Sin и cos: Sin Cos Tan: Введение в тригонометрию

Содержание

Sin Cos Tan: Введение в тригонометрию

На колесе есть две точки, где вы будете находиться на нужной высоте (две красные точки на рисунке). Следовательно, существует два нужных нам угла α 1 и α2. Обратите внимание на два прямоугольных треугольника, выделенных зелёным цветом. Они одинаковые, так как являются зеркальным отображением друг друга. Давайте так же зеркально отобразим правый треугольник, но уже «вверх». Этот треугольник, выделенный красным цветом, имеет гипотенузу равную 1 (радиус колеса) и противолежащий катет (высота над центром) равный 1/2. В силу того, что все три треугольника одинаковые, они имеют одинаковые острые углы. Давайте найдём острый угол красного треугольника, при котором его синус равен 1/2. Поступим также, как древние астрономы, и заглянем в таблицу значений синуса для различных углов. Итак, sin α = 1/2 при = 30°. Интуитивно понятно, что наши три угла и значения их синусов связаны. Но как?

Полный круг составляет 360°. Разделим его на четыре четверти по 90° и пронумеруем их. Первая точка находится в третьей четверти. Так как две четверти в общем дают 180°, а угол α = 30°, то искомый угол α

1 = 210°. Нашли первый угол. Вторая точка находится в четвертой четверти. Три четверти в общем дают 270°, но прибавлением 30° тут не отделаешся, так как нужно прибавить угол β, а не угол α. Так как угол α + β= 90°, то угол β = 90°− 30°=60°. И второй искомый угол равен 270°+ 60°=330°. Остался один маленький ньюанс. Помните, как мы говорили о том, что тригонометрические функции описывают повторяющиеся процессы? Если наше колесо не остановится после того, как совершит полный оборот в 360°, то с каждым новым оборотом вы будет проходить через две точки, находящиеся на уровне –1/2. Эти точки определяются простым прибавлением 360° к найденным нами углам.

При этом n – любое целое число, то есть, на нашем примере это количество оборотов колеса. Стоит заметить, что число n может быть и отрицательным, если колесо крутится в обратную сторону.

Равенстно sin α=−1/2 мы решили. Перейдем к неравенству sin α ≥ −1/2. Если для решения равенства мы нашли значения углов, при которых наша высота над центром колеса равна −1/2, то для решения неравенства нам нужно найти все углы, при которых наша высота больше либо равна −1/2. Помните мы говорили о том, что угол может быть отрицательным? Сейчас нам это пригодится. Определим угол α

2 не как 330°, а как −30° (330°−360°) На рисунке эта область выделена зелёным цветом. 

Для того, чтобы правильно записать решение неравенства, обратите внимание на рисунок синусоиды и прямой y=−1/2(высота). Нас интересуют области синусоиды, которые выше прямой y=−1/2. На рисунке они заштрихованы красным цветом. Обратите внимание на точки, которые выделяют эти отрезки. Это те же точки, которые мы получили при решении равенства sin α=−1/2 и они повторяются каждые 360°. Ответ можно записать так:

Дело осталось за малым. Во-первых, вспомнить, что математики обозначают 180° как π, когда записывают формулы с углами, и переписать решение так:

Во-вторых, произвести обратную замену α на 3x − π/4.

Путём нехитрых алгебраических преобразований, а именно прибавления π/4 и деления на 3 ко всем частям неравенства, получаем:

Ответ:

Миссия выполнена!

Синус и косинус - тригонометрические функции y=sin(x), y=cos(x). Свойства, область определения, значения, четность, периоды, нули, промежутки знакопостоянства, возрастание, убывание, минимумы, максимумы, основные значения, знаки, формулы приведения





Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Тригонометрические функции, формулы и графики. sin, cos, tg, ctg....Значения тригонометрических функций. Формулы приведения тригонометрических функций. Тригонометрические тождества.  / / Синус и косинус - тригонометрические функции y=sin(x), y=cos(x). Свойства, область определения, значения, четность, периоды, нули, промежутки знакопостоянства, возрастание, убывание, минимумы, максимумы, основные значения, знаки, формулы приведения

Поделиться:   

Синус (sin) и косинус (cos) - тригонометрические функции

y=sin(x), y=cos(x). Свойства, область определения, область значения, четность, периоды, нули, промежутки знакопостоянства, возрастание, убывание, минимумы, максимумы, основные значения, знаки по четвертям, формулы приведения.

Свойства, область определения, область значения, четность, периоды, нули, промежутки знакопостоянства, возрастание, убывание, минимумы, максимумы, основные значения:

Свойства, область определения, область значения, четность, периоды, нули, промежутки знакопостоянства, возрастание, убывание, минимумы, максимумы, основные значения:

  • Область определения D(y):
  • Область значений E(x):
  • Наименьший положительный период:
  • Координаты точек пересечения графика функции с осью:
  • Промежутки знакопостоянства -  на которых функция принимает:
  • Положительные значения:
  • Отрицптельные значения:
  • Промежутки возрастания:
  • Промежутки убывания:
  • Точки минимума:
  • Мнимумы функции:
  • Точки максимума:
  • Максимумы функции:

Перевод градусной меры угла в радианную и обратно

подробнее:

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

Знаки значений тригонометрических функций:

Формулы приведения тригонометрических функций

подробнее:
Поиск в инженерном справочнике DPVA.°-a\). К счастью, учить наизусть формулы привидения вам не придется, потому что есть легкий и надежный способ вывести нужную за пару секунд.

Как быстро получить любую формулу приведения

Для начала обратите внимание, что все формулы имеют похожий вид:


Здесь нужно пояснить термин «кофункция» - это та же самая функция с добавлением или убиранием приставки «ко-». То есть, для синуса кофункцией будет косинус, а для косинусасинус. С тангенсом и котангенсом – аналогично.

Функция:                Кофункция:
\(sin⁡\) \(a\)          \(→\)            \(cos⁡\) \(a\)
\(cos⁡\) \(a\)          \(→\)             \(sin⁡\) \(a\)
\(tg⁡\) \(a\)            \(→\)            \(ctg\) \(a\)
\(ctg⁡\) \(a\)          \(→\)             \(tg\) \(a\)

Таким образом, например, синус при применении этих формул никогда не поменяется на тангенс или котангенс, он либо останется синусом, либо превратиться в косинус.°}}=\)

 

В числителе и знаменателе получились одинаковые косинусы. Сокращаем их.

\(= 18\)

 

Записываем ответ

Ответ:  \(18\)

Пример. Найдите значение выражения \(\frac{3 \sin{⁡(\pi-a)}-\cos(\frac{\pi}{2}+a) }{\cos⁡ {(\frac{3\pi}{2}-a)}}\)

Решение:

\(\frac{3 \sin{⁡(\pi-a)}-\cos(\frac{\pi}{2}+a) }{\cos⁡ {(\frac{3\pi}{2}-a)}}=\)

Рассмотрим первое слагаемое числителя: \(\sin⁡(π-a)\). Воспользуемся формулами приведения, выведя ее самостоятельно:
  • \((π-a)\) это вторая четверть, а синус во второй четверти положителен. Значит, знак будет плюс;
  • \(π\) это точка «горизонтальная», то есть мотаем головой, значит функция остается той же.

Таким образом, \(\sin⁡(π-a)=\sin⁡a\) 

\(=\frac{3 \sin{⁡a}-\cos(\frac{\pi}{2}+a) }{\cos⁡ {(\frac{3\pi}{2}-a)}}=\)

  Второе слагаемое числителя: \(\cos⁡{(\frac{π}{2} + a)}\):
  • \((\frac{π}{2} + a)\) это опять вторая четверть, а косинус во второй четверти отрицателен. Значит, знак будет минус.
  • \(\frac{π}{2}\) это точка «вертикальная», то есть киваем, значит, функция меняется на кофункцию – синус.

Таким образом, \(\cos{⁡(\frac{π}{2} + a)}=-\sin⁡a\)

\(=\frac{3 \sin{⁡a}-(-\sin{a}) }{\cos⁡ {(\frac{3\pi}{2}-a)}}=\)

 

Теперь знаменатель: \(\cos⁡(\frac{3π}{2} - a)\). Его мы разобрали выше, он равен минус синусу. \(\cos⁡(\frac{3π}{2} - a)=-\sin{⁡a}\)

\(=\frac{3 \sin{⁡a}-(-\sin{a}) }{-\sin⁡ {a}}=\)

 

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.

\(=\frac{3 \sin{⁡a}+\sin{a}}{-\sin⁡ {a}}=\frac{4\sin{a}}{-\sin{a}}\)

 

Сократив на \(\sin⁡{a}\), получаем ответ.

\(=\frac{4 }{-1}=\)\(-4\)

 

Ответ:  \(-4\)

Пример. Вычислить чему равен \(ctg(-a-\frac{7π}{2})\), если \(tg\) \(⁡a=2\)

Решение:

\(ctg(-a-\frac{7π}{2}) =\)

Здесь сразу формулу приведения применять нельзя, так как аргумент нестандартный. Что не так? Прежде всего, \(a\) стоит первой, хотя должна быть после «точки привязки». Поменяем местами слагаемые аргумента, сохраняя знаки.

\(= ctg(-\frac{7π}{2}-a) =\)

 

Уже лучше, но все еще есть проблемы – «точка привязки» с минусом, а такого аргумента у нас нет. Избавимся от минуса, вынеся его за скобку внутри аргумента.


\(= ctg(-(\frac{7π}{2}+a)) =\)

 

Теперь вспомним о том, что котангенс – функция нечетная, то есть
\(ctg\) \((-t)=- ctg\) \(t\). Преобразовываем наше выражение.

\(= - ctg(\frac{7π}{2}+a) =\)

 

Несмотря на то, что точка привязки \(\frac{7π}{2}\) мы все равно можем использовать формулы приведения, потому что \(\frac{7π}{2}\) лежит на пересечении одной из осей и числовой окружности (смотри пояснение ниже). \((\frac{7π}{2}+a)\) это четвертая четверть, и котангенс там отрицателен. «Точка привязки» - вертикальная, то есть функцию меняем. Окончательно имеем \(ctg(\frac{7π}{2}+a)=-tg a\) .

\(= - (- tg\) \(a) = tg\) \(a = 2\)

 

Готов ответ.

Ответ:  \(2\)

Еще раз проговорим этот важный момент: с точки зрения формулы приведения \(\frac{7π}{2}\) - это тоже самое, что и \(\frac{3π}{2}\). Почему? Потому что \(\frac{7π}{2}=\frac{3π+4π}{2}=\frac{3π}{2}+\frac{4π}{2}=\frac{3π}{2}+2π\). Иными словами, они отличаются ровно на один оборот \(2π\). А на значения тригонометрических функций количество оборотов никак не влияет:

\(cos\) \(⁡t=cos ⁡(t+2π)=cos ⁡(t+4π)=cos ⁡(t+6π)= ...=cos⁡ (t-2π)=cos ⁡(t-4π)=cos⁡ (t-6π)…\)
\(sin\) \(t=sin⁡ (t+2π)=sin ⁡(t+4π)=sin ⁡(t+6π)= ...=sin⁡ (t-2π)=sin ⁡(t-4π)=sin ⁡(t-6π)…\)

Аналогично с тангенсом и котангенсом (только у них «оборот» равен \(π\)).
\(tg\) \(t=tg⁡(t+π)=tg⁡(t+2π)=tg⁡(t+3π)= ...=tg⁡(t-π)=tg⁡(t-2π)=tg⁡(t-3π)…\)
\(ctg\) \(t=ctg⁡(t+π)=ctg⁡(t+2π)=ctg⁡(t+3π)= ...=ctg⁡(t-π)=ctg⁡(t-2π)=ctg⁡(t-3π)…\)

Таким образом, \(-ctg(\frac{7π}{2}+a)=- ctg(\frac{3π}{2}+2π+a)=- ctg(\frac{3π}{2}+a)\).

То есть, для определения знака и необходимости смены функции важно лишь местоположение «точки привязки», а не её значение, поэтому так расписывать не обязательно (но можно если вы хотите впечатлить своими знаниями учительницу).

Ответы на часто задаваемые вопросы

Вопрос: Есть ли формулы приведения с аргументами \((\frac{π}{3}-a)\),\((\frac{π}{4}+a)\),\((\frac{7π}{6}+a)\) или тому подобное?
Ответ: К сожалению, нет. В таких ситуациях выгодно использовать формулы разности и суммы аргументов. Например, \(cos⁡(\frac{π}{3}-a)=cos⁡\frac{π}{3} cos⁡a+sin⁡\frac{π}{3} sin⁡a=\frac{1}{2}cos⁡a+\frac{\sqrt{3}}{2} sin⁡a\).

Смотрите также Как доказать тригонометрическое тождество?

Скачать статью

Тригонометрические тождества и преобразования

Для решения некоторых задач будет полезной таблица тригонометрических тождеств, которая позволит гораздо проще совершать преобразования функций:

Простейшие тригонометрические тождества

Частное от деления синуса угла альфа на косинус того же угла равно тангенсу этого угла (Формула 1). См. также доказательство правильности преобразования простейших тригонометрических тождеств. 
Частное от деления косинуса угла альфа на синус того же угла равно котангенсу этого же угла (Формула 2)
Секанс угла равен единице, деленной на косинус этого же самого угла (Формула 3)
Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице (Формула 4). см. также доказательство суммы квадратов косинуса и синуса.
Сумма единицы и тангенса угла равна отношению единицы к квадрату косинуса этого угла (Формула 5)
Единица плюс котангенс угла равна частному от деления единицы на синус квадрат этого угла (Формула 6)
Произведение тангенса на котангенс одного и того же угла равно единице (Формула 7).

Преобразование отрицательных углов тригонометрических функций (четность и нечетность)

Для того, чтобы избавиться от отрицательного значения градусной меры угла при вычислении синуса, косинуса или тангенса, можно воспользоваться следующими тригонометрическими преобразованиями (тождествами), основанными на принципах четности или нечетности тригонометрических функций.


Как видно, косинус и секанс является четной функцией, синус, тангенс и котангенс - нечетные функции.

Синус отрицательного угла равен отрицательному значению синуса этого же самого положительного угла (минус синус альфа).
Косинус "минус альфа" даст тоже самое значение, что и косинус угла альфа.
Тангенс минус альфа равен минус тангенс альфа.

Формулы приведения двойного угла (синус, косинус, тангенс и котангенс двойного угла)

Если необходимо разделить угол пополам, или наоборот, перейти от двойного угла к одинарному, можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:


Преобразование двойного угла (синуса двойного угла, косинуса двойного угла и тангенса двойного угла) в одинарный происходит по следующим правилам:

Синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса на косинус одинарного угла

Косинус двойного угла равен разности квадрата косинуса одинарного угла и квадрата синуса этого угла

Косинус двойного угла равен удвоенному квадрату косинуса одинарного угла минус единица

Косинус двойного угла равен единице минус двойной синус квадрат одинарного угла

Тангенс двойного угла равен дроби, числитель которой - удвоенный тангенс одинарного угла, а знаменатель равен единице минус тангенс квадрат одинарного угла.

Котангенс двойного угла равен дроби, числитель которой - квадрат котангенса одинарного угла минус единица, а знаменатель равен удвоенному котангенсу одинарного угла

Формулы универсальной тригонометрической подстановки

Указанные ниже формулы преобразования могут пригодиться, когда нужно аргумент тригонометрической функции ( sin α, cos α, tg α) разделить на два и привести выражение к значению половины угла. Из значения α получаем  α/2 .

Данные формулы называются формулами универсальной тригонометрической подстановки. Их ценность заключается в том, что тригонометрическое выражение с их помощью сводится к выражению тангенса половины угла, вне зависимости от того, какие тригонометрические функции (sin cos tg ctg) были в выражении изначально. После этого уравнение с тангенсом половины угла решить гораздо проще.

Тригонометрические тождества преобразования половины угла

Указанные ниже формулы тригонометрического преобразования половинной величины угла к его целому значению.
Значение аргумента тригонометрической функции α/2 приводится к значению аргумента тригонометрической функции α.

Тригонометрические формулы сложения углов

cos (α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β

sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α 

sin (α - β) = sin α · cos β - sin β · cos α 
cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β 

Тангенс и котангенс суммы углов альфа и бета могут быть преобразованы по следующим правилам преобразования тригонометрических функций:

Тангенс суммы углов равен дроби, числитель которой - сумма тангенса первого и тангенса второго угла, а знаменатель - единица минус произведение тангенса первого угла на тангенс второго угла.

Тангенс разности углов равен дроби, числитель которой равен разности тангенса уменьшаемого угла и тангенса вычитаемого угла, а знаменатель - единице плюс произведение тангенсов этих углов.

Котангенс суммы углов равен дроби, числитель которой равен произведению котангенсов этих углов плюс единица, а знаменатель равен разности котангенса второго угла и котангенса первого угла.

Котангенс разности углов равен дроби, числитель которой - произведение котангенсов этих углов минус единица, а знаменатель равен сумме котангенсов этих углов.

Данные тригонометрические тождества удобно применять, когда нужно вычислить, например, тангенс 105 градусов (tg 105). Если его представить как tg (45 + 60), то можно воспользоваться приведенными тождественными преобразованиями тангенса суммы углов, после чего просто подставить табличные значения тангенса 45 и тангенса 60 градусов.

Формулы преобразования суммы или разности тригонометрических функций

Выражения, представляющие собой сумму вида sin α + sin β можно преобразовать с помощью следующих формул:

Формулы тройного угла - преобразование sin3α cos3α tg3α в sinα cosα tgα

Иногда необходимо преобразовать тройную величину угла так, чтобы аргументом тригонометрической функции вместо 3α стал угол α.
В этом случае можно воспользоваться формулами (тождествами) преобразования тройного угла:

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций

Если возникает необходимость преобразовать произведение синусов разных углов косинусов разных углов или даже произведения синуса на косинус, то можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:

В этом случае произведение функций синуса, косинуса или тангенса разных углов будет преобразовано в сумму или разность.

Формулы приведения тригонометрических функций

Пользоваться таблицей приведения нужно следующим образом. В строке выбираем функцию, которая нас интересует. В столбце - угол. Например, синус угла (α+90) на пересечении первой строки и первого столбца выясняем, что sin (α+90)  = cos α .

См. также Полный список формул приведения тригонометрических функций.


Угол α + 90
α + π/2
α + 180
α + π
α + 270
α + 3π/2
90 - α
π/2- α
180 - α
π- α
270 - α
3π/2- α
360 - α
2π- α
sin cos α -sin α -cos α cos α sin α -cos α -sin α
cos -sin α -cos α sin α sin α -cos α -sin α cos α
tg -ctg α tg α -ctg α ctg α -tg α ctg α -tg α
ctg -tg α ctg α -tg α tg α -ctg α tg α -ctg α
 Начать курс обучения

Тригонометрическая таблица

В статье, мы полностью разберемся, как выглядит таблица тригонометрических значений, синуса, косинуса, тангенса и котангенса . Рассмотрим основное значение тригонометрических функций, от угла в 0,30,45,60,90,...,360 градусов. И посмотрим как пользоваться данными таблицами в вычислении значения тригонометрических функций.
Первой рассмотрим таблицу косинуса, синуса, тангенса и котангенса от угла в 0, 30, 45, 60, 90,.. градусов. Определение данных величин дают определить значение функций углов в 0 и 90 градусов:

sin 00=0, cos 00 = 1. tg 00 = 0, котангенс от 00 будет неопределенным
sin 900 = 1, cos 900 =0, ctg900 = 0,тангенс от 900 будет неопределенным

Если взять прямоугольные треугольники углы которых от 30 до 90 градусов. Получим:

sin 300 = 1/2, cos 300 = √3/2, tg 300 = √3/3, ctg 300 = √3
sin 450 = √2/2, cos 450 = √2/2, tg 450= 1, ctg 450 = 1
sin 600 = √3/2, cos 600 = 1/2, tg 600 =√3 , ctg 600 = √3/3

Изобразим все полученные значения в виде тригонометрической таблицы:


Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов!

Если использовать формулу приведения, наша таблица увеличится, добавятся значения для углов до 360 градусов. Выглядеть она будет как:

Так же исходя из свойств периодичности таблицу можно увеличить, если заменим углы на 00+3600*z .... 3300+3600*z, в котором z является целым числом. В данной таблице возможно вычислить значение всех углов, соответствующими точками в единой окружности.

Разберем наглядно как использовать таблицу в решении.
Все очень прост. Так как нужное нам значение лежит в точке пересечения нужных нам ячеек. К примеру возьмем cos угла 60 градусов, в таблице это будет выглядеть как:

В итоговой таблице основных значений тригонометрических функций, действуем так же. Но в данной таблице возможно узнать сколько составит тангенс от угла в 1020 градусов, он = -√3 Проверим 10200 = 3000+3600*2. Найдем по таблице.

Для более поиска тригонометрических значений углов с точностью до минут используются таблицы Брадиса. Подробная инструкция как ими пользоваться на странице по ссылке.

Таблица Брадиса. Для синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Таблицы Брадиса поделены на несколько частей, состоят из таблиц косинуса и синуса, тангенса и котангенса - которая поделена на две части (tg угла до 90 градусов и ctg малых углов).

Синус и косинус

tg угла начиная с 00 заканчивая 760, ctg угла начиная с 140 заканчивая 900.

tg до 900 и ctg малых углов.

Разберемся как пользоваться таблицами Брадиса в решении задач.

Найдем обозначение sin (обозначение в столбце с левого края) 42 минут (обозначение находится на верхней строчке). Путем пересечения ищем обозначение, оно = 0,3040.


Величины минут указаны с промежутком в шесть минут, как быть если нужное нам значение попадет именно в этот промежуток. Возьмем 44 минуты, а в таблице есть только 42. Берем за основу 42 и воспользуемся добавочными столбцами в правой стороне, берем 2 поправку и добавляем к 0,3040 + 0,0006 получаем 0,3046.

При sin 47 мин, берем за основу 48 мин и отнимаем от нее 1 поправку, т.е 0,3057 - 0,0003 = 0,3054

При вычислении cos работаем аналогично sin только за основу берем нижнюю строку таблицы. К примеру cos 200 = 0.9397

Значения tg угла до 900 и cot малого угла, верны и поправок в них нет. К примеру, найти tg 780 37мин = 4,967

а ctg 200 13мин = 25,83

Ну вот мы и рассмотрели основные тригонометрические таблицы. Надеемся это информация была для вас крайне полезной. Свои вопросы по таблицам, если они появились, обязательно пишите в комментариях!

Заметка: Стеновые отбойники - отбойная доска для защиты стен (http://www.spi-polymer.ru/otboyniki/)


Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Функции Acos, Acot, Asin, Atan, Atan2, Cos, Cot, Degrees, Pi, Radians, Sin и Tan в Power Apps - Power Apps

  • Чтение занимает 3 мин

В этой статье

Вычисление тригонометрических значений.

Описание

Основные функции

Функция Cos возвращает косинус аргумента, при этом угол указан в радианах.

Функция Cot возвращает котангенс аргумента, при этом угол указан в радианах.

Функция Sin возвращает синус аргумента, при этом угол указан в радианах.

Функция Tan возвращает тангенс аргумента, при этом угол указан в радианах.

Обратные функции

Функция Acos возвращает арккосинус или обратный косинус аргумента. Арккосинус — это угол, косинус которого является аргументом. Возвращаемый угол указывается в радианах в диапазоне от 0 (нуля) до π.

Функция Acot возвращает основное значение арккотангенса (или обратный котангенс) аргумента. Возвращаемый угол указывается в радианах в диапазоне от 0 (нуля) до π.

Функция Asin возвращает арксинус (или обратный синус) аргумента. Арксинус — это угол, синус которого является аргументом. Возвращаемый угол указывается в радианах в диапазоне от -π/2 до π/2.

Функция Atan возвращает арктангенс (или обратный тангенс) своего аргумента. Арктангенс — это угол, тангенс которого является аргументом. Возвращаемый угол указывается в радианах в диапазоне от -π/2 до π/2.

Функция Atan2 возвращает арктангенс (или обратный тангенс), в качестве аргументов которого указаны координаты x и y. Арктангенс — это угол между осью x и линией, проходящей через точку начала координат (0, 0) и точку с координатами (x, y). Угол указывается в радианах между -π и π, исключая -π. Положительный результат соответствует углу, расположенному против часовой стрелки относительно оси x; отрицательный же результат представляет угол, расположенный по часовой стрелке. Atan2( ab ) равно Atan( b/a ), за исключением случаев, когда a может быть равно 0 (нулю) в функции ** Atan2**.

Вспомогательные функции

Функция Degrees преобразует радианы в градусы. π радиан равно 180 градусам.

Функция Pi возвращает трансцендентное число π, которое начинается с 3,141592...

Функция Radians преобразует градусы в радианы.

Заметки

Если этим функциям передать одно число, возвращается один результат. Если передать таблицу с одним столбцом, содержащим числовые значения, возвращается таблица с одним столбцом, содержащим результаты вычислений — по одному результату для каждой записи в таблице аргументов. Таблицу с несколькими столбцами можно преобразовать в таблицу с одним столбцом, как описано в статье об использовании таблиц.

Если для аргумента не определено значение функции, возвращается пустое значение. Это может произойти, например, при использовании обратных функций с аргументами, которые выходят за пределы диапазона.

Синтаксис

Основные функции

Cos( Radians )
Cot( Radians )
Sin( Radians )
Tan( Radians )

  • Radians — обязательный аргумент. Угол, для которого нужно выполнить операцию.

Cos( SingleColumnTable )
Cot( SingleColumnTable )
Sin( SingleColumnTable )
Tan( SingleColumnTable )

  • SingleColumnTable — обязательный аргумент. Таблица с одним столбцом, для углов в котором нужно выполнить операцию.

Обратные функции

Acos( Number )
Acot( Number )
Asin( Number )
Atan( Number )

  • Number — обязательный аргумент. Число, для которого нужно выполнить операцию.

Acos( SingleColumnTable )
Acot( SingleColumnTable )
Asin( SingleColumnTable )
Atan( SingleColumnTable )

  • SingleColumnTable — обязательный аргумент. Таблица с одним столбцом, для значений в котором нужно выполнить операцию.

Atan2( X, Y )

  • X — обязательный аргумент. Координата по оси X.
  • Y — обязательный аргумент. Координата по оси Y.

Вспомогательные функции

Degrees( Radians )

  • Radians — обязательный аргумент. Угол в радианах, преобразуемый в градусы.

Pi()

Radians( Degrees )

  • Degrees — обязательный аргумент. Угол в градусах, преобразуемый в радианы.

Примеры

Одно число

Формула Описание Результат
Cos( 1.047197 ) Возвращает косинус 1,047197 радиана или 60 градусов. 0.5
Cot( Pi()/4 ) Возвращает котангенс 0,785398... радиана или 45 градусов. 1
Sin( Pi()/2 ) Возвращает синус 1,570796 радиана или 90 градусов. 1
Tan( Radians(60) ) Возвращает тангенс 1,047197... радиана или 60 градусов. 1.732050...
Acos( 0.5 ) Возвращает арккосинус аргумента 0,5 в радианах. 1.047197...
Acot( 1 ) Возвращает арккотангенс аргумента 1 в радианах. 0.785398...
Asin( 1 ) Возвращает арксинус аргумента 1 в радианах. 1.570796...
Atan( 1.732050 ) Возвращает арктангенс аргумента 1,732050 в радианах. 1.047197...
Atan2( 5, 3 ) Возвращает арктангенс угла (который составляет приблизительно 31 градус) между осью Х и линией, проходящей через точку начала координат (0, 0) и точку с координатами (5, 3). 0.540419...
Atan2( 4, 4 ) Возвращает арктангенс угла (который составляет ровно π/4 радиана или 45 градусов) между осью Х и линией, проходящей через точку начала координат (0, 0) и точку с координатами (4, 4). 0.785398...
Degrees( 1.047197 ) Возвращает число в градусах, соответствующее 1,047197 радиана. 60
Pi() Возвращает трансцендентное число π. 3.141592...
Radians( 15 ) Возвращает число в радианах, соответствующее 15 градусам. 0.261799...

Таблица с одним столбцом

В примерах этого раздела используется источник данных с именем ValueTable, который содержит следующие данные. Последняя запись в таблице — π/2 радиана или 90 градусов.

Формулы приведения [Love Soft]

Формулы приведения - сокращенное название формул, которые позволяют привести синусы и косинусы к соответствующим значениям синусов и косинусов острых углов (т.е. от 0 до 90 градусов).

Формулы приведения косинуса

Формулы приведения синуса

Формулы приведения тригонометрических функций

Мнемоническое правило

Подготовительный шаг: аргумент исходной функции представляется в виде

$\pm \alpha + 2\pi z$ или $\pi/2 \pm \alpha + 2\pi z$ или $\pi \pm \alpha + 2\pi z$ или $3\pi/2 \pm \alpha + 2\pi z$,

причем угол должен быть от 0 до 90 градусов (острый). Это замечание про угол альфа очень важно, так как для других углов мнемоническое правило может приводить к неверным результатам.

При приведении функции от аргумента вида kp/2 ± α, где k – целое число, к функции от аргумента α:

  • Дальше определяется знак, который имеет исходная функция. Функция в правой части записываемой формулы приведения будет иметь такой же знак как и приводимая функция.

  • название функции сохраняется для 1-го и 3-го случая (нечетный квадрант), и меняется на «дополнительное» (кофункцию), для 2-го и 4-го случая (четный квадрант) [синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс]

Например, при приведении ctg (α – p/2) убеждаемся, что α – p/2 при 0 < α < p/2 лежит в четвертом квадранте, где котангенс отрицателен, и, по второму правилу, меняем название функции: ctg (α – p/2) = –tg α.

Задача

Используя мнемоническое правило, приведите $\sin 777^\circ$ к тригонометрическим функциям острого угла.\circ$.

Правило лошади

Если мы откладываем угол от вертикальной оси, лошадь говорит «да» (киваем головой вдоль оси OY)  и приводимая функция меняет своё название: синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс.

Если мы откладываем угол от горизонтальной оси, лошадь говорит «нет» (киваем головой вдоль оси OХ)  и приводимая функция не меняет название.

Знак правой части равенства совпадает со знаком приводимой функции, стоящей в левой части равенства.

Пример

sin(120) = sin(90+30) = [лошадь говорит да] = cos(30) = $\frac {\sqrt 3} 2 $

или

sin(120) = sin(180-60) = [лошадь говорит нет] = sin(60) = $\frac {\sqrt 3} 2 $

Новоселов - таблица

Формулы приведения в особом доказательстве не нуждаются.

Формулы первой строки выражают свойства четности и нечетности тригонометрических функций, прочие же формулы вытекают из теорем сложения для косинуса и синуса.

В последнем столбце дано геометрическое пояснение формул приведения для острого угла α (равные треугольники заштрихованы).

Формулы четвёртой и восьмой строк легко вывести также и геометрически. Если к углу α прибавить π, т. е. половину полного оборота, то подвижной радиус займёт диаметрально противоположное положение. Абсцисса х и ордината у конца подвижного радиуса, т. е. косинус и синус угла, изменят знаки (не изменяя абсолютной величины) на противоположные, а их отношения не изменятся.

Формулы приведения показывают, что в практических вычислениях достаточно знать значения тригонометрических функций лишь острых углов (и даже не больших 45°).

Обоснование:

Пример. Вычислить cos(-1000°)

mat/trig/sin-cos-privedenie.txt · Последние изменения: 2020/09/23 22:28 — kc

Синусоидальная функция

- Упражнение с графиком


Синусоидальная функция дает очень красивую кривую
, но не верьте нам на слово, сделайте свою собственную!

Синусоидальная функция

Сначала прочтите страницу о синусе, косинусе и касательной.

Теперь вы знаете, что синус любого угла - это длина дальней стороны треугольника («противоположной»). делится длинной стороной («гипотенуза»):


Синус θ = Противоположность / Гипотенуза

Нарисуйте треугольники

Чтобы построить график, нам нужно вычислить синус для разных углов, затем поместить эти точки на график и затем «соедините точки».

Шаг 1. Нарисуйте угловые линии

Поместите отметку в центре листа бумаги, затем с помощью транспортира отметьте каждые 15 градусов от 0 °. до 180 ° по полукругу. Затем поверните транспортир и снова сделайте отметку от 180 ° до начала. Затем нарисуйте линии, расходящиеся от центра к каждой из ваших отметок, чтобы получить такую ​​иллюстрацию:


Линии под углом 15 ° (нажмите, чтобы увеличить)

Или вы можете нажать на иллюстрацию выше и распечатать результат.

Шаг 2. Нарисуйте и измерьте треугольники

Теперь мы можем превратить каждую из этих линий в треугольник, например:

Измерение треугольников

Когда вы закончите каждый треугольник, остается просто измерить линии. Помните, что синус составляет длина прямой, противоположной углу , деленная на гипотенуза (которая должна быть такой же длины, если вы хорошо ее нарисовали)

Запишите все свои измерения в таблицу.Вот что у меня получилось, но ваши мерки могут отличаться:

Уголок

Напротив

Гипотенуза

Напротив / Гипотенуза

0 °

0 мм

86 мм

0.00

15 °

22 мм

86 мм

0,26

30 °

43 мм

86 мм

0.50

и т.д ...

Здесь можно распечатать готовую к заполнению таблицу.

Важно: когда «противоположная» линия идет вниз, это отрицательно.

Совет: если вы хорошо его нарисовали, вы можете воспользоваться симметрией 0-90, 90-180, 180-270 и 270-360.

График результатов

Возьмите миллиметровую бумагу и приготовьте ее, уменьшив масштаб от 0 до 360 с шагом 15 по оси x и изменив масштаб. от -1 до +1 по оси ординат.Вы можете использовать свою собственную миллиметровую бумагу или распечатать этот график. бумага

Теперь нанесите каждую точку из таблицы на график.

Затем соедините точки как можно аккуратнее.

Результат

Результат должен выглядеть примерно так, как на графике вверху.

Но вы сделали гораздо больше, чем просто нарисовали красивую кривую. У вас:

  • узнал об одной из самых важных функций в математике
  • узнал, что не нужно верить тому, что говорят люди - вы можете попробовать это сами.
  • имел опыт построения графиков
  • узнал, как симметрия может сэкономить усилия

Надеюсь, вам понравилось!

Sohcahtoa: синус, косинус, тангенс

Sohca ... что? Просто простой способ запомнить , как работают синус, косинус и тангенс:

Soh ...

S ine = O pposite / H ypotenuse

...ка ...

C осин = A djacent / H ypotenuse

... тоа

T angent = O pposite / A djacent

Прямой треугольник

Хорошо, давайте посмотрим, что это такое.

Во-первых, имена Противоположный, Смежный и Гипотенуза происходят от прямоугольного треугольника:


  • «Противоположно» противоположно углу θ
  • «Соседний» примыкает (рядом) к углу θ
  • «Гипотенуза» длинная

Соседний всегда рядом с углом

И Напротив находится напротив угла

Синус, косинус и тангенс

И Синус , Косинус и Касательный - это три основные функции в тригонометрии.

Их часто сокращают до sin , cos и tan .

Вычисление - это просто , одна сторона прямоугольного треугольника разделена на другую сторону ... нам просто нужно знать, какие стороны, и именно здесь "sohcahtoa" помогает.

Для треугольника с углом θ функции рассчитываются следующим образом:

Синус:

soh...

s дюйм ( θ ) = o pposite / h ypotenuse

Косинус:

... ка ...

c os ( θ ) = a djacent / h ypotenuse

Касательная:

...тоа

t an ( θ ) = o pposite / a djacent

Пример: каковы синус, косинус и тангенс 30 °?

Треугольник 30 ° имеет гипотенузу (длинную сторону) длиной 2 , противоположную сторону длиной 1 и смежную сторону √3 , вот так:

Теперь мы знаем длины, можем вычислить функции:

Синус

soh...

sin (30 °) = 1 2 = 0,5

Косинус

... ка ...

cos (30 °) = 1,732 ... 2 = 0,866 ...

Касательная

... тоа

тангенс (30 °) = 1 1,732... = 0,577 ...

(возьмите калькулятор и проверьте его!)

Как помнить

Я считаю, что "sohcahtoa" легко запомнить ... но вот и другие способы, если хотите:

  • S ailors O ften H ave C urly A uburn H air T ill O ld A ge.
  • S ome O ld H orses C an A lways H ear T наследник O wners A pproach.
  • S ome O ld H en C aught A nother H en T aking O ne A way.

Практика здесь:

Sin, Cos и Tan - Математика GCSE Revision

В этом разделе рассматриваются Sin, Cos и Tan в области тригонометрии.

Прямоугольный треугольник - это треугольник, в котором один из углов является прямым.Гипотенуза прямоугольного треугольника - это самая длинная сторона, противоположная прямому углу. Соседняя сторона - это сторона, которая находится между рассматриваемым углом и прямым углом. Противоположная сторона противоположна рассматриваемому углу.

В любом прямоугольном треугольнике , для любого угла:

Синус угла = длина противоположной стороны
длина гипотенузы

Косинус угла = длина соседней стороны
длина гипотенузы

Тангенс угла = длина противоположной стороны
длина соседней стороны

Итак, в сокращенной записи:
sin = o / h cos = a / h tan = o / a
Часто вспоминается по: soh cah toa

Пример

Найдите длину стороны x на схеме ниже:

Угол 60 градусов.Нам дана гипотенуза, и нам нужно найти прилегающую сторону. Эта формула, которая связывает эти три элемента:
cos (угол) = смежный / гипотенуза
, следовательно, cos60 = x / 13
, следовательно, x = 13 × cos60 = 6,5
, следовательно, длина стороны x составляет 6,5 см.

Это видео объясняет, как работают формулы.

Графики Sin, Cos и Tan - (ВЫСШИЙ УРОВЕНЬ)

На следующих графиках показано значение sinø, cosø и tanø в зависимости от ø (ø представляет собой угол).Из графика sin мы видим, что sinø = 0, когда ø = 0 градусов, 180 градусов и 360 градусов.

Обратите внимание, что график tan имеет асимптоты (линии, к которым график приближается, но никогда не пересекает). Это красные линии (на самом деле они не являются частью графика).

Также обратите внимание, что графики sin, cos и tan являются периодическими. Это означает, что они повторяются. Следовательно, например, sin (ø) = sin (360 + ø).

Обратите внимание на симметрию графиков.Например, cos симметричен по оси y, что означает, что cosø = cos (-ø). Так, например, cos (30) = cos (-30).
Кроме того, sin x = sin (180 - x) из-за симметрии sin в прямой ø = 90.

Для получения дополнительной информации о тригонометрии щелкните здесь

Sin, Cos, Tan - тригонометрия

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или больше ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса - изображению, ссылке, тексту и т. д. - относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Графики: синус и косинус

Чтобы увидеть, как изображены функции синуса и косинуса, воспользуйтесь калькулятором, компьютером или набором тригонометрических таблиц, чтобы определить значения функций синуса и косинуса для ряда различных степеней (или радиан) меры (см. таблицу 1).

Затем постройте эти значения и получите основные графики функции синуса и косинуса (рисунок 1).

Рисунок 1
Один период а) синусоидальной функции и б) косинусной функции.

Синус-функция и косинус-функция имеют периоды 2π; поэтому образцы, показанные на рисунке, непрерывно повторяются слева и справа (рисунок 2).

Несколько периодов а) синусоидальной функции и б) косинусной функции.

К функциям синуса и косинуса можно добавить несколько дополнительных членов и множителей, которые изменяют их форму.

Дополнительный член A в функции y = A + sin x допускает вертикальный сдвиг на в графике синусоидальных функций. Это также верно для функции косинуса (рисунок 3).

Рисунок 3
Примеры нескольких вертикальных сдвигов синусоидальной функции.

Дополнительный множитель B в функции y = B sin x допускает изменение амплитуды синусоидальной функции. Амплитуда, | B | - максимальное отклонение от оси x , то есть половина разницы между максимальным и минимальным значениями графика. Это также верно для функции косинуса (рисунок 4).

Рисунок 4
Примеры нескольких амплитуд синусоидальной функции.

Объединение этих цифр дает функции y = A + B sin x , а также y = A + B cos x . Эти две функции имеют минимальных и максимальных значений, как определено следующими формулами. Максимальное значение функции - M = A + | B |. Это максимальное значение возникает всякий раз, когда sin x = 1 или cos x = 1. Минимальное значение функции составляет м = A - | B |.Этот минимум возникает всякий раз, когда sin x = -1 или cos x = -1.

Пример 1: Постройте график функции y = 1 + 2 sin x . Какие максимальные и минимальные значения функции?

Максимальное значение - 1 + 2 = 3. Минимальное значение - 1 −2 = -1 (Рисунок 5).


Рисунок 5
Рисунок для примера 1.

Пример 2: Постройте график функции y = 4 + 3 sin x . Какие максимальные и минимальные значения функции?

Максимальное значение 4 + 3 = 7. Минимальное значение 4 - 3 = 1 (Рисунок 6).

Рисунок 6
Чертеж для примера 2.

Дополнительный коэффициент C в функции y = sin Cx допускает изменение периода (продолжительность цикла) синусоидальной функции на период .(Это также верно для функции косинуса.) Период функции y = sin Cx равен 2π / | C |. Таким образом, функция y = sin 5 x имеет период 2π / 5. На рисунке 7 показаны дополнительные примеры.

Рисунок 7
Примеры нескольких частот а) синусоидальной функции и б) косинусной функции.

Дополнительный член D в функции y = sin ( x + D ) учитывает фазовый сдвиг (перемещение графика влево или вправо) на графике синусоидальных функций.(Это также верно для функции косинуса.) Сдвиг фазы равен | D |. Это положительное число. Не имеет значения, будет ли сдвиг влево (если D положительный) или вправо (если D отрицательный). Функция синуса нечетная, а функция косинуса четная. Функция косинуса выглядит точно так же, как функция синуса, за исключением того, что она сдвинута на π / 2 единицы влево (рисунок 8). Другими словами,

Рисунок 8
Примеры нескольких фазовых сдвигов синусоидальной функции.

Пример 3: Каковы амплитуда, период, фазовый сдвиг, максимальное и минимальное значения

y = 3 + 2 sin (3 x -2)

y = 4 cos2π x


Пример 4: Нарисуйте график y = cosπ x .

Поскольку cos x имеет период 2π, cos π x имеет период 2 (рисунок 9).

Рисунок 9
Рисунок для примера 4.

Пример 5: Нарисуйте график y = 3 cos (2x + π / 2).

Поскольку cos x имеет период 2π, cos 2x имеет период π (рисунок 10).

Рисунок 10
Рисунок для примера 5.

График функции y = - f ( x ) находится путем отражения графика функции y = f ( x ) относительно оси x . Таким образом, рисунок может также представлять график y = −3 sin 2 x . В частности,

Важно понимать взаимосвязь между функциями синуса и косинуса и то, как сдвиги фазы могут изменять их графики.



предварительное вычисление алгебры - Что на самом деле означают синус, загар, cos?

Я думаю, что историческая причина путаницы связана с построением графиков тригонометрических функций в полярной и прямоугольной формах.В прямоугольной форме верно следующее утверждение. $$ \ theta \ quad = \ quad x $$ (где значение этого равенства состоит в том, что мы, , позволяем мера угла на единичной окружности представлять прямоугольное расстояние вдоль оси x или область, прямоугольной функции.) Но в полярной форме это неверно, и $ \ theta $ означает нечто иное, а именно, он используется для определения опорного угла от нуля радиан, а не расстояния по оси $ x $ .Таким образом, значение $ \ theta $ или $ x $ зависит от того, каким способом вы строите график в двухмерной плоскости, то есть полярным или прямоугольным. В полярном методе значение прямоугольной пары координат $$ (x, y) $$ заключается в том, что это положение, аналогичное координатной паре, определяемой направленным расстоянием от начала координат для определенной меры $ \ theta $, с абсциссой или значением $ x $ прямоугольной пары координат, определяемым с помощью $$ x = r \ cdot \ cos (\ theta) $$ и ординатой, или значением $ y $ прямоугольной пары координат, определяемым Автор: $$ y = r \ cdot \ sin (\ theta) $$

Поэтому в полярном методе мы представляем пару координат или точку на плоскости, используя другое значение $ \ theta $, а именно, как входное значение для угла от начала координат, в терминах $ r $, определяемого как функция $ \ theta $, и поэтому мы обычно называем каждую пару координат на плоскости с помощью: $$ (r, \ theta) $$

Если вместо этого мы намереваемся построить график на двумерной плоскости в прямоугольной форме, тогда мы позволим : $$ \ theta \ quad = \ quad x $$ (где $ \ theta $ теперь понимается как прямоугольное расстояние по оси $ x $ или область определения прямоугольной функции.Таким образом, вместо того, чтобы представлять угловую меру от нулевых радианов, угол тета теперь представляет собой расстояние по оси $ x $ от начала координат. Кроме того, в случае родительской функции, производной от единичной схемы, поскольку: $$ r = 1 $$, мы можем построить следующую функциональную машину одной переменной для прямоугольного построения графиков: $$ r \ cdot \ sin (\ theta) = y $$ И это интуитивно понятно, потому что ордината или переменная y оказывается изолированной. И поскольку мы очень привыкли к тому, что y является функцией x, имеет смысл записать это как: $$ [r \ cdot \ sin (\ theta) = y = f (x) = \ sin (x)] \ quad \ Longleftrightarrow \ quad \ theta = x \ quad \ cap \ quad r = 1 $$ Но где это становится менее интуитивно очевидным, так это когда мы строим функциональную машину для прямоугольного построения графика для косинуса, который, когда мы умножаем обе стороны в вашем примере на r: $$ r \ cdot \ cos (\ theta) = x $$ И это странно, потому что даже при том, что прямоугольные и полярные графики относятся к одним и тем же двумерным плоскостям, это утверждение ниже использует x двумя разными способами.Сначала рассмотрим логически эквивалентное утверждение: $$ [r \ cdot \ cos (\ theta) = x = f (x) = \ cos (x)] \ quad \ Longleftrightarrow \ quad \ theta = x \ quad \ cap \ quad r = 1 $$ Проблема в том, что в формуле преобразования полярных / прямоугольных координат мы определяем $ x $ как значение абсциссы для полярного представления координаты, но теперь, когда мы переключаемся на прямоугольную форму графика, мы используем $ x $ в качестве входной переменной для представления теты. Короче говоря, мы используем $ x $ двумя разными способами. (Точно так же мы используем $ y $ двумя разными способами.По сути, мы заменяем полярное использование $ x $ прямоугольной ординатой, или $ y $, и мы заменяем полярное использование теты в приведенном выше утверждении прямоугольным использованием $ x $ в качестве независимой переменной. Эту двусмысленность можно устранить, если мы заменим наш обычный способ записи отношений в полярной форме фиктивными переменными. Вот почему некоторые учителя предпочитают использовать противоположные, смежные и т. Д. Вместо $ x $ и $ y $, потому что мы используем их по-разному при создании функциональных машин.Чтобы удалить слияние, просто используйте phi для формулы полярной абсциссы, получив: $$ [r \ cdot \ cos (\ theta) = \ varphi = f (x) = \ cos (x)] \ quad \ Longleftrightarrow \ quad \ theta = x \ quad \ cap \ quad r = 1 $$ Таким образом, оба тригонометрических отношения были преобразованы в функции от $ x $. Давайте проясним, какие $ x $ мы имеем в виду !? Что ж, в этом случае мы имеем в виду $ x $ как независимую переменную, а не выходную абсциссу направленного расстояния полярного представления. То же самое можно вывести математически для всех других функций.Опять же, может быть полезно заменить ваши исходные отношения фиктивными переменными, которые определены как абсцисса и ордината, чтобы не объединять использование $ x $ в первом случае, которое используется как абсцисса, с $ x $ в функциональный автомат, который для косинуса имеет два разных использования, как описано выше. Таким образом, использование фиктивных переменных устраняет очевидное многократное использование и значение $ x $. Это отвечает на ваши первые три вопроса. Правильное понимание этого также проливает свет на тот факт, что даже при построении синуса и других функций мы все еще придерживаемся той же математической концепции переключения между использованием переменных $ x $ и $ y $ в полярном методе, который отличаются от использования переменных $ x $ и $ y $ в прямоугольном методе.Чтобы было ясно, это варианты использования, и мы по-прежнему строим графики в двухмерной координатной плоскости в обоих случаях.

Ваш следующий вопрос: каковы отношения синуса и $ x $, косинуса и $ x $ и т. Д. Тригонометрические функции не зря называются трансцендентальными. Отношения трансцендентны. Это означает, что нельзя использовать простую арифметику, то есть сложение, вычитание, умножение или деление, для решения, например: $$ \ cos (30) $$ Теперь, в древности, это тщательно измерялось с помощью итераций по единичному кругу.В результате были разработаны таблицы, особенно в случае астрономии Птолемея. Позже, когда было разработано исчисление, бесконечные ряды использовались для аппроксимации этих трансцендентальных чисел с большей точностью, и теперь они все вместе называются рядами Тейлора, которые представляют собой ряды МакЛорина, не центрированные в 0. Следовательно, соотношение является символическим и этот синус «угла» измеряется ординатой единичного треугольника определенного тета или угла. Точно так же косинус «угла» измеряется абсциссой единичного треугольника определенного тета или угла.И так далее для остальных ...

Затем вы дополнительно спрашиваете, что означает обратная функция и почему мы можем ее написать. Прежде всего, в ответ на то, почему мы можем это написать, следует отметить, что каждая тригонометрическая функциональная машина требует различного домена и ограничения диапазона, чтобы быть функцией в первую очередь. Вот почему некоторые мыслители предпочитают писать «дугу» перед функцией, а не использовать отрицательный верхний индекс, который, по мнению некоторых, означает, что существует идеальная обратная функция без ограничений.Теперь, если вы спрашиваете в более широком смысле, почему можно построить обратные функции, я бы либо полагался на теоретика, либо предлагал проще, что иногда известно отношение, но нужен угол, а иногда известен угол, но требуется соотношение . Рассмотрим ранний анализ движения планет, воздушный шар, вычисление расстояния до струны воздушного змея, определение расстояния траектории с использованием параметрических триггерных функций и т. Д., Конечно, все это в настоящее время ограничено двумя измерениями.

Тогда ответ на ваш вопрос о значении обратной функции - это просто логическое обратное, или арксинус «отношения (с $ r = 1 $)» измеряется определенной тэтой на единичном треугольнике определенного ордината или y-значение.Точно так же арккосинус «отношения (с $ r = 1 $)» измеряется определенной тэтой на единичном треугольнике определенной абсциссы или значением $ x $. Это просто логическая обратная функция и значение вышеупомянутых тригонометрических функциональных машин (включая необходимые ограниченные области и диапазоны). Кроме того, они оба трансцендентны и требуют либо итераций, либо измерений, что приводит к таблицам, либо требует аппроксимации трансцендентных значений с помощью так называемых рядов Тейлора, которые представляют собой ряды Маклаурина, не центрированные на 0.Эта последняя часть отвечает, что означает обратная функция.

2. Sin, Cos и Tan суммы и разности двух углов

М. Борна

Синус суммы и разности двух углов имеет следующий вид:

sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β

sin ( α - β ) = sin α cos β - cos α sin β

Косинус суммы и разности двух углов имеет следующий вид:

cos ( α + β ) = cos α cos β - sin α sin β

cos ( α - β ) = cos α cos β + sin α sin β

Доказательства синуса и косинуса сумм и разностей двух углов

Мы можем доказать эти тождества разными способами.

Вот относительно простое доказательство с использованием единичной окружности:

Проба 1

Доказательство 1 - Использование единичной окружности

Начнем с единичного круга (что означает, что он имеет радиус 1) с центром в О.

Мы строим углы BOA = alpha и AOP = beta, как показано.

Затем мы опускаем перпендикуляр из P на ось x в T. Точка C является пересечением OA и PT.

Затем строим линию PR перпендикулярно OA.

Наконец, опускаем перпендикуляр от R к оси x в точке S, а другой перпендикуляр от R к PT в точке Q, как показано.

Отметим следующее:

(1) `/ _TPR = alpha`, поскольку треугольники OTC и PRC подобны. (`/ _OTC = / _PRC = 90 °` и `/ _OCT = / _PCR = 90 ° - alpha`.)

(2) Длина | QT | = | RS |

(3) sin (α + β) = | PT | = | PQ | + | QT | = | PQ | + | RS |

(4) | PR | = грех (β)

(5) В треугольнике PQR, | PQ | = | PR | cos (α)

(6) Таким образом, из (4) и (5) | PQ | = sin (β) cos (α).

(7) | ИЛИ | = cos (β)

(8) В треугольнике OSR, | RS | = | ИЛИ | грех (α)

(9) Итак из (7) и (8), | RS | = cos (β) sin (α)

(10) Таким образом, из (3), (6) и (9) мы доказали:

sin (α + β) = sin (β) cos (α) + cos (β) sin (α)

Перестановка дает:

sin (α + β) = sin (α) cos (β) + cos (α) sin (β)

(11) Из четных и нечетных функций имеем: cos (- β ) = cos (β) и sin (- β ) = −sin (β)

(12) Таким образом, заменяя β на (- β ), тождество в (10) становится

sin ( α - β ) = sin α cos β - cos α sin β

[Спасибо Дэвиду Макинтошу за набросок приведенного выше доказательства.]

Доказательства косинуса

Теперь нам нужно доказать

cos ( α + β ) = cos α cos β - sin α sin β

(13) | ОТ | = cos ( α + β )

(14) В треугольнике ORS имеем: `cos alpha = | OS | / | OR |`.

(15) cos (β) = | OR | из (7) выше.

(16) Из (14) и (15) получаем `cos alpha cos beta = | OS | / | OR | xx | OR | = | ОС | `.

(17) В треугольнике QPR имеем `sin alpha = | QR | / | PR |`.

(18) sin (β) = | PR | из (4) выше.

(19) Из (17) и (18) получаем `sin alpha sin beta = | QR | / | PR | xx | PR | = | QR | `.

(20) Сейчас | ОС | - | QR | = | ОТ |.

(21) Итак, `cos alpha cos beta - sin alpha sin beta`` = cos (alpha + beta) `.

(22) Переставив, получаем:

cos ( α + β ) = cos α cos β - sin α sin β

(23) Еще раз заменим β на (- β ), и тождество в (22) станет:

cos ( α - β ) = cos α cos β + sin α sin β

Следующее доказательство - стандартное, которое вы видите в большинстве учебников.Здесь также используется единичный круг, но это не так просто, как первое доказательство. Однако мы все еще можем многому научиться из этого следующего доказательства, особенно о том, как работают тригонометрические тождества.

Проба 2

Доказательство 2 - Использование единичной окружности

Сначала мы докажем тождество косинуса суммы двух углов, а затем покажем, что этот результат можно распространить на все другие данные тождества.

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Нарисуем круг радиусом 1 единицу с точкой P на окружности в точке (1, 0).

Нарисуем угол α от центра с конечной точкой Q в точке (cos α, sin α), как показано. [ Q равно (cos α, sin α), потому что гипотенуза равна 1 единице.]

Мы расширяем эту идею, нарисовав:

а. Угол β с концевыми точками в точках Q (cos α, sin α) и R (cos (α + β), sin (α + β))

г. Угол −β с конечной точкой S (cos (−β), sin (−β))

г. Строки PR и QS эквивалентны по длине.

Теперь, используя формулу расстояния из Аналитической геометрии, мы имеем:

ПР 2 = (cos (α + β) - 1) 2 + sin 2 (α + β)

= cos 2 (α + β) - 2 cos (α + β) + 1 + sin 2 (α + β)

= 2 - 2cos (α + β)

[поскольку sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β) = 1]

Теперь используем формулу расстояния на расстоянии QS :

QS 2 = (cos α - cos (−β)) 2 + (sin α - sin (−β)) 2

= cos 2 α - 2 cos α cos (−β) + cos 2 (−β) + sin 2 α - 2sin α sin (−β) + sin 2 (−β)

= 2 - 2cos α cos (−β) - 2sin α sin (−β)

sin 2 α + cos 2 α = 1 и

sin 2 (−β) + cos 2 (−β) = 1]

= 2 - 2cos α cos β + 2sin α sin β

cos (−β) = cos β (косинус - четная функция) и

sin (−β) = −sinβ (синус - нечетная функция - см. Четные и нечетные функции)]

Поскольку PR = QS , мы можем приравнять 2 только что найденных расстояния:

2 - 2cos (α + β) = 2 - 2cos α cos β + 2sin α sin β

Вычитая 2 с обеих сторон и деля на −2, получаем:

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Если мы заменим β на (−β), это тождество станет:

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

[поскольку cos (−β) = cos β и sin (−β) = −sinβ]

Синус суммы двух углов

Мы стремимся доказать, что

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

Напомним, что (см. Фазовый сдвиг)

sin ( θ ) = cos (π / 2− θ )

Если θ = α + β, то имеем:

грех (α + β)

= соз [π / 2 - (α + β)]

= cos [π / 2 - α - β)]

Затем мы перегруппируем углы внутри косинусного члена, так как он нам понадобится для остальной части доказательства:

cos [π / 2 - α - β)] = cos [(π / 2 - α) - β]

Используя косинус разности двух углов, идентичность, которую мы только что нашли выше [где сказано

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β],

имеем:

cos [(π / 2 - α) - β]

= cos (π / 2 - α) cos (β) + sin (π / 2 - α) sin (β)

= sin α cos β + cos α sin β

[Поскольку cos (π / 2 - α) = sin α; и sin (π / 2 - α) = cos α]

Следовательно:

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

Заменяя β на (-β), это тождество становится (из-за четных и нечетных функций):

sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β

Мы доказали 4 тождества, включающих синус и косинус суммы и разности двух углов.

Резюме:

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Наконец, вот более простое доказательство личности с использованием комплексных чисел :

Проба 3

Доказательство 3 - Использование комплексных чисел

Экспоненциальная и полярная формы комплексного числа обеспечивают простой способ доказательства основных тригонометрических тождеств.

Предположим, у нас есть 2 комплексных числа, которые мы записываем как:

r 1 e = r 1 (cos α + j sin α)

и

r 2 e = r 2 (cos β + j sin β)

Умножаем эти комплексные числа вместе.

Умножение левой части:

r 1 e × r 2 e = r 1 r 2 e

Мы можем записать этот ответ как:

r 1 r 2 e j (α + β) = r 1 r 2 (cos (α + β) + j sin ( α + β))... (1)

Умножение правых частей:

r 1 (cos α + j sin α) × r 2 (cos β + j sin β)

= r 1 r 2 (cos α cos β + j cos α sin β + j sin α cos β - sin α sin β)

= r 1 r 2 (cos α cos β - sin α sin β + j (cos α sin β + sin α cos β)).... (2)

[начиная с j 2 = −1]

Теперь, приравняв (1) и (2) и разделив обе части на r 1 r 2 :

cos (α + β) + j sin (α + β) = cos α cos β - sin α sin β + j (cos α sin β + sin α cos β)

Приравнивание реальных частей дает:

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Приравнивание мнимых частей дает:

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

Затем мы, как и раньше, заменим β на (−β), чтобы получить тождества для sin (α - β) и cos (α - β).

Касательная суммы и разности двух углов

У нас есть следующие тождества для тангенса суммы и разности двух углов:

`загар (альфа + бета) = (загар альфа + загар бета) / (1-загар альфа \ загар бета)`

и

`загар (альфа-бета) = (загар альфа-загар бета) / (1 + загар альфа \ загар бета)`

Доказательство касательной суммы и разности двух углов

Наше доказательство для них использует тригонометрическое тождество для загара, которое мы встречали ранее.

Проба

Регистр: `tan (alpha + beta)`

Напомним, что

`tan theta = (sin theta) / (cos theta)`

Итак, положив θ = α + β и расширив с использованием наших новых тождеств синуса и косинуса, мы имеем:

`tan (alpha + beta)` = (sin (alpha + beta)) / (cos (alpha + beta)) `` = (sin alpha cos beta + cos alpha sin beta) / (cos alpha cos beta-sin альфа грех бета) `

Деление числителя и знаменателя на cos α cos β:

`= (sin alpha cos beta + cos alpha sin beta) / (cos alpha cos beta-sin alpha sin beta)` - 🙁 cos alpha cos beta) / (cos alpha cos beta`

Упрощение дает нам:

`загар (альфа + бета) =` `(загар альфа + загар бета) / (1-загар альфа \ загар бета)`

Корпус: `tan (альфа-бета)`

Замена β на (−β) дает

`загар (альфа-бета) =` `(загар альфа-загар бета) / (1 + загар альфа \ загар бета)`

[касательная функция нечетная, поэтому tan (−β) = - tan β]

Мы доказали два тангенса тождества суммы и разности двух углов:

`загар (альфа + бета) =` `(загар альфа + загар бета) / (1-загар альфа \ загар бета)`

`загар (альфа-бета) =` `(загар альфа-загар бета) / (1 + загар альфа \ загар бета)`

Пример 1

Найдите точное значение для cos 75 o , используя 75 o = 30 o + 45 o .("о") `

`= sqrt3 / 2 (1) / sqrt2-1 / 2 (1) / sqrt2`

`= (sqrt3-1) / (2sqrt2)`

Это точное значение для cos 75 o .

Пример 2

Если sin α = 4/5 (в квадранте I) и cos β = -12 / 13 (в квадранте II), оцените sin (α - β).

Ответ

Мы используем

sin ( α - β ) = sin α cos β - cos α sin β

Сначала нужно найти cos α и sin β.

Если sin α = 4/5, то мы можем нарисовать треугольник и найти значение неизвестной стороны, используя теорему Пифагора (в данном случае 3):

Проделаем то же самое для cos β = 12/13 и получим следующий треугольник.

Примечание 1: Мы используем положительное значение «12/13» для расчета необходимого опорного угла относительно «бета».

Примечание 2: Коэффициент синусоиды положительный как в квадранте I, так и в квадранте II.

Примечание 3: Мы использовали теорему Пифагора, чтобы найти неизвестную сторону, 5.

Теперь о неизвестных соотношениях в вопросе:

`cos α = 3/5`

(положительный, потому что в квадранте I)

`грех β = 5 / 13`

(положительный, потому что во втором квадранте)

Теперь мы готовы найти искомое значение sin ( α - β ):

`sin (alpha-beta) =` sin alpha \ cos beta-cos alpha \ sin beta`

`= 4/5 (-12/13) -3/5 (5/13)`

`= (- 48-15) / 65`

`= (- 63) / 65`

Это точное значение для sin ( α - β ).("о") `

`= 1/2 (1) / sqrt2 + sqrt3 / 2 (1) / sqrt2`

`= (1 + sqrt3) / (2sqrt2)`

2. Если sin α = 4/5 (в квадранте I) и cos β = -12 / 13 (в квадранте II), оцените cos (β - α).

[Это не то же самое, что и в Примере 2 выше. На этот раз нам нужно найти косинус разности.]

Ответ

В этом случае для косинуса разности двух углов имеем:

`cos (beta-alpha) =` `cos beta cos alpha + sin beta sin alpha`

`= ((- 12) / 13) 3/5 + (5/13) 4/5`

`= (- 36 + 20) / 65`

`= (- 16) / 65`

3.Сократите следующее до одного члена. Не расширяться.

cos ( x + y ) cos y + sin ( x + y ) sin y

Ответ

Мы узнаем это выражение как правую часть от:

cos ( α - β ) = cos α cos β + cos α cos β ,

с α = x + y и β = y."o" \ sin x`

`= sqrt3 / 2 cos x-1 / 2sin x`

`= (sqrt3 \ cos x-sin x) / 2`

`=" RHS "`

Поскольку LHS = RHS, мы доказали тождество.

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

© 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»

Карта сайта