Ряды онлайн сходимость: Исследование степенного ряда на сходимость

Содержание

М.Л. Гриднев. Сходимость тригонометрических рядов Фурье функций с ограничением на фрактальность их графиков … C. 104-109

Том 24, номер 4, 2018

УДК 517.518.45

MSC: 42A20

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-4-104-109

Полный текст статьи (Full text)

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 14-11-00702).

Для непрерывной на отрезке функции $f$ вводится понятие модуля фрактальности $\nu(f,\varepsilon)$ как функции, которая каждому $\varepsilon>0$ сопоставляет минимальное число квадратов размера $\varepsilon$, которыми можно покрыть график функции $f$. В терминах модуля фрактальности и модуля непрерывности $\omega(f,\delta)$ получено условие равномерной сходимости ряда Фурье функции $f$: если
$$
\omega (f,\pi/n) \ln\bigg(\frac{\nu(f,\pi/n)}{n}\bigg) \longrightarrow 0 ~~~ \text{при}~ n\longrightarrow +\infty,
$$
то ряд Фурье функции $f$ сходится равномерно. Это условие уточняет известный признак сходимости Дини-Липшица. Кроме того, получена равномерная по $x\in[0,2\pi]$ оценка порядка роста сумм Фурье $S_n(f,x)$ непрерывной функции $f$:
$$
S_n(f,x) = o\bigg( \ln \bigg(\frac{\nu (f,\pi / n)}{n}\bigg)\bigg).
$$
Показано, что эта оценка является неулучшаемой.

Ключевые слова: тригонометрический ряд Фурье, равномерная сходимость, фрактальная размерность

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гриднев М.Л. О классах функций с ограничением на фрактальность их графика // Proc. of the 48th Internat. Youth School-Conf. “Modern Problems in Mathematics and its Applications”. Yekaterinburg, 2017. Vol. 1894. С. 167–173. URL: http://ceur-ws.org/Vol-1894/appr5.pdf

2. Gridnev M.L. Divergence of Fourier series of continuous functions with restriction on the fractality of their graphs // Ural Math. J. 2017. Vol. 3, no. 2. P 46–50. doi: 10.15826/umj.2017.2.007

3. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: ГИМФЛ, 1961. 937 с.

Поступила 31.08.2018

После доработки 28. 10.2018

Принята к публикации 05.11.2018

Гриднев Максим Леонидович
младший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН,
г. Екатеринбург
e-mail: [email protected]

English

M.L. Gridnev. Convergence of trigonometric Fourier series of functions with a constraint on the fractality of their graphs

For a function $f$ continuous on a closed interval, its modulus of fractality $\nu(f,\varepsilon)$ is defined as the function that maps any $\varepsilon>0$ to the smallest number of squares of size $\varepsilon$ that cover the graph of $f$. The following condition for the uniform convergence of the Fourier series of $f$ is obtained in terms of the modulus of fractality and the modulus of continuity $\omega(f,\delta)$: if
$$
\omega (f,\pi/n) \ln\bigg(\frac{\nu(f,\pi/n)}{n}\bigg) \longrightarrow 0 \ \mbox{ as } n\longrightarrow +\infty,
$$
then the Fourier series of $f$ converges uniformly. This condition refines the known Dini-Lipschitz test. In addition, for the growth order of the partial sums $S_n(f,x)$ of a continuous function~$f$, we derive an estimate that is uniform in $x\in[0,2\pi]$:
$$
S_n(f,x) = o\bigg( \ln \bigg(\frac{\nu (f,\pi / n)}{n}\bigg)\bigg).
$$
The optimality of this estimate is shown.

Keywords: trigonometric Fourier series, uniform convergence, fractal dimension

Received August 31, 2018

Revised October 28, 2018

Accepted November 05, 2018

Funding Agency: This work was supported by the Russian Science Foundation (project no. 14-11-00702).

Maksim Leonidovich Gridnev, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia, e-mail: [email protected]

[References -> on the «English» button bottom right]

наглядная схема и 2 правила

Какие знаки считаются совместимыми?

Во всех гороскопах обязательным пунктом идет описание совместимости знаков, но, к сожалению, большинство из них описывает только частные случаи на примерах пар знаков, упуская из виду общие принципы для всех. Хотя эти принципы являются очень логичными и вместе с тем простыми. А их понимание поможет вам один раз и навсегда разобраться, кто, с кем и, что немаловажно, как совместим.

Итак, согласно классической астрологии, чьими принципами руководствуется расчет совместимости In-contri в соответствующем разделе, знаки Зодиака подходят друг другу в любви и семейных отношениях, если они не противоречат 2 главным правилам:

знаки принадлежат одной четности
знаки не одинаковы

Соответственно, из первого пункта следует, что знаки принадлежат одной стихии или разным, но дополняющим друг друга. Стихий, как известно, всего 4 — это Огонь, Земля, Воздух и Вода. Т.о. внутри каждой стихии знаки совместимы между собой и совместимы пары, представляющие позитивное сочетание стихий Огонь-Воздух и Земля-Вода. Как видите, все просто.

