С квадратное уравнение: C# .Net: Решение квадратного уравнения

Квадратное уравнение на уроках математики в 8-м классе

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, можно найти ответы на различные вопросы из науки и техники.

Тема «Квадратные уравнения» изучается в 8 классе. Основная цель — выработать умения решать квадратные уравнения и простейшие рациональные уравнения и применять их к решению задач. Знать,что такое квадратное уравнение, неполное квадратное уравнение, приведенное квадратное уравнение; формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения, терему Виета и обратную ей;какие уравнения называются дробно-рациональными, какие бывают способы решения уравнений, понимать, что уравнение — это математический аппарат решения разнообразных задач математики, смежных областей знаний, практики.

В изучение этой темы включены:

1. Основные понятия (определение квадратного уравнения полного (приведённого), неполного квадратного уравнения).
2. Обзор известных способов решения квадратных уравнений
3. Формула корней квадратного уравнения
4. Решение задач с помощью квадратных уравнений
5. Теорема Виета
6. Решение дробных рациональных уравнений
7. Решение задач с помощью рациональных уравнений

Обобщение способов деятельности учащихся при решении квадратных уравнений происходит постепенно. При изучении темы «Квадратные уравнения» можно выделить следующие этапы:

I этап — «Решение неполных квадратных уравнений».

II этап — «Решение полных квадратных уравнений и приведенных квадратных уравнений».

III этап — «Решение задач с помощью квадратных уравнений».

Обучение решению уравнений начинается с простейших их видов, с постепенным их накапливанием и «фонда» тождественных и равносильных преобразований, с помощью которых можно привести произвольное уравнение к простейшим.

На первом этапе рассматриваются неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

а ≠ 0 b=0, c ≠0	а ≠0, b≠0, с=0	а ≠ 0, с=0, b=0
ax2 + c= 0	ax2 + bx = 0	ax2 = 0

На втором этапе осуществляется переход к решению полного квадратного уравнения. Это уравнения вида ах

2 + bx + c = 0, где a, b, c — некоторые числа, а,b,с ≠ 0, х — переменная. Сначала рассматривается решения полного квадратного уравнения способом выделения квадрата двучлена. Далее с помощью математических преобразований, учащиеся приходят к понятию «дискриминант D» и рассматривают различные случаи в зависимости от значения D.

Формулу D=b²— 4ас, называют формулой корней квадратного уравнения. Из этой формулы получают другую формулу, которой удобно пользоваться при решении квадратных уравнений с четным вторым коэффициентом.

Уравнение вида ах²+2kх+с=0, Если D1≥0, то, где D1=k²-ас. Если D1<0, то уравнение корней не имеет.

Учащиеся после изучения алгоритма решения квадратного уравнения, приступают к решению задач с помощью квадратных уравнений. На этом этапе учащиеся прослеживают практическую связь данной темы, когда им предлагаются задачи из других областей (физика, техника), а так же геометрические задачи, которые решаются с помощью квадратных уравнений.

Важным моментом в изучении квадратных уравнений является рассмотрение и доказательство теоремы Виета и обратная ей. Сложность освоения теоремы Виета связана с несколькими обстоятельствами. Прежде всего, требуется учитывать различие прямой и обратной теоремы. В прямой теореме Виета даны квадратное уравнение и его корни; в обратной — только два числа, а квадратное уравнение появляется в заключение теоремы. Далее рассматриваются дробные рациональные уравнения. Отрабатывается алгоритм решения таких уравнений.

Алгоритм решения:

1. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.
2. Умножить на общий знаменатель обе части уравнения.
3. Решить полученное целое уравнение.
4. Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Решение каждого уравнения складывается из двух основных частей:

• преобразования данного уравнения к простейшим;
• решения уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам.

На последующих уроках рассматриваются задачи на составление рациональных уравнений.

Чтобы решить любое квадратное уравнение, учащиеся должны

знать:

• формулу нахождения дискриминанта;
• формулу нахождения корней квадратного уравнения;
• алгоритмы решения уравнений данного вида;

уметь:

• решать неполные квадратные уравнения;
• решать полные квадратные уравнения;
• решать приведенные квадратные уравнения;
• делать проверку.

Работая по Стандартам второго поколения, мы должны перестроить свой урок. Ученику не дается готовый материал, а создается такая ситуация на уроке, где ребёнок должен Сам: сам задать и ответить на вопрос: «Зачем ему это надо? Зачем ему этот материал?»; сам, сталкиваясь с проблемой, находить пути её решения и средства, с помощью чего он их достигнет. Учитель на уроке выступает уже в роли помощника, наталкивая на ту или иную деятельность.

Поэтому современные уроки могут содержать постановку проблемы; возможные пути её решения, чтобы ученик сам определялся с дальнейшими действиями; схемы, классификацию понятий, задания на соотнесение; задания и действия, условия, которые заставляли учащегося мыслить.

Заключение

При изучении темы: «Квадратные уравнения», необходимо выполнить отбор средств обучения теме, в том числе и средства ИКТ.

Стремительные изменения в обществе и экономике требуют от человека умения быстро адаптироваться к новым условиям, находить оптимальные решения сложных вопросов, проявляя гибкость и творчество, не теряться в ситуации неопределенности, уметь налаживать эффективные коммуникации с разными людьми и при этом оставаться нравственным.

Задача современной школы — подготовить выпускника, обладающего необходимым набором современных знаний, умений и качеств, позволяющих ему уверенно чувствовать себя в самостоятельной жизни.

Список литературы

1. Асмолов А.Г. Формирование универсальных учебных действий в основной школе: от действия к мысли. Система заданий: пособие для учителя/под ред. А.Г.Асмолова. — М.: Просвещение, 2010. — 159 с.
2. Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений/ Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова; под ред. С.А.Теляковского. — М.: Просвещение, 2008.
3. Боженкова Л.И. Алгебра в таблицах. Учебные материалы. изд. 2-е испр. и доп. — М., Калуга: КГУ им. К.Э.Циолковского, 2012. — 56 с.
4. Жохов В.И. Уроки алгебры в 8 классе: книга для учителя (В.И.Жохов, Г.Д.Карташева. — М.: Просвещение, 2008.
5. Примерные программы по математике. — М.: Просвещение, 2010. — 67 с.
6. Федеральный государственный образовательный стандарт общего основного образования / М-во образования и науки Рос. Федерации. — М.: Просвещение, 2011. — 48 с.

Квадратное уравнение

Что такое квадратное уравнение и как его решать?

Мы помним, что уравнение это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой нужно найти.

Если переменная, входящая в уравнение, возведенá во вторую степень (в квадрат), то такое уравнение называют уравнением второй степени или квадратным уравнением.

Например, следующие уравнения являются квадратными:

Решим первое из этих уравнений, а именно x² − 4 = 0.

Все тождественные преобразования, которые мы применяли при решении обычных линейных уравнений, можно применять и при решении квадратных.

Итак,  в уравнении x² − 4 = 0 перенесем член −4 из левой части в правую часть, изменив знак:

Получили уравнение x² = 4. Ранее мы говорили, что уравнение считается решённым, если в одной части переменная записана в первой степени и её коэффициент равен единице, а другая часть равна какому-нибудь числу. То есть чтобы решить уравнение, его следует привести к виду x = a, где a — корень уравнения.

У нас переменная x всё ещё во второй степени, поэтому решение необходимо продолжить.

Чтобы решить уравнение x² = 4, нужно ответить на вопрос при каком значении x левая часть станет равна 4. Очевидно, что при значениях 2 и −2. Чтобы вывести эти значения воспользуемся определением квадратного корня.

Число b называется квадратным корнем из числа a, если b² = a и обозначается как

У нас сейчас похожая ситуация. Ведь, что такое x² = 4? Переменная x в данном случае это квадратный корень из числа 4, поскольку вторая степень x прирáвнена к 4.

Тогда можно записать, что . Вычисление правой части позвóлит узнать чему равно x. Квадратный корень имеет два значения: положительное и отрицательное. Тогда получаем x = 2 и x = −2.

Обычно записывают так: перед квадратным корнем ставят знак «плюс-минус», затем находят арифметическое значение квадратного корня. В нашем случае на этапе когда записано выражение , перед следует поставить знак ±

Затем найти арифметическое значение квадратного корня

Выражение x = ± 2 означает, что x = 2 и x = −2. То есть корнями уравнения x² − 4 = 0 являются числа 2 и −2. Запишем полностью решение данного уравнения:

Выполним проверку. Подставим корни 2 и −2 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 2 и −2 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:

В обоих случаях левая часть равна нулю. Значит уравнение решено верно.

Решим ещё одно уравнение. Пусть требуется решить квадратное уравнение (x + 2)² = 25

Для начала проанализируем данное уравнение. Левая часть возведенá в квадрат и она равна 25. Какое число в квадрате равно 25? Очевидно, что числа 5 и −5

То есть наша задача найти x, при которых выражение x + 2 будет равно числам 5 и −5. Запишем эти два уравнения:

Решим оба уравнения. Это обычные линейные уравнения, которые решаются легко:

Значит корнями уравнения (x + 2)² = 25 являются числа 3 и −7.

В данном примере как и в прошлом можно использовать определение квадратного корня. Так, в уравнения (x + 2)² = 25 выражение (x + 2) представляет собой квадратный корень из числа 25. Поэтому можно cначала записать, что .

Тогда правая часть станет равна ±5. Полýчится два уравнения: x + 2 = 5 и x + 2 = −5. Решив по отдельности каждое из этих уравнений мы придём к корням 3 и −7.

Запишем полностью решение уравнения (x + 2)² = 25

Из рассмотренных примеров видно, что квадратное уравнение имеет два корня. Чтобы не забыть о найденных корнях, переменную x можно подписывать нижними индексами. Так, корень 3 можно обозначить через x₁, а корень −7 через x₂

В предыдущем примере тоже можно было сделать так. Уравнение x² − 4 = 0 имело корни 2 и −2. Эти корни можно было обозначить как x₁ = 2 и x₂ = −2. 

Бывает и так, что квадратное уравнение имеет только один корень или вовсе не имеет корней. Такие уравнения мы рассмотрим позже.

Сделаем проверку для уравнения (x + 2)² = 25. Подставим в него корни 3 и −7. Если при значениях 3 и −7 левая часть равна 25, то это будет означать, что уравнение решено верно:

В обоих случаях левая часть равна 25. Значит уравнение решено верно.

Квадратное уравнение бывает дано в разном виде. Наиболее его распространенная форма выглядит так:

ax² + bx + c = 0,
где a, b, c — некоторые числа, x — неизвестное.

Это так называемый общий вид квадратного уравнения. В таком уравнении все члены собраны в общем месте (в одной части), а другая часть равна нулю. По другому такой вид уравнения называют нормальным видом квадратного уравнения.

Пусть дано уравнение 3x² + 2x = 16. В нём переменная x возведенá во вторую степень, значит уравнение является квадратным. Приведём данное уравнение к общему виду.

Итак, нам нужно получить уравнение, которое будет похоже на уравнение ax² + bx + c = 0. Для этого в уравнении 3x² + 2x = 16 перенесем 16 из правой части в левую часть, изменив знак:

3x² + 2x − 16 = 0

Получили уравнение 3x² + 2x − 16 = 0. В этом уравнении a = 3, b = 2, c = −16.

В квадратном уравнении вида ax² + bx + c = 0 числа a, b и c имеют собственные названия. Так, число a называют первым или старшим коэффициентом; число b называют вторым коэффициентом; число c называют свободным членом.

В нашем случае для уравнения 3x² + 2x − 16 = 0 первым или старшим коэффициентом является 3; вторым коэффициентом является число 2;  свободным членом является число −16. Есть ещё другое общее название для чисел a, b и c — параметры.

Так, в уравнении 3x² + 2x − 16 = 0 параметрами являются числа 3, 2 и −16.

В квадратном уравнении желательно упорядочивать члены так, чтобы они располагались в таком же порядке как у нормального вида квадратного уравнения.

Например, если дано уравнение −5 + 4x² + x = 0, то его желательно записать в нормальном виде, то есть в виде ax²+ bx + c = 0.

В уравнении −5 + 4x² + x = 0 видно, что свободным членом является −5, он должен располагаться в конце левой части. Член 4x² содержит старший коэффициент, он должен располагаться первым. Член x соответственно будет располагаться вторым:

Квадратное уравнение в зависимости от случая может принимать различный вид. Всё зависит от того, чему равны значения a, b и с.

Если коэффициенты a, b и c не равны нулю, то квадратное уравнение называют полным. Например, полным является квадратное уравнение 2x² + 6x − 8 = 0.

Если какой-то из коэффициентов равен нулю (то есть отсутствует), то уравнение значительно уменьшается и принимает более простой вид. Такое квадратное уравнение называют неполным. Например, неполным является квадратное уравнение 2x² + 6x = 0, в нём имеются коэффициенты a и b (числа 2 и 6), но отсутствует свободный член c.

Рассмотрим каждый из этих видов уравнений, и для каждого из этих видов определим свой способ решения.

Пусть дано квадратное уравнение 2x² + 6x − 8 = 0. В этом уравнении a = 2, b = 6, c = −8. Если b сделать равным нулю, то уравнение примет вид:

Получилось уравнение 2x² − 8 = 0. Чтобы его решить перенесем −8 в правую часть, изменив знак:

2x² = 8

Для дальнейшего упрощения уравнения воспользуемся ранее изученными тождественными преобразованиями. В данном случае можно разделить обе части на 2

У нас получилось уравнение, которое мы решали в начале данного урока. Чтобы решить уравнение x² = 4, следует воспользоваться определением квадратного корня. Если x² = 4, то . Отсюда x = 2 и x = −2.

Значит корнями уравнения 2x² − 8 = 0 являются числа 2 и −2. Запишем полностью решение данного уравнения:

Выполним проверку. Подставим корни 2 и −2 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 2 и −2 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:

В обоих случаях левая часть равна нулю, значит уравнение решено верно.

Уравнение, которое мы сейчас решили, является неполным квадратным уравнением. Название говорит само за себя. Если полное квадратное уравнение выглядит как ax² + bx + c = 0, то сделав коэффициент b нулём получится неполное квадратное уравнение ax² + c = 0.

У нас тоже сначала было полное квадратное уравнение 2x² + 6x − 4 = 0. Но мы сделали коэффициент b нулем, то есть вместо числа 6 поставили 0. В результате уравнение обратилось в неполное квадратное уравнение 2x² − 4 = 0.

В начале данного урока мы решили квадратное уравнение x² − 4 = 0. Оно тоже является уравнением вида ax² + c = 0, то есть неполным. В нем a = 1, b = 0, с = −4.

Также, неполным будет квадратное уравнение, если коэффициент c равен нулю.

Рассмотрим полное квадратное уравнение 2x² + 6x − 4 = 0. Сделаем коэффициент c нулём. То есть вместо числа 4 поставим 0

Получили квадратное уравнение 2x² + 6x=0, которое является неполным. Чтобы решить такое уравнение, переменную x выносят за скобки:

Получилось уравнение x(2x + 6) = 0 в котором нужно найти x, при котором левая часть станет равна нулю. Заметим, что в этом уравнении выражения x и (2x + 6) являются сомножителями. Одно из свойств умножения говорит, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или первый сомножитель или второй).

В нашем случае равенство будет достигаться, если x будет равно нулю или (2x + 6) будет равно нулю. Так и запишем для начала:

Получилось два уравнения: x = 0 и 2x + 6 = 0. Первое уравнение решать не нужно — оно уже решено. То есть первый корень равен нулю.

Чтобы найти второй корень, решим уравнение 2x + 6 = 0. Это обычное линейное уравнение, которое решается легко:

Видим, что второй корень равен −3.

Значит корнями уравнения 2x² + 6x = 0 являются числа 0 и −3. Запишем полностью решение данного уравнения:

Выполним проверку. Подставим корни 0 и −3 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 0 и −3 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:

Следующий случай это когда числа b и с равны нулю. Рассмотрим полное квадратное уравнение 2x² + 6x − 4 = 0. Сделаем коэффициенты b и c нулями. Тогда уравнение примет вид:

Получили уравнение 2x² = 0. Левая часть является произведением, а правая часть равна нулю. Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. Очевидно, что x = 0. Действительно, 2 × 0² = 0. Отсюда, 0 = 0. При других значениях x равенства достигаться не будет.

Проще говоря, если в квадратном уравнении вида ax² + bx + c = 0 числа b и с равны нулю, то корень такого уравнения равен нулю.

Отметим, что когда употребляются словосочетания «b равно нулю» или «с равно нулю«, то подразумевается, что параметры b или c вовсе отсутствуют в уравнении.

Например, если дано уравнение 2x² − 32 = 0, то мы говорим, что b = 0. Потому что если сравнить с полным уравнением ax² + bx + c = 0, то можно заметить, что в уравнении 2x² − 32 = 0 присутствует старший коэффициент a, равный 2; присутствует свободный член −32; но отсутствует коэффициент b.

Наконец, рассмотрим полное квадратное уравнение ax² + bx + c = 0. В качестве примера решим квадратное уравнение x² − 2x + 1 = 0.

Итак, требуется найти x, при котором левая часть станет равна нулю. Воспользуемся изученными ранее тождественными преобразованиями.

Прежде всего заметим, что левая часть уравнения представляет собой квадрат разности двух выражений. Если мы вспомним как раскладывать многочлен на множители, то получим в левой части (x − 1)².

Рассуждаем дальше. Левая часть возведенá в квадрат и она равна нулю. Какое число в квадрате равно нулю? Очевидно, что только 0. Поэтому наша задача найти x, при котором выражение x − 1 равно нулю. Решив простейшее уравнение x − 1 = 0, можно узнать чему равно x

Этот же результат можно получить, если воспользоваться квадратным корнем. В уравнении (x − 1)² = 0 выражение (x − 1) представляет собой квадратный корень из нуля. Тогда можно записать, что . В этом примере записывать перед корнем знак ± не нужно, поскольку корень из нуля имеет только одно значение — ноль. Тогда получается x − 1 = 0. Отсюда x = 1.

Значит корнем уравнения x² − 2x + 1 = 0 является единица. Других корней у данного уравнения нет. В данном случае мы решили квадратное уравнение, имеющее только один корень. Такое тоже бывает.

Не всегда бывают даны простые уравнения. Рассмотрим например уравнение x² + 2x − 3 = 0.

В данном случае левая часть уже не является квадратом суммы или разности. Поэтому нужно искать другие пути решения.

Заметим, что левая часть уравнения представляет собой квадратный трехчлен. Тогда можно попробовать выделить полный квадрат из этого трёхчлена и посмотреть что это нам даст.

Выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена, располагающего в левой части уравнения:

В получившемся уравнении перенесем −4 в правую часть, изменив знак:

Теперь воспользуемся квадратным корнем. В уравнении (x + 1)² = 4 выражение (x + 1) представляет собой квадратный корень из числа 4. Тогда можно записать, что . Вычисление правой части даст выражение x + 1 = ±2. Отсюда полýчится два уравнения: x + 1 = 2 и x + 1 = −2, корнями которых являются числа 1 и −3

Значит корнями уравнения x² + 2x − 3 = 0 являются числа 1 и −3.

Выполним проверку:

---

Пример 3. Решить уравнение x² − 6x + 9 = 0, выделив полный квадрат.

Выделим полный квадрат из левой части:

Далее воспользуемся квадратным корнем и узнáем чему равно x

Значит корнем уравнения x² − 6x + 9 = 0 является 3. Выполним проверку:

---

Пример 4. Решить квадратное уравнение 4x² + 28x − 72 = 0, выделив полный квадрат:

Выделим полный квадрат из левой части:

Перенесём −121 из левой части в правую часть, изменив знак:

Воспользуемся квадратным корнем:

Получили два простых уравнения: 2x + 7 = 11 и 2x + 7 = −11. Решим их:

---

Пример 5. Решить уравнение 2x² + 3x − 27 = 0

Это уравнение немного посложнее. Когда мы выделяем полный квадрат, первый член квадратного трёхчлена мы представляем в виде квадрата какого-нибудь выражения.

Так, в прошлом примере первым членом уравнения был 4x². Его можно было представить в виде квадрата выражения 2x, то есть (2x)² = 2²x² = 4x². Чтобы убедиться что это правильно, можно извлечь квадратный корень из выражения 4x². Это квадратный корень из произведения — он равен произведению корней:

В уравнении 2x² + 3x − 27 = 0 первый член это 2x². Его нельзя представить в виде квадрата какого-нибудь выражения. Потому что нет числá, квадрат которого равен 2. Если бы такое число было, то этим числом был бы квадратный корень из числа 2. Но квадратный корень из числа 2 извлекается только приближённо. А приближённое значение не годится для представления числá 2 в виде квадрата.

Если обе части исходного уравнения умножить или разделить на одно и то же число, то полýчится уравнение равносильное исходному. Это правило сохраняется и для квадратного уравнения.

Тогда можно разделить обе части нашего уравнения на 2. Это позвóлит избавиться от двойки перед x² что впоследствии даст нам возможность выделить полный квадрат:

Перепишем левую часть в виде трёх дробей со знаменателем 2

Сократим первую дробь на 2. Остальные члены левой части перепишем без изменений. Правая часть по-прежнему станет равна нулю:

Выделим полный квадрат.

При представлении члена в виде удвоенного произведения, появление множителя 2 привело бы к тому, что этот множитель и знаменатель дроби сократились бы. Чтобы этого не произошло, удвоенное произведение было домножено на . При выделении полного квадрата всегда нужно стараться сделать так, чтобы значение изначального выражения не изменилось.

Свернём полученный полный квадрат:

Приведём подобные члены:

Перенесём дробь в правую часть, изменив знак:

Воспользуемся квадратным корнем. Выражение представляет собой квадратный корень из числа

Для вычисления правой части воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из дроби:

Тогда наше уравнение примет вид:

Полýчим два уравнения:

Решим их:

Значит корнями уравнения 2x² + 3x − 27 = 0 являются числа 3 и .

Корень удобнее оставить в таком виде, не выполняя деления числителя на знаменатель. Так проще будет выполнять проверку.

Выполним проверку. Подставим найденные корни в исходное уравнение:

В обоих случаях левая часть равна нулю, значит уравнение 2x² + 3x − 27 = 0 решено верно.

Решая уравнение 2x² + 3x − 27 = 0, в самом начале мы разделили обе его части на 2. В результате получили квадратное уравнение, в котором коэффициент перед x² равен единице:

Такой вид квадратного уравнения называют приведённым квадратным уравнением.

Любое квадратное уравнение вида ax² + bx + c = 0 можно сделать приведённым. Для этого нужно разделить обе его части на коэффициент, который располагается перед x². В данном случае обе части уравнения ax² + bx + c = 0 нужно разделить на a

---

Пример 6. Решить квадратное уравнение 2x² + x + 2 = 0

Сделаем данное уравнение приведённым:

Выделим полный квадрат:

Получили уравнение , в котором квадрат выражения равен отрицательному числу . Такого быть не может, поскольку квадрат любого числа или выражения всегда положителен.

Следовательно, нет такого значения x, при котором левая часть стала бы равна . Значит уравнение не имеет корней.

А поскольку уравнение равносильно исходному уравнению 2x² + x + 2 = 0, то и оно (исходное уравнение) не имеет корней.

---

Формулы корней квадратного уравнения

Выделять полный квадрат для каждого решаемого квадратного уравнения не очень удобно.

Можно ли создать универсальные формулы для решения квадратных уравнений? Оказывается можно. Сейчас мы этим и займёмся.

Взяв за основу буквенное уравнение ax² + bx + c = 0, и выполнив некоторые тождественные преобразования, мы сможем получить формулы для вывода корней квадратного уравнения ax² + bx + c = 0. В эти формулы можно будет подставлять коэффициенты a, b, с и получать готовые решения.

Итак, выделим полный квадрат из левой части уравнения ax² + bx + c = 0. Сначала сделаем данное уравнение приведённым. Разделим обе его части на a

Теперь в получившемся уравнении выделим полный квадрат:

Перенесем члены и в правую часть, изменив знак:

Приведём правую часть к общему знаменателю. Дроби, состоящие из букв, привóдят к общему знаменателю методом «крест-нáкрест». То есть знаменатель первой дроби станóвится дополнительным множителем второй дроби, а знаменатель второй дроби станóвится дополнительным множителем первой дроби:

В числителе правой части вынесем за скобки a

Сократим правую часть на a

Поскольку все преобразования были тождественными, то получившееся уравнение имеет те же корни, что и исходное уравнение ax² + bx + c = 0.

Уравнение будет иметь корни только тогда, если правая часть больше нуля или равна нулю. Это потому что в левой части выполнено возведéние в квадрат, а квадрат любого числа положителен или равен нулю (если в этот квадрат возвóдится ноль). А чему будет равна правая часть зависит от того, что будет подставлено вместо переменных a, b и c.

Поскольку при любом a не рáвным нулю, знаменатель правой части уравнения всегда будет положительным, то знак дроби будет зависеть от знака её числителя, то есть от выражения b² − 4ac.

Выражение b² − 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения. Дискриминант это латинское слово, означающее различитель. Дискриминант квадратного уравнения обозначается через букву D

D = b² − 4ac

Дискриминант позволяет заранее узнать имеет ли уравнение корни или нет. Так, в предыдущем задании мы долго решали уравнение 2x² + x + 2 = 0 и оказалось, что оно не имеет корней. Дискриминант же позволил бы нам заранее узнать, что корней нет. В уравнении 2x² + x + 2 = 0 коэффициенты a, b и c равны 2, 1 и 2 соответственно. Подставим их в формулу D = b²−4ac

D = b² − 4ac = 1² − 4 × 2 × 2 = 1 − 16 = −15.

Видим, что D (оно же b² − 4ac) является отрицательным числом. Тогда нет смысла решать уравнение 2x² + x + 2 = 0, выделяя в нём полный квадрат, потому что когда мы дойдем до уравнения вида , окажется что правая часть станет меньше нуля (из-за отрицательного дискриминанта). А квадрат числа не может быть отрицательным. Следовательно, корней у данного уравнения не будет.

Станóвится понятно почему древние люди считали выражение b² − 4ac различителем. Это выражение подобно индикатору позволяет различить уравнение имеющего корни от уравнения, не имеющего корней.

Итак, D равно b² − 4ac. Подставим в уравнении вместо выражения b² − 4ac букву D

Если дискриминант исходного уравнения окажется меньше нуля (D < 0), то уравнение примет вид:

В этом случае говорят, что у исходного уравнения корней нет, поскольку квадрат любого числа не должен быть отрицательным.

Если дискриминант исходного уравнения окажется больше нуля (D > 0), то уравнение примет вид:

В этом случае уравнение будет иметь два корня. Для их вывода воспользуемся квадратным корнем:

Получили уравнение . Из него полýчится два уравнения: и . Выразим x в каждом из уравнений:

Получившиеся два равенства это и есть универсальные формулы для решения квадратного уравнения ax² + bx + c = 0. Их называют формулами корней квадратного уравнения.

Чаще всего эти формулы обозначаются как x₁ и x₂. То есть для вычисления первого корня используется формула c индексом 1; для вывода второго корня — формула с индексом 2. Обозначим свои формулы так же:

Очерёдность применения формул не важнá.

Решим например квадратное уравнение x² + 2x − 8 = 0 с помощью формул корней квадратного уравнения. Коэффициенты данного квадратного уравнения это числа 1, 2 и −8. То есть, a = 1, b = 2, c = −8.

Прежде чем использовать формулы корней квадратного уравнения, нужно найти дискриминант этого уравнения.

Найдём дискриминант квадратного уравнения. Для этого воспользуемся формулой D = b² − 4ac. Вместо переменных a, b и c у нас будут коэффициенты уравнения x² + 2x − 8 = 0

D = b² − 4ac = 2²− 4 × 1 × (−8) = 4 + 32 = 36

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Теперь можно воспользоваться формулами корней квадратного уравнения:

Значит корнями уравнения x² + 2x − 8 = 0 являются числа 2 и −4. Проверкой убеждаемся, что корни найдены верно:

Наконец, рассмотрим случай когда дискриминант квадратного уравнения равен нулю. Вернёмся к уравнению . Если дискриминант равен нулю, то правая часть уравнения примет вид:

И в этом случае квадратное уравнение будет иметь только один корень. Воспользуемся квадратным корнем:

Далее выражаем x

Это ещё одна формула для вывода корня квадратного корня. Рассмотрим её применение. Ранее мы решили уравнение x² − 6x + 9 = 0, имеющее один корень 3. Решили мы его методом выделения полного квадрата. Теперь попробуем решить с помощью формул.

Найдём дискриминант квадратного уравнения. В этом уравнении a = 1, b = −6, c = 9. Тогда по формуле дискриминанта имеем:

D = b² − 4ac = (−6)² − 4 × 1 × 9 = 36 − 36 = 0

Дискриминант равен нулю (D = 0). Это означает, что уравнение имеет только один корень, и вычисляется он по формуле

Значит корнем уравнения x² − 6x + 9 = 0 является число 3.

Для квадратного уравнения, имеющего один корень также применимы формулы и . Но применение каждой из них будет давать один и тот же результат.

Применим эти две формулы для предыдущего уравнения. В обоих случаях получим один и тот же ответ 3

Если квадратное уравнение имеет только один корень, то желательно применять формулу , а не формулы и . Это позволяет сэкономить время и место.

---

Пример 3. Решить уравнение 5x² − 6x + 1 = 0

Найдём дискриминант квадратного уравнения:

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

Значит корнями уравнения 5x² − 6x + 1 = 0 являются числа 1 и .

Ответ: 1; .

---

Пример 4. Решить уравнение x² + 4x + 4 = 0

Найдём дискриминант квадратного уравнения:

Дискриминант равен нулю. Значит уравнение имеет только один корень. Он вычисляется по формуле

Значит корнем уравнения x² + 4x + 4 = 0 является число −2.

Ответ: −2.

---

Пример 5. Решить уравнение 3x² + 2x + 4 = 0

Найдём дискриминант квадратного уравнения:

Дискриминант меньше нуля. Значит корней у данного уравнения нет.

Ответ: корней нет.

---

Пример 6. Решить уравнение (x + 4)² = 3x + 40

Приведём данное уравнение к нормальному виду. В левой части располагается квадрата суммы двух выражений. Раскрóем его:

Перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив их знаки. В правой части останется ноль:

Приведём подобные члены в левой части:

В получившемся уравнении найдём дискриминант:

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

Значит корнями уравнения (x + 4)² = 3x + 40 являются числа 3 и −8.

Ответ: 3; −8.

---

Пример 7. Решить уравнение

Умнóжим обе части данного уравнения на 2. Это позвóлит нам избавиться от дроби в левой части:

В получившемся уравнении перенесём 22 из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется 0

Приведём подобные члены в левой части:

В получившемся уравнении найдём дискриминант:

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

Значит корнями уравнения являются числа 23 и −1.

Ответ: 23; −1.

---

Пример 8. Решить уравнение

Умнóжим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Это позвóлит избавиться от дробей в обеих частях. Наименьшее общее кратное чисел 2 и 3 это число 6. Тогда получим:

В получившемся уравнении раскроем скобки в обеих частях:

Теперь перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив у них знаки. В правой части останется 0

Приведём подобные члены в левой части:

В получившемся уравнении найдём дискриминант:

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

Значит корнями уравнения являются числа и 2.

---

Примеры решения квадратных уравнений

Пример 1. Решить уравнение x² = 81

Это простейшее квадратное уравнение, в котором надо определить число, квадрат которого равен 81. Таковыми являются числа 9 и −9. Воспользуемся квадратным корнем для их вывода:

Ответ: 9, −9.

---

Пример 2. Решить уравнение x² − 9 = 0

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения нужно перенести член −9 в правую часть, изменив знак. Тогда получим:

Ответ: 3, −3.

---

Пример 3. Решить уравнение x² − 9x = 0

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения сначала нужно вынести x за скобки:

Левая часть уравнения является произведением. Произведение равно нулю, если хотя один из сомножителей равен нулю.

Левая часть станет равна нулю, если отдельно x равно нулю, или если выражение x − 9 равно нулю. Получится два уравнения, одно из которых уже решено:

Ответ: 0, 9.

---

Пример 4. Решить уравнение x² + 4x − 5 = 0

Это полное квадратное уравнение. Его можно решить методом выделения полного квадрата или с помощью формул корней квадратного уравнения.

Решим данное уравнение с помощью формул. Сначала найдём дискриминант:

D = b² − 4ac = 4² − 4 × 1 × (−5) = 16 + 20 = 36

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Вычислим их:

Ответ: 1, −5.

---

Пример 5. Решить уравнение

Умнóжим обе части на наименьшее общее кратное чисел 5, 3 и 6. Это позвóлит избавиться от дробей в обеих частях:

В получившемся уравнении перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется ноль:

Приведём подобные члены:

Решим получившееся уравнение с помощью формул:

Ответ: 5, .

---

Пример 6. Решить уравнение x² = 6

В данном примере как и в первом нужно воспользоваться квадратным корнем:

Однако, квадратный корень из числа 6 не извлекается. Он извлекается только приближённо. Корень можно извлечь с определённой точностью. Извлечём его с точностью до сотых:

Но чаще всего корень оставляют в виде радикала:

Ответ:

---

Пример 7. Решить уравнение (2x + 3)² + (x − 2)² = 13

Раскроем скобки в левой части уравнения:

В получившемся уравнении перенесём 13 из правой части в левую часть, изменив знак. Затем приведём подобные члены:

Получили неполное квадратное уравнение. Решим его:

Ответ: 0, −1,6.

---

Пример 8. Решить уравнение (5 + 7x)(4 − 3x) = 0

Данное уравнение можно решить двумя способами. Рассмотрим каждый из них.

Первый способ. Раскрыть скобки и получить нормальный вид квадратного уравнения.

Раскроем скобки:

Приведём подобные члены:

Перепишем получившееся уравнение так, чтобы член со старшим коэффициентом располагался первым, член со вторым коэффициентом — вторым, а свободный член располагался третьим:

Чтобы старший член стал положительным, умнóжим обе части уравнения на −1. Тогда все члены уравнения поменяют свои знаки на противоположные:

Решим получившееся уравнение с помощью формул корней квадратного уравнения:

Второй способ. Найти значения x, при которых сомножители левой части уравнения равны нулю. Этот способ удобнее и намного короче.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. В данном случае равенство в уравнении (5 + 7x)(4 − 3x) = 0 будет достигаться, если выражение (5 + 7x) равно нулю, или же выражение (4 − 3x) равно нулю. Наша задача выяснить при каких x это происходит:

---

Примеры решения задач

Предстáвим, что возникла необходимость построить небольшую комнату, площадь которой 8 м². При этом длина комнаты должна быть в два раза больше её ширины. Как определить длину и ширину такой комнаты?

Сделаем примерный рисунок этой комнаты, который иллюстрирует вид сверху:

Обозначим ширину комнаты через x. А длину комнаты через 2x, потому что по условию задачи длина должна быть в два раза больше ширины. Множитель 2 и выполнит это требование:

Поверхность комнаты (её пол) является прямоугольником. Для вычисления площади прямоугольника, нужно длину данного прямоугольника умножить на его ширину. Сделаем это:

2x × x

По условию задачи площадь должна быть 8 м². Значит выражение 2x × x следует приравнять к 8

2x × x = 8

Получилось уравнение. Если решить его, то можно найти длину и ширину комнаты.

Первое что можно сделать это выполнить умножение в левой части уравнения:

2x² = 8

В результате этого преобразования переменная x перешла во вторую степень. А мы говорили, что если переменная, входящая в уравнение, возведенá во вторую степень (в квадрат), то такое уравнение является уравнением второй степени или квадратным уравнением.

Для решения нашего квадратного уравнения воспользуемся изученными ранее тождественными преобразованиями. В данном случае можно разделить обе части на 2

Теперь воспользуемся квадратным корнем. Если x² = 4, то . Отсюда x = 2 и x = −2.

Через x была обозначена ширина комнаты. Ширина не должна быть отрицательной, поэтому в расчёт берём только значение 2. Такое часто бывает при решении задачи, в которых применяется квадратное уравнение. В ответе получаются два корня, но условию задачи удовлетворяет только один из них.

А длина была обозначена через 2x. Значение x теперь известно, подставим его в выражение 2x и вычислим длину:

2x = 2 × 2 = 4

Значит длина равна 4 м, а ширина 2 м. Это решение удовлетворяет условию задачи, поскольку площадь комнаты равна 8 м²

4 × 2 = 8 м²

Ответ: длина комнаты составляет 4 м, а ширина 2 м.

---

Пример 2. Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, одна сторона которого на 10 м больше другой, требуется обнести изгородью. Определить длину изгороди, если известно, что площадь участка равна 1200 м²

Решение

Длина прямоугольника, как правило, больше его ширины. Пусть ширина участка x метров, а длина (x + 10) метров. Площадь участка составляет 1200 м². Умножим длину участка на его ширину и приравняем к 1200, получим уравнение:

x(x + 10) = 1200

Решим данное уравнение. Для начала раскроем скобки в левой части:

Перенесём 1200 из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется 0

Решим получившееся уравнение с помощью формул:

Несмотря на то, что квадратное уравнение имеет два корня, в расчёт берём только значение 30. Потому что ширина не может выражаться отрицательным числом.

Итак, через x была обозначена ширина участка. Она равна тридцати метрам. А длина была обозначена через выражение x + 10. Подставим в него найденное значение x и вычислим длину:

x + 10 = 30 + 10 = 40 м

Значит длина участка составляет сорок метров, а ширина тридцать метров. Эти значения удовлетворяют условию задачи, поскольку если перемножить длину и ширину (числа 40 и 30) получится 1200 м²

40 × 30 = 1200 м²

Теперь ответим на вопрос задачи. Какова длина изгороди? Чтобы её вычислить нужно найти периметр участка.

Периметр прямоугольника это сумма всех его сторон. Тогда:

P = 2(a + b) = 2 × (40 + 30) = 2 × 70 = 140 м.

Ответ: длина изгороди огородного участка составляет 140 м.

---

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 2; −2.

Показать решение

Задание 2. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: корней нет.

Показать решение

Задание 3. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 3; −3.

Показать решение

Задание 4. Решить уравнение, используя выделение полного квадрата:

Решение:

Ответ: 3; −13.

Показать решение

Задание 5. Решить уравнение, используя выделение полного квадрата:

Решение:

Ответ: 12; 4.

Показать решение

Задание 6. Решить уравнение, используя выделение полного квадрата:

Решение:

Ответ: 7; 5.

Показать решение

Задание 7. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 0; 1.

Показать решение

Задание 8. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 0; −3.

Показать решение

Задание 9. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 7; −7.

Показать решение

Задание 10. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Показать решение

Задание 11. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 5; −5.

Показать решение

Задание 12. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 7; 2

Показать решение

Задание 13. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: корней нет.

Показать решение

Задание 14. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Показать решение

Задание 15. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 1; −5.

Показать решение

Задание 16. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 5; −9.

Показать решение

Задание 17. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: −3; −4.

Показать решение

Задание 18. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: .

Показать решение

---

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Опубликовано Автор

Метод коэффициентов при решении квадратных уравнений

Библиографическое описание:

Прямостанов, С. М. Метод коэффициентов при решении квадратных уравнений / С. М. Прямостанов, Л. В. Лысогорова. — Текст : непосредственный // Юный ученый. — 2018. — № 1.1 (15.1). — С. 66-67. — URL: https://moluch.ru/young/archive/15/1165/ (дата обращения: 29.09.2022).



 

В статье описываются нестандартные способы решения квадратных уравнений.

Ключевые слова: уравнения, квадратные уравнения, способы решения квадратных уравнений.

 

В школьном курсе математики изучается решение полных квадратных уравнений с помощью дискриминанта, теоремы обратной теореме Виета, выделения полного квадрата. Однако, имеются и другие приемы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения:

1. Прием переброски старшего коэффициента

ах²+вх+с=0

Коэффициент а умножается на с, таким образом «перебрасывается» к свободному члену. Получается следующее уравнение у²+ру+к=0, тогда

х₁=, х₂=.

Пример:2х²-9х-5=0

У²-9у-10=0. у₁=10, у₂=-1, тогда х₁==5, х₂=-0,5.

Данный метод удобен в том случае, когда после переброски корни находятся по т. Виета, или (а+в+с=0; а-в+с=0).

Пример: . При переброске старшего коэффициента получим уравнение . По теореме, обратной т.Виета, получим корни у₁=-3, у₂=-, тогда х₁==, х₂=.

2. Сумма коэффициентов квадратного уравнения: ах²+вх+с=0.

                     Если выполняется условие а+в+с=0, то х₁=1, х₂=.

Пример: 21х²-3940х+3919=0. Так как 21-3940+3919=0 то, х₁=1, х₂=.

                     Если а-в+с=0, то х₁=-1, х₂=.

Пример: х²+1357х+1356=0. Так как 1-1357+1356=0, то х₁=-1, х₂=-1356.

3. Метод решения квадратных уравнений вида: ах²± (а²+1)х ± а=0.

                     В уравнениях вида ах²+(а²+1)х+а=0 корни х₁=- а, х₂=-.

Пример: 25х²+626х+25=0, х₁=- 25, х₂= – .

                     В уравнениях вида ах²— (а²+1)х+а=0 корни х₁= а, х₂=.

Пример: 13х²— 170х+13=0, х₁=13, х₂= .

                     В уравнениях вида ах²+(а²+1)х- а=0 корни х₁=- а, х₂=.

Пример: 25х²+626х – 25=0, х₁=- 25, х₂= .

                     В уравнениях вида ах²— (а²+1)х- а=0 корни х₁= а, х₂=.

Пример: 13х²— 170х-13=0, х₁=13, х₂= .

В уравнениях вида ах²-(а²+1)х+а=0 можно перебросить старший коэффициент, получим уравнение вида у²-(а²+1)у+а²=0. Сумма коэффициентов 1-(а²+1)+а²=0, следовательно у₁=1, у₂=а², тогда х₁=, х₂=а.

Предлагаем решить следующие уравнения, используя рассмотренные приемы:

1.       Решить квадратные уравнения с большими коэффициентами

 

4х2 – 13х + 9 =0 1978х2 – 1984х + 6=0 4х2 + 11х + 7 = 0 319х2 + 1988х +1669=0 1999х2 + 2000х+1=0

313х2 +326х+13=0 839х2– 448х -391=0 345х2 – 137х – 208=0 939х2+978х+39=0 8х2+65х+8=0

2.             Решите уравнение

а) 20092008х²-20092009х+1 (Олимпиада 2009 г. для поступающих в СМАЛ)

б) x(x+ 1) = 2014·2015 (турнир Ломоносова)

3.             Найди наиболее рациональным способом корни уравнения:

17х2+290х+17=0 23х2— 530х+23=0 37х2+1370х – 37=0 38х2+3365 – 38=0

69х2+4762х+69=0 69х2— 4762х+69=0 69х2+4762х – 69=0 69х2+4762х – 69=0

Каждое из этих уравнений может быть решено без использования формулы корней квадратного уравнения; без громоздких вычислений; каждое решение уравнения почти устное.

Умение быстро и рационально решать квадратные уравнения необходимо для решения более сложных уравнений, например, дробно-рациональных уравнений, уравнений высших степеней, биквадратных уравнений, а в старшей школе тригонометрических, показательных и логарифмических уравнений.

 

Литература:

 

1.                Галицкий М.Л., Гольдман М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики:4-е изд.-М.: Просвещение, 1997.
2.                Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. Учебник для 8 класса. М., Просвещение, 2001.
3.                Штейнгауз В.Г. Математический калейдоскоп. – М.: Бюро «Квантум», 2005.
4.                Энциклопедический словарь юного математика. – М. : Педагогика, 1985.
5.                Лысогорова Л.В. Педагогические условия развития математических способностей младших школьников //Сибирский педагогический журнал. 2007. № 9. С. 228-233.
6.                Зубова С.П., Лысогорова Л.В. Математические олимпиады в современных условиях. Самарский научный вестник. 2013. № 3 (4). С. 61-63.
7.                Лысогорова Л.В., Кочетова Н.Г., Зубова С.П. Реализация принципа обучения математике на повышенном уровне трудности. В сборнике: Научные проблемы образования третьего тысячелетия VII Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием. 2013. С. 109-114.

Основные термины (генерируются автоматически): уравнение вида, уравнение, старший коэффициент, квадратное уравнение, сумма коэффициентов, корень.

Ключевые слова

уравнения, квадратные уравнения, способы решения квадратных уравнений

Похожие статьи

Метод «переброски» при решении

квадратных уравнений

. Далее уравнение решают устно описанным выше способом, затем возвращаются к исходной переменной и находят корни уравнений и .

Старший коэффициент функции равен 2, а>0, ветви параболы направлены вверх, следовательно, y>0 при хϵ (-∞; 0,5)ᵁ(1; +∞)

7. Свойства

коэффициентов квадратного уравнения.

Квадратное уравнение — уравнение вида ax2+ bx + c = 0, где a, b, c — некоторые числа (a ≠ 0), x — неизвестное.

Берём первый коэффициент и умножаем его на свободный член: x2+2x-15=0. Корнями этого уравнения будут числа, произведение которых равно — 15, а сумма равна…

Оптимальные способы решения

квадратных уравнений

Квадратным называется уравнение вида: ax2 +bx + c = 0, a 0, в котором х – переменная, а,b,с – любые числа. Числа а и b называются первым и вторым коэффициентами, а число с – свободным членом квадратного уравнения. В школьном курсе математики изучаются…

О

корнях кубического уравнения | Статья в журнале…

Известно, что решение некоторых теоретических и практических задач, а также моделирование некоторых физических процессов требует определение границ отрезков (интервалов) в которых находятся корни кубического уравнения с действительными коэффициентами.

Линейные

уравнения | Статья в журнале «Школьная педагогика»

Корнем уравнения называется, то значение неизвестного, при котором это уравнение

Решение многих уравнений сводится к решению линейных уравнений. уравнение, часть

решение уравнения, коэффициент уравнения, общее решение уравнения, решение, вид…

Использование тестов на уроках математики | Статья в журнале…

Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе запишите сумму всех его корней.

Основные термины (генерируются автоматически): корень уравнения, промежуток, больший корень уравнения, сумма корней уравнения, содержащий корень уравнения, произведение…

Некоторые способы активизации мыслительной деятельности…

Способы решения квадратных уравнений. Графическое решение квадратного уравнения. Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

квадратное уравнение, уравнение, обратная теорема, решение, исходное уравнение, ответ, помощь теоремы.

Методика преподавания темы «Линейное

уравнение» в 7-м классе

Для такого уравнения не будет корней, если же а будет равняться 2, то уравнение приобретет другой вид — 0х = 0. При этом любое число, которое можно подставить вместо Х из множества действительных числен, будет рассматриваться как его корень.

Введение адаптивных методов обучения при решении

уравнений…

решение простейших уравнений данного вида; анализ действий, необходимых для их

Способы решения квадратных уравнений различных видов школьные учебники по алгебре

Что же такое «квадратные уравнения»? Квадратное уравнение — уравнение вида ax2+ bx. ..

Линейные и квадратные уравнения

Определение

Уравнение (с одной переменной) — это некоторое равенство двух выражений, содержащее неизвестную (переменную). \[f(x)=g(x) \qquad \qquad (1)\]Пусть для определенности все дальнейшие уравнения содержат переменную, обозначенную буквой \(x\).

 

Замечание

Заметим, что \(x\) — это просто некоторое число, значение которого неизвестно.

 

Определение

Областью определения (или областью допустимых значений, сокращенно ОДЗ) любого уравнения вида \((1)\) будем называть множество значений переменной \(x\), при которых определены (то есть не теряют смысла) функции \(f(x)\) и \(g(x)\).

 

Пример

Уравнение \(\dfrac {10}{x-1}=5\) определено при всех значениях переменной \(x\), кроме \(x=1\), потому что в этом случае знаменатель дроби в левой части равенства обращается в ноль. Значит, ОДЗ уравнения \(x\in (-\infty;1)\cup(1;+\infty)\).

 

Определение

Корнем уравнения называется то числовое значение \(x\), при котором уравнение обращается в верное равенство.
Иногда корни уравнения называют решением этого уравнения.

Например, корнем уравнения из предыдущего примера является число \(x=3\), потому как тогда уравнение принимает вид \(\dfrac{10}{3-1}=5\) или, что то же самое, \(5=5\), что является верным равенством.

 

Замечание

 

1) Заметим, что уравнение может как иметь корни, так и не иметь корней. Например, уравнение \(\dfrac 1x=0\) ни при каких значениях \(x\) не может быть верным, потому что дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не теряет смысла. У нашей дроби числитель \(1\ne 0\).

 

2) Фраза “решить уравнение” означает найти все корни данного уравнения или доказать, что корней нет.

 

Определение

Два уравнения равносильны (или эквивалентны), если они имеют одинаковые решения. 3=64\) является \(x=4\).  

Как решать квадратные уравнения? | О математике понятно

 

Что такое квадратное уравнение? Виды квадратных уравнений. Примеры.

        Обычно квадратные уравнения — одна из самых любимых учениками тем школьной математики. Почему? Потому, что алгоритм решения любого квадратного уравнения достаточно прост и универсален. Работает безотказно. Однако простора для дурацких ошибок при решении квадратных уравнений тоже хватает, да… Так что будем разбираться, что к чему.)

        Начнём с названия.

        Ключевым словом в понятии квадратное уравнение является слово «квадратное». Что оно означает? Оно означает то, что в уравнении обязательно должен присутствовать икс в квадрате. В любом случае. Также в уравнении могут быть (или не быть — как уж повезёт) просто икс (в первой степени) и просто число (свободный член). Но это ещё не всё. При этом в уравнении не должно быть иксов в кубе, в четвёртой и любых других степенях, больших двойки.

        В самом общем виде квадратное уравнение выглядит так:

        

        Здесь a, b, c — какие-то числа. Любые.) Числа b и c могут быть совсем-совсем любыми, а вот а — любым числом, кроме нуля. Почему — объясню чуть ниже.

        Например:

        

        Здесь a=1; b=4; c=-5

        Или такое:

        

        Здесь a=-2; b=-5; c=3

        Или:

        

        Здесь a=0,5; b=-2; c=2

        И так далее…

        В этих уравнениях слева присутствует полный набор слагаемых: есть икс в квадрате (с коэффициентом a), есть просто икс (с коэффициентом b), а также есть свободный член c. Такие квадратные уравнения в математике так и называются — полными.

        А ещё бывают и такие квадратные уравнения, где чего-то не хватает. Что у нас произойдёт, если, например, обнулить коэффициент b (b=0)? У нас исчезнет икс в первой степени.

        Получится, к примеру, что-то типа:

        x²–9 = 0

        x²+25 = 0

        И так далее…

        А если c=0? Тогда у нас пропадёт свободный член:

        x²-4x = 0

        —x²+10x = 0

        И т.д. и т.п.

        А если уж оба коэффициента a и b станут равны нулю, то тогда совсем всё просто получится:

        0,1x² = 0

        -3x² = 0

        Такие квадратные уравнения, где какого-то из членов не хватает, называются (вы не поверите) неполными.)

        Таким образом, квадратные уравнения бывают двух основных видов — полные и неполные.

        А теперь ответ на вопрос, почему коэффициент a не может быть равен нулю. А давайте подумаем, что у нас произойдёт, если мы обнулим коэффициент а? Да! У нас пропадёт икс в квадрате! Наше уравнение превратится в линейное. И решаться будет уже совсем по-другому…

 

Общая формула корней квадратного уравнения.

       Квадратные уравнения решаются достаточно просто. По одной единственной универсальной формуле. Всего одной!

        И теперь у меня для вас есть две новости — хорошая и плохая. С какой начнём? Принято с плохой начинать? Что ж, ладно…

        Новость плохая. Строгий аналитический вывод общей формулы корней квадратного уравнения достаточно громоздок и основан на процедуре выделения полного квадрата. В большинстве школьных учебников вывод общей формулы корней всё-таки приводят, но я считаю что эта процедура — очередной вынос мозга простому среднестатистическому школьнику. Поэтому в данном уроке я его (вывод) всё-таки опущу.)

        Новость хорошая. Запоминать аналитический вывод формулы корней квадратного уравнения в общем виде и не требуется. Вообще! Гораздо важнее запомнить саму формулу и научиться её применять на практике. Вот мы и попрактикуемся. И уравнения порешаем.)

        «Формула! Где формула?! Ты достал формулу?» — слышу громкие возгласы, как в старом добром рекламном ролике начала 2000-х…

        Достаю, достаю! Из широких штанин… О-па! Вот она, формула!)

        Вот такая формула. Да, я не спорю, довольно громоздкая. Но и уравнение мы решаем всё-таки квадратное, а не более простое линейное…

        Как вы видите, для поиска корней квадратного уравнения нам необходимы только коэффициенты a, b, c. И всё. Больше ничего. Аккуратно подставляем все коэффициенты в формулу и считаем наши корни.

 

Что такое дискриминант? Формула и смысл дискриминанта.

        Выражение b²-4ac, стоящее в формуле под знаком квадратного корня, называется дискриминант. До боли знакомое и родное слово для большинства старшеклассников. Слова «решаем через дискриминант» звучат обнадёживающе и вселяют оптимизм!)

        Обычно дискриминант обозначается буковкой D:

        

        Тогда, с учётом данного обозначения, общая формула корней станет выглядеть вот так:

        

        Сам по себе дискриминант, как правило, прост и безотказен в обращении. Но… В чём его смысл? Почему для, скажем, —b или 2a не вводятся какие-то специальные термины и обозначения? Буквы — они и в Африке буквы… А тут — такое красивое слово! Дискриминант…

        А дело вот в чём. При решении любого квадратного уравнения по общей формуле возможны всего три ситуации.

        1. Дискриминант положительный (D>0).

        Это означает, что из него можно извлечь корень. Красиво корень извлекается или некрасиво — вопрос другой. Главное, что извлекается в принципе.

        Тогда наше квадратное уравнение всегда имеет два различных корня.

Вот они:

        Два — потому, что общая формула в этой ситуации разбивается на два отдельных случая. А именно — какой знак, плюс или минус, берётся перед радикалом. Каждый случай даёт свой корень.

 

        2. Дискриминант равен нулю (D=0)

        Как вы думаете, чему в этом случае будет равен корень из дискриминанта? Нулю, конечно же! А поскольку от прибавления/вычитания нуля в числителе ничего не меняется, то наше уравнение имеет один корень:

        

        Вообще, строго говоря, это не один корень, а два одинаковых. Но в упрощённом виде, когда нам надо просто решить уравнение и получить ответ, принято говорить об одном решении. Поэтому в ответе не заморачиваются и пишут просто одинокий икс, безо всякой индексации х_1,2 .

        Однако в более солидных темах (например, в решении неравенств методом интервалов) этот пунктик, с двумя одинаковыми (или, по-научному, кратными) корнями, настолько важен, что я буду про него напоминать снова и снова.

 

        3. Дискриминант отрицательный (D<0)

        Из отрицательных чисел извлекать квадратный корень в средней школе не учат. Это означает, что уравнение не имеет корней. Ну и ладно. На нет, как говорится, и суда нет.

 

Как решать квадратные уравнения?

        Начнём с полных квадратных уравнений.

 

        Полные квадратные уравнения

        Полное квадратное уравнение (любое!) решается всегда в четыре основных этапа.

        1. Приводим уравнение к стандартному виду:

        

        Всё просто: выстраиваем левую часть уравнения по убыванию степеней икса. На первом месте пишем слагаемое с иксом в квадрате, на втором месте — с иксом в первой степени и, наконец, свободный член. Справа — обязательно должен быть ноль! Если справа тусуются ещё какие-то члены, то переносим их в левую часть и приводим подобные.

        Конечно, если уравнение уже дано в стандартном виде, то первый этап делать не нужно.)

        Как только уравнение представлено в стандартном виде, приступаем ко второму этапу.

 

        2. Внимательно осматриваем уравнение и определяем (правильно!) коэффициенты a, b и c.

        Если опыта пока что мало, во избежание досадных ошибок бывает очень полезным выписать их отдельно.

 

        3. Считаем дискриминант по формуле D = b²-4ac.

        Внимание! На данном этапе сразу же извлекаем корень из дискриминанта! Если красиво извлекается, конечно.)

 

        4. Подставляем все значения в общую формулу, считаем корни уравнения и записываем ответ.

 

        Вот и весь алгоритм. Простой и безотказный. Ну что, тренируемся на кошках?

        Например, надо решить вот такое уравнение:

        7x² – x — 8 = 0

        Работаем прямо по пунктам.

        1. Приводим уравнение к стандартному виду.

        Уравнение уже дано нам в стандартном виде. Стало быть, уже готово к решению. Слева — полный набор членов, выстроенных по убыванию степеней, а справа — ноль. Посему переходим сразу ко второму этапу.

        2. Внимательно осматриваем уравнение и определяем (правильно!) коэффициенты a, b и c.

        Вот и пишем:

        a = 7; b = -1; c = -8

        3. Считаем дискриминант по формуле D = b²-4ac.

        Аккуратно подставляем наши коэффициенты a, b и с в формулу дискриминанта. Подставляем со своими знаками! Частенько именно в знаках коэффициентов народ и путается. Точнее, не столько в самих знаках, сколько в подстановке отрицательных значений в формулу дискриминанта. Вот и не ленимся, аккуратно пишем все знаки и скобочки. Трудов много не отнимет, зато гарантированно убережёт от досадных промахов:

        D = b²-4ac = (-1)² – 4·7·(-8) = 1+224 = 225

        Извлекаем корень из дискриминанта:

        

       Отлично, корень извлекается чисто. Теперь переходим к последнему, самому главному этапу — считаем наши корни.

        4. Подставляем все значения в общую формулу, аккуратно считаем корни уравнения и записываем ответ.

        Опять же, аккуратно подставляем все числа в формулу, со всеми знаками и скобочками:

        

        И считаем:

        

        Вот и всё. Это ответ.)

        Кстати сказать, если вы просто решаете квадратное уравнение, то нет особой нужды отдельно считать дискриминант. Можно работать напрямую с общей формулой, просто аккуратно подставляя в неё коэффициенты a, b и с.

        В нашем случае можно было бы сразу записать:

        

        Но такое оформление чревато тем, что, впопыхах, можно где-нибудь потерять минус. Оно вам надо? Посему лучше считайте дискриминант отдельно — ошибок меньше будет. Естественно, посчитав дискриминант, не забывайте про корень.) Специально акцентирую внимание на этом моменте, потому что сам дискриминант народ обычно считает правильно, а вот корень извлечь частенько забывает… К тому же, привыкнув к отдельному поиску дискриминанта, вы быстрее запомните его общую формулу — в более серьёзных заданиях пригодится. Например, в задачах с параметрами. Такие задачи — высший пилотаж на ЕГЭ!

        Естественно, бывают и сюрпризы. Не без этого… И к ним (к сюрпризам) тоже надо быть готовым, да. Чтобы не растеряться, в случае чего…) Рассмотрим первый сюрприз. Самый безобидный.

        Например, дано нам такое уравнение:

        x² + 1 = 4x

        Как обычно, работаем прямо по алгоритму.

1. Приводим уравнение к стандартному виду.

        Уравнение пока не готово к решению. Справа нужен ноль, а у нас справа тусуется 4х. Не беда: переносим 4х влево и выстраиваем члены по убыванию степеней:

        x² — 4х + 1 = 0

2. Внимательно осматриваем уравнение и определяем (правильно!) коэффициенты a, b и c.

В нашем случае:

a = 1; b = -4; c = 1

3. Считаем дискриминант по формуле D = b²-4ac.

        D = b²-4ac = (-4)² – 4·1·1 = 12

        А вот и первый сюрприз. ) Дискриминант не является точным квадратом целого числа! И корень из дискриминанта извлекается плохо:

        

        Что делать? Не решается уравнение? Ну да, как же!

        Ничего страшного.) Работаем прямо с корнем. Естественно, если есть возможность, то выносим всё, что извлекается, за знак корня:

        

4. Подставляем все значения в общую формулу, аккуратно считаем корни уравнения и записываем ответ.

        Поехали:

        

        Корни нашего уравнения получились иррациональными. Ну и ничего страшного. Бывает.) Такой уж пример.

        Открою небольшой секрет. Обычно задания на квадратные уравнения составляются так, чтобы корень из дискриминанта извлекался ровно и, тем самым, корни в ответе получались красивыми — либо целыми, либо рациональными. И народ постепенно привыкает к таким простым примерам наивно полагая, что дискриминант всегда обязан получаться точным квадратом. Не обязан! Более того, суровая реальность такова, что некрасивый дискриминант (а вместе с ним и лохматые иррациональные корни) — скорее правило, чем исключение! И если вы захотите задать какое-нибудь квадратное уравнение, выбрав в нём коэффициенты a, b и с случайным образом, то с вероятностью 99% корни вашего квадратного уравнения будут числами иррациональными.

        Но иррациональных корней вовсе не надо бояться.) Ибо они — точно такие же числа, как и все остальные. Кстати говоря, в более серьёзных заданиях (неравенствах, задачах с параметрами) иррациональные корни встречаются сплошь и рядом. И с ними надо обязательно уметь работать — сравнивать, изображать на числовой оси и т.д. И мы тоже поработаем! В соответствующих уроках.)

        Как видите, процедура решения полных квадратных уравнений проблем не вызывает. Всё просто, быстро, не больно.) Главное — аккуратно подставляйте коэффициенты в формулу дискриминанта и общую формулу корней. И считайте себе.) И что, думаете, ошибиться нельзя? Ну да, как же…

        Вот краткий перечень глупых ошибок при решении квадратных уравнений:

        1. Путаница в знаках. Ошибки в подстановке отрицательных коэффициентов в формулу дискриминанта и в общую формулу корней.

 

        2. Забывают извлечь корень из дискриминанта.

 

        3. При работе с общей формулой корней в знаменатель дроби частенько подставляется не 2а, как положено, а просто двойка. Привыкает, видите ли, народ к простым уравнениям, с первым коэффициентом единичкой (а=1). Внимательнее надо быть, да.)

        Ну и, разумеется, базовые тождественные преобразования уравнений никто не отменял, да.)      

        Например, дано такое уравнение:

        

        Уравнение, в принципе, уже дано нам в стандартном виде. Слева — квадратный трёхчлен, построенный по убыванию степеней, справа — ноль.

        Наши коэффициенты будут:

        a = -1/3; b = 3/2; c = -5

        Можно приступать к решению. Только это… коэффициенты — дробные. Неудобно как-то…

        Согласен, неудобно! Всё-таки лучше, когда уравнение безо всяких дробей, в линеечку.) Вот и избавимся сначала от дробей. На что надо домножить обе части уравнения, чтобы и двойка сократилась и тройка? На 6! Вот и домножаем. Слева получим:

        

        А что будет справа? Справа будет ноль. Ноль на что ни умножай — всё равно ноль будет. Хорошее число.)

        Итого получим:

        -2х² + 9х — 30 = 0

        И опять не бросаемся решать, считать дискриминант и прочее. Минус перед иксом в квадрате — нехорош. Забыть его очень легко. Посему избавимся от этого минуса умножением обеих частей на (-1). Проще говоря, поменяем слева все знаки:

        2х² — 9х + 30 = 0

        Ну вот. А теперь — по накатанной колее. Выписываем коэффициенты:

        a = 2; b = -9; c = 30

        Считаем дискриминант:

        D = b²-4ac = (-9)² – 4·2·30 = 81-240 = -159

        Вот так штука! А дискриминант-то отрицательный! Не можем мы корень из отрицательного числа извлечь. И сами корни посчитать, стало быть, тоже не можем, да. Стало быть, ответ — решений нет.

        Это был второй сюрприз. Надеюсь, теперь отрицательный дискриминант в каком-нибудь примере вас нисколько не смутит.)

        Это всё что касается полных квадратных уравнений. Теперь переходим к неполным.)

 

        Неполные квадратные уравнения

        Неполными, напоминаю, называются квадратные уравнения, где чего-то не хватает — или bx или с. Или обоих членов сразу.

        Например:

        х² — 3х = 0

        х² — 16 = 0

        И так далее.)

        Неполные квадратные уравнение также можно решать через дискриминант, по общей формуле. Надо только правильно догадаться, чему равняются коэффициенты a, b и с.

        Догадались? В первом случае a = 1, b = -3, а свободный член с вообще отсутствует! Что это означает? В математике это означает, что с=0! Вот и всё.)

        Во втором уравнении всё аналогично, только нулю будет равно не с, а b!

        И все дела. )

        Но неполные уравнения можно решать гораздо проще. Безо всяких дискриминантов и безо всяких формул! Зачем же из пушки по воробьям…

        Например, такое уравнение:

        х² — 3х = 0

        Что здесь можно сделать в левой части? Сильнее всего напрашивается вынести икс за скобки и разложить левую часть на множители. Давайте вынесем:

        х(х-3) = 0

        И что дальше? А то, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю! Вот и приравниваем (в уме!) каждый из множителей к нулю и получаем:

        х₁ = 0

        х₂ = 3

        И все дела! Это и будут корни нашего уравнения. Оба годятся.) При подстановке каждого из них в исходное уравнение мы получим железное равенство 0=0. Как видите, решение куда проще, чем через дискриминант!

        Теперь рассмотрим другое уравнение:

        х² — 16 = 0

        А здесь что можно сделать? Можно -16 перенести вправо:

        х² = 16

        Остаётся корень извлечь из 16 и — ответ готов:

        

        Тоже два корня: х₁ = -4;  х₂ = 4.

        И так решаются все неполные квадратные уравнения. Либо с помощью вынесения икса за скобки и разложения на множители, либо же переносом свободного члена вправо с последующим извлечением корня. Спутать эти два способа — надо очень хорошо постараться.) Ибо в первом случае вам пришлось бы корень из икса извлекать, что как-то не очень, а во втором случае выносить за скобки нечего…

        Подытожим тему практическими советами.

        1. Перед решением любого квадратного уравнения приводим его к стандартному виду, выстраиваем левую часть по убыванию степеней.

 

        2. Если в уравнении имеются дробные коэффициенты, избавляемся от дробей умножением всего уравнения на нужный множитель.

 

        3. Если коэффициент перед иксом в квадрате отрицательный, избавляемся от минуса умножением всего уравнения на (-1).

        Ну что, наш урок окончен. Теперь можно и порешать.)

       

        Решить уравнения:

        2x² — 7x + 3 = 0

        х² — x — 30 = 0

        х² + 6х + 9 = 0

        х² — 7x = 0

        х² + 4x + 5 = 0

​        -2x² + 98 = 0

        x² + 0,05x — 0,05 = 0

        

       

        Ответы (в беспорядке):

        х₁ = -5; x₂ = 6

        x₁ =-0,2; x₂ = 0,5

        x₁ = 0; x₂ = 7

        x₁ = -0,25; x₂ = 0,2

        корней нет

        x₁ = 0,5; x₂ = 3

        x = -3

        x₁ = -7; x₂ = 7

        Всё сошлось? Великолепно! Значит, квадратные уравнения — не ваша беда. ) Все получились, а последние два — нет? Значит, проблема — в тождественных преобразованиях. Кликните по ссылке, почитайте — и будет вам счастье!)

Квадратное уравнение — Помощник для школьников Спринт-Олимпик.ру

Содержание

• Что такое квадратное уравнение и как его решать?
• Формулы корней квадратного уравнения
• Примеры решения квадратных уравнений
• Примеры решения задач
• Задания для самостоятельного решения

Что такое квадратное уравнение и как его решать?

Мы помним, что уравнение это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой нужно найти.

Если переменная, входящая в уравнение, возведенá во вторую степень (в квадрат), то такое уравнение называют уравнением второй степени или квадратным уравнением.

Например, следующие уравнения являются квадратными:

Решим первое из этих уравнений, а именно x2 − 4 = 0.

Все тождественные преобразования, которые мы применяли при решении обычных линейных уравнений, можно применять и при решении квадратных.

Итак,  в уравнении x2 − 4 = 0 перенесем член −4 из левой части в правую часть, изменив знак:

Получили уравнение x2 = 4. Ранее мы говорили, что уравнение считается решённым, если в одной части переменная записана в первой степени и её коэффициент равен единице, а другая часть равна какому-нибудь числу. То есть чтобы решить уравнение, его следует привести к виду x = a, где a — корень уравнения.

У нас переменная x всё ещё во второй степени, поэтому решение необходимо продолжить.

Чтобы решить уравнение x2 = 4, нужно ответить на вопрос при каком значении x левая часть станет равна 4. Очевидно, что при значениях 2 и −2. Чтобы вывести эти значения воспользуемся определением квадратного корня.

Число b называется квадратным корнем из числа a, если b2 = a и обозначается как

У нас сейчас похожая ситуация. Ведь, что такое x2 = 4? Переменная x в данном случае это квадратный корень из числа 4, поскольку вторая степень x прирáвнена к 4.

Тогда можно записать, что

. Вычисление правой части позвóлит узнать чему равно x. Квадратный корень имеет два значения: положительное и отрицательное. Тогда получаем x = 2 и x = −2.

Обычно записывают так: перед квадратным корнем ставят знак «плюс-минус», затем находят арифметическое значение квадратного корня. В нашем случае на этапе когда записано выражение

, перед следует поставить знак ±

Затем найти арифметическое значение квадратного корня

Выражение x = ± 2 означает, что x = 2 и x = −2. То есть корнями уравнения x2 − 4 = 0 являются числа 2 и −2. Запишем полностью решение данного уравнения:

Выполним проверку. Подставим корни 2 и −2 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 2 и −2 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:

В обоих случаях левая часть равна нулю. Значит уравнение решено верно.

Решим ещё одно уравнение. Пусть требуется решить квадратное уравнение (x + 2)2 = 25

Для начала проанализируем данное уравнение. Левая часть возведенá в квадрат и она равна 25. Какое число в квадрате равно 25? Очевидно, что числа 5 и −5

То есть наша задача найти x, при которых выражение x + 2 будет равно числам 5 и −5. Запишем эти два уравнения:

Решим оба уравнения. Это обычные линейные уравнения, которые решаются легко:

Значит корнями уравнения (x + 2)2 = 25 являются числа 3 и −7.

В данном примере как и в прошлом можно использовать определение квадратного корня. Так, в уравнения (x + 2)2 = 25 выражение (x + 2) представляет собой квадратный корень из числа 25. Поэтому можно cначала записать, что

.

Тогда правая часть станет равна ±5. Полýчится два уравнения: x + 2 = 5 и x + 2 = −5. Решив по отдельности каждое из этих уравнений мы придём к корням 3 и −7.

Запишем полностью решение уравнения (x + 2)2 = 25

Из рассмотренных примеров видно, что квадратное уравнение имеет два корня. Чтобы не забыть о найденных корнях, переменную x можно подписывать нижними индексами. Так, корень 3 можно обозначить через x1, а корень −7 через x2

В предыдущем примере тоже можно было сделать так. Уравнение x2 − 4 = 0 имело корни 2 и −2. Эти корни можно было обозначить как x1 = 2 и x2 = −2.

Бывает и так, что квадратное уравнение имеет только один корень или вовсе не имеет корней. Такие уравнения мы рассмотрим позже.

Сделаем проверку для уравнения (x + 2)2 = 25. Подставим в него корни 3 и −7. Если при значениях 3 и −7 левая часть равна 25, то это будет означать, что уравнение решено верно:

В обоих случаях левая часть равна 25. Значит уравнение решено верно.

Квадратное уравнение бывает дано в разном виде. Наиболее его распространенная форма выглядит так:

ax2 + bx + c = 0,
где a, b, c — некоторые числа, x — неизвестное.

Это так называемый общий вид квадратного уравнения. В таком уравнении все члены собраны в общем месте (в одной части), а другая часть равна нулю. По другому такой вид уравнения называют нормальным видом квадратного уравнения.

Пусть дано уравнение 3x2 + 2x = 16. В нём переменная x возведенá во вторую степень, значит уравнение является квадратным. Приведём данное уравнение к общему виду.

Итак, нам нужно получить уравнение, которое будет похоже на уравнение ax2 + bx + c = 0. Для этого в уравнении 3x2 + 2x = 16 перенесем 16 из правой части в левую часть, изменив знак:

3x2 + 2x − 16 = 0

Получили уравнение 3x2 + 2x − 16 = 0. В этом уравнении a = 3, b = 2, c = −16.

В квадратном уравнении вида ax2 + bx + c = 0 числа a, b и c имеют собственные названия. Так, число a называют первым или старшим коэффициентом; число b называют вторым коэффициентом; число c называют свободным членом.

В нашем случае для уравнения 3x2 + 2x − 16 = 0 первым или старшим коэффициентом является 3; вторым коэффициентом является число 2;  свободным членом является число −16. Есть ещё другое общее название для чисел a, b и c — параметры.

Так, в уравнении 3x2 + 2x − 16 = 0 параметрами являются числа 3, 2 и −16.

В квадратном уравнении желательно упорядочивать члены так, чтобы они располагались в таком же порядке как у нормального вида квадратного уравнения.

Например, если дано уравнение −5 + 4x2 + x = 0, то его желательно записать в нормальном виде, то есть в виде ax2+ bx + c = 0.

В уравнении −5 + 4x2 + x = 0 видно, что свободным членом является −5, он должен располагаться в конце левой части. Член 4x2 содержит старший коэффициент, он должен располагаться первым. Член x соответственно будет располагаться вторым:

Квадратное уравнение в зависимости от случая может принимать различный вид. Всё зависит от того, чему равны значения a, b и с.

Если коэффициенты a, b и c не равны нулю, то квадратное уравнение называют полным. Например, полным является квадратное уравнение 2x2 + 6x − 8 = 0.

Если какой-то из коэффициентов равен нулю (то есть отсутствует), то уравнение значительно уменьшается и принимает более простой вид. Такое квадратное уравнение называют неполным. Например, неполным является квадратное уравнение 2x2 + 6x = 0, в нём имеются коэффициенты a и b (числа 2 и 6), но отсутствует свободный член c

Рассмотрим каждый из этих видов уравнений, и для каждого из этих видов определим свой способ решения.

Пусть дано квадратное уравнение 2x2 + 6x − 8 = 0. В этом уравнении a = 2, b = 6, c = −8. Если b сделать равным нулю, то уравнение примет вид:

Получилось уравнение 2x2 − 8 = 0. Чтобы его решить перенесем −8 в правую часть, изменив знак:

2x2 = 8

Для дальнейшего упрощения уравнения воспользуемся ранее изученными тождественными преобразованиями. В данном случае можно разделить обе части на 2

У нас получилось уравнение, которое мы решали в начале данного урока. Чтобы решить уравнение x2 = 4, следует воспользоваться определением квадратного корня. Если x2 = 4, то

. Отсюда x = 2 и x = −2.

Значит корнями уравнения 2x2 − 8 = 0 являются числа 2 и −2. Запишем полностью решение данного уравнения:

Выполним проверку. Подставим корни 2 и −2 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 2 и −2 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:

В обоих случаях левая часть равна нулю, значит уравнение решено верно.

Уравнение, которое мы сейчас решили, является неполным квадратным уравнением. Название говорит само за себя. Если полное квадратное уравнение выглядит как ax2 + bx + c = 0, то сделав коэффициент b нулём получится неполное квадратное уравнение ax2 + c = 0.

У нас тоже сначала было полное квадратное уравнение 2x2 + 6x − 4 = 0. Но мы сделали коэффициент b нулем, то есть вместо числа 6 поставили 0. В результате уравнение обратилось в неполное квадратное уравнение 2x2 − 4 = 0.

В начале данного урока мы решили квадратное уравнение x2 − 4 = 0. Оно тоже является уравнением вида ax2 + c = 0, то есть неполным. В нем a = 1, b = 0, с = −4.

Также, неполным будет квадратное уравнение, если коэффициент c равен нулю.

Рассмотрим полное квадратное уравнение 2x2 + 6x − 4 = 0. Сделаем коэффициент c нулём. То есть вместо числа 4 поставим 0

Получили квадратное уравнение 2x2 + 6x=0, которое является неполным. Чтобы решить такое уравнение, переменную x выносят за скобки:

Получилось уравнение x(2x + 6) = 0 в котором нужно найти x, при котором левая часть станет равна нулю. Заметим, что в этом уравнении выражения x и (2x + 6) являются сомножителями. Одно из свойств умножения говорит, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или первый сомножитель или второй).

В нашем случае равенство будет достигаться, если x будет равно нулю или (2x + 6) будет равно нулю. Так и запишем для начала:

Получилось два уравнения: x = 0 и 2x + 6 = 0. Первое уравнение решать не нужно — оно уже решено. То есть первый корень равен нулю.

Чтобы найти второй корень, решим уравнение 2x + 6 = 0. Это обычное линейное уравнение, которое решается легко:

Видим, что второй корень равен −3.

Значит корнями уравнения 2x2 + 6x = 0 являются числа 0 и −3. Запишем полностью решение данного уравнения:

Выполним проверку. Подставим корни 0 и −3 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 0 и −3 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:

Следующий случай это когда числа b и с равны нулю. Рассмотрим полное квадратное уравнение 2x2 + 6x − 4 = 0. Сделаем коэффициенты b и c нулями. Тогда уравнение привет вид:

Получили уравнение 2x2 = 0. Левая часть является произведением, а правая часть равна нулю. Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. Очевидно, что x = 0. Действительно, 2 × 02 = 0. Отсюда, 0 = 0. При других значениях x равенства достигаться не будет.

Проще говоря, если в квадратном уравнении вида ax2 + bx + c = 0 числа b и с равны нулю, то корень такого уравнения равен нулю.

Отметим, что когда употребляются словосочетания «b равно нулю» или «с равно нулю«, то подразумевается, что параметры b или c вовсе отсутствуют в уравнении.

Например, если дано уравнение 2x2 − 32 = 0, то мы говорим, что b = 0. Потому что если сравнить с полным уравнением ax2 + bx + c = 0, то можно заметить, что в уравнении 2x2 − 32 = 0 присутствует старший коэффициент a, равный 2; присутствует свободный член −32; но отсутствует коэффициент b.

Наконец, рассмотрим полное квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. В качестве примера решим квадратное уравнение x2 − 2x + 1 = 0.

Итак, требуется найти x, при котором левая часть станет равна нулю. Воспользуемся изученными ранее тождественными преобразованиями.

Прежде всего заметим, что левая часть уравнения представляет собой квадрат разности двух выражений. Если мы вспомним как раскладывать многочлен на множители, то получим в левой части (x − 1)2.

Рассуждаем дальше. Левая часть возведенá в квадрат и она равна нулю. Какое число в квадрате равно нулю? Очевидно, что только 0. Поэтому наша задача найти x, при котором выражение x − 1 равно нулю. Решив простейшее уравнение x − 1 = 0, можно узнать чему равно x

Этот же результат можно получить, если воспользоваться квадратным корнем. В уравнении (x − 1)2 = 0 выражение (x − 1) представляет собой квадратный корень из нуля. Тогда можно записать, что

. В этом примере записывать перед корнем знак ± не нужно, поскольку корень из нуля имеет только одно значение — ноль. Тогда получается x − 1 = 0. Отсюда x = 1.

Значит корнем уравнения x2 − 2x + 1 = 0 является единица. Других корней у данного уравнения нет. В данном случае мы решили квадратное уравнение, имеющее только один корень. Такое тоже бывает.

Не всегда бывают даны простые уравнения. Рассмотрим например уравнение x2 + 2x − 3 = 0.

В данном случае левая часть уже не является квадратом суммы или разности. Поэтому нужно искать другие пути решения.

Заметим, что левая часть уравнения представляет собой квадратный трехчлен. Тогда можно попробовать выделить полный квадрат из этого трёхчлена и посмотреть что это нам даст.

Выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена, располагающего в левой части уравнения:

В получившемся уравнении перенесем −4 в правую часть, изменив знак:

Теперь воспользуемся квадратным корнем. В уравнении (x + 1)2 = 4 выражение (x + 1) представляет собой квадратный корень из числа 4. Тогда можно записать, что

. Вычисление правой части даст выражение x + 1 = ±2. Отсюда полýчится два уравнения: x + 1 = 2 и x + 1 = −2, корнями которых являются числа 1 и −3

Значит корнями уравнения x2 + 2x − 3 = 0 являются числа 1 и −3.

Выполним проверку:

Пример 3. Решить уравнение x2 − 6x + 9 = 0, выделив полный квадрат.

Выделим полный квадрат из левой части:

Далее воспользуемся квадратным корнем и узнáем чему равно x

Значит корнем уравнения x2 − 6x + 9 = 0 является 3. Выполним проверку:

Пример 4. Решить квадратное уравнение 4x2 + 28x − 72 = 0, выделив полный квадрат:

Выделим полный квадрат из левой части:

Перенесём −121 из левой части в правую часть, изменив знак:

Воспользуемся квадратным корнем:

Получили два простых уравнения: 2x + 7 = 11 и 2x + 7 = −11. Решим их:

Пример 5. Решить уравнение 2x2 + 3x − 27 = 0

Это уравнение немного посложнее. Когда мы выделяем полный квадрат, первый член квадратного трёхчлена мы представляем в виде квадрата какого-нибудь выражения.

Так, в прошлом примере первым членом уравнения был 4x2. Его можно было представить в виде квадрата выражения 2x, то есть (2x)2 = 22x2 = 4x2. Чтобы убедиться что это правильно, можно извлечь квадратный корень из выражения 4x2. Это квадратный корень из произведения — он равен произведению корней:

В уравнении 2x2 + 3x − 27 = 0 первый член это 2x2. Его нельзя представить в виде квадрата какого-нибудь выражения. Потому что нет числá, квадрат которого равен 2. Если бы такое число было, то этим числом был бы квадратный корень из числа 2. Но квадратный корень из числа 2 извлекается только приближённо. А приближённое значение не годится для представления числá 2 в виде квадрата.

Если обе части исходного уравнения умножить или разделить на одно и то же число, то полýчится уравнение равносильное исходному. Это правило сохраняется и для квадратного уравнения.

Тогда можно разделить обе части нашего уравнения на 2. Это позвóлит избавиться от двойки перед x2 что впоследствии даст нам возможность выделить полный квадрат:

Перепишем левую часть в виде трёх дробей со знаменателем 2

Сократим первую дробь на 2. Остальные члены левой части перепишем без изменений. Правая часть по-прежнему станет равна нулю:

Выделим полный квадрат.

При представлении члена

в виде удвоенного произведения, появление множителя 2 привело бы к тому, что этот множитель и знаменатель дроби сократились бы. Чтобы этого не произошло, удвоенное произведение было домножено на . При выделении полного квадрата всегда нужно стараться сделать так, чтобы значение изначального выражения не изменилось.

Свернём полученный полный квадрат:

Приведём подобные члены:

Перенесём дробь

в правую часть, изменив знак:

Воспользуемся квадратным корнем. Выражение

представляет собой квадратный корень из числа

Для вычисления правой части воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из дроби:

Тогда наше уравнение примет вид:

Полýчим два уравнения:

Решим их:

Значит корнями уравнения 2x2 + 3x − 27 = 0 являются числа 3 и

.

Корень

удобнее оставить в таком виде, не выполняя деления числителя на знаменатель. Так проще будет выполнять проверку.

Выполним проверку. Подставим найденные корни в исходное уравнение:

В обоих случаях левая часть равна нулю, значит уравнение 2x2 + 3x − 27 = 0 решено верно.

Решая уравнение 2x2 + 3x − 27 = 0, в самом начале мы разделили обе его части на 2. В результате получили квадратное уравнение, в котором коэффициент перед x2 равен единице:

Такой вид квадратного уравнения называют приведённым квадратным уравнением.

Любое квадратное уравнение вида ax2 + bx + c = 0 можно сделать приведённым. Для этого нужно разделить обе его части на коэффициент, который располагается перед x². В данном случае обе части уравнения ax2 + bx + c = 0 нужно разделить на a

Пример 6. Решить квадратное уравнение 2x2 + x + 2 = 0

Сделаем данное уравнение приведённым:

Выделим полный квадрат:

Получили уравнение

, в котором квадрат выражения равен отрицательному числу . Такого быть не может, поскольку квадрат любого числа или выражения всегда положителен.

Следовательно, нет такого значения x, при котором левая часть стала бы равна

. Значит уравнение не имеет корней.

А поскольку уравнение

равносильно исходному уравнению 2x2 + x + 2 = 0, то и оно (исходное уравнение) не имеет корней.

Формулы корней квадратного уравнения

Выделять полный квадрат для каждого решаемого квадратного уравнения не очень удобно.

Можно ли создать универсальные формулы для решения квадратных уравнений? Оказывается можно. Сейчас мы этим и займёмся.

Взяв за основу буквенное уравнение ax2 + bx + c = 0, и выполнив некоторые тождественные преобразования, мы сможем получить формулы для вывода корней квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0. В эти формулы можно будет подставлять коэффициенты a, b, с и получать готовые решения.

Итак, выделим полный квадрат из левой части уравнения ax2 + bx + c = 0. Сначала сделаем данное уравнение приведённым. Разделим обе его части на a

Теперь в получившемся уравнении выделим полный квадрат:

Перенесем члены

и в правую часть, изменив знак:

Приведём правую часть к общему знаменателю. Дроби, состоящие из букв, привóдят к общему знаменателю методом «крест-нáкрест». То есть знаменатель первой дроби станóвится дополнительным множителем второй дроби, а знаменатель второй дроби станóвится дополнительным множителем первой дроби:

В числителе правой части вынесем за скобки a

Сократим правую часть на a

Поскольку все преобразования были тождественными, то получившееся уравнение

имеет те же корни, что и исходное уравнение ax2 + bx + c = 0.

Уравнение

будет иметь корни только тогда, если правая часть больше нуля или равна нулю. Это потому что в левой части выполнено возведéние в квадрат, а квадрат любого числа положителен или равен нулю (если в этот квадрат возвóдится ноль). А чему будет равна правая часть зависит от того, что будет подставлено вместо переменных a, b и c.

Поскольку при любом a не рáвным нулю, знаменатель правой части уравнения

всегда будет положительным, то знак дроби будет зависеть от знака её числителя, то есть от выражения b2 − 4ac.

Выражение b2 − 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения. Дискриминант это латинское слово, означающее различитель. Дискриминант квадратного уравнения обозначается через букву D

D = b2 − 4ac

Дискриминант позволяет заранее узнать имеет ли уравнение корни или нет. Так, в предыдущем задании мы долго решали уравнение 2x2 + x + 2 = 0 и оказалось, что оно не имеет корней. Дискриминант же позволил бы нам заранее узнать, что корней нет. В уравнении 2x2 + x + 2 = 0 коэффициенты a, b и c равны 2, 1 и 2 соответственно. Подставим их в формулу D = b2−4ac

D = b2 − 4ac = 12 − 4 × 2 × 2 = 1 − 16 = −15.

Видим, что D (оно же b2 − 4ac) является отрицательным числом. Тогда нет смысла решать уравнение 2x2 + x + 2 = 0, выделяя в нём полный квадрат, потому что когда мы дойдем до уравнения вида

, окажется что правая часть станет меньше нуля (из-за отрицательного дискриминанта). А квадрат числа не может быть отрицательным. Следовательно, корней у данного уравнения не будет.

Станóвится понятно почему древние люди считали выражение b2 − 4ac различителем. Это выражение подобно индикатору позволяет различить уравнение имеющего корни от уравнения, не имеющего корней.

Итак, D равно b2 − 4ac. Подставим в уравнении

вместо выражения b2 − 4ac букву D

Если дискриминант исходного уравнения окажется меньше нуля (D < 0), то уравнение примет вид:

В этом случае говорят, что у исходного уравнения корней нет, поскольку квадрат любого числа не должен быть отрицательным.

Если дискриминант исходного уравнения окажется больше нуля (D > 0), то уравнение примет вид:

В этом случае уравнение будет иметь два корня. Для их вывода воспользуемся квадратным корнем:

Получили уравнение

. Из него полýчится два уравнения: и . Выразим x в каждом из уравнений:

Получившиеся два равенства это и есть универсальные формулы для решения квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0. Их называют формулами корней квадратного уравнения.

Чаще всего эти формулы обозначаются как x1 и x2. То есть для вычисления первого корня используется формула c индексом 1; для вывода второго корня — формула с индексом 2. Обозначим свои формулы так же:

Очерёдность применения формул не важнá.

Решим например квадратное уравнение x2 + 2x − 8 = 0 с помощью формул корней квадратного уравнения. Коэффициенты данного квадратного уравнения это числа 1, 2 и −8. То есть, a = 1, b = 2, c = −8.

Прежде чем использовать формулы корней квадратного уравнения, нужно найти дискриминант этого уравнения.

Найдём дискриминант квадратного уравнения. Для этого воспользуемся формулой D = b2 − 4ac. Вместо переменных a, b и c у нас будут коэффициенты уравнения x2 + 2x − 8 = 0

D = b2 − 4ac = 22− 4 × 1 × (−8) = 4 + 32 = 36

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Теперь можно воспользоваться формулами корней квадратного уравнения:

Значит корнями уравнения x2 + 2x − 8 = 0 являются числа 2 и −4. Проверкой убеждаемся, что корни найдены верно:

Наконец, рассмотрим случай когда дискриминант квадратного уравнения равен нулю. Вернёмся к уравнению

. Если дискриминант равен нулю, то правая часть уравнения примет вид:

И в этом случае квадратное уравнение будет иметь только один корень. Воспользуемся квадратным корнем:

Далее выражаем x

Это ещё одна формула для вывода корня квадратного корня. Рассмотрим её применение. Ранее мы решили уравнение x2 − 6x + 9 = 0, имеющее один корень 3. Решили мы его методом выделения полного квадрата. Теперь попробуем решить с помощью формул.

Найдём дискриминант квадратного уравнения. В этом уравнении a = 1, b = −6, c = 9. Тогда по формуле дискриминанта имеем:

D = b2 − 4ac = (−6)2 − 4 × 1 × 9 = 36 − 36 = 0

Дискриминант равен нулю (D = 0). Это означает, что уравнение имеет только один корень, и вычисляется он по формуле

Значит корнем уравнения x2 − 6x + 9 = 0 является число 3.

Для квадратного уравнения, имеющего один корень также применимы формулы

и . Но применение каждой из них будет давать один и тот же результат.

Применим эти две формулы для предыдущего уравнения. В обоих случаях получим один и тот же ответ 3

Если квадратное уравнение имеет только один корень, то желательно применять формулу

, а не формулы и . Это позволяет сэкономить время и место.

Пример 3. Решить уравнение 5x2 − 6x + 1 = 0

Найдём дискриминант квадратного уравнения:

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

Значит корнями уравнения 5x2 − 6x + 1 = 0 являются числа 1 и

.

Ответ: 1;

.

Пример 4. Решить уравнение x2 + 4x + 4 = 0

Найдём дискриминант квадратного уравнения:

Дискриминант равен нулю. Значит уравнение имеет только один корень. Он вычисляется по формуле

Значит корнем уравнения x2 + 4x + 4 = 0 является число −2.

Ответ: −2.

Пример 5. Решить уравнение 3x2 + 2x + 4 = 0

Найдём дискриминант квадратного уравнения:

Дискриминант меньше нуля. Значит корней у данного уравнения нет.

Ответ: корней нет.

Пример 6. Решить уравнение (x + 4)2 = 3x + 40

Приведём данное уравнение к нормальному виду. В левой части располагается квадрата суммы двух выражений. Раскрóем его:

Перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив их знаки. В правой части останется ноль:

Приведём подобные члены в левой части:

В получившемся уравнении найдём дискриминант:

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

Значит корнями уравнения (x + 4)2 = 3x + 40 являются числа 3 и −8.

Ответ: 3; −8.

Пример 7. Решить уравнение

Умнóжим обе части данного уравнения на 2. Это позвóлит нам избавиться от дроби в левой части:

В получившемся уравнении перенесём 22 из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется 0

Приведём подобные члены в левой части:

В получившемся уравнении найдём дискриминант:

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

Значит корнями уравнения

являются числа 23 и −1.

Ответ: 23; −1.

Пример 8. Решить уравнение

Умнóжим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Это позвóлит избавиться от дробей в обеих частях. Наименьшее общее кратное чисел 2 и 3 это число 6. Тогда получим:

В получившемся уравнении раскроем скобки в обеих частях:

Теперь перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив у них знаки. В правой части останется 0

Приведём подобные члены в левой части:

В получившемся уравнении найдём дискриминант:

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

Значит корнями уравнения

являются числа и 2.

Примеры решения квадратных уравнений

Пример 1. Решить уравнение x2 = 81

Это простейшее квадратное уравнение, в котором надо определить число, квадрат которого равен 81. Таковыми являются числа 3 и −3. Воспользуемся квадратным корнем для их вывода:

Ответ: 9, −9.

Пример 2. Решить уравнение x2 − 9 = 0

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения нужно перенести член −9 в правую часть, изменив знак. Тогда получим:

Ответ: 3, −3.

Пример 3. Решить уравнение x2 − 9x = 0

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения сначала нужно вынести x за скобки:

Левая часть уравнения является произведением. Произведение равно нулю, если хотя один из сомножителей равен нулю.

Левая часть станет равна нулю, если отдельно x равно нулю, или если выражение x − 9 равно нулю. Получится два уравнения, одно из которых уже решено:

Ответ: 0, 9.

Пример 4. Решить уравнение x2 + 4x − 5 = 0

Это полное квадратное уравнение. Его можно решить методом выделения полного квадрата или с помощью формул корней квадратного уравнения.

Решим данное уравнение с помощью формул. Сначала найдём дискриминант:

D = b2 − 4ac = 42 − 4 × 1 × (−5) = 16 + 20 = 36

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Вычислим их:

Ответ: 1, −5.

Пример 5. Решить уравнение

Умнóжим обе части на наименьшее общее кратное чисел 5, 3 и 6. Это позвóлит избавиться от дробей в обеих частях:

В получившемся уравнении перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется ноль:

Приведём подобные члены:

Решим получившееся уравнение с помощью формул:

Ответ: 5,

.

Пример 6. Решить уравнение x2 = 6

В данном примере как и в первом нужно воспользоваться квадратным корнем:

Однако, квадратный корень из числа 6 не извлекается. Он извлекается только приближённо. Корень можно извлечь с определённой точностью. Извлечём его с точностью до сотых:

Но чаще всего корень оставляют в виде радикала:

Ответ:

Пример 7. Решить уравнение (2x + 3)2 + (x − 2)2 = 13

Раскроем скобки в левой части уравнения:

В получившемся уравнении перенесём 13 из правой части в левую часть, изменив знак. Затем приведём подобные члены:

Получили неполное квадратное уравнение. Решим его:

Ответ: 0, −1,6.

Пример 8. Решить уравнение (5 + 7x)(4 − 3x) = 0

Данное уравнение можно решить двумя способами. Рассмотрим каждый из них.

Первый способ. Раскрыть скобки и получить нормальный вид квадратного уравнения.

Раскроем скобки:

Приведём подобные члены:

Перепишем получившееся уравнение так, чтобы член со старшим коэффициентом располагался первым, член со вторым коэффициентом — вторым, а свободный член располагался третьим:

Чтобы старший член стал положительным, умнóжим обе части уравнения на −1. Тогда все члены уравнения поменяют свои знаки на противоположные:

Решим получившееся уравнение с помощью формул корней квадратного уравнения:

Второй способ. Найти значения x, при которых сомножители левой части уравнения равны нулю. Этот способ удобнее и намного короче.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. В данном случае равенство в уравнении (5 + 7x)(4 − 3x) = 0 будет достигаться, если выражение (5 + 7x) равно нулю, или же выражение (4 − 3x) равно нулю. Наша задача выяснить при каких x это происходит:

Примеры решения задач

Предстáвим, что возникла необходимость построить небольшую комнату, площадь которой 8 м2. При этом длина комнаты должна быть в два раза больше её ширины. Как определить длину и ширину такой комнаты?

Сделаем примерный рисунок этой комнаты, который иллюстрирует вид сверху:

Обозначим ширину комнаты через x. А длину комнаты через 2x, потому что по условию задачи длина должна быть в два раза больше ширины. Множитель 2 и выполнит это требование:

Поверхность комнаты (её пол) является прямоугольником. Для вычисления площади прямоугольника, нужно длину данного прямоугольника умножить на его ширину. Сделаем это:

2x × x

По условию задачи площадь должна быть 8 м2. Значит выражение 2x × x следует приравнять к 8

2x × x = 8

Получилось уравнение. Если решить его, то можно найти длину и ширину комнаты.

Первое что можно сделать это выполнить умножение в левой части уравнения:

2x2 = 8

В результате этого преобразования переменная x перешла во вторую степень. А мы говорили, что если переменная, входящая в уравнение, возведенá во вторую степень (в квадрат), то такое уравнение является уравнением второй степени или квадратным уравнением.

Для решения нашего квадратного уравнения воспользуемся изученными ранее тождественными преобразованиями. В данном случае можно разделить обе части на 2

Теперь воспользуемся квадратным корнем. Если x2 = 4, то

. Отсюда x = 2 и x = −2.

Через x была обозначена ширина комнаты. Ширина не должна быть отрицательной, поэтому в расчёт берём только значение 2. Такое часто бывает при решении задачи, в которых применяется квадратное уравнение. В ответе получаются два корня, но условию задачи удовлетворяет только один из них.

А длина была обозначена через 2x. Значение x теперь известно, подставим его в выражение 2x и вычислим длину:

2x = 2 × 2 = 4

Значит длина равна 4 м, а ширина 2 м. Это решение удовлетворяет условию задачи, поскольку площадь комнаты равна 8 м2

4 × 2 = 8 м2

Ответ: длина комнаты составляет 4 м, а ширина 2 м.

Пример 2. Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, одна сторона которого на 10 м больше другой, требуется обнести изгородью. Определить длину изгороди, если известно, что площадь участка равна 1200 м2

Решение

Длина прямоугольника, как правило, больше его ширины. Пусть ширина участка x метров, а длина (x + 10) метров. Площадь участка составляет 1200 м2. Умножим длину участка на его ширину и приравняем к 1200, получим уравнение:

x(x + 10) = 1200

Решим данное уравнение. Для начала раскроем скобки в левой части:

Перенесём 1200 из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется 0

Решим получившееся уравнение с помощью формул:

Несмотря на то, что квадратное уравнение имеет два корня, в расчёт берём только значение 30. Потому что ширина не может выражаться отрицательным числом.

Итак, через x была обозначена ширина участка. Она равна тридцати метрам. А длина была обозначена через выражение x + 10. Подставим в него найденное значение x и вычислим длину:

x + 10 = 30 + 10 = 40 м

Значит длина участка составляет сорок метров, а ширина тридцать метров. Эти значения удовлетворяют условию задачи, поскольку если перемножить длину и ширину (числа 40 и 30) получится 1200 м2

40 × 30 = 1200 м2

Теперь ответим на вопрос задачи. Какова длина изгороди? Чтобы её вычислить нужно найти периметр участка.

Периметр прямоугольника это сумма всех его сторон. Тогда:

P = 2(a + b) = 2 × (40 + 30) = 2 × 70 = 140 м.

Ответ: длина изгороди огородного участка составляет 140 м.

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 2; −2.

Задание 2. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: корней нет.

Задание 3. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 3; −3.

Задание 4. Решить уравнение, используя выделение полного квадрата:

Решение:

Ответ: 3; −13.

Задание 5. Решить уравнение, используя выделение полного квадрата:

Решение:

Ответ: 12; 4.

Задание 6. Решить уравнение, используя выделение полного квадрата:

Решение:

Ответ: 7; 5.

Задание 7. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 0; 1.

Задание 8. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 0; −3.

Задание 9. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 7; −7.

Задание 10. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Задание 11. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 5; −5.

Задание 12. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 7; 2

Задание 13. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: корней нет.

Задание 14. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Задание 15. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 1; −5.

Задание 16. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 5; −9.

Задание 17. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: −3; −4.

Задание 18. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: .

Предыдущая

Математика с нуляАлгоритм извлечения квадратного корня

Следующая

Математика с нуляКвадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

2} + bx + c = 0, потому что трехчлен в левой части нельзя легко разложить на множители. Это не значит, что квадратное уравнение не имеет решения. На этом этапе нам нужно обратиться к прямому подходу квадратной формулы, чтобы найти решения квадратного уравнения или, проще говоря, определить значения x, которые могут удовлетворять уравнению.

Чтобы использовать квадратную формулу, квадратное уравнение, которое мы решаем, должно быть приведено к «стандартной форме», иначе все последующие шаги не будут работать. Цель состоит в том, чтобы преобразовать квадратное уравнение так, чтобы квадратное выражение было изолировано на одной стороне уравнения, а противоположная сторона содержала только число ноль, 0,9.2} + bx + c = 0.

Притормози, если нужно. Будьте осторожны с каждым шагом, упрощая выражения. Именно здесь обычно случаются распространенные ошибки, потому что учащиеся склонны «расслабляться», что приводит к ошибкам, которые можно было бы предотвратить, например, при сложении, вычитании, умножении и/или делении действительных чисел.

---

Примеры решения квадратных уравнений с помощью квадратной формулы

Пример 1 : Решите приведенное ниже квадратное уравнение с помощью квадратной формулы.

При осмотре становится очевидным, что квадратное уравнение имеет стандартную форму, поскольку правая часть равна нулю, а остальные члены остаются в левой части. Другими словами, у нас есть что-то вроде этого

Это здорово! Что нам нужно сделать, так это просто определить значения a, b и c, а затем подставить их в квадратичную формулу.

Вот оно! Сделайте привычкой всегда проверять решенные значения x обратно в исходное уравнение для проверки.

---

Пример 2 : Решите приведенное ниже квадратное уравнение, используя квадратную формулу.

Это квадратное уравнение абсолютно не в той форме, которую мы хотим, потому что правая часть НЕ ноль. Мне нужно исключить 7 справа, вычитая обе стороны на 7. Это решит нашу проблему. После этого найдите x как обычно.

Окончательные ответы: {x_1} = 1 и {x_2} = — {2 \over 3}.

---

Пример 3 : Решите приведенное ниже квадратное уравнение, используя квадратную формулу.

Это квадратное уравнение выглядит как «каша». У меня есть переменные x и константы с обеих сторон уравнения. Если мы сталкиваемся с чем-то подобным, всегда придерживаемся того, что знаем. Да, это все о стандартной форме. Мы должны заставить правую часть быть равной нулю. Мы можем сделать это в два этапа.

Сначала я вычту обе части в 5 раз, а затем прибавлю 8.

Значения, которые нам нужны:

a = — 1, b = — \,8 и c = 2

---

Пример 4 : Решите приведенное ниже квадратное уравнение, используя квадратную формулу.

Что ж, если вы думаете, что пример 3 — это «беспорядок», то этот должен быть еще «беспорядок». Однако вскоре вы поймете, что они действительно очень похожи.

Сначала нам нужно выполнить некоторую очистку, преобразовав это квадратное уравнение в стандартную форму. Звучит знакомо? Поверьте мне, эта проблема не так серьезна, как кажется, если мы знаем, что делать.

Напоминаем, что нам нужно нечто подобное 92} член с правой стороны.

• Удалите член x с правой стороны.

• Удалите константу с правой стороны.

После получения правильной стандартной формы на предыдущем шаге пришло время подставить значения a, b и c в квадратичную формулу, чтобы найти x.

• Из преобразованной стандартной формы извлеките необходимые значения.

a = 1, b = — \,4 и c = — \,14

• Затем вычислите эти значения по квадратичной формуле.

---

Вас также могут заинтересовать:

Решение квадратных уравнений методом квадратного корня
Решение квадратных уравнений методом факторинга
Решение квадратных уравнений методом возведения в квадрат

Квадратное уравнение: формула, использование, примеры, решения

Изучите квадратные уравнения

Если вы только начинаете работать с квадратными уравнениями, мы рады за вас! Это означает, что ваше приключение по алгебре действительно начинает становиться интересным (и мы имеем в виду «интересное» в хорошем смысле!).

Тем не менее, мы знаем, что «интересный» часто может начинаться как «запутанный». Если вы оказались там, мы рады, что вы здесь.

Когда мы начнем разбираться с уравнениями и формулами, сначала это может показаться ошеломляющим. Дайте себе время и пространство, чтобы преодолеть этот первоначальный шок, и по-настоящему погрузитесь в информацию. Поверьте нам: немного благодати изменит мир.

Готовы изучать квадратные уравнения?

Что такое квадратное уравнение? 92$$.

Но это еще не все: квадратное уравнение также является полиномиальным уравнением! Полиномиальное уравнение также является типом уравнения. В частности, это уравнение, состоящее из переменных, коэффициентов и показателей.

Итак, квадратные уравнения довольно уникальны — это полиномиальные уравнения второй степени. Фактически, это единственные полиномиальные уравнения второй степени! Почему? Потому что квадратное уравнение состоит из переменных, коэффициентов и показателей, а самый высокий показатель равен $$2$$.

Что такое квадратное число в математике?

«Квадратичная» также является типом задачи; более конкретно, это тот, который имеет дело с возведением переменной в квадрат или умножением этой переменной на саму себя.

Вот что помещает «квадратичное» в «квадратное уравнение» — потому что переменная $$x$$ возведена в квадрат.

Многочлены второго порядка

Многочлен второго порядка имеет все необходимые элементы многочлена (переменные, коэффициенты и показатели), расположенные в особом формате: 92 + bx + c = 0$$

Другое требование для многочлена второго порядка состоит в том, что $$a$$ не равно нулю ($$a ≠ 0$$).

Забавный факт: график многочлена второго порядка — это парабола!

П.С. – Следите за этим форматом. Просто может потом пригодиться.

Теперь, когда мы знаем, как идентифицировать и классифицировать квадратные уравнения, давайте перейдем к квадратным формулам. Мы начнем с нашего «почему», чтобы мы могли помнить об этом по мере продвижения вперед — и действительно, разве «почему» не всегда самая важная часть?

Для чего используется квадратичная формула?

Квадратная формула, как вы понимаете, используется для решения квадратных уравнений.

Существуют и другие методы, такие как разложение на множители или завершение квадрата, но квадратичная формула обычно является наиболее простым (и наименее запутанным) способом решения квадратного уравнения.

И, вопреки распространенному мнению, квадратичная формула существует вне уроков математики. В реальном мире квадратичную формулу можно использовать для определения скорости движущегося объекта, изучения линз и изогнутых зеркал или даже для определения траектории запуска ракеты в космос! Вы можете быть удивлены тем, как часто на самом деле используется квадратичная формула. 92-4ac}}{2a}$$

Квадратную формулу также иногда называют «формулой ABC», потому что мы используем эти коэффициенты $$a$$, $$b$$ и $$c$$ чтобы помочь нам разблокировать наше решение!

Эта формула — один из самых эффективных способов решения квадратных уравнений, поэтому неплохо запомнить ее. Если вы хотите узнать больше о том, как его использовать (с подробным примером!), мы можем помочь вам здесь.

Если вы готовы двигаться дальше, давайте поближе познакомимся с квадратичной формулой: 92-4ac}}{2a}$$.

Не знаете, как выглядит стандартная форма квадратного уравнения?

Вы можете удивить себя!

Стандартная форма квадратного уравнения

По мере того, как вы проводите больше времени с квадратными уравнениями, вы заметите, что мы много говорим о стандартной форме — и не зря. Это необходимый этап процесса!

Помните, мы говорили о формате многочленов второго порядка? На самом деле это стандартная форма квадратного уравнения! 92 + bx + c = 0$$

Правила работы с квадратными формулами

Когда дело доходит до работы с квадратными формулами и квадратными уравнениями, основные правила, которые вы должны помнить, на самом деле являются всеми основами арифметических операций!

Если вы чувствуете себя немного неуверенно в этом фундаменте, отправляйтесь сюда, чтобы мы могли помочь!

Как находить решения квадратных уравнений

Как и в большей части математики, существует несколько способов решения квадратных уравнений.

Мы сосредоточились на формуле ABC, потому что обычно это самый плавный и простой метод, но вы также можете попробовать: 92+bx+c=0$$ Добавьте и вычтите одно и то же значение из выражения, чтобы записать его в виде идеального квадрата

Знаете ли вы, что можно просто найти количество решений квадратного уравнения? Удивительно, на что способна математика, не так ли?

Решите квадратное уравнение

Мы рекомендуем выбрать метод из приведенного ниже раздела, если вы хотите, чтобы мы подробно рассмотрели каждый из них:

• Формула Азбуки
• Факторинг
• Извлечение квадратного корня
• Завершение квадрата

Однако, если вы застряли в решении проблемы, лучше всего отсканировать ее с помощью приложения Photomath, чтобы мы могли помочь ВАМ с этой конкретной проблемой — настолько подробно, насколько вам нужно.

Переход от квадратного уравнения к квадратной формуле

Глядя на квадратное уравнение и не знаете, как подставить его в квадратную формулу? 92=25$$

Заметили, что застряли? Отсканируйте проблему с помощью приложения Photomath! Мы можем пройти каждый шаг со всей необходимой вам глубиной и подробностью, используя любой метод, который вы предпочитаете.

Вот как мы решаем первый пример в приложении:

00:00 / 00:00

Как вывести квадратную формулу

Возможно, вы, как и мы, хотите узнать больше о квадратной формуле (да, мы действительно существуем). Если это ты, пристегнись! Мы собираемся пройтись по тому, как была получена квадратичная формула много лет назад. Вот шаг за шагом: 92-4ac}}{2a}$$ $$\text{Запишите два решения как одно, используя }\pm \text{ в числителе. Мы получили формулу квадрата!}$$

Есть домашнее задание по алгебре?

Зайдите в приложение Photomath, чтобы быстро найти пошаговые решения всех ваших задач по алгебре.

11.4: Решение квадратных уравнений с использованием квадратичной формулы

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

49996

• OpenStax
• OpenStax

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете: 9{2}-4 a b\), когда \(a=3\) и \(b=−2\).

Упростить \(\sqrt{108}\).

Упростить \(\sqrt{50}\).

Решение квадратных уравнений с помощью квадратной формулы

Когда мы решали квадратные уравнения в последнем разделе, завершая квадрат, мы каждый раз выполняли одни и те же шаги. К концу набора упражнений вы, возможно, задавались вопросом: «А нет ли более простого способа сделать это?» Ответ «да». Математики ищут закономерности, когда делают что-то снова и снова, чтобы облегчить себе работу. В этом разделе мы выведем и используем формулу для нахождения решения квадратного уравнения.

Мы уже видели, как решить формулу для конкретной переменной «в общем», так что мы проделаем алгебраические шаги только один раз, а затем используем новую формулу, чтобы найти значение конкретной переменной. Теперь мы пройдем этапы заполнения квадрата, используя общую форму квадратного уравнения, чтобы решить квадратное уравнение относительно \(x\) .

Начнем со стандартной формы квадратного уравнения и решим его относительно \(x\), заполнив квадрат.

9{2}-4 a c}}{2 a} \label{quad}\]

Чтобы использовать квадратную формулу , мы подставляем значения \(a,b\) и \(c\) из стандартную форму в выражение в правой части формулы. Тогда упростим выражение. Результатом является пара решений квадратного уравнения.

Обратите внимание, что квадратичная формула (Equation \ref{quad}) является уравнением. Убедитесь, что вы используете обе части уравнения.

Пример \(\PageIndex{1}\) Как решить квадратное уравнение с помощью квадратичной формулы 9{2}-4 \cdot 2 \cdot(-5)}}{2 \cdot 2}\)

Шаг 3 : Упростите дробь и найдите \(x\).   \(\begin{array}{l}{x=\dfrac{-9 \pm \sqrt{81-(-40)}}{4}} \\ {x=\dfrac{-9 \pm \sqrt {121}}{4}} \\ {x=\dfrac{-9 \pm 11}{4}} \\ {x=\dfrac{-9+11}{4}}\quad x=\dfrac{ -9-11}{4} \\ {x=\dfrac{2}{4} \quad \quad\:\:\: x=\dfrac{-20}{4}}\\ {x=\dfrac {1}{2} \quad\quad\:\:\: x=-5}\end{массив}\) 9{2}+b х+с=0\). {2}-6 x=-5\). 9{2}-4 \cdot \color{cyan}1 \color{black} \cdot ( \color{limegreen}5 \color{black})}}{2 \cdot \color{cyan} 1} \)
Упрощение.

\(x=\dfrac{6 \pm \sqrt{36-20}}{2}\)

\(x=\dfrac{6 \pm \sqrt{16}}{2}\)

\(x=\dfrac{6 \pm 4}{2}\)

Перепишите, чтобы показать два решения.

\(x=\frac{6+4}{2}, \quad x=\frac{6-4}{2}\) 9{2}+24=-10 б\).

Ответить

\(b=-6, b=-4\)

Когда мы решали квадратные уравнения, используя свойство квадратного корня, мы иногда получали ответы, содержащие радикалы. Это также может произойти при использовании квадратичной формулы . Если мы получим радикал в качестве решения, окончательный ответ должен иметь радикал в его упрощенной форме. {2}+10 x+11=0\). 9{2}-4 а в}}{2 а}\)

Затем подставьте значения \(a, b\) и \(c\). Упрощение.

\(x=\dfrac{-10 \pm \sqrt{100-88}}{4}\)

 

\(x=\dfrac{-10 \pm \sqrt{12}}{4}\)

Упростите радикальное.

\(x=\dfrac{-10 \pm 2 \sqrt{3}}{4}\)

Вынесите общий множитель из числителя.

\(x=\dfrac{\color{red}{2}(-5 \pm \sqrt{3})}{4}\)

Удалить общие множители.

\(x=\dfrac{-5 \pm \sqrt{3}}{2}\)

9{2}+2 р+9=0\).

