Расходящиеся и сходящиеся ряды: Страница не найдена — ПриМат

Содержание

Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды. — КиберПедия

Навигация:

Главная Случайная страница Обратная связь ТОП Интересно знать Избранные

Топ:

Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж…

Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении…

Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда…

Интересное:

Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления…

Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений.

Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является…

Дисциплины:

Автоматизация Антропология Археология Архитектура Аудит Биология Бухгалтерия Военная наука Генетика География Геология Демография Журналистика Зоология Иностранные языки Информатика Искусство История Кинематография Компьютеризация Кораблестроение Кулинария Культура Лексикология Лингвистика Литература Логика Маркетинг Математика Машиностроение Медицина Менеджмент Металлургия Метрология Механика Музыкология Науковедение Образование Охрана Труда Педагогика Политология Правоотношение Предпринимательство Приборостроение Программирование Производство Промышленность Психология Радиосвязь Религия Риторика Социология Спорт Стандартизация Статистика Строительство Теология Технологии Торговля Транспорт Фармакология Физика Физиология Философия Финансы Химия Хозяйство Черчение Экология Экономика Электроника Энергетика Юриспруденция

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 12Следующая ⇒

Простейшие свойства сходящихся рядов.

1. Если ряд сходится, то сходится любой из его остатков. Наоборот, из сходимости какого-то остатка вытекает сходимость всего ряда. Отсюда следует, что изменение или выбрасывание конечного числа членов ряда не изменяет его сходимости или расходимости.

2. Если ряд сходится, то .

3. Если ряд сходится, то сходится ряд и имеет место равенство .

4. Если ряды и сходятся, то сходится и ряд имеет место равенство .

5. Если ряд сходится, то .

Отсюда следует

Признак расходимости ряда. Если , то ряд расходится

Исследование ряда на сходимость.

Сходимость рядов. Признаки сравнения

Необходимый признак сходимости, вообще говоря, не гарантирует сходимости ряда. Сходимость или расходимость ряда устанавливается с помощью достаточных признаков. Признаки сравнения, которые мы рассмотрим ниже, как раз и представляют собой достаточные признаки сходимости или расходимости рядов.

Признаки сравнения рядов Даны два ряда и − такие, что для всех n. Тогда справедливы следующие признаки:  Если сходится, то также сходится;  Если расходится, то также расходится. Предельные признаки сравнения рядов Пусть даны два ряда и , у которых члены an и bn положительны для всех n. Тогда справедливы следующие предельные признаки: Если , то оба ряда и либо сходятся, либо расходятся; Если , то ряд сходится, если сходится ряд ; Если , то ряд расходится, если расходится ряд . Так называемый обобщенный гармонический ряд сходится при p > 1 и расходится при 0 < p ≤ 1.

Пример 1

Определить, сходится или расходится ряд . Решение. Легко видеть, что для n > 1. Применяя далее признак сравнения, находим Поскольку ряд сходится как обобщенный гармонический ряд с показателем степени p = 2, то исходный ряд также сходится.

Признак Даламбера.

Признак Даламбера — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Если для числового ряда

существует такое число , , что начиная с некоторого номера выполняется неравенство

то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера

то ряд расходится.

Признак сходимости д’Аламбера в предельной форме

Если существует предел

то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если , а если — расходится .

Замечание. Если , то признак д′Аламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Примеры

Ряд

абсолютно сходится для всех комплексных , так как

Ряд

расходится при всех , так как

Если , то ряд может как сходиться, так и расходиться: оба ряда

удовлетворяют этому условию, причём первый ряд расходится, а второй сходится.

38. Признак Коши.

Радикальный признак Коши — признак сходимости числового ряда:

Если для числового ряда с неотрицательными членами существует такое число , , что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство , то данный ряд сходится.

Предельная форма

Условие радикального признака равносильно следующему:

То есть можно сформулировать радикальный признак сходимости знакоположительного ряда в предельной форме:

Если для ряда , то если ряд сходится, если ряд расходится, если вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Доказательство

1. Пусть . Очевидно, что существует такое , что . Поскольку существует предел , то подставив в определение предела выбранное получим:

Раскрыв модуль, получаем:

Поскольку , то ряд сходится. Следовательно, по признаку сравнения ряд тоже сходится.

2. Пусть . Очевидно, что существует такое , что . Поскольку существует предел , то подставив в определение предела выбранное получим:

Раскрыв модуль, получаем:

Поскольку , то ряд расходится. Следовательно, по признаку сравнения ряд тоже расходится.

Примеры

1. Ряд

сходится, так как выполняется условие предельной формы радикального признака теоремы Коши

2. Рассмотрим ряд

ряд сходится.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого…

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим…

Папиллярные узоры пальцев рук — маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни.

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций…

Сходящиеся и расходящиеся ряды

Заглавная страница
Избранные статьи
Случайная статья
Познавательные статьи
Новые добавления
Обратная связь

КАТЕГОРИИ:

Археология
Биология
Генетика
География
Информатика
История
Логика
Маркетинг
Математика
Менеджмент
Механика
Педагогика
Религия
Социология
Технологии
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология

ТОП 10 на сайте

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Техника нижней прямой подачи мяча.

Франко-прусская война (причины и последствия)

Организация работы процедурного кабинета

Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний

Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Обработка изделий медицинского назначения многократного применения

Образцы текста публицистического стиля

Четыре типа изменения баланса

Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву

Мы поможем в написании ваших работ!

ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Влияние общества на человека

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Практические работы по географии для 6 класса

Организация работы процедурного кабинета

Изменения в неживой природе осенью

Уборка процедурного кабинета

Сольфеджио. Все правила по сольфеджио

Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 5Следующая ⇒

Пусть задана последовательность (a_n) действительных чисел

a₁, a₂, a₃, …,a_n, … . (1.1)

Сопоставим этой последовательности чисел последовательность (S_n) конечных сумм вида:

S₁=a₁,

S₂=a₁+a₂,

S₃=a₁

+a₂+a₃, …,

S_n=a₁+a₂+…+a_n,…

Однако на практике часто приходят к задачам суммирования бесконечной последовательности чисел (1.1). В этом случае вместо слов последовательность (a_n) и последовательность (S_n) употребляют слово ряд. Для обозначения ряда используют символы:

a₁+a₂+…+a_n+…

или

(1. 2)

Число называют n-й частичной суммой ряда , а число a_n– n-м (общим) членом этого ряда.

Так как каждому ряду соответствует последовательность (S_n) его частичных сумм, и, наоборот, каждой последовательности (S_n) соответствует ряд , где a₁=S₁, a₂=S₂-S₁,…, a_n=S_n-S_n_-1,…, то каждое свойство последовательностей можно переформулировать в некоторое свойство рядов заменой характеристики членов последовательности соответствующей характеристикой членов ряда.

Таким образом, фразы «последовательность (a_n)», «последовательность (S_n)», «совокупность последовательностей (a_n) и (S_n) », «ряд » суть математические синонимы.

При определении ряда естественно возникают вопросы:

1. Что такое «сумма» бесконечной последовательности чисел?

2. Если сумма существует, то каковы ее свойства?

Прежде чем ответить на эти вопросы, рассмотрим следующие примеры.

Пример 1. Отрезок [1,0] разобьем пополам (на два равных отрезка).

Правую половину отрезка, то есть отрезок [1/2, 1], снова разделим пополам, затем разобьем пополам отрезок [3/4, 1] и т. д. Продолжая этот процесс до бесконечности, получим разбиение отрезка [0, 1] на бесконечное множество отрезков: [0, 1/2], [1/2, 3/4], [3/4, 7/8], [7/8, 5/16],… Естественно считать, что «сумма» длин всех отрезков, на которые разбит отрезок [0, 1], равна длине отрезка, т.е. единице. Иными словами,

(1.3)

Это рассуждение было известно еще грекам, и философ Зенон (ок. 490 г. до н.э.), известный своими «парадоксами», оспаривал его законность. Один из парадоксов утверждал, что бегущий человек никогда не сможет достичь своей цели, поскольку он должен пробежать сначала половину требуемой дистанции, затем половину оставшейся части дистанции и т. д.; таким образом, он должен пробежать бесконечное множество расстояний, а это будет продолжаться вечно.

Если бы мы попытались вычислить сумму (1.3), последовательно выполняя все указанные в ней сложения, то это, конечно, никогда бы не окончилось.

И все-таки равенство (1.3) в некотором смысле верно. В чем же заключается точный его смысл?

Определим понятие суммы ряда. Прежде обратимся к примеру 1. Последовательности сопоставим последовательность частичных сумм (S_n), где

Ясно, что является длиной отрезка.

Определение. Если последовательность (S_n) частичных сумм ряда сходится, то ее предел называют суммой ряда, а сам ряд (1. 2) называют сходящимся или суммируемым. В этом случае пишут:

Если , или предел последовательности не существует, то ряд называют расходящимся.

Если , то говорят, что ряд расходится к + , и пишут Аналогично в случае считаем, что

Пример 2. Рассмотрим ряд

Для этого ряда Данный ряд расходится к + .

Пример 3. Рассмотрим ряд Поскольку для этого ряда то последовательность не имеет предела при . Следовательно, ряд расходится. Заметим, что этот ряд не расходится ни к ни к

Пример 4. Рассмотрим последовательность

Ей соответствует ряд , где Так как последовательность сходится при и расходится при то и ряд сходится при и расходится при

Не существует каких-либо общих методов нахождения сумм сходящихся рядов. Эту задачу удается решить только в отдельных частных случаях.

Пример 5. Исследуем сходимость и найдем его сумму.

Так как то последовательность частичных сумм имеет . Итак, заданный ряд сходится и его сумма

Замечание. Для представления общего члена ряда в виде суммы простейших дробей полезно использовать метод неопределенных коэффициентов.

Пример 6. Исследуем на сходимость ряд

Представим общий член ряда в виде суммы простейших дробей:

Умножая обе части этого равенства на знаменатель левой части, приходим к тождеству: 1≡A(n+1)(n+2)+Bn(n+2)+Cn(n+1).

Последовательно полагая n=0, -1, -2, находим:

Таким образом,

Отсюда:

Ясно, что

следовательно, данный ряд сходится и его сумма

Пример 7. Исследуем на сходимость ряд

Преобразуем формулуn-го члена ряда, представив его в виде суммы простейших дробей: Выпишем последовательность частичных сумм данного ряда и найдем ее предел:

Следовательно, ряд сходится и его сумма

Пример 8. Выясним, сходится или расходится ряд

Частичные суммы ряда равны:

Имеем т.к. аргумент логарифма, а значит и сам логарифм при стремятся к бесконечности. Следовательно, исследуемый ряд расходится.

Пример 9. Пусть m–фиксированное натуральное число. Исследуем на сходимость ряд называемый рядом обратных факториалов.

Преобразуем общий член ряда по формуле

Выпишем последовательность частичных сумм данного ряда:

Так как то

Пример 10. Пусть члены ряда представимы в виде:

и пусть существует конечный предел:

Тогда исходный ряд сходится и его сумма равна т.е.

= (1. 4)

Действительно,

т.е.

Так как то отсюда получаем и поэтому справедлива формула (1. 4).

Применим данное свойство для ряда с общим членом:

Представим его в виде:

Обозначим Тогда причем По формуле (1. 4) находим:

Пример 11. Найдем сумму ряда

Так как то

Отсюда:

Рассмотрим так называемые эталонные ряды, которые часто используются при исследовании сходимости многих рядов.

Пример 12. Исследуем сходимость гармонического[1]ряда:

Его частичная сумма Пусть Тогда

Таким образом, Последовательность не ограничена сверху, а потому не может быть сходящейся, так как сходящаяся последовательность ограничена. Следовательно, ряд расходится.

Приведем еще одно доказательство того, что гармонический ряд расходится. Действительно, если бы он сходился, то, обозначив его сумму через S, мы бы имели:

(1.5)

Но т.е. что противоречит (1.5).

Заметим, что гармонический ряд расходится очень «медленно». Л.Эйлер, например, вычислил, что

(Леонард Эйлер (1707– 1783) – математик, физик, механик; родился в Швейцарии, большую часть жизни прожил в России и в Германии, активно участвовал во многих направлениях деятельности Петербургской и Берлинской академий.)

Пример 13. Ряд называется обобщенным гармоническим. При — это гармонический ряд, и его расходимость доказана. Покажем, что этот ряд расходится и при

Здесь и при любом . Следовательно, и поэтому при данный ряд расходится. Итак, обобщенный гармонический ряд расходится при Ниже будет доказано, что при этот ряд сходится.

Пример 14. Исследуем на сходимость ряд где q-действительное число:

Преобразуем частичную сумму этого ряда следующим образом:

Отсюда Следовательно, ряд сходится и его

сумма равна

В частности, если то

1. 2. Число e как сумма ряда

Нам известно, что В этом пункте мы изучим ряд, с помощью которого можно указать достаточно хороший способ вычисления числа e.

По формуле бинома Ньютона:

Полагая и имеем

С другой стороны, при любом фиксированном k и любом из того же разложения имеем:

При левая часть последнего неравенства стремится к , а правая – к числу e, поэтому для любого Но тогда из двойного неравенства по известной теореме о пределе промежуточной последовательности получаем, что По определению суммы ряда теперь можно записать:

Оценим разность

Таким образом, чтобы абсолютная погрешность приближения числа e числом не превосходила, например, достаточно, чтобы имело место неравенство . Этому условию удовлетворяет уже

В заключение покажем, что число e иррационально.

Предположим, что где Тогда при любом число целое и положительное. Следовательно, при любом

С другой стороны, Противоречие!

В 1873 году Ш. Эрмит (Шарль Эрмит (1822-1901) – французский математик, член Парижской Академии наук) установил, что число e трансцендентно, т.е. не является корнем никакого алгебраического многочлена с целыми коэффициентами.

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Читайте также:

Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману

Последнее изменение этой страницы: 2016-09-18; просмотров: 908; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia. su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь — 161.97.168.212 (0.035 с.)

Бесконечный числовой ряд и последовательность его частичных сумм. Сходящиеся и расходящиеся ряды.

Главная | Обратная связь

Стр 1 из 16Следующая ⇒

Глава 1. Числовые ряды.

1.1 Бесконечный числовой ряд и последовательность его частичных сумм. Сходящиеся и расходящиеся ряды.

1.2 Остаток ряда.

1.3 Умножение ряда на число и сложение рядов.

1.4 Необходимый признак сходимости числового ряда. Гармонический ряд.

1.5 Ряды с положительными членами. Необходимый и достаточный признак сходимости таких рядов.

1.6 Достаточные признаки сходимости положительных рядов

п. 1. Признак сравнения.

п. 2. Признак Даламбера.

п. 3. Радикальный признак Коши.

п. 4. Интегральный признак Коши.

1.7 Знакочередующиеся ряды.

1.8 Критерий сходимости произвольных рядов.

1.9 Абсолютная и неабсолютная сходимость рядов.

1.10 Свойства сходящихся рядов.

1.11 Умножение рядов.

Вопросы для самоконтроля по главе 1.

Глава 2. Функциональные последовательности и ряды

2.1 Функциональные последовательности. Равномерная сходимость.

2.2 Функциональные ряды. Равномерная сходимость.

2.3 Признаки равномерной сходимости функциональных последовательностей и функциональных рядов.

2.4 Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов и функциональных последовательностей.

2.5 Область сходимости степенного ряда.

2.6 Функциональные свойства суммы степенного ряда.

2.7 Задача разложения функции в степенной ряд. Единственность разложения. Формула Тейлора.

2.8 Формула Тейлора.

2.9 Условия разложимости функции в степенной ряд.

2.10 Разложение некоторых элементарных функций в степенной ряд.

2.11 Применение рядов к приближенным вычислениям.

Вопросы для самоконтроля по главе 2.

Контрольные задания.

Список рекомендуемой литературы.

Глава 1. Числовые ряды

Бесконечный числовой ряд и последовательность его частичных сумм. Сходящиеся и расходящиеся ряды.

Рассмотрим некоторую бесконечную последовательность чисел: Составленный из членов данной последовательности символ: (1) называется числовым рядом. Числа называются членами ряда, a_n — общий член ряда. Ряд принято обозначать так:
.

Станем последовательно складывать члены ряда (1), составляя суммы: Эти числа (2)
называются частичными суммами ряда (1).

Рассмотрим последовательность (2). Она может иметь конечный предел, может иметь бесконечный предел или совсем не иметь предела.

Определение.Если при последовательность (2) имеет конечный предел, то ряд (1) называется сходящийся, а число называется суммой ряда (1):

Определение.Если при последовательность (2) частичных сумм ряда (1) имеет бесконечный предел или не имеет предела, то ряд (1) называется расходящийся.

Таким образом, вопрос о сходимости ряда (1) равносилен вопросу о существовании конечного предела последовательности (2). И обратно, если мы рассмотрим последовательность , то вопрос о существовании конечного предела этой последовательности сводится к вопросу о сходимости следующего ряда: , (3)для которого ,… Таким образом, вопрос о существовании предела последовательности сводится к вопросу о сходимости ряда (3), для которого частичными суммами как раз и будут члены этой последовательности. При этом сумма ряда совпадает с пределом последовательности: .

Эти рассуждения показывают, что изучение бесконечного числового ряда есть просто новая форма изучения последовательности и ее предела.

Остаток ряда

Рассмотрим числовой ряд: . (1)

Отбросив в ряде (1) первые n членов, мы получим числовой ряд . (2)

Ряд (2) называется остатком ряда (1) после n-го члена.

Теорема 1.Если сходится ряд (1), то сходится и любой из его остатков. И обратно, если сходится какой-либо остаток ряда (1), то сходится и сам ряд (1).

Доказательство:
1) Пусть S — сумма сходящегося ряда (1). Для доказательства сходимости ряда (2) рассмотрим его k-ю частичную сумму W_k:

, где S_n и S_n₊_k – соответственно n-я и (n+k)-я частичные суммы ряда (1). Отметим, что здесь n — фиксированный номер, а k меняется. Переходя в последнем равенстве к пределу при k®¥, получим

Здесь мы учли, что в силу сходимости ряда (1) имеем: .

Итак, частичная сумма имеет конечный предел, т.е. ряд (2) сходится.

2) Пусть ряд (2) сходится. При фиксированном n ряд (2) представляет собой остаток ряда (1). Обозначим через сумму ряда (2), т.е. . Требуется доказать сходимость ряда (1). Имеем , т.е. (n+k)-я частичная сумма ряда (1) имеет конечный предел. Это и означает сходимость ряда (1).¨

Рассмотренную теорему можно было сформулировать и для расходимости.

Следствия:

1. Если ряд (1) сходится, то сумма его остатка после n-го члена стремится к нулю: .

2. Отбрасывание конечного числа начальных членов ряда или присоединение к ряду нескольких начальных членов не отражается на поведении ряда.

12345678910Следующая ⇒

Математический анализ.

Ряды — тест 2

Главная / Математика / Математический анализ. Ряды / Тест 2

Упражнение 1:

Номер 1

Отметьте верные утверждения:

Ответ:

&nbsp(1) общий множитель нельзя выносить за знак суммы&nbsp

&nbsp(2) сходящиеся ряды можно почленно складывать&nbsp

&nbsp(3) существует сходящийся ряд, -остаток которого расходится&nbsp

&nbsp(4) в сходящемся ряде можно произвольно группировать без изменения порядка его члены&nbsp

Номер 2

Отметьте верные утверждения:

Ответ:

&nbsp(1) из сходимости ряда следует сходимость рядов и &nbsp

&nbsp(2) общий множитель можно выносить за знак суммы&nbsp

&nbsp(3) ряд сходится, если его -остаток сходится&nbsp

&nbsp(4) в расходящемся ряде можно произвольно группировать без изменения порядка его члены&nbsp

Упражнение 2:

Номер 1

Отметьте верные утверждения:

Ответ:

&nbsp(1) расходящиеся ряды можно почленно складывать&nbsp

&nbsp(2) общий множитель нельзя выносить за знак суммы&nbsp

&nbsp(3) если -остаток ряда сходится, то и сам ряд сходится&nbsp

&nbsp(4) ряд, полученный из сходящегося ряда группировкой членов без изменения порядка, сходится&nbsp

Номер 2

Отметьте верные утверждения:

Ответ:

&nbsp(1) сходящиеся ряды можно почленно складывать&nbsp

&nbsp(2) общий множитель нельзя выносить за знак суммы&nbsp

&nbsp(3) ряд расходится, если его -остаток расходится&nbsp

&nbsp(4) ряд, полученный из расходящегося ряда группировкой членов без изменения порядка, расходится&nbsp

Номер 3

Отметьте верные утверждения:

Ответ:

&nbsp(1) из сходимости ряда следует сходимость рядов и &nbsp

&nbsp(2) общий множитель можно выносить за знак суммы&nbsp

&nbsp(3) существует сходящийся ряд, -остаток которого расходится&nbsp

&nbsp(4) сумма ряда, полученного из сходящегося ряда группировкой членов без изменения порядка, равна сумме исходного ряда&nbsp

Упражнение 3:

Номер 1

Пусть задан ряд с неотрицательными членами.  Отметьте верные утверждения:

Ответ:

&nbsp(1) ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху&nbsp

&nbsp(2) последовательность частичных сумм сходящегося ряда монотонна&nbsp

&nbsp(3) существуют расходящиеся ряды с положительными членами&nbsp

Номер 2

Пусть задан ряд с неотрицательными членами. Отметьте верные утверждения:

Ответ:

&nbsp(1) ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм монотонна&nbsp

&nbsp(2) последовательность частичных сумм сходящегося ряда ограничена сверху&nbsp

&nbsp(3) существуют расходящиеся ряды с положительными членами&nbsp

Номер 3

Пусть задан ряд с неотрицательными членами.  Отметьте верные утверждения:

Ответ:

&nbsp(1) ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху&nbsp

&nbsp(2) последовательность частичных сумм расходящегося ряда ограничена сверху&nbsp

&nbsp(3) все ряды с положительными членами сходятся&nbsp

Упражнение 4:

Номер 1

Пусть ряд  с положительными членами сходится. Какие условия должны выполняться:

Ответ:

&nbsp(1) существует сходящийся ряд , для которого &nbsp

&nbsp(2) существует число , что, начиная с некоторого номера, &nbsp

&nbsp(3) &nbsp

Номер 2

Пусть ряд  с положительными членами сходится.  Какие условия должны выполняться:

Ответ:

&nbsp(1) существует расходящийся ряд , для которого &nbsp

&nbsp(2) начиная с некоторого номера, &nbsp

&nbsp(3) &nbsp

Номер 3

Пусть ряд  с положительными членами сходится. Какие условия должны выполняться:

Ответ:

&nbsp(1) существует сходящийся ряд , для которого &nbsp

&nbsp(2) существует число , что, начиная с некоторого номера, &nbsp

&nbsp(3) &nbsp

Упражнение 5:

Номер 1

Пусть ряд  с положительными членами расходится.  Какие условия должны выполняться:

Ответ:

&nbsp(1) существует расходящийся ряд , для которого &nbsp

&nbsp(2) начиная с некоторого номера &nbsp

&nbsp(3) &nbsp

Номер 2

Пусть ряд  с положительными членами расходится. Какие условия должны выполняться:

Ответ:

&nbsp(1) существует сходящийся ряд , для которого &nbsp

&nbsp(2) начиная с некоторого номера, &nbsp

&nbsp(3) &nbsp

Номер 3

Пусть ряд  с положительными членами расходится.  Какие условия должны выполняться:

Ответ:

&nbsp(1) существует расходящийся ряд , для которого &nbsp

&nbsp(2) существует число , что, начиная с некоторого номера, &nbsp

&nbsp(3) &nbsp

Упражнение 6:

Номер 1

Отметьте все сходящиеся ряды:

Ответ:

&nbsp(1) &nbsp

&nbsp(2) &nbsp

&nbsp(3) &nbsp

&nbsp(4) &nbsp

Номер 2

Отметьте все расходящиеся ряды:

Ответ:

&nbsp(1) &nbsp

&nbsp(2) &nbsp

&nbsp(3) &nbsp

&nbsp(4) &nbsp

Главная / Математика / Математический анализ. Ряды / Тест 2

Лекция 11 Знакоположительные ряды.

Главная | Контакты | FAQ

Числовой ряд называется знакоположительным, если все его члены – положительные (неотрицательные) числа.

Основная и довольно приятная особенность знакоположительных рядов в том, что частичные суммы ряда представляют собой неубывающую последовательность.

Поэтому достаточно проверить, что последовательность частичных сумм ограничена сверху, чтобы по теореме Вейерштрасса утверждать, что последовательность частичных сумм имеет конечный предел, т.е. ряд сходится.

На этом основаны, практически, все признаки сходимости рядов.

Ряд может сравниваться с несобственным интегралом (интегральный признак Коши), с другими рядами (признаки сравнения рядов), в частности, со сходящейся геометрической прогрессией (признак Даламбера, радикальный признак Коши).

Каждый признак можно сравнить с увеличительным стеклом. У каждого признака есть своя область применения, более широкая или более узкая (как поле зрения линзы) и своя сила. Одни признаки сильнее, позволяют различать слабо сходящиеся или слабо расходящиеся ряды, но имеют узкую область применения (например, интегральный признак Коши). Другие, наоборот, имеют широкую область применения, но довольно слабы, ряды, близкие к границе сходимости, с их помощью не различишь (например, признаки Даламбера и Коши (радикальный)).

Пока в библиотеке рядов, которые мы можем использовать для сравнения, всего два ряда: сходящийся ряд — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, известная еще из школы, и расходящийся гармонический ряд, полученный по критерию Коши.

Заметим, что критерий Коши (как критерий сходимости), вообще, самый сильный инструмент при исследовании сходимости ряда, но его область применимости узка.

Интегральный признак Коши, основанный на сравнении с несобственным интегралом – очень сильный признак. В самом деле, если аппроксимировать непрерывную подинтегральную функцию кусочно-постоянной, то площадь под графиком функции (интеграл) и площадь под графиком кусочно-постоянной функции будут различаться на конечное число.

Интегральный признак Коши.

Пусть при определена непрерывная, не возрастающая функция f(x), такая, что . Тогда ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл .

Доказательство. — это площадь под графиком функции при .

Так как (сумма площадей прямоугольников) ограничивает площадь под графиком функции снизу, а ограничивает ее сверху, то .

. Достаточность. Если интеграл сходится, то , поэтому последовательность ограничена сверху. Так как эта последовательность не убывает, то по теореме Вейерштрасса . Поэтому ряд сходится.

Необходимость. Если ряд сходится, то , а по необходимому признаку сходимости ряда при . Поэтому последовательность (неубывающая, так как ) ограничена сверху. Следовательно, по теореме Вейерштрасса , т.е. несобственный интеграл сходится.

Если ряд расходится, то и интеграл расходится и наоборот. Это легко доказывается от противного.

Поэтому говорят, что несобственный интеграл и ряд сходятся или расходятся «одновременно», т.е. один из них сходится, то и другой сходится, если один расходится, то и другой расходится. Это понятие часто употребляют при сравнении рядов.

Пример. Применим интегральный признак к гармоническому ряду.

— интеграл расходится, поэтому и гармонический ряд расходится.

Пример. Рассмотрим «ряды Дирихле» . Название взято в кавычки, так неизвестно, рассматривал ли эти ряды Дирихле, но оно устоялось за долгие годы.

. Ясно, что интеграл сходится при p>1 и расходится при P<1. Случай p=1 рассмотрен выше (расходящийся гармонический ряд). Отсюда следует вывод

Интересно, что ряд , интегралы расходятся (проверьте по интегральному признаку).

Теперь становится яснее, где пролегает граница между сходящимися и расходящимися рядами. Заодно накоплена библиотека сходящихся и расходящихся рядов, которые можно использовать как эталонные при сравнении рядов. Сравнивать ряды можно с помощью признаков сравнения.

Признаки сравнения рядов.

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор…

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? — задался я вопросом…

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право. ..

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам…

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

Суммирование расходящихся рядов методами Абеля, Бореля, Чезаро и Дирихле / Хабр

Перевод поста Давендра Кападия (Devendra Kapadia) «The ABCD of Divergent Series.»
Выражаю благодарность за помощь в переводе Андрею Дудину.

Какова сумма всех натуральных чисел? Интуиция подсказывает, что ответ — бесконечность. В математическом анализе сумма натуральных чисел является простым примером расходящегося ряда. Тем не менее, математики и физики сочли полезным придать дробные, отрицательные и даже нулевые значения суммам таких рядов. Цель моей статьи — желание отодвинуть завесу тайны, окружающую результаты суммирования расходящихся рядов. В частности, я буду использовать функцию Sum (функция поиска частичных сумм, рядов и т. п. в Mathematica), а так же другие функции в Wolfram Language для того, чтобы объяснить в каком смысле стоит рассматривать следующие утверждения:

Важность обозначений формул буквами A, B, C, и D вскоре станет вам понятна.

Начнем с того, что напомним понятие сходящегося ряда, используя следующую бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.

Общий член ряда, начиная с n = 0, определяется по формуле:

In[1]:=

Теперь зададим сумму членов ряда от i = 0 до некоторого конечного значения i = n.

In[2]:=

Эта конечная сумма называется частичной суммой ряда.

График значений таких частичных сумм показывает, что их значения приближаются к числу 2 с ростом n:

In[3]:=

Out[3]=

Применяя функцию Limit (поиск предела последовательности или функции в точке) найдем предел значения частичных сумм этого ряда при стремлении n к бесконечности, что подтвердит наши наблюдения.

In[4]:=

Out[4]=

Функция Sum даёт такой же результат, когда мы производим суммирование членов ряда в пределах от 0 до бесконечности.

In[5]:=

Out[5]=

Мы говорим, что данный ряд (сумма данной бесконечно убывающей геометрической прогрессии) сходится и что его сумма равна 2.

Вообще, бесконечный ряд сходится, если последовательность его частичных сумм стремится к некоторому значению при неограниченном увеличении номера частичной суммы. В этом случае, предельное значение частичных сумм называется суммой ряда.

Бесконечный ряд который не сходится называется расходящимся. По определению, сумма расходящегося ряда не может быть найдена с помощью рассмотренного выше метода частичных сумм. Тем не менее, математики разработали различные способы присваивания конечных числовых значений суммам этих рядов. Такая сумма называется регуляризованной суммой расходящегося ряда. Процесс вычисления регуляризованных сумм называется регуляризацией.

Теперь мы рассмотрим пример A из вступления.

“A” обозначает Абеля, знаменитого норвежского математика, который предложил одну из техник регуляризации расходящихся рядов. В ходе своей короткой жизни, он умер всего в 26 лет, Абель достиг впечатляющих результатов в решении одних из самых трудных математических задач. В частности, он показал, что решение алгебраического уравнения пятой степени не может быть найдено в радикалах, поставив тем самым точку в проблеме, которая оставалась нерешенной на протяжении 250 лет до него.

Для того чтобы применить метод Абеля, заметим, что общий член данного ряда имеет вид:

In[6]:=

Это можно легко проверить, найдя несколько первых значений a[n].

In[7]:=

Out[7]=

Как можно увидеть на графике ниже, частичные суммы ряда принимают значения, равные 1 или 0 в зависимости от того, четное n или нечетное.

In[8]:=

Out[8]=

Естественно, что функция Sum выдает сообщение, о том что ряд расходится.

In[9]:=

Out[9]=

Регуляризация Абеля может быть применена к этому ряду в два шага. Сначала мы строим соответствующий степенной ряд.

In[10]:=

Out[10]=

Затем мы берем предел этой суммы при x стремящемся к 1, заметим при этом, что соответствующий ряд сходится для значений x меньших, но не равных 1.

In[11]:=

Out[11]=

Эти два шага можно объединить, сформировав, по сути, определение суммы расходящегося ряда по Абелю.

In[12]:=

Out[12]=

Мы можем получить тот же ответ используя опцию Regularization для функции Sum следующим образом.

In[13]:=

Out[13]=

Значение 1/2 представляется разумным, так как оно является средней величиной из двух значений, 1 и 0, принимаемых частичной суммой данного ряда. Кроме того, используемый в данном методе предельный переход интуитивно понятен, т. к. при x = 1 степенной ряд совпадает с нашим расходящимся рядом. Однако, Абель был сильно обеспокоен отсутствием строгости, которое было присуще математическому анализу того времени, и выражал свою обеспокоенность об этом:

«Расходящиеся ряды — изобретение дьявола, и это стыдно на них ссылаться при каких бы то ни было доказательствах. С их помощью, можно сделать любой вывод, какой ему будет угоден, и именно поэтому эти ряды производят столько ошибок и столько парадоксов.» (Н. Х. Абель в письме к своему бывшему учителю Берндту Хольмбою, Январь 1826)

Обратимся теперь к примеру B, в котором утверждается, что:

“B” обозначает Бореля, французского математика, который работал в таких областях как теория меры и теория вероятностей. В частности, Борель связан с так называемой “теоремой о бесконечных обезьянах”, которая утверждает, что если абстрактная обезьяна будет случайным образом ударять по клавиатуре пишущей машинки на протяжении бесконечного количества времени, то вероятность того, что она напечатает некоторый конкретный текст, например, полное собрание сочинений Уильяма Шекспира, отлична от нуля.

Для того чтобы применить метод Бореля заметим, что общий член данного ряда имеет вид:

In[14]:=

Регуляризация Бореля может быть применена к быстро расходящимся рядам в два шага. На первом шаге мы вычисляем экспоненциальную производящую функцию для последовательности членов данного ряда. Стоящий в знаменателе факториал обеспечивает сходимость данного ряд при всех значениях параметра t.

In[15]:=

Out[15]=

Затем мы производим преобразование Лапласа нашей экспоненциальной производящей функции и ищем его значение в точке s=1.

In[16]:=

Out[16]=

Out[17]=

Эти шаги можно объединить, в итоге мы получим, по сути, определение суммы расходящегося ряда по Борелю.

In[18]:=

Out[18]=

Также мы можем использовать специализированные функции Wolfram Language для поиска экспоненциальной производящей функции и преобразования Лапласа:

In[19]:=

Out[19]=

При этом, ответ можно получить непосредственно с помощью Sum следующим образом.

In[20]:=

Out[20]=

Определение суммы по Борелю разумно, т. к. оно даёт тот же самый результат, что и обычный метод частичных сумм, если его применить к сходящемуся ряду. В этом случае можно поменять местами суммирование и интегрирование, и затем определить Гамма-функцию, при этом мы получим, что соответствующий интеграл будет равен 1 и останется просто, по сути, исходная сумма ряда:

In[21]:=

Out[21]=

Однако в случае с расходящимися рядами поменять местами знаки суммы и интеграла нельзя, что приводит к интересным результатам, которые даёт данный метод регуляризации.

Суммирование по Борелю представляет собой универсальный метод суммирования расходящихся рядов, который применяется, скажем, в квантовой теории поля. О применении суммирования по Борелю существует огромная коллекция литературы.

Пример C утверждает что:

“C” обозначает Чезаро (на англ. языке его фамилия пишется как Cesaro), итальянского математика, который внес значительный вклад в дифференциальную геометрию, теорию чисел и математическую физику. Чезаро был очень продуктивным математиком и написал около 80 работ в период с 1884 по 1886 г., до того, как получил степень PhD в 1887!

Для начала заметим, что общий член ряда, начиная с n = 0, имеет вид:

In[22]:=

График показывает сильную осцилляцию частичных сумм данного ряда.

In[23]:=

Out[23]=

Метод Чезаро использует последовательность средних арифметических значений частичных сумм ряда для того, чтобы подавить осцилляции, что демонстрирует следующий график.

In[24]:=

Out[24]=

Формально говоря, суммирование по Чезаро определяется как предел последовательности средних арифметических значений частичных сумм ряда. Вычисляя данный предел для ряда из примера C, мы получим ожидаемый нами результат -1/2 (см. график выше).

In[25]:=

Out[25]=

Сумма по Чезаро может быть получена непосредственно, если мы в функции Sum используем данный тип регуляризации, указав соответствующее значение опции Regularization.

In[26]:=

Out[26]=

Метод суммирования по Чезаро играет важную роль в теории рядов Фурье, в которых ряды на основе тригонометрических функций используются для представления периодических функций. Ряд Фурье для непрерывной функции может и не сходится, но соответствующая сумма по Чезаро (или чезаровское среднее, как её обычно называют) всегда будет сходиться к функции. Этот красивый результат называется теоремой Фейера.

Наш последний пример утверждает, что сумма натурального ряда равна -1/12.

“D” означает Дирихле, немецкого математика, который совершил огромный вклад в теорию чисел и ряд других областей математики. О широте вкладов Дирихле можно судить, просто введя в Mathematica 10 следующий код.

In[27]:=

Out[27]//TableForm=

Регуляризация по Дирихле получила свое название от понятия “ряд Дирихле”, который определяется следующим образом:

Специальным случаем данного ряда является дзета-функция Римана, которую можно определить так:

In[28]:=

In[29]:=

Out[29]=

Функция SumConvergence говорит нам, что этот ряд сходится в том случае, если действительная часть параметра s будет больше 1.

In[30]:=

Out[30]=

Однако, сама по себе дзета-функция Римана может быть определена и для других значений параметра s с помощью процесса аналитического продолжения, известного из теории функций комплексного переменного. Например, при s = -1, мы получим:

In[31]:=

Out[31]=

Но при s = -1, ряд, задающий дзета-функцию Римана и есть натуральный ряд. Отсюда мы и получаем, что:

In[32]:=

Out[32]=

Еще один способ осознания этого результата заключается в том, чтобы ввести бесконечно малый параметр ε в выражение члена нашего расходящегося ряда, а затем найти разложение полученной функции в ряд Маклорена с помощью функции Series, как показано ниже.

In[33]:=

Out[33]=

Первое слагаемое в разложении выше стремится к бесконечности при приближении параметра ε к нулю, в то же время третий член и все следующие члены стремятся к нулю. Если отбросить все члены, зависящие от ε, то оставшееся число -1/12 как раз и будет суммой по Дирихле натурального ряда. Таким образом, сумма по Дирихле получается путем отбрасывания бесконечно малых и бесконечно больших членов разложения ряда, построенного описанным нами способом. Это находится в противоречии с тем, что принято отбрасывать лишь бесконечно малые величины в обычном математическом анализе, поэтому результат суммирования расходящихся рядов по Дирихле не столь интуитивно понятен.

Аналогично можно получить безумно странное значение 0 для расходящейся суммы квадратов натуральных чисел.

In[34]:=

Out[34]=

В этом случае в соответствующем разложении отсутствуют члены, не зависящие от параметра ε, в результате мы получаем 0.

In[35]:=

Out[35]=

Регуляризация Дирихле тесно связана с процессом дзета регуляризации, который используется в современной теоретической физике. В своей знаменитой работе, выдающийся британский физик Стивен Хокинг применил данный метод к задаче вычисления Фейнмановых интегралов в искривленном пространстве-времени. Статья Хокинга описывает процесс дзета-регуляризации очень системно и она приобрела большую популярность после публикации.

Наши знания о расходящихся рядах основаны на глубочайших теориях, разработанных одними из лучших мыслителей последних нескольких столетий. Тем не менее, я соглашусь со многими читателям, которые как и я, чувствуют некоторое непонимание, когда они видят их в современных физических теориях. Великий Абель, вероятно, был прав, когда назвал данные ряды “изобретением дьявола”. Не исключено, что какой-то будущий Эйнштейн, обладающий умом, свободным от всяческих устоев и авторитетов, отбросит преобладающие научные убеждения и переформулирует фундаментальную физику так, что в ней не не будет места для расходящихся рядов. Но даже если такая теория станет реальностью, расходящиеся ряды все равно будут давать нам богатый источник математических идей, освещая дорогу к более глубокому пониманию нашей Вселенной.

Исчисление II — сходимость/расхождение рядов

Онлайн-заметки Пола
Главная / Исчисление II / Серии и последовательности / Сходимость/Расхождение рядов

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Мобильное уведомление

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 4-4: Конвергенция/Расхождение серии

В предыдущем разделе мы потратили некоторое время на знакомство с рядами и кратко определили сходимость и расхождение. Прежде чем беспокоиться о сходимости и расхождении рядов, мы хотели убедиться, что начали чувствовать себя комфортно с обозначениями, связанными с рядами, и с некоторыми из различных манипуляций с рядами, которые нам иногда нужно будет делать.

Как отмечалось в предыдущем разделе, большая часть того, что мы там делали, в этой главе будет делаться немного. Итак, настало время поговорить о сходимости и расхождении рядов, так как это будет темой, которую мы в той или иной степени будем касаться почти во всех оставшихся разделах этой главы. \infty n \] 9\infty\]

сходится или расходится. В данном случае это не так уж сложно. Предел членов последовательности:

\[\ mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} \frac{{n\left({n + 1} \right)}}{2} = \infty \]

Следовательно, последовательность частичных сумм расходится к $\infty $, а значит, расходится и ряд.

Итак, как мы видели в этом примере, нам нужно было знать довольно непонятную формулу, чтобы определить сходимость этого ряда. Вообще найти формулу для общего члена в последовательности частичных сумм — очень трудный процесс. На самом деле после следующего раздела мы не будем много делать с частичными суммами рядов из-за чрезвычайной трудности, с которой столкнулись при нахождении общей формулы. Это также означает, что мы не будем много работать со значением ряда, поскольку для получения значения нам также нужно знать общую формулу для частичных сумм. 2} — 1}}} = \ frac {3} {4} — \ frac {1} {{2n}} — \frac{1}{{2\left( {n + 1} \right)}}\] 9п}} \]

Показать решение

В этом случае нам действительно не нужна общая формула для частичных сумм, чтобы определить сходимость этого ряда. Давайте просто запишем первые несколько частичных сумм.

\[\begin{align*}&{s_0} = 1\\ & {s_1} = 1 — 1 = 0\\ & {s_2} = 1 — 1 + 1 = 1\\ & {s_3} = 1 — 1 + 1 — 1 = 0\\ & etc.\end{align*}\]

9{n — 1}}}}} = \frac{3}{2}\]

Как мы уже отмечали, не стоит увлекаться определением общей формулы последовательности частичных сумм. Будет только один тип серии, где вам нужно будет определить эту формулу, и в этом случае процесс не так уж и плох. Фактически, вы уже знаете, как выполнять большую часть работы в процессе, как вы увидите в следующем разделе.

Итак, мы определили сходимость четырех рядов. Два ряда сошлись, а два разошлись. Давайте вернемся назад и рассмотрим термины ряда для каждого из них. Для каждого из рядов возьмем предел, когда $n$ стремится к бесконечности членов ряда (не частичных сумм!!). 9{n — 1}}}} = 0 & \hspace{0,75 дюйма} & {\mbox{эта серия сходится}}\end{выравнивание*}\]

Обратите внимание, что для двух сходящихся рядов сам член ряда в пределе был равен нулю. Это всегда будет верно для сходящихся рядов и приводит к следующей теореме.

Теорема

Если $\sum {{a_n}} $ сходится, то $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} {a_n} = 0$.

Доказательство

Сначала предположим, что ряд начинается с $n = 1$. Если это не так, мы можем изменить вещи соответствующим образом ниже. Тогда частичные суммы равны 9\infty \) также сходится и что $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} {s_n} = s$ для некоторого конечного значения $s$. Однако, поскольку $n — 1 \to \infty $ как $n \to \infty $, мы также имеем $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} {s_{n — 1 }} = с$.

Теперь у нас есть,

\[\ mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} {a_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} \left({{s_n} — {s_{n — 1 }}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} {s_n} — \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} {s_{n — 1}} = с — с = 0\] 92}}}} \]

В обоих случаях члены ряда равны нулю в пределе, когда $n$ стремится к бесконечности, но сходится только второй ряд. Первый ряд расходится. Прежде чем мы сможем это доказать, потребуется пара разделов, поэтому на данный момент, пожалуйста, поверьте в это и знайте, что вы сможете доказать сходимость этих двух рядов за пару разделов.

Опять же, как отмечалось выше, все, что делает эта теорема, — это требование сходимости ряда. Чтобы ряд сошелся, его члены в пределе должны стремиться к нулю. Если члены ряда не стремятся к нулю в пределе, то ряд не может сходиться, поскольку это нарушит теорему.

Это приводит нас к первому из многих тестов на сходимость/расхождение ряда, которые мы увидим в этой главе.

Проверка расходимости

Если $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} \ne 0$, то $\sum {{a_n}} $ будет расходиться.

Опять же, НЕ используйте этот тест неправильно. Этот тест говорит только о том, что ряд гарантированно расходится, если члены ряда не стремятся к нулю в пределе. Если члены ряда действительно стремятся к нулю, ряд может сойтись, а может и не сойтись! Снова вспомним следующие две серии, 92}}}} & \hspace{0,5 дюйма} & {\mbox{сходится}}\end{выравнивание*}\]

Одна из наиболее распространенных ошибок, которую делают учащиеся, когда они впервые попадают в серию, состоит в том, чтобы предположить, что если $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} {a_n} = 0$, то $\ сумма {{a_n}} $ будет сходиться. Это просто невозможно гарантировать, поэтому будьте осторожны!

Давайте кратко рассмотрим пример использования этого теста.

Пример 5 Определите, является ли следующий ряд сходящимся или расходящимся. \infty {\left({{a_n} \pm {b_n}} \right)} \). Кроме того, эти ряды будут иметь следующие суммы или значения. 9\infty {{b_n}} \]

Мы увидим пример этого в следующем разделе после того, как получим еще несколько примеров. В этот момент просто помните, что сумма сходящихся рядов сходится, и умножение сходящегося ряда на число не изменит его сходимости.

Нам нужно быть немного осторожными с этими фактами, когда речь идет о расходящихся рядах. В первом случае, если $\sum {{a_n}} $ расходится, то $\sum {c{a_n}} $ также будет расходиться (при условии, что $c$ не равно нулю), поскольку умножение ряда, который имеет бесконечное значение или не имеет значения, на конечное значение ( 9\infty {\left( {{a_n} \pm {b_n}} \right)} \) сходящийся ряд.

Теперь, поскольку основной темой этого раздела является сходимость ряда, следует упомянуть о более сильном типе сходимости. Говорят, что ряд $\sum {{a_n}} $ сходится абсолютно , если $\sum {\left| {{a_n}} \right|} $ также сходится. Абсолютная сходимость сильнее сходимости в том смысле, что абсолютно сходящийся ряд также будет сходящимся, но сходящийся ряд может быть абсолютно сходящимся, а может и не быть.

На самом деле, если $\sum {{a_n}} $сходится и $\sum {\left| {{a_n}} \right|} $ расходится, то ряд \(\sum {{a_n}} \ ) называется условно сходящимся .

На данный момент у нас нет под рукой инструментов, чтобы должным образом подробно исследовать эту тему, и у нас нет под рукой инструментов, чтобы определить, является ли ряд абсолютно сходящимся или нет. Поэтому пока не будем больше ничего говорить на эту тему. Когда у нас, наконец, будут инструменты для более подробного обсуждения этой темы, мы вернемся к ней. А пока не беспокойтесь об этом. Эта идея упоминается здесь только потому, что мы уже обсуждали конвергенцию в этом разделе, и она связана с последней темой, которую мы хотим обсудить в этом разделе.

В предыдущем разделе после того, как мы представили идею бесконечного ряда, мы отметили тот факт, что мы не должны думать о бесконечном ряду как о бесконечной сумме, несмотря на то, что обозначение, которое мы используем для бесконечного ряда, кажется, подразумевает что это бесконечная сумма. Пришло время кратко обсудить это.

Во-первых, нам нужно представить идею перестановки . Перестановка ряда — это именно то, на что это могло бы звучать, это тот же ряд с членами, переставленными в другом порядке. 9{n + 1}}}}{n}} = 1 — \frac{1}{2} + \frac{1}{3} — \frac{1}{4} + \frac{1}{5} — \frac{1}{6} + \frac{1}{7} — \frac{1}{8} + \cdots = \ln 2\label{eq:eq1}\end{equation}\]

Поскольку этот ряд сходится, мы знаем, что если мы умножим его на константу $c$, его значение также будет умножено на $c$. Итак, давайте умножим это на $\frac{1}{2}$, чтобы получить

. \[\begin{equation}\frac{1}{2} — \frac{1}{4} + \frac{1}{6} — \frac{1}{8} + \frac{1}{{ 10}} — \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{14}} — \frac{1}{{16}} + \cdots = \frac{1}{2}\ln 2 \метка{уравнение:уравнение2}\конец{уравнение}\]

Теперь давайте добавим ноль между каждым членом следующим образом.

\[\begin{equation}0 + \frac{1}{2} + 0 — \frac{1}{4} + 0 + \frac{1}{6} + 0 — \frac{1}{8} + 0 + \frac{1}{{10}} + 0 — \frac{1}{{12}} + 0 + \cdots = \frac{1}{2}\ln 2\label{eq:eq3} \конец{уравнение}\]

Обратите внимание, что это не изменит значение ряда, поскольку частичные суммы для этого ряда будут частичными суммами для $\eqref{eq:eq2}$, за исключением того, что каждый член будет повторяться. Однако повторение членов в ряду не повлияет на его предел, поэтому и $\eqref{eq:eq2}$, и $\eqref{eq:eq3}$ будут одинаковыми.

Мы знаем, что если два ряда сходятся, мы можем сложить их, складывая член за членом, и таким образом добавить $\eqref{eq:eq1}$ и $\eqref{eq:eq3}$, чтобы получить,

\[\begin{equation}1 + \frac{1}{3} — \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} — \frac{1} {4} + \cdots = \frac{3}{2}\ln 2 \label{eq:eq4}\end{equation}\]

Теперь обратите внимание, что члены $\eqref{eq:eq4}$ — это просто члены $\eqref{eq:eq1}$, переставленные так, что каждый отрицательный член идет после двух положительных членов. Однако значения определенно отличаются, несмотря на то, что термины одинаковы.

Также обратите внимание, что это не один из тех «трюков», которые вы иногда видите, когда вы получаете противоречивый результат из-за трудно обнаруживаемой математической/логической ошибки. Это вполне реальный результат, и мы не допустили никаких логических ошибок/ошибок.

Вот хороший набор фактов, которые определяют эту идею о том, когда перестановка приведет к другому значению ряда.

Факты

Учитывая ряд $\sum {{a_n}} $,

Если $\displaystyle \sum {{a_n}} $ абсолютно сходится и его значение равно $s$, то любая перестановка $\displaystyle \sum {{a_n}} $ также будет иметь значение $s$.
Если $\displaystyle \sum {{a_n}} $ условно сходится и $r$ является любым действительным числом, то существует перестановка $\displaystyle \sum {{a_n}} $, значение которой будет быть $г$.

Опять же, у нас пока нет под рукой инструментов, позволяющих определить, является ли ряд абсолютно сходящимся, поэтому пока не беспокойтесь об этом. Это здесь просто для того, чтобы убедиться, что вы понимаете, что мы должны быть очень осторожны, думая о бесконечном ряду как о бесконечной сумме. Бывают моменты, когда мы можем ( 9{п + 1}}}}{п}} \]

должны быть условно сходящимися, так как две перестановки дали два отдельных значения этого ряда. В конце концов будет очень просто показать, что этот ряд условно сходится.

Сходящийся ряд – определение, тесты и примеры

Когда мы работаем с различными рядами, мы часто задаемся одним из важных свойств ряда: сходится данный ряд или нет. Изучение того, как идентифицировать сходящиеся ряды, может помочь нам понять поведение данного ряда по мере того, как они приближаются к бесконечности.

Ряд называется сходящимся, если он приближается к определенному значению по мере приближения ряда к бесконечности.

Поскольку в этой статье мы работаем с сериями, будет полезно держать эти ресурсы под рукой на случай, если вам понадобится быстро освежить свои знания:

Освежить свои знания по арифметике, геометрии и рекурсии
Просмотреть наши знания на n-й срок тест и посмотреть, как они могут быть полезны.
Поймите, что такое расходящийся ряд, поскольку мы обычно переплетаем эти две темы.
Убедитесь, что вы знаете пределы и оцениваете пределы, чтобы лучше понять техническое определение пределов.

В этой статье мы сосредоточимся на понимании того, что делает сходящиеся ряды уникальными. Мы также узнаем, как мы можем подтвердить, сходится ли данный ряд или нет. Давайте продолжим и сначала представим себе, что значит иметь сходящийся ряд.

Что такое сходящийся ряд?

Давайте начнем этот раздел с визуализации того, как члены сходящихся рядов появляются на графике.

Отсюда видно, что частичные суммы ряда приближаются к определенному числу по мере увеличения значения $n$. Это означает, что сумма сходящихся рядов будет приближаться к определенному значению по мере того, как мы добавляем новые члены и приближаемся к бесконечности .

Вот еще один пример, который мы можем использовать, чтобы понять, что делает сходящиеся ряды особенными. Ниже представлен сходящийся ряд и геометрический ряд:

\begin{aligned}\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{27} + \dfrac{1}{81 } + … \end{выровнено}

Let’s observe how the sum progresses as we add more terms:

Terms

Sum

\begin{aligned}\dfrac{1}{3}\ end{выровнено}

\begin{выровнено}\dfrac{1}{3} & \приблизительно 0,33 \end{выровнено}

\begin{выровнено}\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9}\end{выровнено}

\begin{выровнено}\dfrac{4}{9} &\приблизительно 0,44\end{выровнено}

\begin{aligned}\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{27}\end{align}

\begin{aligned }\dfrac{13}{27} &\приблизительно 0,48\end{выровнено}

\begin{выровнено}\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{ 1}{27} + \dfrac{1}{81}\end{выровнено}

\begin{выровнено}\dfrac{40}{81} &\приблизительно 0,49\end{выровнено}

\begin{align}\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{27} + \dfrac{1}{81} + \dfrac{1}{243} \end{выровнено} 9{\infty}a_n = L$, где $L$ — константа.

Это ясно показывает, что особенностью сходящегося ряда является то, что он приближается к постоянному значению по мере добавления новых членов к частичной сумме.

Однако в некоторых случаях осмотр будет утомительным, и мы не сможем подтвердить ряд сходимости. Когда это происходит, у нас есть другие способы определить, сходится данный ряд или нет.

Как определить, сходится ли ряд?

В прошлом мы узнали, как подтвердить расходимость ряда с помощью проверки n-го члена, поэтому неудивительно, что существуют различные методы, которые мы можем использовать для проверки сходимости ряда.

Хитрость заключается в том, чтобы знать, какой метод лучше всего подходит для данной серии. Ознакомьтесь с резюме, которое мы подготовили для общих тестов, которые мы можем применять, и мы включили краткие примечания о том, когда их лучше всего использовать.

Метод 1. Проверка частичной суммы вручную

Первое, конечно, для нас вручную добавить термины и сравнить их частичные суммы, как мы показали в нашем предыдущем примере. Этот метод лучше всего использовать, когда с терминами легко манипулировать или когда под рукой есть калькулятор.

Как вы могли догадаться, это будет утомительный процесс, особенно если мы работаем со сложными терминами и сериями.

Метод 2: Сравнительный тест

Этот тест наиболее полезен, когда мы знаем ряд, который является сходящимся рядом и может быть использован для доказательства сходимости другого ряда. 9{\infty}a_n$.

Ряд сходится, когда $\lim_{x \rightarrow \infty} \left | \dfrac{a_{n + 1}}{a_n} \right | <1$.
Ряд расходится, когда $\lim_{x \rightarrow \infty} \left | \dfrac{a_{n + 1}}{a_n} \right | > 1$.
Когда $\lim_{x \rightarrow \infty} \left | \dfrac{a_{n + 1}}{a_n} \right | =1$, мы не сможем ничего заключить.

Метод 5: Тест отношений

Этот тест помогает найти два последовательных выражения членов через $n$ из заданного бесконечного ряда. 9{\infty}a_n$.

Ряд сходится, когда $\lim_{x \rightarrow \infty} \left | \dfrac{a_{n + 1}}{a_n} \right | <1$.
Ряд расходится, когда $\lim_{x \rightarrow \infty} \left | \dfrac{a_{n + 1}}{a_n} \right | > 1$.
Когда $\lim_{x \rightarrow \infty} \left | \dfrac{a_{n + 1}}{a_n} \right | =1$, мы не сможем ничего заключить.

Метод 6: Проверка корней

Процесс проверки корней аналогичен проверке отношения, но на этот раз мы работаем с корнями n-го члена. 9{\infty}a_n$.

Ряд сходится, когда $\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n} <1$.
Ряд расходится, когда $\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n} >1$ .
Когда $\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n} =1$, мы не сможем ничего заключить.

На самом деле существует два наиболее часто применяемых метода: испытание чередующимися сериями и интегральное испытание. Мы выделили отдельную статью для теста чередующихся серий из-за его интересных свойств, поэтому обязательно ознакомьтесь со статьями, которые мы написали о нем, а также о чередующихся сериях. 93 + … = 1 + (-1) + 1 + (-1) + … \end{align}

Сумма

Первый $\boldsymbol{n}$ Термины	6 Part
$1 $	$1$
$1 + (-1)$	$0$
$1 + (-1) + 1$	$1$
$1 + (-1) + 1 + (-1)$	$0$

Мы видим, что частичные суммы чередуются между $0$ и $1$, поэтому этот ряд не сходится .

Применим аналогичный процесс для следующей серии: $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{16} … $.

02 $\dfrac{1}{2}$

Первый $\boldsymbol{n}$ Условия	Частичная сумма 1 5 9004 3	$\dfrac{1}{2} = 0,5$
$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4 }$	$\dfrac{3}{4} = 0,75$
$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8 }$	$\dfrac{7}{8} = 0,875$
$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8 }+ \dfrac{1}{16}$	$\dfrac{15}{16} = 0,9375$

Из этого мы можем видеть, что по мере продвижения к бесконечному ряду мы видим, что частичная сумма приближается к $1$, поэтому мы можем сказать, что ряд сходится .

Мы также можем подтвердить это с помощью геометрического теста, так как ряд геометрический ряд.

Для третьей серии требуется больше шагов, так как сначала нам нужно найти значения первых четырех членов.

$\boldsymbol{\dfrac{1}{4}}$

$\boldsymbol{a_n}$

Первые $ \ boldsymbol {n} $ Условия

Частичная сумма

$ A_1 = \ DFRAC {1}}} $

19 2131 \ dfrac {1} {3} $

19131 $ a_131. $

$\dfrac{1}{3} \приблизительно 0,33$
$a_2 = \dfrac{1}{4}$	$\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}$	$\dfrac{7}{12} \приблизительно 0,58$
$a_3 = \dfrac{1}{5}$	$\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5}$	$\dfrac{47}{60} \примерно 0,78$
$a_3 = \dfrac{1}{7}$	$\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5}+ \dfrac{ 1}{7}$	$\dfrac{389}{420} \приблизительно 0,926$

При осмотре мы видим, что частичные суммы увеличиваются по мере добавления новых членов. Если мы добавим больше терминов, вы также увидите, что частичные суммы продолжают расти. 9n + 4}}$

$\boldsymbol{\dfrac{1}{2}}$

$\boldsymbol{\dfrac{1}{6}}$

$\boldsymbol{\dfrac{1}{8}}$

$\boldsymbol{\dfrac{1}{8} }$

$\boldsymbol{\dfrac{1}{12}}$

$\boldsymbol{\dfrac{1}{16}}$

$\boldsymbold {1}{20}}$ 9n} \cdot \dfrac{n!}{n!(n +1)}\\&= 3 \cdot \dfrac{1}{n +1}\\&= \dfrac{3}{n +1} \end{aligned}

Теперь, когда у нас есть упрощенное соотношение, $\left | \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right | = \ влево | \dfrac{3}{n + 1} \right |$, мы можем найти его предел при стремлении к бесконечности.

\begin{align}\lim_{n\rightarrow \infty} \left | \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right | &= \lim_{n\стрелка вправо \infty}\влево | \dfrac{3}{n + 1} \right |\\&= 0\\ &<1 \end{aligned}

Отсюда видно, что предел их отношения при приближении $n$ к бесконечности равен $0 $ и составляет менее $1$.

Согласно тесту отношения, когда $\lim_{n\rightarrow \infty} \left | \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right | < 1$, ряд сходится .

Эти три примера показывают, что некоторые ряды будут более совместимы с определенными тестами сходимости. Вот почему знакомство с тестами и определение того, когда их лучше всего использовать, будет иметь большое значение для определения сходимости (и расхождения) различных рядов.

Дивергенция и конвергенция В чем разница?

По

Шон Росс

Полная биография

Шон Росс — стратегический советник 1031x.com, участник Investopedia, а также основатель и менеджер Free Lances Ltd.

Узнайте о наших редакционная политика

Обновлено 29 сентября 2021 г.

Рассмотрено

Чарльз Поттерс

Рассмотрено Чарльз Поттерс

Полная биография

Чарльз является признанным на национальном уровне специалистом по рынкам капитала и педагогом с более чем 30-летним опытом разработки программ углубленного обучения для начинающих финансовых специалистов. Чарльз преподавал в ряде учреждений, включая Goldman Sachs, Morgan Stanley, Societe Generale и многих других.

Узнайте о нашем Совет финансового контроля

Факт проверен

Викки Веласкес

Факт проверен Викки Веласкес

Полная биография

Викки Веласкес — исследователь и писатель, которая руководила, координировала и руководила различными общественными и некоммерческими организациями. Она провела углубленное исследование по социальным и экономическим вопросам, а также пересмотрела и отредактировала учебные материалы для района Большого Ричмонда.

Узнайте о нашем редакционная политика

Дивергенция и конвергенция: обзор

В мире экономики и финансов существует множество трендов и инструментов. Некоторые из них описывают противоположные силы, такие как дивергенция и конвергенция. Дивергенция обычно означает, что две вещи расходятся, а конвергенция подразумевает, что две силы движутся вместе. В мире экономики, финансов и трейдинга дивергенция и конвергенция — это термины, используемые для описания направленной связи двух трендов, цен или индикаторов. Но, как следует из общих определений, эти два термина относятся к тому, как развиваются эти отношения. Дивергенция указывает на то, что две тенденции отдаляются друг от друга, а конвергенция показывает, насколько они сближаются.

Основные выводы

Дивергенция возникает, когда цена актива и индикатор расходятся друг от друга.
Конвергенция происходит, когда цена актива и индикатор движутся навстречу друг другу.
Дивергенция может быть как положительной, так и отрицательной.
Конвергенция возникает потому, что эффективный рынок не позволяет торговать чем-то по двум ценам одновременно.
Технические трейдеры больше заинтересованы в дивергенции как в сигнале к торговле, а отсутствие конвергенции — в возможности для арбитража.

Дивергенция

Когда значение актива, индикатора или индекса изменяется, соответствующий актив, индикатор или индекс перемещается в другом направлении. Это то, что называется дивергенцией. Дивергенция предупреждает, что текущая ценовая тенденция может ослабевать, а в некоторых случаях может привести к изменению направления цены.

Дивергенция может быть как положительной, так и отрицательной. Например, положительная дивергенция возникает, когда акция приближается к минимуму, но ее индикаторы начинают расти. Это было бы признаком разворота тренда, потенциально открывая возможность входа для трейдера. С другой стороны, отрицательная дивергенция возникает, когда цены растут, а индикатор сигнализирует о новом минимуме.

Когда происходит расхождение, это не означает, что цена развернется или что разворот произойдет в ближайшее время. На самом деле дивергенция может длиться долгое время, поэтому действия только по ней могут привести к значительным убыткам, если цена не отреагирует ожидаемым образом. Трейдеры обычно не полагаются исключительно на дивергенцию в своей торговой деятельности. Это потому, что он не дает своевременных торговых сигналов сам по себе.

Технический анализ фокусируется на моделях движения цен, торговых сигналах и различных других аналитических сигналах для информирования сделок, в отличие от фундаментального анализа, который пытается найти внутреннюю стоимость актива.

Конвергенция

Термин «конвергенция» противоположен термину «дивергенция». Он используется для описания явления, когда цена фьючерса и наличная цена базового товара сближаются с течением времени. В большинстве случаев трейдеры ссылаются на конвергенцию как на способ описания поведения цены фьючерсного контракта.

Теоретически конвергенция происходит потому, что эффективный рынок не позволяет чему-то торговаться по двум ценам одновременно. Фактическая рыночная стоимость фьючерсного контракта ниже, чем цена рассматриваемого контракта, потому что трейдеры должны учитывать временную стоимость ценной бумаги. По мере приближения даты истечения контракта премия за временную стоимость уменьшается, и две цены сходятся.

Если бы цены не сходились, трейдеры воспользовались бы ценовой разницей, чтобы получить быструю прибыль. Это будет продолжаться до тех пор, пока цены не сойдутся. Когда цены не сходятся, появляется возможность для арбитража. Арбитраж — это когда актив покупается и продается одновременно на разных рынках, чтобы воспользоваться временной разницей в цене. Эта ситуация использует неэффективность рынка.

Ключевые отличия

Технические трейдеры гораздо больше озабочены дивергенцией, чем конвергенцией, в основном потому, что предполагается, что конвергенция происходит на нормальном рынке. Многие технические индикаторы обычно используют дивергенцию в качестве инструментов, в первую очередь осцилляторы. Они отображают полосы (как высокие, так и низкие), которые встречаются между двумя крайними значениями. Затем они строят индикаторы тренда, которые текут в пределах этих границ.

Дивергенция — это явление, которое обычно интерпретируется как означающее, что тренд слаб или потенциально неустойчив. Трейдеры, которые используют технический анализ как часть своих торговых стратегий, используют дивергенцию для определения основного импульса актива.

Конвергенция происходит, когда цена актива, индикатора или индекса движется в том же направлении, что и связанный актив, индикатор или индекс в техническом анализе. Например, имеет место конвергенция, когда промышленный индекс Доу-Джонса (DJIA) показывает рост одновременно с увеличением его линии накопления/распределения.

Источники статей

Investopedia требует, чтобы авторы использовали первоисточники для поддержки своей работы. К ним относятся официальные документы, правительственные данные, оригинальные отчеты и интервью с отраслевыми экспертами. Мы также при необходимости ссылаемся на оригинальные исследования других авторитетных издателей. Вы можете узнать больше о стандартах, которым мы следуем при создании точного и беспристрастного контента, в нашем редакционная политика.

Мастер шаблонов. «Расхождение: все, что должны знать трейдеры».
ПФОРЕКС. «Расхождение и сходимость».
Детские пипсы. «9 правил торговли на дивергенциях».

Sequences — Конвергенция и дивергенция последовательностей

Представьте себе, что черный пояс по кунг-фу взял функцию и разрезал ее, оставив только дискретные значения. Эти дискретные значения образуют последовательность. Поскольку последовательность — это всего лишь грубо нарезанный список чисел, составленный из функции, последовательность действует подобно функциям.

Давайте посмотрим, как мастер боевых искусств может показать нам последовательность. Эти приемы пищи будут похожи на функции, поэтому вы можете просмотреть их, чтобы увидеть сходство.

Мы говорим, что последовательность есть , увеличивающая , если члены становятся больше по мере увеличения n . Это похоже на перекошенный суши-ролл, где кусок справа больше, чем тот, что слева.

В символах, если м < n , то a _м < a _n .

Мы говорим, что последовательность уменьшается на , если члены становятся меньше по мере увеличения n . Это похоже на перекошенный суши-ролл, где часть справа меньше, чем часть слева.

Символами, если м < n a _м > a _n .

Если последовательность возрастает или убывает, мы называем ее монотонной , потому что члены идут только в одном направлении. У нас будет монотонно увеличивающийся ролл Калифорния, плюс васаби на гарнир.

Пример задачи

Последовательность a _n = n возрастает, потому что члены становятся больше по мере увеличения n .

Пример задачи

Последовательность уменьшается, потому что члены становятся меньше по мере увеличения n .

Будьте осторожны: увеличение и уменьшение не являются противоположностями. Последовательность может быть ни возрастающей, ни убывающей.

Пример задачи

Члены последовательности a _n = (-1) ⁿ скачут туда и обратно между 1 и -1. Эта последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей.

Будьте осторожны: Использование слова «возрастающая» для обозначения функции неоднозначно, поскольку оно может означать либо неубывающую , либо строго возрастающую . Обычно нас не интересуют неубывающие последовательности. Они так же интересны, как наблюдать за испарением воды с раскаленного дорожного покрытия в середине лета. Вот почему для последовательностей мы используем «возрастание» как сокращение от «строго возрастания».

Точно так же, как и функция, мы говорим, что последовательность ограничена выше , если все члены последовательности меньше или равны некоторому значению M .

В символах,

a _n ≤ M

для всех n .

Никаких сюрпризов. Мы говорим, что последовательность ограничена ниже , если существует значение K такое, что все члены последовательности не меньше K .

Символами,

a _n ≥ K

для всех n .

Если последовательность ограничена сверху и снизу, мы говорим, что она ограничена . Для нашей последовательности суши, если она ограничена, мы можем сделать из нее коробку для бэнто.

Если в последовательности отсутствуют одна или обе эти границы, то она неограничена .

Есть пара теорем, связывающих понятия ограниченности и сходимости для последовательностей. Вот некоторые из идей, которые оживляют наши серии суши-роллов.

Теорема

Монотонная ограниченная последовательность должна сходиться. Это довольно очевидное утверждение, поэтому мы можем назвать его теоремой о калифорнийском броске. Все знают, что это такое, и как бы это ни было скучно, все это едят.

Доказательство. Вместо того, чтобы быть слишком математическим, мы объясним все, чтобы дать вам представление. Если последовательность увеличивается, члены увеличиваются.

Если последовательность ограничена, члены не могут расти бесконечно, потому что они не могут подняться выше верхней границы.

Это означает, что последовательность сходится. Если заданная верхняя граница не была наилучшей возможной верхней границей, последовательность могла сходиться к некоторому значению L меньшему, чем заданная верхняя граница.

Точно так же, если последовательность уменьшается, члены уменьшаются. Если последовательность ограничена, члены не могут бесконечно опускаться вниз, поэтому они должны приближаться к какому-то этажу. Это означает, что последовательность сходится.

Теорема

Любая конечная последовательность ограничена.

Доказательство. Конечная последовательность имеет некоторый наибольший член и некоторый наименьший член. Они дают верхнюю и нижнюю границы соответственно.

Теорема

Сходящаяся последовательность должна быть ограничена. Мы могли бы назвать это теоремой о коробке для бенто. Если рулон сойдется до какого-то размера, он поместится в коробку.

Доказательство. Если последовательность сходится к некоторому значению L , то в конечном итоге все члены должны быть очень близки к L . В частности, в конечном итоге члены должны быть в пределах 1 из L в любом направлении.

Формально, когда n станет достаточно большим, мы получим

L – 1 ≤ a _n ≤ L + 1.

Может быть только конечное число членов, все в начале последовательности, которые не находятся в пределах 1 из L .

Возьмем наибольший член, который не находится в пределах 1 из L . Если этот член больше, чем L + 1, этот член является верхней границей для последовательности.

В противном случае L + 1 является верхней границей последовательности.

Аналогично, возьмите наименьшее слагаемое, которое не находится в пределах 1 из л . Если этот член меньше, чем L – 1, этот член является нижней границей последовательности.

В противном случае L – 1 является нижней границей последовательности.

Напротив, ограниченная последовательность НЕ обязана сходиться. Эта не-теорема похожа на бросок дракона. Это всегда будет держать вас в тонусе. Одним из самых простых примеров является последовательность

a _n = (-1) ⁿ .

Эта последовательность определенно ограничена, так как -1 ≤ a _n ≤ 1 для всех n . Однако последовательность не может сходиться, потому что она не является решающей.

Сумм расходящегося ряда | Brilliant Math & Science Wiki

Содержание

Требования к суммам расходящихся рядов
Суммирование Чезаро
Суммирование Абеля
Регуляризация дзета-функции
Регуляризация ряда Дирихле
Приложения

Регулярность : Метод суммирования рядов называется правильным , если он дает правильный ответ для сходящегося ряда (т. е. предел последовательности частичных сумм). 9{\infty} a_n = A-a_1 n=2∑∞an=A−a1.

Не каждый полезный метод суммирования рядов удовлетворяет этим требованиям (в частности, стабильности), но многие. Обратите внимание, что большинство методов суммирования рядов не работают для каждого ряда; цель состоит в том, чтобы найти и использовать методы, суммирующие как можно больше интересных и важных рядов. Одних вышеуказанных требований часто бывает достаточно, чтобы определить, каким должно быть значение суммы данного ряда при любом методе, удовлетворяющем этим требованиям.

Найдите сумму 1−1+1−1+1−1+⋯ 1-1+1-1+1-1+\cdots 1−1+1−1+1−1+⋯ при любом методе суммирования, который регулярный, линейный и устойчивый, если метод дает сумму для этого ряда.
Если сумма ряда S S S, то
S=1−1+1−1+1−1+⋯=1+(−1+1−1+1−1+⋯ )(стабильность)=1+(−1)(1−1+1− 1+1−⋯ )(линейность)=1+(−1)S,\begin{выровнено} S &= 1-1+1-1+1-1+\cdots\\ &= 1+(-1+1-1+1-1+\cdots) &\qquad (\text{стабильность}) \\ &= 1+(-1)(1-1+1-1+1-\cdots) &\qquad (\text{линейность}) \\ &= 1+(-1)С, \end{выровнено}S=1−1+1−1+1−1+⋯=1+(−1+1−1+1−1+⋯)=1+(−1)(1−1+ 1−1+1−⋯)=1+(−1)S,(стабильность)(линейность)
, поэтому S=1−S S = 1-S S=1−S и S=12 S = \frac12 S=21. □_\квадрат□

Найдите сумму 1+2+4+8+16+⋯ 1+2+4+8+16+\cdots 1+2+4+8+16+⋯ при любом методе суммирования, который является регулярным, линейным и устойчивым , предполагая, что метод обеспечивает сумму для этого ряда.
Та же идея:
S=1+2+4+8+⋯=1+(2+4+8+⋯ )(стабильность)=1+2(1+2+4+⋯ )(линейность)=1+2S,\begin {выровнено} S &= 1+2+4+8+\cdots\\ &= 1+(2+4+8+\cdots) &\qquad (\text{стабильность}) \\ &= 1+2(1+2+4+\cdots) &\qquad (\text{линейность}) \\ &= 1+2S, \end{align}S=1+2+4+8+⋯=1+(2+4+8+⋯)=1+2(1+2+4+⋯)=1+2S,(стабильность )(линейность) 9n = \frac1{1-r}.n=0∑∞rn=1−r1.
В исчислении выясняется, что это сходится только для r∈(−1,1) r \in (-1,1) r∈(−1,1). Один из способов получить правильный ответ для двух приведенных выше примеров — использовать эту формулу, но подставить значения вне интервала сходимости, а именно r=−1 r = -1 r=−1 и r=2 r=2 r=2 , соответственно. Конечно, это далеко не общий метод суммирования, но он дает интуитивное представление о том, откуда берутся ответы. Более формально идея продолжения возникнет ниже. 9\text{th}k-я частичная сумма как обычно и
tk=1k(s1+s2+⋯+sk),t_k = \frac1{k}(s_1+s_2+\cdots+s_k),tk=k1(s1 +s2+⋯+sk),
и присвоить значение lim⁡k→∞tk \lim\limits_{k\to\infty} t_k k→∞limtk в ∑an \sum a_n ∑an , если предел существует.
Можно показать, что суммирование по Чезаро является регулярным, линейным и устойчивым.
Для ряда 1−1+1−1+1−1+⋯ 1-1+1-1+1-1+\cdots 1−1+1−1+1−1+⋯ частичные суммы равны 1, 0,1,0,1,0,… 1,0,1,0,1,0,\ldots1,0,1,0,1,0,…. Ряд не сходится, так как предела этой последовательности не существует. Но последовательность средних частичных сумм равна
1,12,23,12,35,12,…,1,\frac12,\frac23,\frac12,\frac35,\frac12,\ldots,1,21,32,21,53,21 ,…,
, что сходится к 12 \frac1221. Таким образом, ряд суммируется по Чезаро до 12 \frac1221.
Суммируемость по Чезаро позволяет «сглаживать» определенные ряды с колебательными последовательностями частичных сумм, но если вместо этого частичные суммы ряда достигают ∞ \infty ∞ (например, гармонический ряд), средние значения частичных сумм будут также переходят к ∞ \infty ∞, поэтому ряды типа 1+2+4+8+⋯ 1+2+4+8+\cdots 1+2+4+8+⋯ не будут суммироваться по Чезаро. 9н, z→1−limn=0∑∞anzn, если этот предел существует.
Сумма Абеля (расходящегося) ряда, как показано выше, может быть записана как ab \frac{a}{b}ba, где a aa и bb взаимно просты положительные целые числа. Найдите а+б а+ба+б.
Некоторые методы суммирования определяются с использованием аналитического продолжения комплекснозначных функций. Аналитическое продолжение функции f f f — это функция g g g, определенная на большем множестве, чем f ff, которая (комплексно) дифференцируема всюду в своей области определения.
9s}.ζ(s)=n=1∑∞ns1.
Это сходится только для Re(s)>1 \text{Re}(s) > 1 Re(s)>1, но существует функциональное уравнение, которое расширяет функцию ζ\zetaζ до функции, которая хорошо определена и дифференцируема везде, кроме s=1 s =1 s=1. Это функциональное уравнение позволяет вычислить
ζ(−1)=−112\дзета(-1) = -\frac1{12}ζ(−1)=−121
(\big((вообще говоря, если nn n — натуральное число, ζ(−n)=−Bn+1n+1 \zeta(-n) = -\frac{B_{n+1}}{n+ 1} ζ(−n)=−n+1Bn+1, где Bk B_k Bk — числа Бернулли). \big).). Таким образом, подставив s=−1 s=-1s=−1 в представление ряда функции ζ \ zetaζ, мы получим 9s}f(s)=n=0∑∞nsan
и присвойте сумме значение f(0) f(0) f(0), если ff f можно аналитически продолжить до 0 00. Это метод, отличный от регуляризации дзета-функции: действительно, он линейный, но нестабильный. (Обратите внимание \big(\text{Примечание }(Обратите внимание, что это также дает 1+2+3+⋯=−112.) 1+2+3+\cdots=-\frac1{12}.\big)1+2 +3+⋯=−121.)
Суммы расходящихся рядов часто имеют приложения в физике, как в примере 1+2+3+⋯ 1+2+3+\cdots1+2+3+⋯ выше. Общая идея состоит в том, что если физическая ситуация описывается функцией f ff, определяемой рядом, сходящимся только для некоторого набора значений, не включающего s ss, то аналитическое продолжение g g g функции ff f f до некоторого большего набора значений, включающего s s s, связано достаточно близко к f f f, что g(s) g(s) g(s) может иметь некоторую содержательную физическую интерпретацию, даже если f(s) f(s) f(s) не определено.
Существуют менее загадочные ситуации, в которых расходящиеся ряды также дают комбинаторное понимание. Следующий (длинный) пример привел Мэтт Нунан.
Каталонские числа подсчитывают (среди многих других объектов) корневые лево-правоупорядоченные бинарные деревья с n n n вершинами. Здесь дерево представляет собой набор вершин, которые связаны с дочерними элементами на один уровень ниже и с родительским на один уровень выше. «Корневой» означает, что одна вершина находится наверху, «упорядоченный влево-вправо» означает, что каждый дочерний элемент помечен как левый дочерний или правый дочерний, а «двоичный» означает, что каждый родитель имеет не более двух дочерних элементов — и если их два, один должен быть левым дочерним элементом, а другой — правым дочерним элементом. 97 F(z)7 — производящая функция для 7-кортежей корневых упорядоченных бинарных деревьев. Таким образом, это говорит о том, что существует «естественный» биективный способ идентифицировать набор из 7 корневых упорядоченных двоичных деревьев с уникальным корневым упорядоченным двоичным деревом, и это оказывается так! Подробнее см. в этой статье.
Дело здесь в том, что тождество для сумм расходящихся рядов имеет прямую и естественную интерпретацию как утверждение о биекции между двумя множествами одинакового размера. Именно так часто работают приложения сумм расходящихся рядов: вместо прямого решения приземленных задач они дают подсказки к правильному решению, которое впоследствии можно строго обосновать другими методами.
Цитировать как: Суммы расходящихся рядов. Brilliant.org . Извлекаются из https://brilliant.org/wiki/sums-of-divergent-series/
4.3: Расхождение ряда
Последнее обновление
Сохранить как PDF
Идентификатор страницы
7939
Юджин Боман и Роберт Роджерс
Государственный университет Пенсильвании и SUNY Fredonia через OpenSUNY 9022
Цели обучения
Объяснить расхождения
В теореме 3. 2.1 мы видели, что существует перестановка знакопеременного гармонического ряда, который расходится к $∞$ или $-∞$. В этом разделе мы не возились с какими-либо формальными понятиями дивергенции. Вместо этого мы предположили, что вы уже знакомы с понятием дивергенции, возможно, из-за того, что занимались исчислением в прошлом. 9\infty\) расходится, если не сходится ни к одному $a \in \mathbb{R}$.
Может показаться излишне педантичным с нашей стороны настаивать на формальной формулировке такого очевидного определения. В конце концов, «сходиться» и «расходиться» — это противоположности в обычном английском языке. Почему бы им не быть математически противоположными? Почему мы должны утруждать себя формальным определением их обоих? Поскольку они противоположны, определение одного неявно определяет другое, не так ли?
Один из способов ответить на эту критику состоит в том, чтобы заявить, что в математике мы всегда работаем на основе точно сформулированных определений и строго аргументированных логических аргументов.
Но это просто очередной педантизм. Это способ сказать: «, потому что мы так сказали » — и все это приукрасить внушительным языком. Нам нужно сделать лучше, чем это.
Одной из причин предоставления формальных определений как конвергенции, так и дивергенции является то, что в математике мы часто кооптируем слова из естественных языков, таких как английский, и наполняем их математическим значением, которое лишь косвенно связано с исходным английским определением. Когда мы берем два таких слова, которые в английском языке являются противоположностями, и придаем им математические значения, которые не являются противоположностями, это может привести к путанице, особенно поначалу.
Вот что произошло со словами « открыть » и « закрыть ». Это противоположности в английском языке: « not open » — это « Closed », « not Closed » — « open », и нет ничего, что было бы одновременно открыто и закрыто. Но вспомните, что открытый интервал на реальной линии $(a,b)$ — это тот, который не включает ни одну из своих конечных точек, а закрытый интервал, $[a,b]$, — это тот, который включает оба из них.
Сначала это может показаться противоположностью, но это не так. Чтобы убедиться в этом, заметьте, что интервал $(a,b]$ не является ни открытым, ни закрытым, поскольку он содержит только одну из своих конечных точек. ¹ Если бы « открытый » и « закрытый » были математически противоположны, то каждый интервал был бы либо открытым, либо закрытым.
Математики научились быть чрезвычайно осторожными в таких вещах. В случае сходимости и расхождения ряда, даже если эти слова на самом деле математически противоположны (каждая последовательность либо сходится, либо расходится, и ни одна последовательность не сходится и не расходится), лучше сказать это явно, чтобы не было путаницы. 9\infty\) становятся сколь угодно большими при увеличении $n$.
Очевидно, что это расходящаяся последовательность, но может быть непонятно, как это доказать формально. Вот один из способов.
Чтобы показать расходимость, мы должны показать, что последовательность удовлетворяет отрицанию определения сходимости. То есть мы должны показать, что для каждого $r ∈ R$ существует $ε > 0$ такое, что для каждого $N ∈ R$ существует $n > N$ с \ (|n-r|≥ ε\).
Итак, пусть заданы $ε = 1$ и $r ∈ R$. Пусть $N = г + 2$. Тогда для каждого $n > N |n — r| > |(r + 2) — r| = 2 > 1$. Поэтому последовательность расходится. 9\infty\), расходится к отрицательной бесконечности, если для каждого действительного числа $r$ существует действительное число $N$, такое что $n > N ⇒ a_n < r$. ?
Говорят, что последовательность расходится к бесконечности, если она расходится либо в положительную, либо в отрицательную бесконечность.
На практике нам нужно думать о $|r|$ как об очень большом числе. Это определение говорит, что последовательность расходится к бесконечности, если она становится сколь угодно большой по мере увеличения $n$, и аналогично для расходимости до отрицательной бесконечности.
Упражнение $\PageIndex{1}$ 9\infty\) расходится.
Мы будем обозначать расходимость на бесконечность как
\[\lim_{n \to \infty } a_n = \pm \infty\]
Однако, строго говоря, это злоупотребление обозначениями, поскольку символ ∞ не представляет действительное число. Это обозначение может быть очень проблематичным, поскольку оно очень похоже на обозначение, которое мы используем для обозначения сходимости: $\lim_{n \to \infty} a_n = a$.
Тем не менее, обозначение подходит, потому что расхождение до бесконечности — это « хорошее » расхождение в том смысле, что оно разделяет многие свойства сходимости, как показывает следующая задача.
Упражнение $\PageIndex{3}$
Предположим, что $\lim_{n \to \infty } a_n = \infty$ и $\lim_{n \to \infty } b_n = \infty$.
Покажите, что $\lim_{n \to \infty } a_n + b_n = \infty$
Показать, что $\lim_{n \to \infty } a_n b_n = \infty$
Верно ли, что $\lim_{n \to \infty } \frac{a_n}{b_n} = \infty$? Объяснять.
Поскольку дивергенция к положительной или отрицательной бесконечности разделяет некоторые свойства конвергенции, с ней легко небрежно относиться. Помните, что даже если мы пишем $\lim_{n \to \infty } a_n = \infty$, это все еще расходящаяся последовательность в том смысле, что $\lim_{n \to \infty} a_n$ не существует . Символ $∞$ не представляет действительное число. Это просто удобное обозначение, говорящее нам, что последовательность расходится, становясь сколь угодно большой.
Упражнение $\PageIndex{4}$
предположим $\lim_{n \to \infty } a_n = \infty$ и $\lim_{n \to \infty } b_n = -\infty$ и $\альфа\в\mathbb{R}$. Докажите или приведите контрпример:
$\lim_{n \to \infty } a_n + b_n = \infty$
$\lim_{n \to \infty} a_n b_n = \infty$
$\lim_{n \to \infty} \alpha a_n = \infty$
$\lim_{n \to \infty} \alpha a_n = -\infty$
Наконец, последовательность может расходиться и по другим причинам, как показывает следующая проблема. 9\infty\) расходится. Будет ли она расходиться в бесконечность?
¹ Также верно, что $(-∞,∞)$ одновременно открыто и закрыто, но объяснение этого завело бы нас слишком далеко.
Эта страница под названием 4.
No related posts.
Навигация по записям
Предыдущая статья2 х в 5 степени: Возведите данное выражение в степень а) (2х)в пятой степени б) (10х²у)³ в) (х/3у)⁴
Следующая статьяС квадратное уравнение: C# .Net: Решение квадратного уравнения
Добавить комментарий Отменить ответ
Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *
Комментарий *
Имя *
Email *
Сайт

Найти:
Рубрики
Геометрия
Математика
Физика
Химия
Школьная жизнь
Разное
© 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»
Карта сайта

Расходящиеся и сходящиеся ряды: Страница не найдена — ПриМат

Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды. — КиберПедия

Сходящиеся и расходящиеся ряды

Бесконечный числовой ряд и последовательность его частичных сумм. Сходящиеся и расходящиеся ряды.

Математический анализ.

Лекция 11 Знакоположительные ряды.

Суммирование расходящихся рядов методами Абеля, Бореля, Чезаро и Дирихле / Хабр

Исчисление II — сходимость/расхождение рядов

Раздел 4-4: Конвергенция/Расхождение серии

Теорема

Доказательство

Проверка расходимости

Факты

Сходящийся ряд – определение, тесты и примеры

6 Part

02 $\dfrac{1}{2}$

Дивергенция и конвергенция В чем разница?

Дивергенция и конвергенция: обзор

Основные выводы

Дивергенция

Конвергенция

Ключевые отличия

Sequences — Конвергенция и дивергенция последовательностей

Пример задачи

Пример задачи

Пример задачи

Теорема

Теорема

Теорема

Сумм расходящегося ряда | Brilliant Math & Science Wiki

Содержание

4.3: Расхождение ряда

Цели обучения

Упражнение \(\PageIndex{1}\) 9\infty\) расходится.

Упражнение \(\PageIndex{3}\)

Упражнение \(\PageIndex{4}\)

Добавить комментарий Отменить ответ