2 группы совместимых знаков

Возьмем знаки с их стихиями по порядку и рассмотрим наглядно:

Овен (Огонь)
Телец (Земля)
Близнецы (Воздух)
Рак (Вода)
Лев (Огонь)
Дева (Земля)
Весы (Воздух)
Скорпион (Вода)
Стрелец (Огонь)
Козерог (Земля)

Водолей (Воздух)
Рыбы (Вода)

Мы видим, что знаки стихий Огня и Воздуха — нечетные, а знаки Земли и Воды — четные. Следовательно, совместимость знаков каждой пары стихий как между собой так и внутри очень естественна: Воздух помогает Огню разгораться сильнее, а Вода наполяет Землю, делая ее плодородной.

Совместимые знаки Огня и Воздуха:
Овен, Лев и Стрелец — Близнецы, Весы и Водолей

Совместимые знаки Земли и Воды:
Телец, Дева и Козерог — Рак, Скорпион и Рыбы

С другой стороны, в комбинациях знаков разной четности — это пары стихий Вода-Огонь, Вода-Воздух, Земля-Огонь, Земля-Воздух — позитивного союза не наблюдается. Более того, даже из природы стихий понятно, что некоторые из таких пар являются противоборствующими. Поэтому их совместимость в любви и семье считается негативной.

Так работает совместимость знаков Зодиака в общем виде на уровне совместимы/несовместимы. Но есть еще ряд характерных особенностей, зависящих от взаимного расположения пары знаков.

7 типов совместимости между знаками

Более детальное описание совместимости в паре можно узнать по расположению знаков относительно друг друга на зодиакальном круге. Причем, как по часовой стрелке, так и против. Только в зависимости от направления счета роль вашего знака в паре будет меняться. Разберем, как это работает, на примере первого знака — Овна.

Расположение: +1 и -1 знак от вашего
Тип пары: «Лучший друг и лучший враг» — несовместимость
Примеры: Овен(1) — Телец(2), Овен(1) — Рыбы(12)
Описание: самая популярная пара знаков среди всех остальных.

Быстро заводят дружбу, но серьезным отношениям мешает конфликт стихий. Частые проблемы: зависть, соперничество, разница интересов и целей в жизни.

Расположение: +2 и -2 знака от вашего
Тип пары: «Старший брат и младший брат» — совместимость
Примеры: Овен(1) — Близнецы(3), Овен(1) — Водолей(11)
Описание: пара знаков позитивно сочетающихся стихий. Здесь важно понимание своих ролей каждым из партнеров. «Старший брат» обычно превосходит «младшего» в возрасте, опыте или характере.

Расположение: +3 и -3 знака от вашего
Тип пары: «Покровитель и советник» — несовместимость
Примеры: Овен(1) — Рак(4), Овен(1) — Козерог(10)
Описание: пара знаков стихий, находящихся в конфликте, но умеющих при желании находить точки соприкосновения. Увы, только в деловой, но не в семейной сфере. Для них лучше выбрать общий бизнес, чем дом.

Расположение: +4 и -4 знака от вашего
Тип пары: «Ребенок и родитель | Ученик и учитель» — совместимость
Примеры: Овен(1) — Лев(5), Овен(1) — Стрелец(9)
Описание: прекрасная пара знаков одной стихии. «Родитель» должен проявить всю свою мудрость, заботу и терпение — от него здесь зависит больше. «Ребенку» достаточно быть не слишком капризным и своенравным.

Расположение: +5 и -5 знаков от вашего
Тип пары: «Удав и кролик» — несовместимость
Примеры: Овен(1) — Дева(6), Овен(1) — Скорпион(8)
Описание: пара, о которой пишут любовные романы. Без хэппи-энда. Сначала буря чувств, и эмоций. В конце — скука и усталость «удава», разбитое сердце «кролика». Советуем избегать, особенно, если «кролик» — это ваш знак.

Расположение: +6 и -6 знаков от вашего
Тип пары: «Противоположности притягиваются» — совместимость
Примеры: Овен(1) — Весы(7)
Описание: как полюса магнита эти знаки такие разные, но и так же сильно их притяжение. Данные отношения настоятельно рекомендуются только опытным и мудрым партнерам. Молодежь делает много ошибок такой паре и редко в состоянии раскрыть весь ее потенциал.

Расположение: один и тот же знак
Тип пары: «Я и мое зеркало» — несовместимость
Примеры: Овен(1) — Овен(1)
Описание: часто встречающаяся пара у юных партнеров. Нет ничего проще, чем завязать отношения, с таким же как ты. Но и нет впоследствии ничего более унылого и раздражающего, чем видеть свои же недостатки рядом.

— Обмен файлами

Этот сценарий находит сходимость или расхождение бесконечных рядов, вычисляет сумму, предоставляет график частичной суммы и вычисляет радиус и интервал сходимости степенного ряда. Включены следующие тесты: тест дивергенции (тест n-го члена), интегральный тест (тест Маклорена-Коши), тест сравнения, тест предельного сравнения, тест отношения (тест отношения Даламбера), тест корня (тест корня Коши), тест чередующихся рядов. (критерий Лейбница), критерий абсолютной сходимости, критерий p-серии, критерий геометрического ряда, критерий Раабе, критерий Бертрана, критерий Ермакова, критерий конденсации Коши и критерий степенного ряда. Тест степенных рядов использует тест отношений, тест корней и теорему Коши-Адамара для расчета радиуса и интервала сходимости степенных рядов. Все тесты имеют графики частичной суммы, кроме теста Power Series. Этот сценарий поможет учащимся исчисления (II или III) с главой «Бесконечные ряды», учащимся, изучающим дифференциальные уравнения, с решениями для рядов и учащимся, изучающим реальный анализ, с расширенными тестами сходимости.

В основном списке (упомянутом выше) 15 тестов сходимости. Тест абсолютной сходимости имеет второй список с 3 тестами сходимости: абсолютная сходимость с интегральным тестом, абсолютная сходимость с тестом сравнения и абсолютная сходимость с тестом предельного сравнения. Всего имеется 17 тестов сходимости. Все тесты на сходимость требуют ввода выражения бесконечной последовательности, выбранного номера теста (из 15) и начального k для 12 тестов — это все, что требуется для выполнения этих тестов. Тест абсолютной сходимости имеет дополнительные входные данные из списка Тест абсолютной сходимости (из 3): Абсолютная сходимость с интегральным тестом, Абсолютная сходимость с тестом сравнения и Абсолютная сходимость с тестом предельного сравнения. 2 сравнительных теста и 2 предельных сравнительных теста имеют 2 дополнительных входа: является ли выражение сравнения сходящимся или расходящимся, и, наконец, выражение сравнения. Чтобы ввести входные данные, ответьте на вопросы в нижней части командного окна после запуска скрипта. Слева от заголовка приведен пример снимка экрана с тестом чередующихся серий (описание теоремы и теста чередующихся серий закомментировано, чтобы вместить всю информацию).

Я написал этот скрипт, потому что никто другой этого не делал, и я предположил, что он может получить значительное количество загрузок. Я изучил и протестировал этот сценарий с помощью книг по бесконечным сериям, интернет-исследований и обширно с ~ 22 книгами по математическому анализу. Первоначально я предназначал этот сценарий для студентов, но он стал настолько мощным, точным, простым и надежным, что профессор скачал его. Если у кого-то есть вопросы или комментарии по этому сценарию, включая возможности трудоустройства, не стесняйтесь обращаться ко мне!

Цитировать как

Дэвид Казенав (2023). Калькулятор сходимости серий (https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/72141-series-convergence-calculator), MATLAB Central File Exchange. Проверено 18 февраля 2023 г. .

Интегральный тест и серия p

Интегральный тест и серия p

Интегральный тест

Рассмотрим серию S a _n такой, что

а _н > 0 и a _n > a _n+1

Мы можем нанести точки (n,a _n ) на график и построить прямоугольники чьи основания имеют длину 1, а высоты имеют длину a

n .

Если мы сможем найти непрерывную функцию f(x) такую, что

f(n) = a _n

затем обратите внимание, что площадь этих прямоугольников (светло-голубой плюс фиолетовый) является верхней Сумма Реймана для площади под графиком функции f(x). Отсюда

Аналогично, если мы исследуем нижнюю сумму Реймана, мы увидим, что

Поскольку первый член ряда не имеет отношения к его сходимости или расходимости, это доказывает следующую теорему:

Теорема: Интегральный тест

Пусть f(x) — положительная непрерывная функция, которая в конечном итоге равна
. уменьшение и пусть f(n) = a _n Затем

сходится тогда и только тогда, когда

сходится.

Обратите внимание на противопоставление:

Следствие

расходится тогда и только тогда, когда

расходится.

Пример:

Рассмотрим ряд:
Мы используем интегральный тест:
Пусть
f(x) = 1/x ²
Следовательно, по интегральному тесту

сходится.
К чему это сходится? С помощью калькулятора получаем 1,635…
Рассмотрим серию
.
Мы используем интегральный тест. Пусть
Следовательно, согласно интегральному тесту
расходится.

Тест серии P

Частный случай интегрального теста — когда

1
а _н =
п ^р

для некоторых п. Теорема ниже обсуждает это.

Теорема: тест P-серии
Рассмотрим серию

Если р > 1 тогда ряд сходится
Если 0 < р < 1 тогда ряд расходится

Доказательство:

Используем интегральный тест с функцией

1
f (х) =
х ^р

Для p, не равного 1,

Обратите внимание, что этот предел сходится, если

-р + 1 < 0

или

р > 1

Предел расходится при p < 1

Для p = 1 мы имеем гармонический ряд

и интегральный тест дает:

Еще одно доказательство того, что гармонический ряд расходится.