Решение :

Это уравнение имеет стандартную форму.
Определите значения \(a,b,c\).
Напишите квадратную формулу.
Затем подставьте значения \(a,b,c\).
Упрощение.
Упростите радикал, используя комплексные числа.
Упростите радикальное.
Умножьте общий множитель в числителе.
Удалить общие множители. 9{2}+b х+с=0\). Иногда нам нужно будет выполнить некоторую алгебру, чтобы привести уравнение к стандартной форме, прежде чем мы сможем использовать квадратную формулу. Пример \(\PageIndex{5}\) Решите с помощью квадратичной формулы: \(x(x+6)+4=0\). Решение : Наш первый шаг — привести уравнение к стандартной форме.   Распределите, чтобы получить уравнение в стандартной форме. Теперь это уравнение имеет стандартную форму. Определите значения \(a,b,c\). Напишите квадратную формулу. Затем подставьте значения \(a,b,c\). Упрощение.   Упростите радикальное. Умножьте общий множитель в числителе. Удалить общие множители. Запишите двумя решениями. Чек: Мы оставляем вам чек!   Таблица 9.3.6 Упражнение \(\PageIndex{9}\) Решите с помощью квадратичной формулы: \(x(x+2)−5=0\). Ответить \(x=-1+\sqrt{6}, x=-1-\sqrt{6}\) Упражнение \(\PageIndex{10}\) Решите с помощью квадратичной формулы: \(3y(y−2)−3=0\). Ответить 9{2}+\dfrac{2}{3} u=\dfrac{1}{3}\). Решение : Наш первый шаг — очистить дроби. 9{2}=0\). Из свойства нулевого продукта мы знаем, что это уравнение имеет только одно решение, \(x=3\). {2}-20 x=-25\). Решение :   Умножьте обе части на ЖК-дисплей, \(6\), чтобы очистить дроби. Умножить. Вычтите \(2\), чтобы получить уравнение в стандартной форме. Определите значения \(a, b\) и \(c\). Напишите квадратную формулу. Затем подставьте значения \(a, b,\) и \(c\). Упрощение.   Упростите радикальное. Умножьте общий множитель в числителе. Удалить общие множители. Перепишите, чтобы показать два решения. Чек: Мы оставляем вам чек!     Добавьте \(25\), чтобы получить уравнение в стандартной форме. Определите значения \(a, b\) и \(c\). Напишите квадратную формулу. Затем подставьте значения \(a, b\) и \(c\). Упрощение.   Упростите радикальное. Упростите дробь. Чек: Мы оставляем вам чек!   9{2}-40 т=-16\). Ответить \(t=\dfrac{4}{5}\) Использование дискриминанта для предсказания количества и типа решений квадратного уравнения Когда мы решали квадратные уравнения в предыдущих примерах, иногда мы получали два действительных решения, одно действительное решение, а иногда два комплексных решения. Есть ли способ предсказать количество и тип решений квадратного уравнения без фактического решения уравнения? Да, выражение под радикалом квадратной формулы позволяет нам легко определить количество и тип решений. Это выражение называется дискриминантом . Определение \(\PageIndex{2}\) Дискриминант Рисунок 9.3.85 Давайте посмотрим на дискриминант уравнений в некоторых примерах, а также на количество и тип решений этих квадратных уравнений. Квадратное уравнение (в стандартной форме) 9{2}-20 р+25=0\) Ответить \(2\) действительные растворы \(2\) комплексные растворы \(1\) действительное решение Определите наиболее подходящий метод для решения квадратного уравнения Ниже мы суммируем четыре метода, которые мы использовали для решения квадратных уравнений. Методы решения квадратных уравнений Факторинг 9{2}=k\) мы используем свойство Square Root. Для любого другого уравнения, вероятно, лучше всего использовать квадратную формулу. Помните, что вы можете решить любое квадратное уравнение, используя квадратную формулу, но это не всегда самый простой метод. Как насчет метода завершения квадрата? Большинство людей считают этот метод громоздким и предпочитают его не использовать. Нам нужно было включить его в список методов, потому что мы завершили квадрат в целом, чтобы вывести квадратную формулу. Вы также будете использовать процесс заполнения квадрата в других областях алгебры. 9{2}=125\) Ответить Квадратичная формула Факторинг или свойство квадратного корня Свойство квадратного корня Доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практики использования квадратичной формулы. Использование квадратичной формулы Решение квадратного уравнения с помощью формулы квадратного уравнения с комплексными решениями 9{2}-4 a c\) называется дискриминантом. Наверх Была ли эта статья полезной? Тип изделия Раздел или страница Автор ОпенСтакс Лицензия СС BY Показать страницу TOC нет Включено да Теги дискриминант квадратичная формула источник[1]-math-5178 Квадратные уравнения | Алгебра: очень краткое введение Фильтр поиска панели навигации Oxford AcademicАлгебра: очень краткое введениеОчень краткое введениеАлгебраКнигиЖурналы Термин поиска мобильного микросайта Закрыть Фильтр поиска панели навигации Oxford AcademicАлгебра: очень краткое введениеОчень краткое введениеАлгебраКнигиЖурналы Термин поиска на микросайте Расширенный поиск Иконка Цитировать Цитировать Разрешения Делиться Твиттер Подробнее CITE Хиггинс, Питер М. , ‘Квадратичные уравнения’ , Алгебра: очень короткое введение , очень короткие введения ( Oxford, 2015; онлайн, онлайн, онлайн, онлайн, онлайн, онлайн, онлайн, , ; Oxford Academic , 22 октября 2015 г. ), https://doi.org/10.1093/actrade/9780198732822.003.0004, , по состоянию на 29 сентября 2022 г. Выберите формат Выберите format.ris (Mendeley, Papers, Zotero).enw (EndNote).bibtex (BibTex).txt (Medlars, RefWorks) Закрыть Фильтр поиска панели навигации Oxford AcademicАлгебра: очень краткое введениеОчень краткое введениеАлгебраКнигиЖурналы Термин поиска мобильного микросайта Закрыть Фильтр поиска панели навигации Oxford AcademicАлгебра: очень краткое введениеОчень краткое введениеАлгебраКнигиЖурналы Термин поиска на микросайте Advanced Search Abstract Квадратное уравнение включает квадрат члена и принимает вид x 2 + bx + c = 0 . Квадратные выражения занимают центральное место в математике, а квадратичные приближения чрезвычайно полезны при описании процессов, направление которых меняется от момента к моменту. «Квадратные уравнения» описывают трехэтапный процесс решения. Во-первых, квадратное выражение разлагается на два линейных множителя, что позволяет записать два решения. Далее идет завершение квадрата, что позволяет решить любой конкретный квадратный. Наконец, завершение квадрата применяется к общему уравнению для получения квадратичной формулы, которая позволяет поместить три коэффициента в связанное выражение, которое затем дает решения. Ключевые слова: завершение квадрата, дискриминант, линейное программирование, парабола, многочлен, квадратное уравнение, отношение, прямоугольник Предмет Алгебра Серии Краткие введения В настоящее время у вас нет доступа к этой главе. Войти Получить помощь с доступом Получить помощь с доступом Доступ для учреждений Доступ к контенту в Oxford Academic часто предоставляется посредством институциональных подписок и покупок. Если вы являетесь членом учреждения с активной учетной записью, вы можете получить доступ к контенту одним из следующих способов: Доступ на основе IP Как правило, доступ предоставляется через институциональную сеть к диапазону IP-адресов. Эта аутентификация происходит автоматически, и невозможно выйти из учетной записи с IP-аутентификацией. Войдите через свое учреждение Выберите этот вариант, чтобы получить удаленный доступ за пределами вашего учреждения. Технология Shibboleth/Open Athens используется для обеспечения единого входа между веб-сайтом вашего учебного заведения и Oxford Academic. Нажмите Войти через свое учреждение. Выберите свое учреждение из предоставленного списка, после чего вы перейдете на веб-сайт вашего учреждения для входа. Находясь на сайте учреждения, используйте учетные данные, предоставленные вашим учреждением. Не используйте личную учетную запись Oxford Academic. После успешного входа вы вернетесь в Oxford Academic. Если вашего учреждения нет в списке или вы не можете войти на веб-сайт своего учреждения, обратитесь к своему библиотекарю или администратору. Войти с помощью читательского билета Введите номер своего читательского билета, чтобы войти в систему. Если вы не можете войти в систему, обратитесь к своему библиотекарю. Члены общества Доступ члена общества к журналу достигается одним из следующих способов: Войти через сайт сообщества Многие общества предлагают единый вход между веб-сайтом общества и Oxford Academic. Если вы видите «Войти через сайт сообщества» на панели входа в журнале: Щелкните Войти через сайт сообщества. При посещении сайта общества используйте учетные данные, предоставленные этим обществом. Не используйте личную учетную запись Oxford Academic. После успешного входа вы вернетесь в Oxford Academic. Если у вас нет учетной записи сообщества или вы забыли свое имя пользователя или пароль, обратитесь в свое общество. Вход через личный кабинет Некоторые общества используют личные аккаунты Oxford Academic для предоставления доступа своим членам. Смотри ниже. Личный кабинет Личную учетную запись можно использовать для получения оповещений по электронной почте, сохранения результатов поиска, покупки контента и активации подписок. Некоторые общества используют личные аккаунты Oxford Academic для предоставления доступа своим членам. Просмотр ваших зарегистрированных учетных записей Щелкните значок учетной записи в правом верхнем углу, чтобы: Просмотр вашей личной учетной записи и доступ к функциям управления учетной записью. Просмотр институциональных учетных записей, предоставляющих доступ. Выполнен вход, но нет доступа к содержимому Oxford Academic предлагает широкий ассортимент продукции. Подписка учреждения может не распространяться на контент, к которому вы пытаетесь получить доступ. Если вы считаете, что у вас должен быть доступ к этому контенту, обратитесь к своему библиотекарю. Ведение счетов организаций Для библиотекарей и администраторов ваша личная учетная запись также предоставляет доступ к управлению институциональной учетной записью. Здесь вы найдете параметры для просмотра и активации подписок, управления институциональными настройками и параметрами доступа, доступа к статистике использования и т. д. Покупка Наши книги можно приобрести по подписке или приобрести в библиотеках и учреждениях. Информация о покупке Примеры квадратного уравнения Что такое квадратное уравнение? Квадратное уравнение является уравнением второй степени, то есть оно содержит хотя бы один член, возведенный в квадрат. Стандартная форма: ax² + bx + c = 0, где a , b и c — константы или числовые коэффициенты, а x — неизвестная переменная. Продолжайте читать примеры квадратных уравнений в стандартных и нестандартных формах, а также список членов квадратных уравнений. пример квадратного уравнения Реклама Примеры уравнений стандартной формы Самый простой способ выучить квадратные уравнения — начать со стандартной формы. Хотя не каждое квадратное уравнение, которое вы видите, будет иметь эту форму, все же полезно увидеть примеры. Имейте в виду, что первая константа a не может быть нулем. Примеры стандартной формы квадратного уравнения (ax² + bx + c = 0): 6x² + 11x — 35 = 0 2x² — 4x — 2 = 0 -4x² — 7x +12 = 0 20x² -15x — 10 = 0 2x — 9 = 0 3x² + 4x + 2 = 0 -x² +6x + 18 = 0 Примеры неполных квадратных уравнений в стандартной форме. Ознакомьтесь с примерами нескольких различных экземпляров нестандартных квадратных уравнений. Отсутствует линейный коэффициент Иногда квадратное уравнение не имеет линейного коэффициента или bx части уравнения. Примеры включают в себя: 2x² — 64 = 0 x² — 16 = 0 9x² + 49 = 0 -2x² — 4 = 0 4x² + 81 = 0 -x = 0 = 0 = 0 -x — 9012. 3x² — 36 = 0 6x² + 144 = 0 Отсутствует постоянный член В квадратных уравнениях также может отсутствовать постоянный член, или с . Например: x² — 7x = 0 2x² + 8x = 0 -x² — 9x = 0 x² + 2x = 0 -6x² — 3x = 1 x 90 — 3 = 0 x — -12x² + 13x = 0 11x² — 27x = 0 Примеры квадратного уравнения в факторизованной форме Факторинг — это один из способов решения квадратного уравнения. Вот примеры квадратных уравнений в факторизованной форме: (x + 2)(x — 3) = 0 [стандартная форма: x² — 1x — 6 = 0] (x + 1)(x + 6) = 0 [стандартная форма: x² + 7x + 6 = 0] (x — 6)(x + 1) = 0 [стандартная форма: x² — 5x — 6 = 0] -3(x — 4)(2x + 3) = 0 [стандартная форма: -6x² + 15x + 36 = 0] (x — 5)(x + 3) = 0 [стандартная форма: x² − 2x − 15 = 0] (x — 5)(x + 2) = 0 [стандартная форма: x² — 3x — 10 = 0] (x — 4)(x + 2) = 0 [стандартная форма : x² — 2x — 8 = 0] (2x+3)(3x — 2) = 0 [стандартная форма: 6x² + 5x — 6] Примеры квадратных уравнений в других формах Примеры квадратных уравнений в других формах включают: x(x — 2) = 4 [при умножении и перемещении 4 становится x² — 2x — 4 = 0] x(2x + 3) = 12 [ при умножении и перемещении 12 становится 2x² — 3x — 12 = 0] 3x(x + 8) = -2 [при умножении и перемещении -2 становится 3x² + 24x + 2 = 0] 5x² = 9 — x [перемещая 9 и -x на другую сторону, становится 5x² + x — 9] -6x² = -2 + x [перемещая -2 и x на другую сторону, становится -6x² — x + 2] x² = 27x -14 [переместите -14 и 27x на другую сторону, станет x² — 27x + 14] x² + 2x = 1 [переместите «1» на другую сторону, станет x² + 2x — 1 = 0] 4x² — 7x = 15 [переместите 15 на другую сторону, станет 4x² + 7x — 15 = 0] -8x² + 3x = -100 [переместите -100 на другую сторону, станет -8x² + 3x + 100 = 0] 25x + 6 = 99 x² [перемещение 99 x 2 на другую сторону, становится -99 x² + 25x + 6 = 0] Реклама Условия квадратного уравнения Если вам нужно больше пояснений по квадратным уравнениям, ознакомьтесь со списком основных математических терминов. Они могут помочь вам лучше понять квадратные уравнения, для чего они нужны и как их решать. коэффициент — число, которое умножает переменную на определенную величину ( 4 в 4x ) заполнение квадрата и добавьте или вычтите постоянные члены константа — фиксированная величина в уравнении степень — наибольший показатель степени в уравнении; x 2 превращает уравнение в квадратное уравнение (или «второй степени»), а x 3 превращает уравнение в кубическое уравнение (или «третьей степени») 3 3 дискриминант — множитель в квадратном уравнении ( b 2 — 4ac в квадратной формуле), указывающий, имеет ли уравнение вещественное решение факторизация — метод решения квадратного уравнения путем поиска коэффициентов умножения уравнения парабола — плоская кривая, представляющая собой графическое представление квадратной функции наибольший показатель степени переменной представляет собой квадрат ( x 2 ) квадратичная функция — уравнение, выраженное как f(x) = a(x — h)2 которое используется для построения графика параболы действительное число — числа, которые дают положительный результат при умножении на себя (в отличие от мнимого числа, которое дает отрицательный результат [√(−1)] переменная — буква в математическом выражении который представляет собой неизвестное значение (обычно то, что вы решаете) вершина — минимальное или максимальное значение графической квадратичной функции, представленное точкой, где парабола меняет направление квадратичная формула — формула, используемая для решения квадратных уравнений: Логический мир математики Понимание квадратных уравнений — это фундаментальный навык как для алгебры, так и для геометрии. Теперь, когда вы видели несколько примеров квадратных уравнений, вы уже на пути к их решению! Узнайте больше о важных математических навыках с помощью этих примеров стандартного отклонения и о том, как оно используется в статистике. Штатный писатель средняя школа средняя школа колледж Статьи по теме Примеры мономов и полиномов Одночлен — это выражение в алгебре, которое содержит один член, например 3xy. Одночлены включают числа, целые числа и переменные, которые умножаются вместе, и переменные, которые умножаются вместе. Многочлен представляет собой сумму мономов, где каждый моном называется термином. Узнайте больше о разнице между мономами и многочленами, правилах для каждого термина и нескольких полезных примерах. Шаги к задачам на деление (с примерами) Математика может быть сложной. Упростите задачу, разбив такую ​​сложную тему, как деление, на простые для выполнения длинные этапы деления. Вот что такое длинное деление. Это способ разбить деление больших чисел на простые шаги. Изучите шаги на нескольких примерах с длинным делением. 10.3 Решение квадратных уравнений с использованием квадратной формулы — Элементарная алгебра 2e Цели обучения К концу этого раздела вы сможете: Решать квадратные уравнения по квадратной формуле Использование дискриминанта для предсказания числа решений квадратного уравнения Определите наиболее подходящий метод решения квадратного уравнения Приготовься 10,7 Прежде чем приступить к работе, пройдите этот тест на готовность. Упрощение: −20−510−20−510. Если вы пропустили эту проблему, просмотрите [ссылка]. Приготовься 10,8 Упрощение: 4+1214+121. Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 9. 29. Приготовься 10,9 Упрощение: 128128. Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 9.12. Когда мы решали квадратные уравнения в последнем разделе, дополняя квадрат, мы каждый раз делали одни и те же шаги. К концу набора упражнений вы, возможно, задавались вопросом: «А нет ли более простого способа сделать это?» Ответ «да». В этом разделе мы выведем и используем формулу, чтобы найти решение Квадратное уравнение. Мы уже видели, как решить формулу для определенной переменной «в общем», так что мы должны были бы сделать алгебраические шаги только один раз, а затем использовать новую формулу, чтобы найти значение конкретной переменной. Теперь мы пройдем этапы завершения квадрата в целом, чтобы решить квадратное уравнение для x . Может оказаться полезным взглянуть на один из примеров в конце последнего раздела, где мы решали уравнение вида видеть их с цифрами, а также «в целом» 9.0003 Начнем со стандартной формы квадратного уравнения и решим его для x , заполнив квадрат. ax2+bx+c=0a≠0ax2+bx+c=0a≠0 Изолируйте переменные термины с одной стороны. ax2+bx=-cax2+bx=-c Сделайте ведущий коэффициент 1, разделив на a. ax2a+bax=-caax2a+bax=-ca Упрощение. x2+bax=-cax2+bax=-ca Чтобы составить квадрат, найдите (12·ba)2(12·ba)2 и прибавьте к обеим частям уравнения . (12ba)2=b24a2(12ba)2=b24a2 x2+bax+b24a2=-ca+b24a2x2+bax+b24a2=-ca+b24a2 Левая сторона представляет собой идеальный квадрат, разложите его на множители. (x+b2a)2=-ca+b24a2(x+b2a)2=-ca+b24a2 Найдите общий знаменатель правой части и запишите эквивалентных дробей с общим знаменателем. (x+b2a)2=b24a2−c·4aa·4a(x+b2a)2=b24a2−c·4aa·4a Упрощение. (x+b2a)2=b24a2−4ac4a2(x+b2a)2=b24a2−4ac4a2 Объединить в одну фракцию. (x+b2a)2=b2−4ac4a2(x+b2a)2=b2−4ac4a2 Используйте свойство квадратного корня. х+b2a=±b2−4ac4a2x+b2a=±b2−4ac4a2 Упрощение. х+b2a=±b2−4ac2ax+b2a=±b2−4ac2a Добавьте -b2a-b2a к обеим частям уравнения. х=-b2a±b2-4ac2ax=-b2a±b2-4ac2a Объедините термины справа. х=-b±b2-4ac2ax=-b±b2-4ac2a Это последнее уравнение является квадратичной формулой. Квадратичная формула Решения квадратного уравнения вида ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0, a≠0a≠0 находятся по формуле: b2−4ac2a Чтобы использовать квадратичную формулу, мы подставляем значения a,b,ca,b,c в выражение в правой части формулы. Затем мы делаем всю математику, чтобы упростить выражение. Результат дает решение(я) квадратного уравнения. Пример 10.28 Как решить квадратное уравнение с помощью квадратичной формулы Решите 2×2+9x-5=02×2+9x-5=0 с помощью квадратичной формулы. Решение Попытайся 10.55 Решите 3y2−5y+2=03y2−5y+2=0 с помощью квадратичной формулы. Попытайся 10.56 Решите 4z2+2z−6=04z2+2z−6=0 с помощью квадратичной формулы. Как Решите квадратное уравнение, используя квадратную формулу. Шаг 1. Запишите квадратную формулу в стандартной форме. Определите значения aa, bb и cc. Шаг 2. Напишите квадратную формулу. Затем подставьте значения aa, bb и c.c. Шаг 3. Упрощать. Шаг 4. Проверьте решения. Если вы произносите формулу, когда пишете ее в каждой задаче, вы быстро ее запомните. И помните, квадратная формула — это уравнение. Убедитесь, что вы начинаете с «x=x=». Пример 10.29 Решите x2−6x+5=0x2−6x+5=0 с помощью квадратичной формулы. Решение Это уравнение имеет стандартную форму. Определите значения a, b, c . Напишите квадратную формулу. Затем подставьте значения a, b, c. Упрощение. Перепишите, чтобы показать два решения. Упрощение. Чек. Попытайся 10.57 Решите a2−2a−15=0a2−2a−15=0 с помощью квадратичной формулы. Попытайся 10.58 Решите b2+10b+24=0b2+10b+24=0 с помощью квадратичной формулы. Когда мы решали квадратные уравнения, используя свойство квадратного корня, мы иногда получали ответы, содержащие радикалы. Это может произойти и при использовании квадратичной формулы. Если мы получаем радикал в качестве решения, окончательный ответ должен иметь радикал в его упрощенной форме. Пример 10.30 Решите 4y2−5y−3=04y2−5y−3=0 с помощью квадратичной формулы. Решение Мы можем использовать квадратную формулу для решения переменной в квадратном уравнении, независимо от того, называется ли она « x ». Это уравнение имеет стандартную форму. Определите значения a, b, c . Напишите квадратную формулу. Затем подставьте значения a, b, c. Упрощение. Перепишите, чтобы показать два решения. Чек. Мы оставляем чек вам. Попытайся 10.59 Решите 2p2+8p+5=02p2+8p+5=0 с помощью квадратичной формулы. Попытайся 10.60 Решите 5q2−11q+3=05q2−11q+3=0 с помощью квадратичной формулы. Пример 10.31 Решите 2×2+10x+11=02×2+10x+11=0 с помощью квадратичной формулы. Решение Это уравнение имеет стандартную форму. Определите значения a, b, c . Напишите квадратную формулу. Затем подставьте значения a, b, c. Упрощение. Упростите радикал. Вынесите общий множитель в числителе. Удалите общие множители. Перепишите, чтобы показать два решения. Чек. Мы оставляем чек вам. Попытайся 10,61 Решите 3m2+12m+7=03m2+12m+7=0 с помощью квадратичной формулы. Попытайся 10,62 Решите 5n2+4n−4=05n2+4n−4=0 с помощью квадратичной формулы. Мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Итак, когда мы подставляем aa, bb и cc в квадратную формулу, если величина внутри радикала отрицательна, квадратное уравнение не имеет реального решения. Мы увидим это в следующем примере. Пример 10.32 Решите 3p2+2p+9=03p2+2p+9=0 с помощью квадратичной формулы. Решение Это уравнение имеет стандартную форму. Определите значения a, b, c . Напишите квадратную формулу. Затем подставьте значения a, b, c. Упростить. Упростите радикальное. Мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Реального решения нет. Попытайся 10,63 Решите 4a2−3a+8=04a2−3a+8=0 с помощью квадратичной формулы. Попытайся 10,64 Решите 5b2+2b+4=05b2+2b+4=0 с помощью квадратичной формулы. Все квадратные уравнения, которые мы решали до сих пор в этом разделе, были записаны в стандартной форме: ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0. Иногда нам нужно будет выполнить некоторую алгебру, чтобы привести уравнение к стандартной форме, прежде чем мы сможем использовать квадратную формулу. Пример 10.33 Решите x(x+6)+4=0x(x+6)+4=0 с помощью квадратичной формулы. Решение Распределите, чтобы получить уравнение в стандартной форме. Теперь это уравнение имеет стандартную форму. Определите значения a, b, c . Напишите квадратную формулу. Затем подставьте значения a, b, c. Упрощение. Упрощение внутри корня. Упростите радикальное. Вынесите общий множитель в числителе. Удалите общие множители. Перепишите, чтобы показать два решения. Чек. Мы оставляем чек вам. Попытайся 10,65 Решите x(x+2)−5=0x(x+2)−5=0 с помощью квадратичной формулы. Попытайся 10,66 Решите y(3y−1)−2=0y(3y−1)−2=0 с помощью квадратичной формулы. Когда мы решали линейные уравнения, если в уравнении было слишком много дробей, мы «очищали дроби», умножая обе части уравнения на ЖК-дисплее. Это дало нам эквивалентное уравнение — без дробей — для решения. Мы можем использовать ту же стратегию с квадратными уравнениями. Пример 10.34 Решите 12u2+23u=1312u2+23u=13 с помощью квадратичной формулы. Решение Умножьте обе части на ЖК-дисплей, 6, чтобы очистить дроби. Умножение. Вычтите 2, чтобы получить уравнение в стандартной форме. Определите значения a, b, c . Напишите квадратную формулу. Затем подставьте значения a, b, c. Упрощение. Упростите радикал. Вынесите общий множитель в числителе. Удалите общие множители. Перепишите, чтобы показать два решения. Чек. Мы оставляем чек вам. Попытайся 10,67 Решите 14c2−13c=11214c2−13c=112 с помощью квадратичной формулы. Попытайся 10,68 Решите 19d2−12d=−1219d2−12d=−12 с помощью квадратичной формулы. Подумайте об уравнении (x−3)2=0(x−3)2=0. Из принципа нулевых продуктов мы знаем, что это уравнение имеет только одно решение: x=3x=3. В следующем примере мы увидим, как использование квадратичной формулы для решения уравнения с полным квадратом также дает только одно решение. Пример 10.35 Решите 4×2−20x=−254×2−20x=−25 с помощью квадратичной формулы. Решение Добавьте 25, чтобы получить уравнение в стандартной форме. Определите значения a, b, c . Напишите квадратную формулу. Затем подставьте значения а, б, в. Упрощение. Упростите радикал. Упростите дробь. Чек. Мы оставляем чек вам. Знаете ли вы, что 4×2−20x+254×2−20x+25 — это правильный квадрат? Попытайся 10,69 Решите r2+10r+25=0r2+10r+25=0 с помощью квадратичной формулы. Попытайся 10.70 Решите 25t2−40t=−1625t2−40t=−16 с помощью квадратичной формулы. Использование дискриминанта для прогнозирования количества решений квадратного уравнения Когда мы решали квадратные уравнения в предыдущих примерах, иногда мы получали два решения, иногда одно решение, иногда никаких действительных решений. Есть ли способ предсказать количество решений квадратного уравнения без фактического решения уравнения? Да, количество внутри радикала квадратной формулы позволяет нам легко определить количество решений. Эта величина называется дискриминантом. дискриминант В квадратичной формуле x=−b±b2−4ac2ax=−b±b2−4ac2a величина b2−4acb2−4ac называется дискриминантом. Давайте посмотрим на дискриминант уравнений в примере 10.28, примере 10.32 и примере 10.35, а также на количество решений этих квадратных уравнений. Квадратное уравнение (в стандартной форме) Дискриминант b2-4acb2-4ac Знак дискриминанта Количество действительных решений Пример 10. 28 2×2+9x-5=02×2+9x-5=0 92−4·2(−5)=12192−4·2(−5)=121 + 2 Пример 10.35 4×2-20x+25=04×2-20x+25=0 (-20)2-4·4·25=0(-20)2-4·4·25=0 0 1 Пример 10.32 3п2+2п+9=03п2+2п+9=0 22−4·3·9=−10422−4·3·9=−104 — 0 Когда дискриминант положителен (x=−b±+2a)(x=−b±+2a), квадратное уравнение имеет два решения . Когда дискриминант равен нулю (x=−b±02a)(x=−b±02a) квадратное уравнение имеет одно решение . Когда дискриминант отрицателен (x=-b±-2a)(x=-b±-2a), квадратное уравнение не имеет действительных решений . Как Используйте дискриминант b2−4acb2−4ac, чтобы определить количество решений квадратного уравнения. Для квадратного уравнения вида ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0, a≠0a≠0, , если b2−4ac>0b2−4ac>0, уравнение имеет два решения. , если b2−4ac=0b2−4ac=0, уравнение имеет одно решение. , если b2−4ac<0b2−4ac<0, уравнение не имеет действительных решений. Пример 10.36 Определить количество решений каждого квадратного уравнения: ⓐ 2v2−3v+6=02v2−3v+6=0 ⓑ 3×2+7x−9=03×2+7x−9=0 ⓒ 5n2+n+4=05n2+n+4=0 ⓓ 9y2−6y+1 =09y2−6y+1=0 Решение Чтобы определить количество решений каждого квадратного уравнения, посмотрим на его дискриминант. ⓐ 2v2−3v+6=02v2−3v+6=0 Уравнение в стандартной форме, идентифицируйте a , b , c . а=2,б=-3,в=6а=2,б=-3,в=6 Запишите дискриминант. б2-4асб2-4ас Замените значения на , на b , на . (3)2−4·2·6(3)2−4·2·6 Упрощение. 9-48-399-48-39 Поскольку дискриминант отрицателен, у уравнения нет действительных решений. ⓑ 3×2+7x-9=03×2+7x-9=0 Уравнение в стандартной форме, идентифицируйте a , b , c . а=3,б=7,в=-9а=3,б=7,в=-9 Запишите дискриминант. б2-4асб2-4ас Замените значения на , на b , на . (7)2−4·3·(−9)(7)2−4·3·(−9) Упрощение. 49+10815749+108157 Поскольку дискриминант положителен, у уравнения есть два решения. ⓒ 5n2+n+4=05n2+n+4=0 Уравнение в стандартной форме, идентифицируйте a , b , c . а=5,б=1,в=4а=5,б=1,в=4 Запишите дискриминант. б2-4асб2-4ас Замените значения на , на b , на . (1)2−4·5·4(1)2−4·5·4 Упрощение. 1-80-791-80-79 Поскольку дискриминант отрицателен, у уравнения нет действительных решений. ⓓ 9y2−6y+1=09y2−6y+1=0 Уравнение в стандартной форме, определите а , б , с . а=9,б=-6,в=1а=9,б=-6,в=1 Запишите дискриминант. б2-4асб2-4ас Замените значения на , на b , на . (-6)2-4·9·1(-6)2-4·9·1 Упрощение. 36−36036−360 Поскольку дискриминант равен 0, уравнение имеет одно решение. Попытайся 10,71 Определить количество решений каждого квадратного уравнения: ⓐ 8m2−3m+6=08m2−3m+6=0 ⓑ 5z2+6z−2=05z2+6z−2=0 ⓒ 9w2+24w+16=09w2 +24w+16=0 ⓓ 9u2−2u+4=09u2−2u+4=0 Попытайся 10,72 Определить количество решений каждого квадратного уравнения: ⓐ b2+7b−13=0b2+7b−13=0 ⓑ 5a2−6a+10=05a2−6a+10=0 ⓒ 4r2−20r+25=04r2 −20r+25=0 ⓓ 7t2−11t+3=07t2−11t+3=0 Определите наиболее подходящий метод для решения квадратного уравнения Мы использовали четыре метода решения квадратных уравнений: Факторинг Свойство квадратного корня Завершение квадрата Квадратичная формула Вы можете решить любое квадратное уравнение, используя квадратную формулу, но это не всегда самый простой метод. Как Определите наиболее подходящий метод решения квадратного уравнения. Шаг 1. Попробуйте Факторинг первый. Если квадратичные факторы легко, этот метод очень быстро. Шаг 2. Затем попробуйте свойство квадратного корня . Если уравнение соответствует форме ax2=kax2=k или a(x−h)2=ka(x−h)2=k, его можно легко решить, используя свойство квадратного корня. Шаг 3. Используйте квадратичную формулу . Любое квадратное уравнение можно решить с помощью квадратной формулы. Как насчет способа заполнения квадрата? Большинство людей считают этот метод громоздким и предпочитают его не использовать. Нам нужно было включить его в эту главу, потому что мы завершили квадрат в целом, чтобы вывести квадратную формулу. Вы также будете использовать процесс заполнения квадрата в других областях алгебры. Пример 10.37 Определите наиболее подходящий метод для решения каждого квадратного уравнения: ⓐ 5z2=175z2=17 ⓑ 4×2−12x+9=04×2−12x+9=0 ⓒ 8u2+6u=118u2+6u=11 Решение ⓐ 5z2=175z2=17 Поскольку уравнение находится в виде ax2=kax2=k, наиболее подходящим методом является использование свойства квадратного корня. ⓑ 4×2−12x+9=04×2−12x+9=0 Мы понимаем, что левая часть уравнения представляет собой точный квадратный трехчлен, поэтому наиболее подходящим методом будет факторинг. ⓒ 8u2+6u=118u2+6u=11 Приведите уравнение к стандартной форме. 8u2+6u−11=08u2+6u−11=0 Хотя нашей первой мыслью может быть попытка факторинга, размышления обо всех возможностях проб и ошибок приводят нас к выбору квадратичной формулы как наиболее подходящего метода Попытайся 10,73 Определите наиболее подходящий метод для решения каждого квадратного уравнения: ⓐ x2+6x+8=0x2+6x+8=0 ⓑ (n−3)2=16(n−3)2=16 ⓒ 5p2 −6p=95p2−6p=9 Попытайся 10,74 Определите наиболее подходящий метод для решения каждого квадратного уравнения: ⓐ 8a2+3a−9=08a2+3a−9=0 ⓑ 4b2+4b+1=04b2+4b+1=0 ⓒ 5c2=1255c2= 125 Раздел 10.3 Упражнения Практика делает совершенным Решение квадратных уравнений с помощью квадратичной формулы В следующих упражнениях решите с помощью квадратичной формулы. 99. 4м2+м-3=04м2+м-3=0 г. 100. 4n2−9n+5=04n2−9n+5=0 101. 2p2−7p+3=02p2−7p+3=0 102. 3q2+8q−3=03q2+8q−3=0 103. р2+7р+12=0р2+7р+12=0 104. д2+3д-18=0д2+3д-18=0 105. r2-8r-33=0r2-8r-33=0 106. т2+13т+40=0т2+13т+40=0 107. 3u2+7u−2=03u2+7u−2=0 108. 6з2−9г+1=06г2-9г+1=0 109. 2а2-6а+3=02а2-6а+3=0 110. 5b2+2b-4=05b2+2b-4=0 111. 2×2+3x+9=02×2+3x+9=0 112. 6y2−5y+2=06y2−5y+2=0 113. v(v+5)−10=0v(v+5)−10=0 114. 3w(w−2)−8=03w(w−2)−8=0 115. 13м2+112м=1413м2+112м=14 116. 13n2+n=-1213n2+n=-12 117. 16с2+24с+9=016с2+24с+9=0 118. 25d2−60d+36=025d2−60d+36=0 119. 5м2+2м-7=05м2+2м-7=0 120. 8n2−3n+3=08n2−3n+3=0 121. р2-6р-27=0р2-6р-27=0 122. 25q2+30q+9=025q2+30q+9=0 123. 4r2+3r−5=04r2+3r−5=0 124. 3t(t−2)=23t(t−2)=2 125. 2а2+12а+5=02а2+12а+5=0 126. 4d2−7d+2=04d2−7d+2=0 127. 34b2+12b=3834b2+12b=38 128. 19с2+23с=319с2+23с=3 129. 2×2+12x−3=02×2+12x−3=0 130. 16у2+8у+1=016у2+8у+1=0 Использование дискриминанта для предсказания числа решений квадратного уравнения В следующих упражнениях определите количество решений каждого квадратного уравнения. 131. ⓐ 4×2−5x+16=04×2−5x+16=0 ⓑ 36у2+36у+9=036у2+36у+9=0 ⓒ 6м2+3м-5=06м2+3м-5=0 ⓓ 18n2−7n+3=018n2−7n+3=0 132. ⓐ 9v2−15v+25=09v2−15v+25=0 ⓑ 100w2+60w+9=0100w2+60w+9=0 ⓒ 5c2+7c−10=05c2+7c−10=0 ⓓ 15d2−4d+8=015d2−4d+8=0 133. ⓐ r2+12r+36=0r2+12r+36=0 ⓑ 8t2−11t+5=08t2−11t+5=0 ⓒ 4u2−12u+9=04u2−12u+9=0 ⓓ 3v2−5v−1=03v2−5v−1=0 134. ⓐ 25p2+10p+1=025p2+10p+1=0 ⓑ 7q2-3q-6=07q2-3q-6=0 ⓒ 7у2+2у+8=07у2+2у+8=0 ⓓ 25z2−60z+36=025z2−60z+36=0 Определение наиболее подходящего метода решения квадратного уравнения В следующих упражнениях определите наиболее подходящий метод (факторинг, вычисление квадратного корня или квадратную формулу) для решения каждого квадратного уравнения. Не решить. 135. ⓐ x2−5x−24=0x2−5x−24=0 ⓑ (y+5)2=12(y+5)2=12 ⓒ 14m2+3m=1114m2+3m=11 136. ⓐ (8v+3)2=81(8v+3)2=81 ⓑ w2-9w-22=0w2-9w-22=0 ⓒ 4n2-10=64n2-10=6 137. ⓐ 6a2+14=206a2+14=20 ⓑ (x−14)2=516(x−14)2=516 ⓒ y2−2y=8y2−2y=8 138. ⓐ 8b2+15b=48b2+15b=4 ⓑ 59v2−23v=159v2−23v=1 ⓒ (w+43)2=29(w+43)2=29 Математика на каждый день 139. Ракета запускается прямо с корабля в море. Решите уравнение 16(t2-13t+40)=016(t2-13t+40)=0 для tt, количества секунд, которое потребуется для того, чтобы вспышка находилась на высоте 640 футов. 140. Архитектор проектирует вестибюль отеля. Она хочет иметь треугольное окно, выходящее в атриум, с шириной окна на 6 футов больше, чем высота. Из-за ограничений по энергопотреблению площадь окна должна составлять 140 квадратных футов. Решите уравнение 12h3+3h=14012h3+3h=140 для hh, высоты окна. Письменные упражнения 141. Решите уравнение x2+10x=200×2+10x=200 ⓐ, заполнив квадрат ⓑ с помощью квадратичной формулы ⓒ Какой метод вы предпочитаете? Почему? 142. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт