Ряды и ряды фурье: Репозиторий Самарского национального исследовательского университета имени академика С.П. Королёва: Недопустимый идентификатор

Числовые ряды, ряды фурье и преобразование Фурье

Задание 1

Исследовать на сходимость числовые ряды.

А)

Б)

Решение

А) Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Рассмотри ряд из модулей:

При n→∞: →0, поэтому применим формулу при , тогда получим ряд , а этот ряд сходится как сумма геометрической прогрессии.

— следовательно, на основании второго (предельного) признака сравнения заключаем, что исходный ряд сходится абсолютно.

Б) Воспользуемся интегральным признаком Коши:

Следовательно, исходный ряд расходится, так как расходится соответствующий несобственный интеграл.

Задание 2

Исследовать знакочередующийся ряд На абсолютную и условную сходимость.

Решение

1) Исследуем ряд на абсолютную сходимость:

;

Используем 2й признак сравнения:

Так как ряд расходится как обобщённый гармонический. Следовательно, данный ряд не сходится абсолютно.

Исследуем ряд на условную сходимость.

Так как ряд сходится по признаку Лейбница (,) , то сходится условно по 2му признаку сравнения и ряд

Следовательно, данный ряд сходится условно.

Задание 3

Найти интервал сходимости степенного ряда. Исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости.

Решение

Найдём интервал сходимости ряда ,

Тогда или , .

Ряд сходится абсолютно на интервале (-8;-2)

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости:

При x=-8 исходный ряд примет вид , данный ряд является знакопеременным, исследуем его на абсолютную сходимость:

Воспользуемся вторым признаком сравнения: , , . Следовательно и сходятся или расходятся одновременно, а так как ряд расходится (Так как ряд Дирихле

Расходится при р<1), то ряд не сходится абсолютно.

Данный ряд сходится условно по признаку Лейбница: И .

При х=-2 исходный ряд примет вид . Как мы убедились выше этот ряд расходится.

Значит степенной ряд имеет интервал абсолютной сходимости: .

В т. х=-8 ряд сходится условно.

Задание 4

Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням . Указать область сходимости полученного ряда. Найти , если Варианта.

А)

Б)

Решение

А) Преобразуем исходное выражение:

Тогда используем стандартное разложение:

, тогда

Используем стандартное разложение:

, тогда

Подставим:

Б) Преобразуем исходную функцию к виду:

Воспользуемся стандартным разложением:

Имеем окончательно:

Задание 5

Используя признак Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость функционального ряда на указанном промежутке.

Решение

Исходя из неравенств

на

Максимум числителя при n=2, то есть , 3/2<2

Минимум знаменателя на при ,

Имеем: — мажорирующий ряд.

Если мажорирующий ряд сходится, то функциональный ряд сходится равномерно.

Ряд сходится как сумма геометрической прогрессии.

Следовательно, мажорирующий ряд сходится.

А значит сходится и функциональный ряд на промежутке .

Задание 6

А) Разложить функцию , заданную па полупериоде , в ряд Фурье по косинусам. Построить графики второй, третьей, десятой частичных сумм. Написать равенство Парсеваля для по­лученного ряда. Сумму какого числового ряда можно отыскать с помощью полученного равенства?

Б) Разложить функцию , заданную на полупериоде , в ряд Фурье по синусам. Построить графики второй, третьей, де­сятой частичных сумм. Указать тип сходимости полученного ряда.

В) Разложить функцию в ряд Фурье, продолжая ее па полупериод функцией, равной 0. Построить графики второй, четвертой, десятой частичных сумм. Указать тип сходимости полу­ченного ряда.

Решение

а) Доопределим функцию на промежутке чётным образом и продолжим её на всю числовую ось как периодическую с периодом, равным 2. — чётная функция. Тригонометрический ряд Фурье содержит только косинусы. Вычислим коэффициенты Фурье этой функции.

, следовательно

,

Так как рассматриваемая функция непрерывна всюду, то сумма её ряда Фурье равна данной функции при всех х и .

При Имеем и

Равенство Парсеваля:

, так как , то

Б) Доопределим функцию на промежутке нечётным образом, а значение в т : и продолжим её на всю числовую ось как периодическую с периодом, равным 2. Согласно теореме Дирихле тригонометрический ряд Фурье такой функции будет сходиться к этой функции во всех точках непрерывности. Вычислим коэффициенты Фурье этой функции.

Так как рассматриваемая функция непрерывна всюду, то сумма её ряда Фурье равна данной функции при всех х и .

Так как функция кусочно-дифференцируема на то ряд Фурье сходится в среднем на

В) Разложим в ряд Фурье функцию

Т=2

Вычислим коэффициенты Фурье этой функции

, следовательно

,

Ряд Фурье имеет вид:

Ряд Фурье сходится в среднем (аналогично пункту б)

Задание 7

Методом Фурье найти решение уравнения колебания струны длины , закреплённой на концах и удовлетворяющей следующим

Начальным условиям: ,

,

Решение

Решение ищем в виде ряда

, где l=2 по условию.

Так как , а По условию, то решение имеет вид:

, где

Окончательно:

Задание 8

Найти приближённое решение задачи Коши ; ;

Решение задачи Коши ищется в виде степенного ряда , коэффициенты которого вычисляются последовательно. Ограничи­ваясь суммой , содержащей N + 1 член рада, получаем приближенное решение. Оценка погрешности этого решения в ра­боте облегчается тем, что получающиеся степенные ряды знако­чередующиеся. Требуется, чтобы эта погрешность не превосходила 0,001 при .

Решение

Ищем решение в виде: , тогда

,

,

Используя начальные условия, найдём значения двух коэффициентов ; .

Подставим ряды в заданное уравнение и приводим подобные члены. Получаем:

Приравнивая все коэффициенты ряда, стоящего в первой части, к нулю (только при таком условии ряд будет тождественно равен нулю), получим систему:

,, , , тогда из которой определяем следующие значения всех остальных коэффициенов

, ,,…,,…

Таким образом искомый частный интеграл данного уравнения есть степенной ряд

, который сходится при любом значении x (согласно признаку Даламбера )

Оценим погрешность.

Она не должна превосходить 0,001 при

Так как , то достаточно взять первые 2 члена ряда

Задание 9

Приближенно вычислить определенный интеграл

Для вычисления интеграла функцию f(x) разлагают на отрезке интегрирования в степенной ряд, который интегрируют почленно. Ограничившись несколькими первыми слагаемыми полученного та­ким образом числового ряда, имеем приближенное значение инте­грала. В работе погрешность приближения не должна превышать 0.0001, и оценка этой погрешности упрощается по тем же причинам, что и в задаче 8.

Решение

Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена

, при

Тогда

Имеем

Получен знакочередующийся ряд, слагаемое меньше чем 0.0001. Отбрасывая это слагаемое, получим приближённое значение интеграла с заданной точностью

Задание 10

А) Найти преобразование Фурье (спектральную плотность S(u)) следующих функций (сигналов).

Б) Продолжить периодически функцию (сигнал) с интервала [0,Т] (или [-Т/2,Т/2], см. рисунок) на всю числовую прямую, разложить в ряд Фурье. Построить графики второй и третьей частичных сумм.

Решение

а) Найдём функцию, по рисунку. Прямая проходит через 2 точки: И . Запишем уравнение искомой прямой: . Имеем:

Следовательно, исходный сигнал описывается следующей формулой:

Спектральную плотность S(u) найдем с помощью прямого преобразования Фурье:

Первый интеграл берем по частям: U=t dU=dt dV=e-jutdt V=-(e-jut)/(ju),

Б) Продолжим функцию нечётным образом, тогда

Ряд Фурье имеет вид:

Графики частичных сумм:

< Предыдущая		Следующая >

Ряды Фурье — презентация на Slide-Share.ru 🎓

1

Первый слайд презентации: Ряды Фурье

Бер Л. М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17.06.10 1 Ряды Фурье Рассмотрим последовательность непрерывных функций  1 ( x ),  2 ( x ),  3 ( x ), …,  n ( x ), …, (1) заданных на отрезке [ a, b ], среди которых нет функций тождественно равных нулю. Определение. Последовательность функций (1) называется ортогональной на отрезке [ a, b ], если  m  n. Основная тригонометрическая система функций на [ – l, l ] : (2)

Изображение слайда

2

Слайд 2: Ряды Фурье

Бер Л.М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17.06.10 2 Ряды Фурье Определение. Пусть система функций  1 ( x ),  2 ( x ),  3 ( x ), …,  n ( x ), …, ортогональна на отрезке [ a, b ]. Рассмотрим ряд вида (3) где a 1, a 2, …, a n, … – числа, называемые коэффициентами ряда (3). Пусть ряд (3) сходится равномерно и f ( x ) – его сумма.

Выражение (3) называется обобщенным рядом Фурье по ортогональной системе функций  n ( x ). Определение. Если {  n ( x )} – тригонометрическая система функций (2), то ряд (3) называется тригонометрическим рядом Фурье : (4)

Изображение слайда

3

Слайд 3: Тригонометрический ряд Фурье

Бер Л.М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17.06.10 3 Тригонометрический ряд Фурье Теорема. Если функция f ( x ) – определена и непрерывна на отрезке [ – l, l ] и разлагается в тригонометрический ряд который можно почленно интегрировать, то это разложение единственное и (5) .

Изображение слайда

4

Слайд 4: Тригонометрический ряд Фурье

Бер Л. М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17.06.10 4 Тригонометрический ряд Фурье Теорема (Дирихле). Пусть на отрезке [ – l, l ] функция f ( x ) удовлетворяет условиям: 1) f ( x ) непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода; 2) f ( x ) монотонна или имеет конечное число точек экстремума. Тогда тригонометрический ряд Фурье функции f ( x ) сходимость во всех точках отрезка [ – l, l ] и его суммой будет функция S ( x ), определенная на этом отрезке следующим образом: а) S ( x ) = f ( x ), если x  [ – l, l ] и x – точка непрерывности функции f ( x ) ; б) S ( x ) = ( f ( x – 0 ) + f ( x + 0 ) )/2, если x  [ – l, l ] и x – точка разрыва функции f ( x ) ; в) S ( – l ) = S ( l ) = ( f ( – l + 0 ) + f ( l – 0 ) )/2. Причем на любом отрезке [ a, b ]  [ – l, l ], не содержащем точек разрыва функции f ( x ), сходимость тригонометрического ряда Фурье будет равномерной.

Изображение слайда

5

Слайд 5: Тригонометрический ряд Фурье

Бер Л. М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17.06.10 5 Тригонометрический ряд Фурье Замечание. 1. Условия 1) и 2) называются условиями Дирихле. 2. Если представить функцию f ( x ) периодически продолженной на всю ось с периодом 2 , то утверждение теоремы Дирихле будет справедливо для всех x. Если f ( x ) – нечетная функция, то (6) Если f ( x ) – четная функция, то (7)

Изображение слайда

6

Слайд 6: Тригонометрический ряд Фурье

Бер Л.М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17.06.10 6 Тригонометрический ряд Фурье Если функция f ( x ) задана на отрезке [ 0, l ] и удовлетворяет условиям Дирихле, то ее можно разложить в ряд Фурье: по косинусам продолжив функцию f ( x ) на отрезке [ – l, 0 ] четным образом, полагая f ( –x ) = f ( x ) и коэффициенты вычисляются по формулам (7). по синусам продолжив функцию f ( x ) на отрезке [ – l, 0 ] нечетным образом, полагая f ( –x ) = – f ( x ) и коэффициенты вычисляются по формулам (6).

Изображение слайда

7

Слайд 7: Тригонометрический ряд Фурье

Бер Л.М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17.06.10 7 Тригонометрический ряд Фурье Если функция f ( x ) – периодическая с периодом Т = 2 l, то для коэффициентов ряда Фурье функции f ( x ) на отрезке [ a, a +2 l ] справедливы формулы: .

Изображение слайда

8

Последний слайд презентации: Ряды Фурье: Спасибо за внимание

Бер Л.М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17.06.10 8 Спасибо за внимание

Изображение слайда

Ряды Фурье — Энциклопедия по экономике

В качестве моделей трендов используют различные элементарные функции и их сочетания, а также степенные ряды, иногда называемые полиномиальными моделями. Наибольшую точность обеспечивают модели в виде рядов Фурье, однако не многие статистические пакеты позволяют их использовать.  [c.102]
Одним из способов определения циклических колебаний является гармонический анализ временного ряда процентных ставок, который заключается в нахождении конечной суммы уровней ряда с использованием функций косинусов и синусов времени. Каждый член ряда динамики рассчитывается как слагаемое постоянной величины с функциями косинусов и синусов определенного порядка. Таким образом, заданная периодическая функция выражается в виде ряда Фурье по гармоникам разных порядков.  [c.616]

Аппроксимация динамики процентных ставок ряда Фурье заключается в подборе таких гармонических колебаний, сумма которых отражала бы периодические колебания фактических уровней процентов. Ряд Фурье дает возможность представить динамику ссудных процентов в виде функции времени, в которой слагаемые расположены по убыванию периодов времени  [c.616]

Величина k определяет гармонику ряда Фурье и определяется целым числом, как правило, в пределах от 1 до 4. Параметры уравнения находят с помощью системы нормальных уравнений способом наименьших квадратов.  [c.616]

Рассчитаем первую гармонику. Для определения значений синусов и косинусов необходимо использовать таблицу вычисления значений по ряду Фурье.  [c.617]

Для выявления циклической составляющей динамики валютного курса статистикой также используется выравнивание по ряду Фурье, поскольку циклические колебания являются разновидностью периодических, как и сезонные. Может применяться и метод скользящей средней. Период скольжения принимают, естественно, другой, соответствующий периоду циклических колебаний. В нашем примере сглаживание целесообразно проводить по 33-месячной скользящей средней (см. рис. 15.3). Период можно определить по графику и с помощью спектрального анализа, представив ряд в виде непрерывной функции, которую можно разложить на сумму бесконечного числа гармонических функций с периодом от 0 до 2л с различной амплитудой. Спектральной плотностью функции называется величина амплитуды гармоники в зависимости о г ее периода. Чем больше амплитуда (спектр) данной гармоники, тем сильнее в использованной функции присутствуют колебания с этим периодом.  [c.664]

В 9-й главе излагается метод аппроксимации эмпирической зависимости тригонометрическим рядом Фурье. Даны формулы, позволяющие по реальной выборке вычислить коэффициенты Фурье, амплитуду и фазу гармоник. Рассказано, как строится амплитудно-частотная характеристика разложения, и как она используется для выделения гармоник с максимальной амплитудой.  [c.11]

Этот график дает основания предположить, что связь переменных X и Y носит периодический характер. По методике, изложенной в предыдущих 2-х параграфах, представим аппроксимирующую функцию рядом Фурье и построим амплитудно-частотную характеристику.  [c.135]

Но необходимо отдать должное разнообразию, абстрактности и силе математических теорий, которые так или иначе применяются во всех областях человеческих знаний. Использование математических методов для исследования рынка может принести большую пользу, но при этом надо учитывать ограниченность такого подхода к изучению рынка. Например, при попытке выявить циклы не обойтись без спектрального анализа, рядов Фурье и т.п. Однако повышенная точность математических результатов для анализа рынка не нужна, так как большинство соотношений выполняется на рынке только с определенной точностью и велики погрешности и отклонения от точных значений.  [c.165]

Сезонность можно понимать как внутри годовую динамику вообще. Моделью периодически изменяющихся уровней служит ряд Фурье, аналитическое выражение которого применительно к динамике имеет вид  [c.106]

В этом уравнении величина k определяет номер гармоники ряда Фурье и может быть взята с необходимой степенью точности (чаще всего от 1 до 4). Параметры уравнения определяются методом МНК по формулам  [c.106]

Прежде всего напишем явное выражение для решения прямой задачи. Разложим v (0, х) в ряд Фурье  [c.358]

Задача содержит определенные трудности. Ведь искомая функция v (0, х) имеет два разрыва, в ее разложении в ряд Фурье коэффициенты убывают не очень быстро, и хорошее восстановление v (0, х) затруднено тем, что в г (Т, х) соответствующие гармоники уже теряются в ошибках 8. Замена искомой функции v (0, х) на и (х) имеет и положительные, и отрицательные следствия. Положительным является своеобразный эффект регуляризации так как мы ограничимся относительно небольшим числом вариаций функции и (х) на величины Su (я)К1 S, то получить очень уж негладкую функцию и (0, х) не удается. С другой стороны, эта замена затрудняет и получение разрывов в v (О, х) ведь это требует построения в и (х) каких-то аппроксимаций 8-функций.  [c.365]

Рассмотрим теперь другой способ нахождения сезонной составляющей, использующий ряд Фурье в качестве аналитической модели сезонности. В этом виде уравнение ряда Фурье запишется следующим образом  [c.71]

В этом уравнении величина k определяет номер гармоники ряда Фурье. От числа учтенных гармоник зависит степень точности данной аналитической модели. Обычно используют от 1 до 4 гармоник в зависимости от необходимой точности и формы сезонной или циклической составляющей. Для отыскания параметров уравнения используется метод наименьших квадратов.  [c.72]

Далее построим модель сезонной волны, применив первую и вторую гармоники ряда Фурье (табл. 2.1.10).  [c.74]

Особое значение имеет при этом преобразование Фурье. Любая сигнальная функция может быть приближенно изображена конечным рядом Фурье  [c.266]

Тригонометрические функции позволяют описывать сложные, сильно расчлененные поверхности. Сферические функции применяют, если при вычислениях нельзя пренебречь кривизной земной поверхности. Аппроксимация с помощью двойных рядов Фурье позволяет вводить постепенное усложнение поверхности за счет добавления двухмерных синусоид с разными фазами и амплитудами. Компьютерное моделирование обеспечивает выполнение подобных аппроксимаций для поверхностей любой сложности с помощью уравнений высокого порядка, содержащих порой несколько десятков членов разложения.  [c.221]

С принципиальной точки зрения прогноз hn величины hn по значениям At, А 0 дается формулой (24), где коэффициенты а получаются из разложения функции П(А) (см. (21)-(23)) в ряд Фурье с учетом формулы (31 ) для коэффициентов од, входящих в определение функции (рп ( А).  [c.185]

Также встречаются рекомендации использовать методы на основе разложения в ряд Фурье для проведения сезонной корректировки. Эти методы, как и только что рассмотренные, основанные на использовании не изменяющихся индексов сезонности, пригодны лишь для случая строгой периодичности и поэтому в общем случае не являются адекватными.  [c.24]

Для идентификации сезонной составляющей встречаются рекомендации использовать методы, основанные на разложении отклонений от трендов в ряд Фурье. Эти методы также едва ли пригодны для решения реальных задач, поскольку в них сезонные флуктуации рассматриваются как строго периодические.  [c.103]

Циклические (точнее, гармонические) кривые роста призваны отразить поведение спроса, имеющего сезонные или иные периодические колебания. Любые циклические колебания можно представить в виде суммы простых гармоник, т.е. разложить в ряд Фурье  [c. 125]

Один из распространенных подходов к прогнозированию состоит в следующем ряд раскладывается на долговременную, сезонную (в том числе, циклическую) и случайную составляющие затем долговременную составляющую подгоняют полиномом, сезонную — рядом Фурье, после чего прогноз осуществляется экстраполяцией этих подогнанных значений в будущее. Однако этот подход может приводить к серьезным ошибкам. Во-первых, короткие участки стационарного ряда (а в экономических приложениях редко бывают достаточно длинные временные ряды) могут выглядеть похожими на фрагменты полиномиальных или гармонических функций, что приведет к их неправомерной аппроксимации и представлению в качестве неслучайной составляющей. Во-вторых, даже если ряд действительно включает неслучайные полиномиальные и гармонические компоненты, их формальная аппроксимация может потребовать слишком большого числа параметров, т.е. получающаяся параметризация модели оказывается неэкономичной.  [c.48]

Свойства рядов Фурье  [c. 179]

Если функция f(x) периодическая периода Т = 21, то ее ряд Фурье имеет вид  [c.180]

Если функция f(x) задана на конечном интервале ]—/, /[, то для того, чтобы ее разложить в ряд Фурье, необходимо предварительно построить функцию ф (х) периода Т = 21 такую, что  [c.180]

Если функцию ф(д ) можно разложить в ряд Фурье, то на интервале ]—/, /-[ этот ряд будет рядом Фурье для функции / (х).  [c.180]

О Пример. Разложить, в ряд Фурье периодическую функцию / (х) периода Т = 21, если  [c.180]

В этом случае приходится вычисляв коэффициенты ряда Фурье приближенно. Для приближенных вычислений коэффициентов ряда Фурье существует большое количество различных методов.  [c.183]

Спектральный анализ — это использование дискретного преобразования Фурье для оценки спектральной плотности, или спектра ряда. Этот метод может применяться  [c.104]

Па практике, при изучении динамики цен активов не рекомендуется использовать для аппроксимации этих рядов более трех гармоник Фурье.  [c.137]

Y, можно рассчитать с помощью метода скользящей средней. Период скольжения для помесячных данных принимается равным 12 месяцам, для квартальных — 4. Для исключения сезонности фактические уровни делятся на соответствующие индексы сезонности. Также Y, можно получить, используя аппроксимирующее уравнение. Часто применяют известный ряд Фурье-. Устранение сезонности в этом случае достигается вычитанием Y, из Кфакт.  [c.664]

Определенные по этим формулам параметры называют коэффициентами Фурье, а тригонометрический ряд с такими коэффициентами является рядом Фурье. Тогда аппроксимация величины 7рядом Фурье в точке хп = Xmsynl N будет равна  [c.133]

Функция Вейерштрасса накладывает бесконечное число синусоидальных волн. Мы начинаем с главной, или основной частоты w с амплитудой 1. Добавляется второй гармонический член с частотой bw и амплитудой 1/а, где а и b больше 1. Третий гармонический член имеет частоту b2w и амплитуду 1/а2. Четвертый член имеет частоту b3w и амплитуду 1/а3. Как обычно происходит с непрерывной функцией, прогрессия продолжается бесконечно. Каждый член имеет частоту, которая является степенью Ь, большей чем предыдущая, и амплитуду, которая является степенью меньшего а. Используя уравнение (1.5) из Главы 1, мы видим, что фрактальная размерность D этой кривой будет ln(a)/ln(b). Формальное уравнение функции Вейерштрасса выглядит следующим образом, будучи записанным в качестве ряда Фурье  [c.94]

Ортогональность периодических функций. Представление временного ряда в виде конечного ряда Фурье. Теорема Парсеваля. Понятие функции спектральной плотности, связь ее с автокорреляционной функцией. Оценивание спектральной плотности, временные и частотные окна.  [c.86]

Теория циклов — одна из основополагающих теорий развития природных и общественных процессов. С определенной долей уверенности можно сказать, что любой процесс, протекающий в природе, цикличен. Разумеется, попытки применить эту теорию не обошли и технический анализ. Детрендиро-вав любую картинку ценовых тенденций на товарных рынках, любой из вас сможет увидеть там определенную цикличность. Главная проблема состоит в том, чтобы правильно идентифицировать цикличное развитие. Все кажется простым, когда речь заходит, например, о недельном цикле. Но в действительности существует огромное количество цикличных процессов — от часовых колебаний до пятидесятилетних циклов Кондратьева, накладывающихся один на другой. И здесь получение верной информации для построения прогноза является серьезной проблемой исследователя. Конечно, эту проблему пробуют решать на основе разложения в ряды Фурье, путем детрендирования, консолидации и другими методами. Некоторым это удается на определенных временных промежутках, некоторым — нет. И несмотря на громкое название, прикладные аспекты теории циклов практически не проработаны из-за крайней сложности и запутанности. Это напоминает айсберг, когда все видят его вершину и знают, что существует подводная часть, но тем не менее на глаз определить, какая она и что собой представляет, вряд ли кто возьмется. Далее вы сможете познакомиться с одной из  [c. 256]

Тихонов Э.Е., Зайцева И.В. Прогнозирование на основе рядов Фурье//Компьютерная техника и технологии Сб. трудов регион. НТК. Ставрополь СевКав ГТУ, 2003. — С. 173-175.  [c.196]

Ряды Фурье позволяют вьщелить периодические (сезонные) колебания, свойственные многим экономическом явлениям. Для изучения периодических колебаний некоторого экономического показателя /(/), зависящего от временя, функцию / ) раскладывают в ряд Фурье  [c.183]

Анализ Фурье позволяет выделить циклы из очень длинного ряда данных. У MESA другая задача найти признаки упорядоченного циклического поведения на ограниченном интервале времени (рис. 39). В отличии от других пакетов, которые дают игроку непрерывный поток сигналов, MESA показывает, что 80 процентов времени надежных циклов на рынке нет. Ее цель состоит в обнаружении цикла, появляющегося из рыночного шума, и в предупреждении, что цикл начинает затухать.  [c.111]

В последнее время гипотеза эффективного рынка (ЕМН = Effi ient Market Hypothesis), которую мы уже обсуждали в гл. 3, подвергается серьезной критике, и, как ни странно, эта критика исходит из академических кругов. В своей слабой форме эта гипотеза утверждает, что инвестор не может получить дополнительный доход (с учетом компенсации за риск, связанный с данной стратегией) за счет использования правил торговли, основанных на прошлых данных. Иными словами, информация о прошлых ценах и доходах не может принести пользу для извлечения дополнительного дохода. В то же время ЕМН-гипотеза не конкретизирует ни природу такой информации, ни способы ее извлечения из прошлых цен. Должна ли для этого использоваться обычная автокорреляция временных рядов, методы Бокса-Дженкинса или анализа Фурье, или какой-то из многочисленных методов фильтрации Более того, ЕМН является комбинированной гипотезой в том смысле, что для ее проверки она требует предварительно-  [c.211]

В чем разница между рядом Фурье и преобразованием Фурье?

Спросил 9 лет, 11 месяцев назад

Изменено 1 год, 10 месяцев назад

Просмотрено 210 тысяч раз

$\begingroup$

В чем разница между преобразованиями Фурье и рядами Фурье?

Являются ли они одинаковыми, если преобразование используется только при его применении (т. е. не используется в чистой математике)?

• анализ Фурье
• ряд Фурье
• преобразование Фурье

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Ряд Фурье используется для представления периодической функции в виде дискретной суммы комплексных экспонент, тогда как преобразование Фурье затем используется для представления общей непериодической функции в виде непрерывной суперпозиции или интеграла комплексных экспонент. Преобразование Фурье можно рассматривать как предел ряда Фурье функции с периодом, стремящимся к бесконечности, поэтому пределы интегрирования изменяются от одного периода до $(-\infty,\infty)$.

В классическом подходе было бы невозможно использовать преобразование Фурье для периодической функции, которая не может находиться в $\mathbb{L}_1(-\infty,\infty)$. Однако использование обобщенных функций освобождает нас от этого ограничения и позволяет взглянуть на преобразование Фурье периодической функции. Можно показать, что коэффициенты ряда Фурье периодической функции являются выборочными значениями преобразования Фурье одного периода функции.

$\endgroup$

9{itx}$. Это делает экспоненты очень удобными, например, для решения дифференциальных уравнений.

периодическая функция доказуемо может быть выражена как «дискретная» суперпозиция экспонент, то есть сумма. Непериодическая, но затухающая функция не допускает выражения в виде дискретной суперпозиции экспонент, а только непрерывной суперпозиции, а именно интеграла, проявляющегося в обращении Фурье для преобразований Фурье.

В обоих случаях необходимо решить несколько технических моментов, несколько различающихся в этих двух ситуациях, но очень похожих по духу.

$\endgroup$

9

$\begingroup$

Преобразование Фурье используется для преобразования периодических и непериодических сигналов из временной области в частотную. Он также может преобразовывать ряды Фурье в частотную область, поскольку ряды Фурье представляют собой не что иное, как упрощенную форму периодической функции во временной области.

Ряд Фурье

1. Периодическая функция => преобразуется в дискретную экспоненциальную или функцию синуса и косинуса.

2. Непериодическая функция => неприменимо

Преобразование Фурье

1. Периодическая функция => преобразует свой ряд Фурье в частотную область.

2. непериодическая функция => преобразует в непрерывную частотную область.

$\endgroup$

0

$\begingroup$

Если у вас есть локально компактная абелева группа $G$, вы можете определить группу, называемую двойственной группой Понтрягина — $\widehat{G}$. Вы можете определить меру Хаара на $G$, $\mu$. 1(G)$: 91$, то $\widehat{G}=\Bbb Z$ и мы имеем ряд Фурье (пример преобразования Фурье).

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Я вижу, вы спрашиваете, вероятно, о наиболее «значимых двух», которые, казалось бы, различаются, но все же сопоставимы, если сравнивать их один к одному, и это преобразование Фурье дискретного сигнала времени и ряд Фурье сигнала дискретного времени, в то время как оба сигнала являются периодическими.

Объясню максимально просто.

Представьте, что у вас есть рисунок на карте (не представляйте карту в n-м измерении, но она может быть). Оба они представляют точку на этом рисунке на этой карте. (Карта — это карта земного шара, не заходите слишком далеко.) Все просто: каждое представление решает свою задачу, но оба представляют одну и ту же точку. Это просто одно представление представляет точку как точку, как мы ее знаем (увы, ряд, с e и i или j и w0), и одно представление (тот, с дельтами) представляет ту же точку, что и + <0,delta(y) >. Мы знаем первое представление. не буду объяснять. Но во втором представлении, если мы суммируем все e-s с i-s или j-s, мы получим что? Суперпозиция. Это означает, что мы будем знать окончательную суперпозицию, но не будем знать, что такое проекция. Мы не будем знать, что такое x, y, потому что в сигнале x, y непросто рассматривать как точку на карте, пока они находятся в суперпозиции, поэтому вместо этого нам нужна система координат. Преобразование Фурье показывает нам ту же точку, но как на карте — с координатами. Увы, мы видим коэффициенты. А коэффициенты мы видим благодаря дельтам. В противном случае у нас была бы сумма e, которая иногда была своего рода «суммируемой», и для того, чтобы найти каждый коэффициент, нам приходилось проектировать и вычислять проекцию для каждого коэффициента. Здесь мы ВИДИМ коэффициенты БЕЗ расчета каждого из них благодаря дельтам.

Все это потому, что внутреннее произведение в измерении сигнала «менее прямолинейно», чем внутреннее произведение в карте земного шара. {\jmath x}=\cos(x) +\jmath \грех(х)$. Эта знаменитая формула устанавливает связь между тригонометрическими функциями реальных сущностей и экспоненциальными функциями сложных (т.е. воображаемых) сущностей. При этом он устанавливает фундаментальную связь с преобразованием Фурье, которое по своей сути является тригонометрическим. На самом деле преобразование Фурье для функции $f(t)$ по определению есть ряд Фурье функции $f(t)$, интерпретируемый как $t\rightarrow \infty$, а ряд Фурье по определению есть линейная сумма функций sin и cos. Ряд Тейлора вступает в игру при выводе формулы Эйлера. 9{2\pi*\jmath\theta} = {\cos(}2\pi\theta)+j*{\sin}(2\pi\theta)$$ Это выражение неразрывно связано с природой преобразования Фурье, поскольку преобразования Фурье направлены на преобразование функции из временной области в частотную. Для этого мы разлагаем периодические функции на простые линейные суммы sin и cos и позволяем этой новой функции приближаться к бесконечности.

Итак, какое место во всем этом занимает сериал Тейлор? Мы используем разложение в ряд Тейлора (или, точнее, разложение в ряд Маклаурена), чтобы получить формулу Эйлера. Вот доказательство (или производное, в зависимости от вашей точки зрения): 9{2\pi*\jmath \theta} = {\cos(}2\pi\theta)+j*{\sin}(2\pi\theta)$$

Из-за характеристик функций sin и cos , можно использовать простое интегрирование, чтобы восстановить амплитуду каждой волны sin и cos, представленной в преобразовании Фурье (аналогично обратной стороне приведенного выше доказательства). В подавляющем большинстве случаев очень полезно выбрать формулу Эйлера в качестве функции для интегрирования. Поскольку и формула Эйлера, и преобразование Фурье имеют (по крайней мере, частично) принципиально тригонометрический характер, использование формулы Эйлера значительно упрощает большинство реальных частей анализа Фурье. Кроме того, для сложного случая частоты могут быть представлены обратно пропорционально времени с использованием комбинации формулы Эйлера и разложения в ряд Фурье.

Итак, это немного запутанно и запутанно (этимологически, а не интегрально), но на самом деле все сводится к тому факту, что ряд Тейлора (или Маклаурена), ряд и преобразование Фурье, а также формула Эйлера связаны тригонометрически Различия между тремя возникают по характеру применения. {\jmath \pi}+1= 0$, уравнение настолько сурово красноречивое и эстетически возбуждающее, что я готов смотреть на него весь день.

Ряд Фурье | Brilliant Math & Science Wiki

Содержание

• Определение ряда Фурье
• Приложения и обобщения
• Вывод ряда Фурье
• использованная литература
9T f(x) \sin \frac{2 \pi k x}{T}\:dx.ak​=T2​∫0T​f(x)cosT2πkx​dx,bk​=T2​∫0T​f(x) sinT2πkx​dx.

Таким образом, чтобы вычислить представление ряда Фурье некоторой периодической функции fff, нужно только вычислить приведенный выше набор интегралов для произвольного kkk. Часто можно сразу установить все bkb_kbk или aka_kak равными нулю, заметив, что функция fff является нечетной или четной, поскольку нечетная функция не будет иметь вкладов косинуса, и наоборот.

Коэффициенты нормализации перед коэффициентами возникают из-за того, что функции косинуса и синуса, как они определены, являются ортогональными, но не ортонормированными. Таким образом, коэффициент 12\frac1221 при умножении a0a_0a0​ возникает из-за того, что нормализация для a0a_0a0 отличается, поскольку 9T f(x) \,dxa0​=T2​∫0T​f(x)dx

— удвоенное среднее значение функции fff по [0,T)[0,T)[0,T).

Обратите внимание, что для периодической функции периода TTT пределы интеграла в определениях коэффициентов Фурье могут быть сдвинуты на любой постоянный коэффициент до тех пор, пока окно интегрирования всегда остается длиной TTT.

Найдите ряд Фурье прямоугольной волны , для которой функция за один период равна

f(x)={1if 0≤x<12−1if 12≤x<1.f(x) = \begin{cases} 1 \quad &\text{if }~0\leq x<\frac12 \\ -1 \quad &\text{if }~\frac12 \leq x < 1. \end{cases}f(x)={1−1​if  0≤x<21​if  21​≤x<1.​

Прямоугольная волна и последовательные уточнения ее усеченного ряда Фурье ^[1] . 2 \frac{\pi k}{2} — \frac{1}{2} \cos \pi k + \frac{1}{ 2} \cos 2\pi k\право) \\ &= \begin{cases} \frac{4}{\pi k} \quad &\text{if }~ k \text{ нечетно} \\ 0 \quad &\text{if }~ k \text{ is даже}, \end{случаи} \end{выровнено}bk​=2∫01​f(x)sin2πkxdx=2∫01/2​sin2πkxdx−2∫1/21​sin2πkxdx=2[−2πkcos2πkx​∣∣∣∣​x=0x=21 +2πkcos2πkx​∣∣∣∣​x=21​x=1​]=2[−2πkcosπk​+2πk1​+2πkcos2πk​−2πkcosπk​]=πk2​(sin22πk​−21​cosπk+21​cos2πk) ={πk4​0​если  k нечетноесли  k четно,​​

, где в последней строке использован тот факт, что kkk — натуральное число. Следовательно, ряд Фурье для прямоугольной волны равен

.

f(x)=4π∑k=1,3,5,…1ksin⁡2πkx. □f(x) = \frac{4}{\pi} \sum_{k = 1,3,5,\ldots} \frac{1}{k} \sin 2\pi k x.\ _\squaref( x)=π4​k=1,3,5,…∑​k1​sin2πkx. □​

Обратите внимание, что вблизи разрывов скачка для прямоугольной волны конечные усечения ряда Фурье имеют тенденцию к выбросу. Это общий аспект ряда Фурье для любой прерывистой периодической функции, известной как Феномен Гиббса .

−12π-\frac{1}{2\pi}−2π1​ 12π\frac{1}{2\pi}2π1​ −1π-\frac{1}{\pi}−π1​ 1π\frac{1}{\pi}π1​

Найдите второй коэффициент Фурье b2b_2b2​ для пилообразной волны , которая принимает значения f(x)=x2f(x) = \frac{x}{2}f (x)=2x​ на 0≤x<20 \leq x <20≤x<2 и является периодическим вне этой области.

9{k}}{k} \sin 2 \pi k xπ28​k нечетное∑​k(−1)k​sin2πkx

Найдите ряд Фурье треугольной волны , которая определяется выражением

f(x)= −2∣x−0,5∣+1f(x) = -2|x-0,5|+1f(x)=−2∣x−0,5∣+1

для −0,5≤x≤1,5-0,5\leq x \ leq 1,5−0,5≤x≤1,5 и периодична вне этой области.

Подсказка: Сначала попробуйте построить данную функцию.

Уравнение теплопроводности и сферические гармоники:

Первоначально Фурье разработал ряд Фурье как метод решения 92∇2, таких как уравнение Шредингера для атома водорода, более целесообразно использовать многомерное обобщение ряда Фурье, сферические гармоники.

Преобразование Фурье:

Ряд Фурье, описанный выше, достаточен для представления любой периодической функции. Можно также сказать, что это означает, что тригонометрические функции представляют собой полный набор для представления функций на компактном интервале, поскольку любая периодическая функция может быть представлена ​​функцией только за один конечный период. 9{-2\pi i kx}e−2πikx, которая является одной из несчетных наборов тригонометрических функций. Также можно определить преобразование Фурье, точно аналогичное ряду Фурье, где используется реальный тригонометрический базис, а не комплексный.

Преобразование Фурье шестичленного усечения ряда Фурье для прямоугольной волны. Преобразование Фурье равно нулю, за исключением шести значений частоты, которые вносят вклад в ряд Фурье. 92}{6}.\ _\квадратζ(2)=6π2​. □​

В линейной алгебре вектор vvv с компонентами (v1,…,vn)(v_1,\ldots, v_n)(v1​,…,vn​) в стандартном базисе может быть записан в другом ортонормированном базисе {bk }\{b_k\}{bk​} по формуле

v=∑kbk(v,bk),v = \sum_k b_k (v,b_k),v=k∑​bk​(v,bk​),

где (a,b)(a,b)(a,b) обозначает скалярное произведение или скалярное произведение aaa и bbb.

Эта формула может быть обобщена для функций, где внутренний продукт между двумя действительными функциями fff и ggg становится интегралом. Если обе функции периодические с периодом TTT, этот внутренний продукт равен (с точностью до некоторой конкретной нормализации) 9T f(x) g(x) \:dx,(f,g)=T2​∫0T​f(x)g(x)dx,

и вообще функция может быть записана как

f=∑kbk (f,bk)f = \sum_k b_k (f,b_k)f=k∑​bk​(f,bk​)

для любого набора базисных функций bkb_kbk​.

Ряд Фурье — это просто особый способ перезаписи функций с использованием базиса {bk}={fk}∪{gk}\{b_k\} = \{f_k\} \cup \{g_k\}{bk​} ={fk​}∪{gk​}. То есть базисные функции представляют собой комбинацию двух конкретных наборов функций {fk}\{f_k\}{fk​} и {gk}\{g_k\}{gk​}. Эти множества являются функциями 9T f(x) \sin\frac{2 \pi k x}{T} \:dx,ak​=T2​∫0T​f(x)cosT2πkx​dx,bk​=T2​∫0T​f(x) sinT2πkx​dx,

, как описано ранее.

1. Theub314, . Ряд Фурье для прямоугольной волны .

   No related posts.