн за 12 часов. Таким образом, вместе они заполняют 1/12 часть бассейна за 1 час.
1/x + 3/x = 1/12
12x(1/x + 3/x) = 12x(1/12)
48 = x
Итак, более медленная труба, т. е. труба 1, заполняет бассейн за 48 часов.
Вопрос 2
Каково решение уравнения?
1/x+2 + 1/x −2 = 4 (x+2) (x -2)
Раствор :
:
.
помидоры в общественном саду. Марте требуется 50 минут, чтобы посадить сад в одиночку, Бените — 9.0924 x минуты, а Тайлер занимает x + 15 минуты. Если им троим нужно 20 минут, чтобы закончить сад, сколько времени потребовалось бы Тайлеру одному?
Решение :
Марте требуется 50 минут, чтобы посадить сад в одиночку. Итак, она засаживает 1/50 часть сада за 1 минуту.
Бените требуется x минут, чтобы посадить сад в одиночку. Значит, она засаживает 1/x сада за 1 минуту.
909:22 Тайлеру требуется x + 15 минут, чтобы посадить сад в одиночку. Итак, она засаживает 1/(x + 15) сада за 1 минуту.Вместе им нужно 20 минут, чтобы посадить сад. Таким образом, они вместе засаживают 1/20 часть сада за 1 минуту.
1/50 + 1/x + 1/(x + 15) = 1/20
1/x + 1/(x + 15) = 1/20 – 1/50 = 3/100
[x (x + 15)] ( 1/x + 1/(x + 15)) = 3x(x + 15)/100
x + 15 + x = (3x 2 + 45x)/100
100( 2x + 15) = 3x 2 + 45x
3x 2 – 155x – 1500 = 0
3x 2 – 180x + 25x – 1500 = 0
(3x + 25)(x – 690) = 2 5 х 9092 является посторонним решением, потому что время не может быть отрицательным.