Значит, неравенство равносильно следующему: \( \displaystyle \frac{1}{x}<0\Rightarrow x<0\).
Итак, неравенство оказывается равносильно совокупности:
\( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y\ge -16;\\y<8;\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y\ge 9;\\y<10;\end{array} \right.\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x\in \left[ -\frac{7}{2};-\frac{1}{2} \right]\cup \left( 0;+\infty \right)\\x<0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x>0\\x<0\end{array} \right.\end{array} \right.\Rightarrow x\in \left[ -\frac{7}{2};-\frac{1}{2} \right].\)
Ответ: \( \displaystyle \left[ -\frac{7}{2};-\frac{1}{2} \right]\).
Замена переменных – один из важнейших методов решения уравнений и неравенств.
кубических, тригонометрических, логарифмических и др.
- Si(x)
- Интегральный синус от x
- Ci(x)
- Интегральный косинус от x
- Shi(x)
- Интегральный гиперболический синус от x
- Chi(x)
- Интегральный гиперболический косинус от x
- Действительные числа
- вводить в виде 7.
3- — возведение в степень
- x + 7
- — сложение
- x — 6
- — вычитание
- 15/7
- — дробь
3Другие функции:
- asec(x)
- Функция — арксеканс от x
- acsc(x)
- Функция — арккосеканс от x
- sec(x)
- Функция — секанс от
- csc(x)
- Функция — косеканс от x
- floor(x)
- Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
- ceiling(x)
- Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
- sign(x)
- Функция — Знак x
- erf(x)
- Функция ошибок (или интеграл вероятности)
- laplace(x)
- Функция Лапласа
- asech(x)
- Функция — гиперболический арксеканс от x
- csch(x)
- Функция — гиперболический косеканс от x
- sech(x)
- Функция — гиперболический секанс от x
- acsch(x)
- Функция — гиперболический арккосеканс от x
Постоянные:
- pi
- Число «Пи», которое примерно равно ~3. 14159..
- e
- Число e — основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..
- i
- Комплексная единица
- oo
- Символ бесконечности — знак для бесконечности
14159..11.9: Замена переменных — Mathematics LibreTexts
- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы
- 108028
- Мэтью Болкинс, Дэвид Остин и Стивен Шликер 93\, ду. \номер\]
Последний интеграл, конечно, гораздо легче вычислить.
Работая с полярными, цилиндрическими и сферическими координатами, мы уже косвенно видели некоторые проблемы, возникающие при использовании замены переменных при наличии двух или трех переменных.
В дальнейшем мы стремимся понять общие идеи, лежащие в основе любой замены переменных в кратном интеграле.Preview Activity \(\PageIndex{1}\)
Рассмотрим двойной интеграл 92 \, dA,\label{eq_11_9_COV_PA}\tag{\(\PageIndex{1}\)} \]
, где \(D\) — верхняя половина единичного диска.
- Запишите двойной интеграл \(I\), заданный в уравнении (\(\PageIndex{1}\)) как повторный интеграл в прямоугольных координатах.
- Запишите двойной интеграл \(I\), заданный в уравнении (\(\PageIndex{1}\)) как повторный интеграл в полярных координатах.
- Когда мы записываем двойной интеграл (\(\PageIndex{1}\)) как повторный интеграл в полярных координатах, мы делаем замену переменных, а именно \[ x = r \cos(\theta) \\\\\\text{ и } \\\\\ y = r \sin(\theta).\label{eq_11_9_pol_to_rect}\tag{\(\PageIndex{ 2}\)} \]
Затем мы также должны изменить \(dA\) на \(r \, dr \, d\theta\text{.}\) Этот процесс также идентифицирует «полярный прямоугольник» \([r_1, r_2] \times [ \theta_1, \theta_2]\) с исходным декартовым прямоугольником при преобразовании 1 в уравнении (\(\PageIndex{2}\)).
Вершины полярного прямоугольника преобразуются в вершины замкнутой и ограниченной области в прямоугольных координатах.Чтобы работать с числовым примером, давайте теперь рассмотрим полярный прямоугольник \(P\), заданный выражением \([1, 2] \times [\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4} ]\text{,}\) так, что \(r_1 = 1\text{,}\) \(r_2=2\text{,}\) \(\theta_1 = \frac{\pi}{6}\text {,}\) и \(\theta_2 = \frac{\pi}{4}\text{.}\)
- Используйте преобразование, определяемое уравнениями в (\(\PageIndex{2}\)) для нахождения прямоугольных вершин, соответствующих полярным вершинам в полярном прямоугольнике \(P\text{.}\) Другими словами, подставив соответствующие значения \(r\) и \(\theta\) в два уравнения в (\(\PageIndex{2}\)), найдите значения соответствующих \(x\) и \(y\ ) координаты вершин полярного прямоугольника \(P\text{.}\) Пометить точку, соответствующую полярной вершине \((r_1, \theta_1)\) как \((x_1, y_1)\text{, }\) точка, соответствующая полярной вершине \((r_2, \theta_1)\) as \((x_2, y_2)\text{,}\) точка, соответствующая полярной вершине \((r_1, \theta_2) \) как \((x_3, y_3)\text{,}\) и точка, соответствующая полярной вершине \((r_2, \theta_2)\) как \((x_4, y_4)\text{. }\)
- Нарисуйте фигуру в прямоугольных координатах, имеющую точки \((x_1,y_1)\text{,}\) \((x_2,y_2)\text{,}\) \((x_3, y_3)\ text{,}\) и \((x_4,y_4)\) в качестве вершин. (Обратите внимание, что из-за тригонометрических функций в преобразовании эта область не будет выглядеть как декартов прямоугольник.) Какова площадь этой области в прямоугольных координатах? Как эта площадь соотносится с площадью исходного полярного прямоугольника?
- Используйте преобразование, определяемое уравнениями в (\(\PageIndex{2}\)) для нахождения прямоугольных вершин, соответствующих полярным вершинам в полярном прямоугольнике \(P\text{.}\) Другими словами, подставив соответствующие значения \(r\) и \(\theta\) в два уравнения в (\(\PageIndex{2}\)), найдите значения соответствующих \(x\) и \(y\ ) координаты вершин полярного прямоугольника \(P\text{.}\) Пометить точку, соответствующую полярной вершине \((r_1, \theta_1)\) как \((x_1, y_1)\text{, }\) точка, соответствующая полярной вершине \((r_2, \theta_1)\) as \((x_2, y_2)\text{,}\) точка, соответствующая полярной вершине \((r_1, \theta_2) \) как \((x_3, y_3)\text{,}\) и точка, соответствующая полярной вершине \((r_2, \theta_2)\) как \((x_4, y_4)\text{.
2\text{.}\) Мы рассматриваем это преобразование как отображение версии \(xy\)-плоскости, где оси рассматриваются как представляющие \(r\) и \(\theta\) (\(r \ тета\)-плоскость) на знакомую \(ху\)-плоскость.
Изменение переменных в полярных координатах
Общая идея изменения переменных предложена действием предварительного просмотра \(\PageIndex{1}\). Там мы увидели, что при замене прямоугольных координат на полярные координаты полярный прямоугольник \([r_1, r_2] \times [\theta_1, \theta_2]\) отображается в декартов прямоугольник при преобразовании
\[ x = r \cos(\theta) \ \ \ \ \ \text{ и } \ \ \ \ \ y = r \sin(\theta).
\nonumber \]Вершины полярного прямоугольника \(P\) преобразуются в вершины замкнутой и ограниченной области \(P’\) в прямоугольных координатах. Если мы рассмотрим стандартную систему координат, в которой горизонтальная ось представляет \(r\), а вертикальная ось представляет \(\theta\text{,}\), то полярный прямоугольник \(P\) предстанет перед нами слева на рисунке \(\PageIndex{1}\). Изображение \(P’\) полярного прямоугольника \(P\) при преобразовании, заданном (\(\PageIndex{2}\)) показано справа на рисунке \(\PageIndex{1}\). Таким образом, мы видим, что существует соответствие между простой областью (традиционный прямоугольный прямоугольник) и более сложной областью (доля кольца) при функции \(T\), заданной формулой \(T(r, \ тета) = (r\cos(\theta), r\sin(\theta))\text{.}\)
Рисунок \(\PageIndex{1}\). Прямоугольник \(P\) и его изображение \(P’\text{.}\)Кроме того, как предполагает активность предварительного просмотра \(\PageIndex{1}\), обычно следует, что для исходного полярного прямоугольника \(P = [r_1, r_2] \times [\theta_1, \theta_2]\text{,}\) площадь преобразованного прямоугольника \(P’\) определяется выражением \(\frac{r_2+r_1}{2} \ Delta r \Delta \theta\text{.
}\) Следовательно, когда \(\Delta r\) и \(\Delta \theta\) стремятся к 0, эта площадь становится знакомым элементом площади \(dA = r \, dr \, d\theta\) в полярных координатах. Когда мы приступаем к работе с другими преобразованиями для различных изменений координат, мы должны понимать, как преобразование влияет на площадь, чтобы мы могли использовать правильный элемент площади в новой системе переменных.Общее изменение координат
Сначала сосредоточимся на двойных интегралах. Как и в случае с одинарными интегралами, мы можем упростить двойной интеграл вида
\[ \iint_D f(x,y) \, dA \nonumber \]
, сделав замену переменных (то есть замену ) вида
\[ x = x(s, t) \ \ \ \ \ \text{ и } \ \ \ \ \ y = y(s, t) \nonumber \]
где \(x\ ) и \(y\) являются функциями новых переменных \(s\) и \(t\text{.}\). Это преобразование вводит соответствие между задачей в плоскости \(xy\) и задачей в плоскости \(st\)-плоскость. Уравнения \(x=x(s,t)\) и \(y=y(s,t)\) преобразуют \(s\) и \(t\) в \(x\) и \(y\ text{;}\) мы называем эти формулы изменение переменной формулы.
Чтобы завершить переход к новым переменным \(s,t\), нам нужно понять элемент площади, \(dA\text{,}\) в этой новой системе. Следующее упражнение помогает проиллюстрировать эту идею.Activity \(\PageIndex{2}\)
Рассмотрим замену переменных
\[ x = s + 2 t \ \ \ \ \ \text{ и } \ \ \ \ \ y = 2 s + \ кв {т}. \nonumber \]
Посмотрим, что произойдет с прямоугольником \(T = [0,1] \times [1,4]\) в \(st\)-плоскости при этой замене переменной.
- Нарисуйте помеченное изображение \(T\) в \(st\)-плоскости.
- Найти образ \(st\)-вершины \((0,1)\) в \(xy\)-плоскости. Аналогичным образом найдите соответствующие изображения трех других вершин прямоугольника \(T\text{:}\) \((0,4)\text{,}\) \((1,1)\text{,} \) и \((1,4)\текст{.}\)
- В \(xy\)-плоскости нарисовать помеченное изображение изображения \(T’\text{,}\) исходного \(st\)-прямоугольника \(T\text{.}\) Как выглядит форма изображения, \(T’\text{?}\)
- Для преобразования интеграла с заменой переменных необходимо определить элемент площади \(dA\) изображения преобразованного прямоугольника. Обратите внимание, что \(T’\) не совсем параллелограмм, поскольку уравнения, определяющие преобразование, не являются линейными. Но мы можем аппроксимировать площадь \(T’\) площадью параллелограмма. Как найти площадь параллелограмма, аппроксимирующего площадь \(xy\)-фигуры \(T’\text{?}\) (Подсказка: вспомните, что говорит нам векторное произведение двух векторов.)
Упражнение \(\PageIndex{2}\) представляет общее представление о том, как работает замена переменных. Разобьем прямоугольную область в системе \(st\) на подпрямоугольники. Пусть \(T = [a, b] \times [a+\Delta s, b+\Delta t]\) — один из этих подпрямоугольников. Затем мы преобразуем это в область \(T’\) в стандартной \(xy\) декартовой системе координат. Область \(T’\) называется образом из \(T\text{;}\) область \(T\) является прообразом из \(T’\text{.}\ ) Хотя стороны этой области \(xy\) \(T’\) не обязательно прямые (линейные), мы аппроксимируем элемент площади \(dA\) этой области площадью параллелограмма, стороны которого задаются векторами \(\mathbf{v}\) и \(\mathbf{w}\text{,}\), где \(\mathbf{v}\) — вектор из \((x(a, b), y(a, b))\) в \((x(a + \Delta s, b), y(a + \Delta s, b))\text{,}\) и \(\mathbf {w}\) — вектор из \((x(a, b), y(a, b))\) в \((x(a, b + \Delta t), y(a, b + \ Дельта t))\text{.
Пример изображения \(T’\) в плоскости \(xy\), полученного в результате преобразования прямоугольника \(T\) в плоскости \(st\), показан на рисунке \( \PageIndex{2}\).
Рисунок \(\PageIndex{2}\). Аппроксимация области изображения, полученной в результате преобразования.Компоненты вектора \(\mathbf{v}\) равны
\begin{align*} \mathbf{v} & = \left\langle x(a+ \Delta s, b) — x(a,b ), y(a+ \Delta s, b) — y(a,b), 0 \right\rangle \end{align*}
и аналогично для \(\mathbf{w}\) равны
\begin{align*} \mathbf{w} & = \left\langle x(a, b+ \Delta t) — x(a,b), y(a, b+ \Delta s) — y(a, б), 0 \прямо\угол. \end{align*}
Немного переписав \(\mathbf{v}\) и \(\mathbf{w}\text{,}\) получим
\begin{align*} \mathbf{v} & = \left\langle \frac{x(a+ \Delta s, b) — x(a,b)}{\Delta s}, \frac{y(a+ \Delta s, b) — y(a,b) }{\Delta s}, 0 \right\rangle \Delta s, \ \mbox{and}\\[4pt] \mathbf{w} & = \left\langle \frac{x(a, b+ \Delta t) — x(a,b)}{\Delta t}, \frac{y(a, b+ \Delta s) — y(a,b)}{\Delta t}, 0 \right\rangle \Delta t.
\end{выравнивание*}Для малых \(\Delta s\) и \(\Delta t\text{,}\) определение частной производной говорит нам, что
\[ \mathbf{v} \ приблизительно \left\langle \frac {\ парциальное х} {\ парциальное s} (а, б), \ гидроразрыва {\ парциальное у} {\ парциальное s} (а, б), 0 \ право \ rangle \ Delta s \ \ \ \ \ \ текст { и } \ \ \ \ \ \ mathbf {w} \ приблизительно \ влево \ langle \ frac {\ partial x {\ partial t} (a, b), \ frac {\ partial y} {\ partial t} (a ,б), 0 \прямой\угол \Дельта t. \nonumber \]
Напомним, что площадь параллелограмма со сторонами \(\mathbf{v}\) и \(\mathbf{w}\) равна длине векторного произведения двух векторов, \(|\ mathbf{v} \times \mathbf{w}|\text{.}\) Отсюда мы видим, что
\begin{align*} \mathbf{v} \times \mathbf{w} & \приблизительно \left\langle \frac{\partial x}{\partial s}(a,b), \frac{\partial y}{\partial s}(a,b), 0 \right\rangle \Delta s \times \left\langle \frac{\partial x}{\partial t}(a,b), \frac{\partial y}{\partial t}(a,b), 0 \right\rangle \Delta t\\[4pt] & = \left\langle 0, \ 0, \ \frac{\partial x}{\partial s} (а, б) \ гидроразрыва {\ парциальное у} {\ парциальное t} (а, б) — \ гидроразрыва {\ парциальное х} {\ парциальное т} (а, б) \ гидроразрыва {\ парциальное у} {\ парциальное s}(a,b) \right\rangle \Delta s \, \Delta t.
\end{выравнивание*}Наконец, вычислив величину векторного произведения, мы видим, что
\begin{align*} |\mathbf{v} \times \mathbf{w}| & \ приблизительно \ влево | \ влево \ langle 0,0, \ гидроразрыва {\ парциальное х} {\ парциальное s} (а, б) \ гидроразрыва {\ парциальное у} {\ парциальное т} (а, б) — \ frac{\partial x}{\partial t}(a,b) \frac{\partial y}{\partial s}(a,b) \right\rangle \Delta s \, \Delta t\right|\\ [4pt] & = \left|\frac{\partial x}{\partial s}(a,b) \frac{\partial y}{\partial t}(a,b) — \frac{\partial x} {\ парциальное т} (а, б) \ гидроразрыва {\ парциальное у} {\ парциальное s} (а, б) \ справа | \Дельта с\, \Дельта т. \end{выравнивание*}
Следовательно, по мере неограниченного увеличения числа подразделений в каждом направлении \(\Delta s\) и \(\Delta t\) оба стремятся к нулю, и мы имеем
\[ dA = \left|\frac {\ парциальное х} {\ парциальное s} \ гидроразрыва {\ парциальное у} {\ парциальное т} — \ гидроразрыва {\ парциальное х} {\ парциальное т} \ гидроразрыва {\ парциальное у} {\ парциальное s} \ право | ds \, dt.
\label{E_Area_Element}\tag{\(\PageIndex{3}\)} \]Уравнение (\(\PageIndex{3}\)) следовательно, определяет общее изменение формулы переменной в двойном интеграл, и теперь мы можем сказать, что
\[ \iint_T f(x,y) \, dy \, dx = \iint_{T’} f(x(s,t),y(s,t)) \left|\frac{\partial x }{\partial s} \frac{\partial y}{\partial t} — \frac{\partial x}{\partial t} \frac{\partial y}{\partial s}\right| дс\, дт. \nonumber \]
Количество
\[ \frac{\partial x}{\partial s} \frac{\partial y}{\partial t} — \frac{\partial x}{\partial t} \ frac{\partial y}{\partial s} \nonumber \]
называется якобианом , и мы обозначаем якобиан, используя сокращенное обозначение
\[ \frac{\partial (x,y)}{\partial (s,t)} = \frac{\partial x}{\partial s} \frac{\partial y}{\partial t} — \frac{\partial x}{\partial t} \frac{\partial y}{\partial s}. \nonumber \]
Напомним из раздела 9.4, что мы также можем записать этот якобиан как определитель матрицы \(2 \times 2\) \(\left[ \begin{array}{cc} \frac{\partial x }{\partial s} & \frac{\partial x}{\partial t} \\[4pt] \frac{\partial y}{\partial s} & \frac{\partial y}{\partial t} \ end{array} \right] \text{.
}\) Обратите внимание, что, как обсуждалось в Разделе 9.4, абсолютное значение определителя \(\left[ \begin{array}{cc} \frac{\partial x}{\partial s} & \frac{\partial x}{\partial t} \\ [4pt] \frac{\partial y}{\partial s} & \frac{\partial y}{\partial t} \end{array} \right]\) — площадь параллелограмма, определяемая векторами \( \mathbf{v}\) и \(\mathbf{w}\text{,}\) и поэтому элемент площади \(dA\) в \(xy\)-координатах также представлен элементом площади \(\ left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (s,t)} \right| \, ds \, dt\) в \(st\)-координатах и \(\left| \frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)} \right|\) — коэффициент, на который преобразование увеличивает площадь.Подводя итог, следует предыдущая формула изменения переменной, которую мы вывели.
Замена переменных в двойном интеграле
Предположим, что замена переменных \(x = x(s,t)\) и \(y = y(s,t)\) преобразует замкнутую и ограниченную область \(R \) в \(st\)-плоскости в замкнутую и ограниченную область \(R’\) в \(xy\)-плоскости.
При скромных условиях (которые изучаются в продвинутом исчислении) следует, что\[ \iint_{R’} f(x,y) \, dA = \iint_{R} f(x(s,t), y (s,t)) \left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (s,t)}\right| \, дс \, дт. \номер\]
Activity \(\PageIndex{3}\)
Найдите якобиан при переходе от прямоугольных к полярным координатам. То есть для преобразования, заданного выражением \(x = r\cos(\theta)\text{,}\) \(y = r\sin(\theta)\text{,}\), определите упрощенное выражение для количество
\[ \frac{\partial x}{\partial r} \frac{\partial y}{\partial \theta} — \frac{\partial x}{\partial \theta} \frac{\partial y {\ парциальное г}. \nonumber \]
Что вы заметили в результате? Как это связано с нашей более ранней работой с двойными интегралами в полярных координатах? 92 \, dA\label{eq_11_9_COV_ex}\tag{\(\PageIndex{4}\)} \]
с заменой переменных.
- Нарисуйте область \(D’\) в плоскости \(xy\).
- Мы хотели бы сделать замену, которая облегчит антидифференцирование подынтегральной функции. Пусть \(s = x+y\) и \(t = x-y\text{.}\) Объясните, почему это должно упростить антидифференцирование, сделав соответствующие замены и записав новое подынтегральное выражение через \(s\) и \ (т\текст{.}\)
- Решите уравнения \(s = x+y\) и \(t = x-y\) относительно \(x\) и \(y\text{.}\) (это определяет стандартную форму преобразования, поскольку мы будем иметь \(x\) как функцию \(s\) и \(t\text{,}\) и \(y\) как функцию \(s\) и \(t\text{ .}\))
- Чтобы действительно выполнить эту замену переменных, нам нужно знать \(st\)-область \(D\), которая соответствует \(xy\)-области \(D’\text{.}\)
- Какое \(st\) уравнение соответствует \(xy\) уравнению \(x+y=1\text{?}\)
- Какое \(st\) уравнение соответствует \(xy\) уравнению \(x=0\text{?}\)
- Какое \(st\) уравнение соответствует \(xy\) уравнению \(y=0\text{?}\)
- Нарисуйте \(st\) регион \(D\), который соответствует \(xy\) домену \(D’\text{.}\)
- Сделайте замену переменных, обозначенную \(s = x+y\) и \(t = x-y\), в двойном интеграле (\(\PageIndex{4}\)) и задайте повторный интеграл в \(st \) переменные, значением которых является исходный заданный двойной интеграл. 3\text{,}\) преобразование замены переменных \(x=x(s,t ,u)\text{,}\) \(y=y(s,t,u)\text{,}\) и \(z = z(s,t,u)\) преобразует \(S’\ ) в область \(S\) в \(stu\)-координатах. Любую функцию \(f = f(x,y,z)\), определенную на \(S’\), можно рассматривать как функцию \(f = f(x(s,t,u), y(s,y ,u), z(s,t,u))\) в \(stu\)-координатах, определенных на \(S\text{.}\) Элемент объема \(dV\) в \(xyz\)- координаты соответствуют масштабированному элементу объема в \(stu\)-координатах, где масштабный коэффициент задается абсолютным значением якобиана, \(\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(s ,t,u)}\text{,}\), который является определителем матрицы \(3 \times 3\)
\[ \left[ \begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial s} & \frac{\partial x}{\partial t} & \frac{\partial x}{\ частичное u} \\[4pt] \frac{\partial y}{\partial s} & \frac{\partial y}{\partial t} & \frac{\partial y}{\partial u} \\[4pt ] \frac{\partial z}{\partial s} & \frac{\partial z}{\partial t} & \frac{\partial z}{\partial u} \end{array} \right]\text{ .
} \nonumber \](Напомним, что этот определитель был введен в разделе 9.4.) То есть \(\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(s,t,u)}\ ) определяется как
\[ \frac{\partial x}{\partial s}\left[\frac{\partial y}{\partial t}\frac{\partial z}{\partial u} — \frac{\partial y {\ парциальное и} \ гидроразрыва {\ парциальное г} {\ парциальное т} \ справа] — \ гидроразрыва {\ парциальное х} {\ парциальное т} \ влево [\ гидроразрыва {\ парциальное у} {\ парциальное s} \ frac{\ partial z} {\ partial u} — \ frac {\ partial y} {\ partial u} \ frac {\ partial z} {\ partial s} \ right] + \ frac {\ partial x} {\ partial и} \ влево [\ гидроразрыва {\ парциальное у} {\ парциальное s} \ гидроразрыва {\ парциальное г} {\ парциальное т} — \ гидроразрыва {\ парциальное у} {\ парциальное т} \ гидроразрыва {\ парциальное г} { \partial s}\right]. \номер\]
Подводя итог,
Замена переменных в тройном интеграле
Предположим, замена переменных \(x = x(s,t,u)\text{,}\) \(y = y(s,t, u)\text{,}\) и \(z = z(s,t,u)\) переводит замкнутую и ограниченную область \(S\) в \(stu\)-координатах в замкнутую и ограниченную область \ (S’\) в \(xyz\)-координатах.
При скромных условиях (которые изучаются в продвинутом исчислении) тройной интеграл \(\iiint_{S’} f(x,y,z) \, dV \) равен\[ \iiint_{S} f( x(s,t,u),y(s,t,u),z(s,t,u)) \ \left| \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(s,t,u)} \right| \, дс \, дт \, ду. \номер\]
Операция \(\PageIndex{5}\)
Найдите якобиан при переходе от декартовых координат к цилиндрическим. То есть для преобразования, заданного \(x = r\cos(\theta)\text{,}\) \(y = r\sin(\theta)\text{,}\) и \(z = z \text{,}\) определяют упрощенное выражение для величины
\[ \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,z)}. \nonumber \]
Что вы заметили в результате? Как это связано с нашей более ранней работой с тройными интегралами в цилиндрических координатах?
Activity \(\PageIndex{6}\)
Рассмотрим тело \(S’\), заданное неравенствами \(0 \leq x \leq 2\text{,}\) \(\frac{x} {2} \leq y \leq \frac{x}{2}+1\text{,}\) и \(0 \leq z \leq 6\text{.}\) Рассмотрим преобразование, определяемое \(s = \frac{x}{2}\text{,}\) \(t = \frac{x-2y}{2}\text{,}\) и \(u = \frac{z}{3} \text{.
}\) Пусть \(f(x,y,x) = x-2y+z\text{.}\)- Преобразование превращает тело \(S’\) в \(xyz\ )-координаты в параллелепипед \(S\) в \(stu\)-координатах. Примените преобразование к границам тела \(S’\), чтобы найти \(stu\)-координатные описания блока \(S\text{.}\)
- Найдите якобиан \(\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(s,t,u)}\text{.}\)
- Используйте преобразование, чтобы выполнить замену переменных и вычислить \(\iiint_{S’} f(x,y,z) \, dV\) путем вычисления
\[ \iiint_{S} f(x(s,t,u),y(s,t,u),z(s,t,u)) \\left| \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(s,t,u)} \right| \, ds \, dt \, du\text{.} \nonumber \]
Резюме
- Если интеграл описывается в терминах одного набора переменных, мы можем записать этот набор переменных в терминах другого набора с тем же количеством переменных. Если новые переменные выбраны надлежащим образом, преобразованный интеграл может быть проще вычислить.
- Якобиан — это скалярная функция, которая связывает элемент площади или объема в одной системе координат с соответствующим элементом в новой системе, определяемой заменой переменных.
Эта страница под названием 11.9: Изменение переменных распространяется под лицензией CC BY-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Мэтью Болкинсом, Дэвидом Остином и Стивеном Шликером (ScholarWorks @Grand Valley State University) через исходный контент это было отредактировано в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.
- Наверх
- Была ли эта статья полезной?
- Тип изделия
- Раздел или Страница
- Автор
- Активное исчисление
- Лицензия
- CC BY-SA
- Версия лицензии
- 4,0
- Теги
- источник@https://activecalculus. org/ACM.html
- источник@https://activecalculus.
Изменение переменных в разделимых ДУ — Krista King Math
Действия по замене переменных в разделимом дифференциальном уравнении
Иногда нам дают дифференциальное уравнение в форме
???y’=Q(x)-P(x)y???
и попросили найти общее решение уравнения, которое будет уравнением относительно ???y??? в пересчете на ???x???.
В этом случае может быть очень полезно использовать замену переменной для поиска решения. Чтобы использовать замену переменной, мы выполним следующие шаги:
Замените ???u=y’??? так что уравнение становится ???u=Q(x)-P(x)y???.
Найдите ???y???.
Возьмите производную от обеих сторон, чтобы получить ???y’???.
Так как ???u=y’???, подставьте обратно и замените ???y’??? с тобой???.
Найдите ???u’???, затем замените ???u’??? с ???du/dx???.
Отдельные переменные поставить ???u??? с одной стороны и ???x??? с другой.
Проинтегрируйте обе части относительно ???x???, затем найдите ???u???.
Поскольку ???u=Q(x)-P(x)y???, подставьте обратно и замените ???u??? с ???Q(x)-P(x)y???.
Найдите ???y??? с точки зрения ???x??? найти общее решение.
Эти шаги может быть трудно запомнить и сложно выполнить, но ключ в том, чтобы избавиться от всех ???y???, ???y’??? и ???х??? значения и замените их на ???u??? и ты’???. Если вы можете получить уравнение полностью с точки зрения ???u??? и ???u’???, то остальная часть проблемы должна встать на свои места.
Привет! Я Криста.
Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.
Пошаговое руководство по замене переменных для решения разделимого дифференциального уравнения
Пройти курс
Хотите узнать больше о дифференциальных уравнениях? У меня есть пошаговый курс для этого.
🙂Другой пример замены переменных в разделимом дифференциальном уравнении
Пример
Используйте замену переменной для решения дифференциального уравнения.
???y’=2x+y???
Нам нужно изменить текущее уравнение так, чтобы оно было с точки зрения новой переменной ???u??? и его производное ???u’???. Уравнение уже решено для ???y’???, чего мы и хотим, поэтому мы продолжим и заменим ???u??? для тебя’???.
Если ???u=y’???, то
???y’=2x+y???
???u=2x+y???
Решив это уравнение относительно ???y???, получим
???y=u-2x???
Теперь нам нужно найти производную от ???y???, поэтому мы возьмем производную от обеих частей этого уравнения. Помните, так как ???u??? это функция, а не просто переменная, ее производная ???u’???, а не просто ???1???.
???y’=u’-2???
В начале этой задачи мы уже сказали, что ???u=y’???, поэтому, если мы заменим ???y’??? с левой стороны с ???u??? получаем
???u=u’-2???
Теперь, когда наше уравнение полностью основано на ???u??? и ???u’???, мы хотим решить ее для ???u’???.
В дальнейшем мы стремимся понять общие идеи, лежащие в основе любой замены переменных в кратном интеграле.
Вершины полярного прямоугольника преобразуются в вершины замкнутой и ограниченной области в прямоугольных координатах.
}\)
\nonumber \]
}\) Следовательно, когда \(\Delta r\) и \(\Delta \theta\) стремятся к 0, эта площадь становится знакомым элементом площади \(dA = r \, dr \, d\theta\) в полярных координатах. Когда мы приступаем к работе с другими преобразованиями для различных изменений координат, мы должны понимать, как преобразование влияет на площадь, чтобы мы могли использовать правильный элемент площади в новой системе переменных.
Чтобы завершить переход к новым переменным \(s,t\), нам нужно понять элемент площади, \(dA\text{,}\) в этой новой системе. Следующее упражнение помогает проиллюстрировать эту идею.
Обратите внимание, что \(T’\) не совсем параллелограмм, поскольку уравнения, определяющие преобразование, не являются линейными. Но мы можем аппроксимировать площадь \(T’\) площадью параллелограмма. Как найти площадь параллелограмма, аппроксимирующего площадь \(xy\)-фигуры \(T’\text{?}\) (Подсказка: вспомните, что говорит нам векторное произведение двух векторов.)
\end{выравнивание*}
\end{выравнивание*}
\label{E_Area_Element}\tag{\(\PageIndex{3}\)} \]
}\) Обратите внимание, что, как обсуждалось в Разделе 9.4, абсолютное значение определителя \(\left[ \begin{array}{cc} \frac{\partial x}{\partial s} & \frac{\partial x}{\partial t} \\ [4pt] \frac{\partial y}{\partial s} & \frac{\partial y}{\partial t} \end{array} \right]\) — площадь параллелограмма, определяемая векторами \( \mathbf{v}\) и \(\mathbf{w}\text{,}\) и поэтому элемент площади \(dA\) в \(xy\)-координатах также представлен элементом площади \(\ left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (s,t)} \right| \, ds \, dt\) в \(st\)-координатах и \(\left| \frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)} \right|\) — коэффициент, на который преобразование увеличивает площадь.
При скромных условиях (которые изучаются в продвинутом исчислении) следует, что
Пусть \(s = x+y\) и \(t = x-y\text{.}\) Объясните, почему это должно упростить антидифференцирование, сделав соответствующие замены и записав новое подынтегральное выражение через \(s\) и \ (т\текст{.}\)
3\text{,}\) преобразование замены переменных \(x=x(s,t ,u)\text{,}\) \(y=y(s,t,u)\text{,}\) и \(z = z(s,t,u)\) преобразует \(S’\ ) в область \(S\) в \(stu\)-координатах. Любую функцию \(f = f(x,y,z)\), определенную на \(S’\), можно рассматривать как функцию \(f = f(x(s,t,u), y(s,y ,u), z(s,t,u))\) в \(stu\)-координатах, определенных на \(S\text{.}\) Элемент объема \(dV\) в \(xyz\)- координаты соответствуют масштабированному элементу объема в \(stu\)-координатах, где масштабный коэффициент задается абсолютным значением якобиана, \(\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(s ,t,u)}\text{,}\), который является определителем матрицы \(3 \times 3\)
} \nonumber \]
При скромных условиях (которые изучаются в продвинутом исчислении) тройной интеграл \(\iiint_{S’} f(x,y,z) \, dV \) равен
}\) Пусть \(f(x,y,x) = x-2y+z\text{.}\)
org/ACM.html
🙂