Sin a sin b sin c sin a b c: Теорема синусов — Тригонометрия

Mathway | Популярные задачи

1 Найти точное значение sin(30)
2 Найти точное значение sin(45)
3 Найти точное значение sin(30 град. )
4 Найти точное значение sin(60 град. )
5 Найти точное значение tan(30 град. )
6 Найти точное значение arcsin(-1)
7 Найти точное значение sin(pi/6)
8
Найти точное значение
cos(pi/4)
9 Найти точное значение sin(45 град. )
10 Найти точное значение sin(pi/3)
11 Найти точное значение arctan(-1)
12 Найти точное значение cos(45 град. )
13 Найти точное значение cos(30 град. )
14 Найти точное значение tan(60)
15
Найти точное значение
csc(45 град. )
16 Найти точное значение tan(60 град. )
17 Найти точное значение sec(30 град. )
18 Найти точное значение cos(60 град. )
19 Найти точное значение cos(150)
20 Найти точное значение sin(60)
21 Найти точное значение
cos(pi/2)
22 Найти точное значение tan(45 град. )
23 Найти точное значение arctan(- квадратный корень из 3)
24 Найти точное значение csc(60 град. )
25 Найти точное значение sec(45 град. )
26 Найти точное значение csc(30 град. )
27 Найти точное значение sin(0)
28 Найти точное значение sin(120)
29 Найти точное значение cos(90)
30 Преобразовать из радианов в градусы pi/3
31 Найти точное значение tan(30)
32 Преобразовать из градусов в радианы 45
33 Найти точное значение cos(45)
34 Упростить sin(theta)^2+cos(theta)^2
35 Преобразовать из радианов в градусы pi/6
36 Найти точное значение cot(30 град. )
37 Найти точное значение arccos(-1)
38 Найти точное значение arctan(0)
39 Найти точное значение cot(60 град. )
40 Преобразовать из градусов в радианы 30
41 Преобразовать из радианов в градусы (2pi)/3
42 Найти точное значение sin((5pi)/3)
43 Найти точное значение sin((3pi)/4)
44 Найти точное значение tan(pi/2)
45 Найти точное значение sin(300)
46 Найти точное значение cos(30)
47 Найти точное значение cos(60)
48 Найти точное значение cos(0)
49 Найти точное значение cos(135)
50 Найти точное значение cos((5pi)/3)
51 Найти точное значение cos(210)
52 Найти точное значение sec(60 град. )
53 Найти точное значение sin(300 град. )
54 Преобразовать из градусов в радианы 135
55 Преобразовать из градусов в радианы 150
56 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/6
57 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/3
58 Преобразовать из градусов в радианы 89 град.
59 Преобразовать из градусов в радианы 60
60 Найти точное значение sin(135 град. )
61 Найти точное значение sin(150)
62 Найти точное значение sin(240 град. )
63 Найти точное значение cot(45 град. )
64 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/4
65 Найти точное значение sin(225)
66 Найти точное значение sin(240)
67 Найти точное значение cos(150 град. )
68 Найти точное значение tan(45)
69 Вычислить sin(30 град. )
70 Найти точное значение sec(0)
71 Найти точное значение cos((5pi)/6)
72 Найти точное значение csc(30)
73 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74 Найти точное значение
tan((5pi)/3)
75 Найти точное значение tan(0)
76 Вычислить sin(60 град. )
77 Найти точное значение arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
79 Найти точное значение sin((7pi)/4)
80 Найти точное значение arcsin(-1/2)
81 Найти точное значение
sin((4pi)/3)
82 Найти точное значение csc(45)
83 Упростить arctan( квадратный корень из 3)
84 Найти точное значение sin(135)
85 Найти точное значение sin(105)
86 Найти точное значение sin(150 град. )
87 Найти точное значение sin((2pi)/3)
88 Найти точное значение tan((2pi)/3)
89 Преобразовать из радианов в градусы pi/4
90 Найти точное значение sin(pi/2)
91 Найти точное значение sec(45)
92 Найти точное значение cos((5pi)/4)
93 Найти точное значение cos((7pi)/6)
94 Найти точное значение arcsin(0)
95
Найти точное значение
sin(120 град. )
96 Найти точное значение tan((7pi)/6)
97 Найти точное значение cos(270)
98 Найти точное значение sin((7pi)/6)
99 Найти точное значение arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100 Преобразовать из градусов в радианы 88 град.

тригонометрия — Для $\треугольника ABC$ докажите $(\sin A + \sin B)( \sin B +\sin C)( \sin C + \sin A) > \sin A \sin B \sin C$

спросил

6 лет, 6 месяцев назад

Изменено 6 лет, 6 месяцев назад

Просмотрено 2к раз

$\begingroup$

В $\треугольнике$ ABC докажите, что $$( \sin A + \sin B )( \sin B + \sin C )( \sin C + \sin A) > \sin A \sin B \sin C$$

Я пробовал формулу А. М.-Г.М. отношения с $\sin A$, $\sin B$ и $\sin C$, но на самом деле это не помогает. Итак, каково правильное доказательство?

  • тригонометрия
  • неравенство
  • треугольники

$\endgroup$

$\begingroup$

Почему?

При $\sin A,\sin B,\sin C>

0,$

$$\dfrac{\sin A+\sin B}2\ge\sqrt{\sin A\sin B}$$

$$\имплицит (\sin A+\sin B)(\sin B+\sin C )(\sin C+\sin A)\ge8\sin A\sin B\sin C$$, что определенно равно $>\sin A\sin B\sin C$

$\endgroup$

0

$\begingroup$

Пока этот треугольник евклидов, все значения sin положительны (или, может быть, 0, но это несложно). Когда вы перемножите эти факторы, вы получите $\sin A \sin B \sin C+$..(другие положительные вещи), что определенно больше, чем $\sin A \sin B \sin C$

$\endgroup$

$\begingroup$

Пусть стороны треугольника равны $a,b,c. $ Пусть $R$ — радиус описанной окружности треугольника Имеем $$0< 2 R=(\sin A)/a=(\sin B)/b =(\sin C)/c.$$ Таким образом, неравенство эквивалентно $$(a+b)(b+c)(c+a)>a b c.$$

В треугольнике $a+ b>c>0$ и $b+c>a>0$ и $c+a>b>0 .$ Итак, $(a+b)(b+c)(c+a)>c a b.$

Альтернативное доказательство: в треугольнике все синусы углов положительны. Если вы расширите свой исходный левый стержень, у вас будет 8 положительных членов, и каждый из них равен правому сердцу!

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

тригонометрия — Если $ a,b,c\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)\;,$ Тогда докажите, что $\frac{\sin (a+b+c)} {\ грех а + \ грех б + \ грех с}

спросил

Изменено 6 лет, 1 месяц назад

Просмотрено 348 раз

$\begingroup$

Если $\displaystyle a,b,c\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)\;,$ Докажите, что $\displaystyle \frac{\sin (a+b+c )}{\sin a+\sin b+\sin c}<1$

$\bf{Мой\; Try::}$ Используя $$\sin(a+\underbrace{b+c}) = \sin a\cdot \cos (b+c)+\cos a\cdot \sin (b+c)$$

$$ = \sin a\cdot (\cos b\cos c-\sin b\sin c)+\cos a(\sin b\cos c+\cos b\sin c)$$

$$ = \sin a\cos b\cos c-\sin a\sin b\sin c+\cos a \sin b\cos c+\cos a\cos b\sin c$$

Теперь, как я могу решить это после этого, требуется помощь , спасибо

  • тригонометрия

$\endgroup$

$\begingroup$

$\sin(a) + \sin(b) > \sin(a+b)$, если $(a,b)\in (0, \pi)\ подразумевает $

$\sin(a + b +c ) <= \sin(a) + \sin(b + c) < \sin(a) + \sin(b) + \sin(c)$

$\endgroup$

6

$\begingroup$

Используя $$\sin (a+b+c)-\sin a-\sin b-\sin c $$

$$= 2\cos\left(\frac{2a+b+c}{2 }\right)\sin \left(\frac{b+c}{2}\right)-2\sin\left(\frac{b+c}{2}\right)\cos \left(\frac{ b-c}{2}\справа)$$

Итак, $$ = 2\sin\left(\frac{b+c}{2}\right)\left[\cos\left(\frac{2a+b+c}{2}\right)-\ cos \left(\frac{b-c}{2}\right)\right]$$

$$ = -4\sin \left(\frac{a+b}{2}\right)\sin \left( \frac{b+c}{2}\right)\sin \left(\frac{a+c}{2}\right)<0,$$

Bcz, учитывая $\displaystyle a,b,c \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *