Объемы шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора
На этом уроке мы введём понятия шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора. А также выведем формулы для вычисления их объёмов.
Прежде чем приступить к рассмотрению данной темы, давайте вспомним, что такое шар.
Определение:
Итак, шар – это совокупность всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не больше данного. Причём, данная точка называется центром шара, а данное расстояние – радиусом шара.
Самой простой фигурой, которую можно начертить, используя шар, является шаровой сегмент.
Определение:
Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью.
На экране вы видите, как секущая плоскость , проходящая через точку , разделяет шар на два шаровых сегмента. Круг, получившийся в сечении, называется основанием каждого из этих сегментов, а длины отрезков и диаметра , перпендикулярного к секущей плоскости, называются
Верно следующее утверждение: если радиус шара равен , а высота сегмента равна , то объем шарового сегмента можно вычислить по формуле:
Докажем это утверждение. Доказывать будем с помощью определённого интеграла.
Проведём ось перпендикулярно к плоскости . Тогда площадь ,
при .
Вычислим объём шарового сегмента с помощью основной формулы объёма тела. Вспомним её: .
Итак, применим основную формулу для вычисления объёмов тел получаем, что объём шарового сегмента равен .
Что и требовалось доказать.
Заметим, что если высоту в формуле объема шарового сегмента заменить на , то получим формулу для нахождения объёма шара:
А если заменить высоту на радиус , то получим формулу для нахождения объёма полушара
.Кстати, в жизни нас также окружают некоторые объекты,
имеющие форму очень близкую к форме шарового сегмента.
В современной авиации наиболее популярны парашюты в виде сегмента.
Форму шарового сегмента нередко используют и в архитектуре, интерьере, декоре.
Перейдём к шаровому слою.
Определение:
Шаровым слоем называется часть шара, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями.
На экране вы видите изображение шарового слоя.
Круги, получившиеся в сечении шара плоскостями, называются основаниями шарового слоя, а расстояние между плоскостями – высотой шарового слоя.
Нетрудно заметить, что объём шарового слоя можно вычислить, как разность объёмов двух шаровых сегментов.
Объём шарового слоя, изображённого на экране, равен разности объёмов шаровых сегментов, высоты которых равны и .
Если высота шарового слоя равна , а радиусы и – радиусы оснований шарового слоя соответственно, то объем шарового слоя можно вычислить по формуле:
Декоративная свеча может служить примером шарового
слоя в жизни.
И теперь перейдём к шаровому сектору.
Определение:
Шаровым сектором называется тело, которое получается при вращении кругового сектора с углом, меньшим 90о, вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов.
Обратите внимание, шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса. Причём шаровой сегмент имеет высоту , а конус высоту , где – радиус шара.
Понятно, что шаровая поверхность пересекается с конусом по окружности. Радиус этой окружности равен .
Если радиус шара равен , а высота шарового сегмента равна , то объем шарового сектора можно найти по формуле:
Для того чтобы получить данную формулу необходимо сложить объём конуса (с вершиной O), лежащего под плоскостью, и объём шарового сегмента, лежащего над плоскостью.
Большой воздушный шар имеет форму близкую к форме
шарового сектора в жизни.
Перейдём к задачам.
Задача: радиус шара равен см. Вычислите объем шарового сегмента, если его высота равна см.
Решение: запишем формулу для вычисления объёма шарового сегмента.
И подставим в неё радиус шара и высоту шарового сегмента.
Запишем ответ.
Задача: по
разные стороны от центра шара проведены два параллельных сечения с площадью и
см
Решение: запишем формулу для вычисления объема шарового слоя.
Чтобы найти объём шарового слоя нам необходимо знать его высоту и радиусы двух его оснований.
По условию задачи нам дано расстояние между сечениями, как раз-таки это расстояние и есть высота данного шарового слоя, и она равна .
Теперь найдём чему равны радиусы оснований шарового
слоя.
Напомню, что сечением шара плоскостью является круг. Площадь круга
вычисляется по формуле .
Отсюда найдём радиусы оснований шарового слоя. Тогда имеем, радиус одного основания
равен (см),
радиус второго основания равен (см).
Подставим радиусы оснований и высоту шарового слоя в формулу его объёма. Посчитаем. Получаем, что объём данного шарового слоя равен .
Не забудем записать ответ
Задача: радиус шара равен см. Найдите объем шарового сектора, если высота шарового сегмента равна см.
Решение: запишем формулу для вычисления объёма шарового сектора.
Подставим в неё радиус шара и высоту шарового сегмента. Посчитаем. Получим, что объём данного шарового сектора равен .
Запишем ответ.
Итоги:
На этом уроке мы ввели понятия шарового сегмента,
шарового слоя и шарового сектора. Узнали, что шаровым сегментом называется
часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью.
Шаровым слоем
называется часть шара, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями.
Шаровым сектором называется тело, которое получается при вращении кругового
сектора с углом, меньшим 90
Объем шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора | |
На уроке мы рассмотрим части шара: шаровой сегмент, шаровой слой и шаровой сектор | |
Определение. Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью. Секущая плоскость разбивает шар на два шаровых сегмента. Круг, получающийся в сечении, называется основанием каждого из этих сегментов, а длины отрезков диаметра, перпендикулярного к секущей плоскости, называются высотами сегмента. На экране высоты сегментов обозначены | |
Теорема. Объем шарового сегмента равен где R – радиус шара; h – высота сегмента. Доказательство. Применим уже известную нам интегральную формулу для вычисления объемов тел. Проведем ось Ox перпендикулярно к плоскости основания. Тогда произвольное сечение, проведенное перпендикулярно к оси Ox, будет кругом, а его площадь S выражается формулой: , при R- hxR. Эту формулу мы получили при выводе формулы объема шара. Вычислив соответствующий определенный интеграл, получаем: . Итак, Ч. т. д. | Теорема. Объем шарового сегмента равен где R – радиус шара; h– высота сегмента. Доказательство. Проведем ось Oxк плоскости основания. Тогда произвольное сечение, проведенное Ox, будет кругом, а его площадь S выражается формулой: , при R- hxR. Вычислим соответствующий интеграл: . Итак, Ч. т. д. |
Определение. Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными сечениями. Расстояние h между сечениями называется высотой слоя, а сами сечения – основаниями слоя. Объем шарового слоя можно вычислить как разность объемов двух шаровых сегментов. Например, объем шарового слоя, изображенного на экране, равен разности объемов шаровых сегментов с высотами AC и BC. | |
Определение. Шаровым сектором называется тело, полученное вращением кругового сектора с углом меньшим 900, вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих сектор радиусов. Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса. Если радиус шара равен R, а высота шарового сегмента равна h, то объем V шарового сектора вычисляется по формуле: | |
Переходим к решению задач. | |
Задача 1 Диаметр шара разделен на три равные части и через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные к диаметру. Найдите объем получившегося шарового слоя, если радиус шара равен R. Дано: Шаровой слой. R – радиус шара D –диаметр, точки C, D делят диаметр на три равные части: AC = CD = DC Нужно найти: | Задача 1 Диаметр шара разделен на три равные части и через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные к диаметру. Найдите объем получившегося шарового слоя, если радиус шара равен R. Дано: Шаровой слой R – радиус шара AB–диаметр, AC = CD = DC Найти : 81 |
Решение: Объем шарового слоя можно найти как разность объемов двух шаровых сегментов, с высотами AD и AC. Обозначим высоты сегментов через На чертеже отрезок AB – диаметр шара и он равен двум радиусам, высота первого сегмента h2 — отрезок AD, высота второго h3 — отрезок AC. Так как по условию задачи, точки C и D делят диаметр шара AB на три равные части (AC = СD = DB), то Общая формула для нахождения объема шарового сегмента: Найдем объем большего сегмента: Найдем объем меньшего сегмента: Теперь мы можем вычислить объем шарового слоя, вычислив их разность: Ответ: | Решение. Обозначим высоты сегментов через На чертеже AB – диаметр шара, AB = 2R, . Ответ: |
Задача 2 Радиус основания шарового сегмента 8 см, а его высота – 4 см. Найти объем сегмента. Дано: Шаровой сегмент. Радиус основания r=8 см. Высота h = 4 см. Нужно найти объем шарового сегмента V. | Задача2. Радиус основания шарового сегмента 8 см, а его высота – 4 см. Найти объем сегмента. Дано: Шаровой сегмент r= 8 см h = 4 см Найти: Vсегм. |
Решение. Формула для вычисления объема шарового сегмента: где R – радиус шара; h – высота сегмента.
Проведем ось Ox перпендикулярно основанию шарового сектора. Она пройдет через центр основания (свойство высоты, опущенной из центра шара на секущую плоскость) и будет перпендикулярна его радиусу (). Рассмотрим осевое сечение. Так как OA = OB = R, то OC = R –AC = R – 4 – прямоугольный (. По теореме Пифагора: После подстановки значений получим уравнение с одной переменной: Решая это уравнение, найдем R. 8R= 80; R = 10
Ответ: | Решение. Формула для вычисления объема шарового сегмента: где R – радиус шара; h– высота сегмента.
Проведем ось Ox перпендикулярно основанию шарового сектора. Рассмотрим осевое сечение. Так как OA =OB = R, то OC = R –AC = R – 4 – прямоугольный (. По теореме Пифагора . Подставив значения, получим уравнение: Решая его, найдем R. 8R = 80; R = 10
Ответ: |
Задача 3. Найдите объем шарового сектора, если радиус окружности основания соответствующего шарового сегмента равен 60 см, а радиус шара равен 75 см. Дано: Шаровой сектор. r = 60 см R = 75 см Найти: Решение. Формула для нахождения объема шарового сектора: , где R – радиус шара; h – высота шарового сегмента. Радиус шара нам известен по условию задачи. Не известно значение высоты h. Для нахождения h проведем ось Ox перпендикулярно основанию шарового сектора и рассмотрим осевое сечение. На чертеже AO = OB = R, поэтому h = CB = R – CO. Отрезок CO можно найти из треугольника ACO. Так как ось Ox перпендикулярна основанию сегмента, то она перпендикулярна его радиусу (. Треугольник AOC – прямоугольный. По теореме Пифагора: = 45см Теперь можно найти h: h = R – CO=75 – 45=30 см Осталось вычислить объем: Ответ: 112 500 πсм3. | Задача 3. Найдите объем шарового сектора, если радиус окружности основания соответствующего шарового сегмента равен 60 см, а радиус шара равен 75 см. Дано: шаровой сектор r= 60 см R = 75 см Найти: Решение. Формула для нахождения объема шарового сектора: , где R – радиус шара; h – высота шарового сегмента. Для нахождения h проведем ось Ox перпендикулярно основанию шарового сектора и рассмотрим осевое сечение. Так как AO = OB = R, то h = CB = R – CO. ΔACO– прямоугольный (): =45см Находим h: h = R –CO=75 – 45=30 см Вычисляем объем: Ответ: 112 500 πсм3. |
Шаровые краны | Schubert & Salzer Inc.
Свяжитесь с нами.
Заказать звонок Форма обратной связи Отправить электронное письмо Партнер по продажам
Телефон: +1 704 789 0169
Бесплатный звонок: +1 877 414 9664
Контакт
Клапан для работы с абразивом и шламом
- Начинать
- Товары
- Шаровые краны
Клапаны шарового сектора от Schubert & Salzer
Клапан с шаровым сектором разработан для работы в суровых условиях; взвеси, сухие среды, жидкости с взвешенными твердыми частицами или волокнами.
Принцип конструкции шаровых секторных клапанов
Шаровые секторные клапаны обеспечивают превосходную производительность в сложных условиях. В закрытом положении обычные дисковые затворы и шаровые затворы подвергают свои важные уплотнительные компоненты наибольшему износу. Благодаря особой конструкции шарового сектора уплотнение уплотняет менее подверженную износу поверхностную часть. Во избежание утечек, вызванных абразивным износом, клапан с шаровым сектором облегчает герметизацию через менее открытые участки шарового сектора. Тот факт, что поверхность уплотнения не подвергается воздействию высоких скоростей потока, значительно увеличивает срок службы шаровых секторных кранов. Вал уплотнен саморегулирующимся уплотнением из ПТФЭ со встроенным пружинным элементом, защищающим подшипник от частиц среды.
Износостойкость
В других технологиях, таких как сегментированные шаровые или поворотные шаровые краны, используется эксцентриковый вал, который заставляет шар или плунжер приподниматься над седлом клапана при начале открытия. Таким образом, уплотнительные участки мгновенно подвергаются постоянному износу. Между уплотнительным кольцом и шаром/плунжером могут скапливаться твердые частицы. Клапан с шаровым сектором имеет центрирующие и прочные цапфы, которые позволяют сектору шара поддерживать постоянный контакт с седлом клапана, исключая загрязнение средой. На постоянный момент срабатывания не влияют изменения перепада давления.
Срок службы
Эта продуманная конструкция уплотнения в сочетании с различными материалами и отделкой шарового сектора и седла клапана значительно увеличивает срок службы клапана по сравнению с другими технологиями клапанов. Поэтому он особенно подходит для абразивных, высоковязких или содержащих волокна сред
.Шаровые краны | Шуберт и Зальццер
Контакт
Клапан для отсечки и регулирования абразивных материалов и шлама.
- Начинать
- Товары
- Шаровые краны
Шаровые краны Schubert & Salzer
Шаровые секторные краны Schubert & Salzer используются, в частности, для грязных, абразивных и пастообразных сред в различных сложных приложениях включения/выключения и регулирования. Эта конструкция клапана характеризуется чрезвычайно широким диапазоном регулирования и высокой пропускной способностью.
Специальная конструкция шарового секторного клапана позволяет цапфам поглощать всю силу протекающей среды, что означает, что пневматические и электрические приводы должны создавать очень небольшое усилие срабатывания.
К продукции ›
Принцип конструкции шаровых секторных клапанов
Ключевым элементом этих запорных и регулирующих клапанов является шаровой сектор, который может поворачиваться на 90° и используется в качестве элемента управления потоком.
Даже в самых тяжелых условиях эксплуатации шаровой сектор герметизирует среду с помощью простого сменного седла в корпусе. Одна часть сектора шара служит для перекрытия клапана, а другая имеет отверстие диаметром, которое в норме соответствует примерно 80% номинального размера клапана. Во избежание воздействия термических или механических нагрузок подшипники и уплотнение вала установлены в поворотных подшипниковых втулках в корпусе. Вал уплотнен саморегулирующимся уплотнением из ПТФЭ со встроенным пружинным элементом, защищающим подшипник от частиц среды. Клапаны шарового сектора имеют центрирующие подшипники и устойчивые цапфы. Это позволяет сектору шара поддерживать постоянный контакт с уплотнением седла клапана во время его вращения. Изменения дифференциального давления оказывают незначительное влияние на постоянный крутящий момент.
Преимущества кранов шаровых секторных
Минимальный износ даже с загрязненным, абразивным и пастообразным носителем
Точный контроль над большим диапазоном управления
Низкие силы привода из -за журналов с валом с подшипниками
Высокая KV Значение
669
High KV дизайн
Долгий срок службы, низкие эксплуатационные расходы
Простота обслуживания и ремонта
Отсутствие отклонения потока
Отсутствие слива бумаги благодаря эллиптической геометрии потока
Износостойкость
Шаровые секторные краны часто сравнивают с поворотными шаровыми кранами из-за их конструкции.