Решите уравнение 2 x 3: Решите уравнение 2x-3(x+3)=-5 (2 х минус 3(х плюс 3) равно минус 5)

alexxlab / / Разное
2

33. Квадратные уравнения. Основные понятия (1)

Похожие презентации:

Решение квадратных неравенств

Функция y=ах2+bx+c, ее свойства и график

Решение рациональных уравнений методом введения новой переменной

Квадратные уравнения. Основные понятия

Методы решения квадратных уравнений. 8 класс

Прямая и обратная теоремы Виета

Квадратный трехчлен

Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных уравнений

Квадратные уравнения. 8 класс

Алгоритм решения рационального уравнения

1. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Игорь Жаборовский © 2012
UROKIMATEMATIKI.RU
Квадратным уравнением называют
уравнение вида ax2+bx+c=0, где коэффициенты a, b, c –
любые действительные числа, причем a=0
.
Определение
1:
Многочлен ax2+bx+c называют квадратным
трехчленом
а – первый (старший) коэффициент
b – второй коэффициент (коэффициент при х)
с – свободный член
Квадратное уравнение называют
приведенным, если старший коэффициент равен 1;
квадратное уравнение называют непривиденным, если
старший коэффициент отличен от 1.
Определение
2:
Игорь Жаборовский © 2012
UROKIMATEMATIKI.RU
2×2 x 3 0
— неприведенное квадратное уравнение.
x 2 3x 4 0
— приведенное квадратное уравнение.
Полное квадратное уравнение – это
квадратное уравнение, в котором присутствуют все три
слагаемых; это уравнение, у которого коэффициенты
b, c отличны от нуля.
Определение 3:
Неполное квадратное уравнение – это квадратное
уравнение, в котором присутствуют не все три
слагаемых; это уравнение, у которого хотя бы один из
коэффициентов b, c равен нулю.
Игорь Жаборовский © 2012
UROKIMATEMATIKI.RU
Определение
4:
Корнем
квадратного
уравнения
ax2+bx+c=0 называют всякое значение переменной х,
при
котором
квадратный
трехчлен
ax2+bx+c
обращается в нуль; такое значение переменной х
называют корнем квадратного трехчлена
Корень квадратного уравнения ax2+bx+c=0 — это такое
значение переменной х, подстановка которого в уравнение
обращает уравнение в верное числовое равенство 0=0
Решить квадратное уравнение – значит найти все его
корни или установить, что корней нет
Игорь Жаборовский © 2012
UROKIMATEMATIKI. RU
Пример 1: Решить неполное квадратное уравнение
a) 2 x 2 7 x 0;
x(2 x 7) 0;
x1 0, x2 3,5.
x 0;
2 x 7 0;
x 3,5.
б ) x 2 5 x 0;
x( x 5) 0;
x1 0, x2 5.
в) x 2 16 0;
x 2 16;
x1 4, x2 4.
г ) 2 x 2 7 0;
x 2 3,5;
д) 3x 2 10 0;
3x 2 10;
е) 5x 2 0;
x 2 0;
Игорь Жаборовский © 2012
x1, 2 4.
x1 3,5, x2 3,5.
x1, 2 3,5.
нет действтельных корней
x 0.
UROKIMATEMATIKI.RU
Решение неполных квадратных уравнений:
1. Если уравнение имеет вид ах2=0, то оно имеет один
корень: х=0.
2. Если уравнение имеет вид ах2+bx=0, то используется
метод разложения на множители: х(ax+b)=0; значит,
либо х=0, либо ax+b=0.
b
x1 0, x2 .
a
3. Если уравнение имеет вид ах2+с=0, то его преобразуют к
c
2
2
виду ах =-с, x ; если
c
— отрицательное число, уравнение
a
a
c
c
2
x не имеет корней; если — положительное число, т.е.
a
c a
2
m, m 0, уравнение x =m имеет два корня: x1 m , x2 m ,
a
x1,2 m.
Игорь Жаборовский © 2012
UROKIMATEMATIKI.RU
y ax 2 bx c
парабола
Пересечение в
двух точках
Касание оси х
Не пересекается с
осью х
Квадратное уравнение ах2+bx+c=0 может иметь либо
два корня, либо один корень, либо вообще не иметь корней.
Игорь Жаборовский © 2012
UROKIMATEMATIKI.RU
Пример 2: Решить уравнение
x 2 2 x 3 0.
Решение:
VI способ:
x 2 2 x 3 x 2 x 3x 3 x( x 1) 3( x 1) ( x 1)( x 3).
( x 1)( x 3) 0;
x1 1, x2 3.
VII способ:
x 2 2 x 3 ( x 2 2 x 1) 4 ( x 1) 2 4 ( x 1 2)( x 1 2)
( x 1)( x 3).
( x 1)( x 3) 0;
x1 1, x2 3.
Игорь Жаборовский © 2012
UROKIMATEMATIKI.RU

English     Русский Правила

Решить квадратные уравнения x(2x-3)=20 Решатель алгебры тигра

Переставить:

Переставить уравнение, вычитая то, что справа от знака равенства из обеих частей уравнения:

                      x*(2*x -3)-(20)=0

Пошаговое решение :

Шаг 1 :

Уравнение в конце шага 1 : 
 x • (2x - 3) - 20 = 0

Шаг  2  :

Попытка разложения среднего члена

 2. 1     Факторизация  2x 2 -3x-20 

Первый член равен 2x 2  его коэффициент равен 2 .
Средний член равен  -3 x , его коэффициент равен -3 .
Последний член, «константа», равен -20

Шаг-1: Умножьте коэффициент первого члена на константу   2 • -20 = -40 равен коэффициенту среднего члена, который равен   -3 .

      -40    +    1    =    -39
      -20    +    2    =    -18
      -10    +    4 = -6
-8+ 5 = -3 И.0098


Шаг 3. Перепишите полином, разделяющий средний член, используя два множителя, найденные на шаге 2 выше, -8 и 5 2 члена, вытягивая одинаковые множители :
                            2x • (x-4)
              Складываем два последних члена, вытягивая общие множители :
            термины                                               :
                   (2x+5)  •  (x-4)
             Какая нужна факторизация

Уравнение в конце шага  2  : 
 (x - 4) • (2x + 5) = 0

Шаг 3 :

Теория – корни произведения:

 3. 1    Произведение нескольких членов равно нулю.

 Если произведение двух или более слагаемых равно нулю, то хотя бы одно из слагаемых должно быть равно нулю.

 Теперь мы будем решать каждый член = 0 отдельно

 Другими словами, мы собираемся решить столько уравнений, сколько членов в произведении

 Любое решение term = 0 также решает product = 0.

Решение единого переменного уравнения:

3,2 Решение: x-4 = 0

Добавить 4 к обеим сторонам уравнения:
x = 4

Решение единого переменного уравнения:

3.3 Согласие: 2x+5 = 0 

 Вычтите 5 из обеих частей уравнения : 
                      2x = -5
Разделите обе части уравнения на 2:
                       x = -5/2 = -9,5000027

Дополнение: прямое решение квадратного уравнения 

 прямое решение 2x  2  -3x-20 = 0

Ранее мы факторизовали этот многочлен, разделив средний член. давайте теперь решим уравнение, заполнив квадрат и используя квадратичную формулу точка, называемая вершиной . Наша парабола раскрывается и, соответственно, имеет низшую точку (абсолютный минимум). Мы знаем это еще до того, как начертили «у», потому что коэффициент первого члена, 2 , положителен (больше нуля).

 Каждая парабола имеет вертикальную линию симметрии, проходящую через ее вершину. Из-за этой симметрии линия симметрии, например, будет проходить через середину двух точек пересечения x (корней или решений) параболы. То есть, если парабола действительно имеет два действительных решения.

Параболы могут моделировать многие реальные жизненные ситуации, такие как высота над землей объекта, брошенного вверх через некоторый период времени. Вершина параболы может предоставить нам такую ​​информацию, как максимальная высота, на которую может подняться объект, брошенный вверх. По этой причине мы хотим иметь возможность найти координаты вершины.

 Для любой параболы, Ax 2 +Bx+C, x координата вершины определяется как -B/(2A) . В нашем случае координата x составляет 0,7500

Подключение к формуле параболы 0,7500 для x Мы можем рассчитать Y -координату:
Y = 2,0 * 0,75 * 0,75 — 3,0 * 0,75 — 20,0
или Y = -21,125

Parabola, Графическая вершина и X-перехваты:

Корневой график для:  y = 2x 2 -3x-20
Ось симметрии (пунктирная)  {x}={ 0,75} 
Вершина в  {x,y} = { 0,75,- 21. 12} 
 x -Отсечения (корни):
Корень 1 при {x,y} = {-2,50, 0,00} 
Корень 2 при {x,y} = {4,00, 0,00} 

Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат

4.2     Решение   2x 2 -3x-20 = 0 путем заполнения квадрата.

 Поделите обе части уравнения на 2, чтобы получить 1 в качестве коэффициента при первом члене:
   x 2 -(3/2)x-10 = 0

Добавьте  10  к обеим частям уравнения:
   x 2 -(3/2)х = 10

А теперь немного хитрости: возьмем коэффициент при x, равный 3/2, разделим на два, получим 3/4, и, наконец, возведем в квадрат, получим 9/16 

Прибавим 9/16 к обеим частям уравнения:
  On правая часть у нас есть :
   10  +   9/16    или, (10/1)+(9/16) 
  Общий знаменатель двух дробей равен 16   Сложение (160/16)+(9/16) дает 169 /16
  Таким образом, прибавив к обеим сторонам, мы окончательно получим :
   x 2 -(3/2)x+(9/16) = 169/16

Добавление 9/16 завершило левую часть в полный квадрат:
   x 2 -(3/2)x+(9/16)  =
   (x-(3/4)) • (x-(3/4))  =
  (x-(3/4)) 2
Вещи, равные одной и той же вещи, также равны друг другу. Поскольку
   x 2 -(3/2)x+(9/16) = 169/16 и
   x 2 -(3/2)x+(9/16) = (x-(3/4)) 2
тогда, согласно закону транзитивности,
   (x-(3/4)) 2 = 169/16

Мы будем называть это уравнение как #4.2.1  

Принцип квадратного корня гласит, что когда две вещи равны, их квадратные корни равны.

Обратите внимание, что квадратный корень из
   (x-(3/4)) 2   равен
   (x-(3/4)) 2/2  =
  (x-(3/4)) 1  =
   x-(3/4)

Теперь, применяя принцип квадратного корня к уравнению #4.2.1  получаем:
   x-(3/4) = √ 169/16

Добавьте 3/4  к обеим частям, чтобы получить:
   x = 3/4 + √ 169/16

Поскольку квадратный корень имеет два значения, одно положительное, а другое отрицательное
   x 2 — (3/2)x — 10 = 0
   имеет два решения:
  x = 3/4 + √ 169/16
   или
  x = 3/4 — √ 169/16

Обратите внимание, что √ 169/16 можно записать как
  √ 169 / √ 169 / √ 90 / 5 90 2 003   4, что равно 003 4 Решение квадратного уравнения с помощью квадратной формулы

 4. 3     Решение    2x 2 -3x-20 = 0 с помощью квадратной формулы .

 Согласно квадратичной формуле,  x  , решение для   Ax 2 +Bx+C = 0  , где A, B и C – числа, часто называемые коэффициентами, определяется следующим образом:

-B ± √ B 2 -4AC
x = ————————
2A

В нашем случае A = 2
B = -3
C = -20

Соответственно, A = 2
B = -3
C = -20

, A = 2
B = -3
C = -20

, A = 2
B = -3
C = -20

. B 2 -4AC =
9-(-160) =
169

Применение квадратичной формулы:

3 ± √ 169
x = ————
                   4

Можно ли упростить √ 169 ?

Да! Разложение числа 169 на простые множители равно
   13•13 
. Чтобы иметь возможность удалить что-то из-под корня, должно быть 2 этих экземпляра (потому что мы берем квадрат, т.е. второй корень).

√ 169 = √ 13 • 13 =
± 13 • √ 1 =
± 13

, так что теперь мы смотрим на:
x = (3 ± 13)/4

Два реальных решения: 92-2x+1 = 0$

Я пишу этот раздел по следующим причинам:

  • Доказательство невозможности намного интереснее, чем решение в терминах $\cos$. 2 — 2X + 1$ разбивается на $F$ и $F$ радикален над $\Bbb Q$?

    Объяснение

    Я объясню, как идея «решаемой радикалами» связана с идеей «радикального расширения».

    Например, если мы хотим найти число $\sqrt[3]{11} \sqrt[5]{\dfrac{7+\sqrt3}2} + \sqrt[4]{1+\sqrt[3 ]4}$ (пример, приведенный Яном Стюартом в его третьем издании теории Галуа), мы могли бы разбить это число и расширить наше поле $\Bbb Q$, присоединяя радикалы один за другим, т.е. получить:

    $ $\Bbb Q \subset \Bbb Q\left(\sqrt[3]{11}, \sqrt3, \sqrt[5]{\dfrac{7+\sqrt3}2},\sqrt[3]4,\sqrt [4]{1+\sqrt[3]4}\right) = \Bbb Q(a,b,c,d,e)$$ 94-2$ — неприводимый многочлен от $\Bbb Q[X]$, но только два его корня лежат в $\Bbb Q(\sqrt[4]2)$ (два других — $i\sqrt [4]2$ и $-i\sqrt[4]2$).

    Доказательство

    Большая часть этого доказательства вдохновлена ​​доказательством Теодора Шифрина в его книге (см. раздел «Библиография»).

    Если такое промежуточное поле $F$ существует, согласно определению радикального расширения, запишите его в виде башни расширений:

    $$\Bbb Q \subset \Bbb Q(\sqrt[p_1]{b_1} ) \subset \Bbb Q(\sqrt[p_1]{b_1}, \sqrt[p_2]{b_2}) \subset \cdots \subset K \subset K(\sqrt[p]a) = F \subset \Bbb R $$

    , где $b_{i+1} \in \Bbb Q(\sqrt[p_1]{b_1}, \sqrt[p_2]{b_2}, \cdots, \sqrt[p_i]{b_i})$ для каждого $ я $.

    WLOG, каждое $p_i$ — простое число, иначе мы разложим составное число на множители и включим в башню больше промежуточных полей, так что каждое $p_i$ будет простым.

    WLOG, пусть $a_i$ не является $p_i$ -й степенью , иначе мы можем по праву удалить это поле из башни, так как оно будет таким же, как и предыдущее поле.

    WLOG, пусть многочлен $f(X)$ неприводим в $K$, но имеет корень в $K(\sqrt[p]a)$ (иначе найдите такую ​​точку в башне, где предыдущее поле не имеет корней для полинома, но есть у следующего, и разрежьте там башню).

    Из других ответов видно, что многочлен имеет корни в терминах косинуса, и можно видеть, что другие корни можно записать в терминах одного корня, используя формулы кратных углов для косинуса. Следовательно, поле, содержащее один корень, должно содержать все корни.

    Следовательно, полином на самом деле распадается на $K(\sqrt[p]a)$.

    Пусть поле разложения многочлена над $K$ равно $L$. У нас есть: $$K \subset L \subset K(\sqrt[p]a)$$

    Тогда $[L:K] = 3$, так как полином имеет степень $3$. Из леммы 4.7 Обобщения Casus Irreducibilis (ссылка для скачивания) мы знаем, что $[K(\sqrt[p]a):K] = p$. Следовательно, $p$ делится на $3$. Но так как $p$ простое число, то $p=3$, откуда $L = K(\sqrt[3]a)$. 93 — а$). Любой изоморфизм из $L(\sqrt[3]a)$ в $L(\omega\sqrt[3]a)$ определяет изоморфизм из $K(\sqrt[3]a)$ в $K(\omega\ sqrt[3]a)$, поэтому $[L(\sqrt[3]a):K(\sqrt[3]a)] = [L(\omega\sqrt[3]a):K(\omega\ кврт[3]а)]$. Следовательно: $$\begin{массив}{rcll} [Л(\омега\sqrt[3]а):Л] &=& \dfrac{[L(\omega\sqrt[3]a):K]}{[L:K]} & \text{закон башни} \\ &=& \dfrac{[L(\omega\sqrt[3]a):K(\omega\sqrt[3]a)][K(\omega\sqrt[3]a):K]}{[L :K]} & \text{закон башни} \\ &=& \dfrac{[L(\sqrt[3]a):K(\sqrt[3]a)][K(\sqrt[3]a):K]}{[L:K]} \\ &=& \dfrac{1 \times 3}{3} \\ &=& 1 \end{массив}$$

    Следовательно, $L(\omega\sqrt[3]a) = L$, поэтому $\omega\sqrt[3]a \in L$, что противоречит $L = K(\sqrt[3]a) \ подмножество \Bbb R$.

    $\blacksquare$

    Библиография

    • Абстрактная алгебра: геометрический подход (стр.

      No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *