°}=\)\(\frac{1}{2}\)\(\sin\)\(\frac{π}{3}\)\(=\)\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\sin2=0,909…\)
Содержание:
- Аргумент и значение
- Синус острого угла
- Синус числа
- Синус любого угла
- Связь с другими функциями
- Функция
Аргумент и значение
Синус острого угла
Синус острого угла можно определить с помощью прямоугольного треугольника — он равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.Пример:
1) Пусть дан угол и нужно определить синус этого угла.
2) Достроим на этом угле любой прямоугольный треугольник.
3) Измерив, нужные стороны, можем вычислить \(sinA\).
Синус числа
Синус числа можно определить с помощью числовой окружности – синус числа равен ординате соответствующей точки на ней.
Числовая окружность позволяет определить синус любого числа, но обычно находят синус чисел как-то связанных с Пи: \(\frac{π}{2}\), \(\frac{3π}{4}\), \(-2π\).
Например, для числа \(\frac{π}{6}\) — синус будет равен \(0,5\). А для числа \(-\)\(\frac{3π}{4}\) он будет равен \(-\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) (приблизительно \(-0,71\)).
Подробнее как вычисляется синус разных чисел можно прочитать в этой статье.
Значение синуса всегда лежит в пределах от \(-1\) до \(1\). При этом вычислен он может быть для абсолютно любого угла и числа.
Синус любого угла
Благодаря единичному кругу можно определять тригонометрические функции не только острого угла, но и тупого, отрицательного, и даже большего, чем \(360°\) (полный оборот). Как это делать — проще один раз увидеть, чем \(100\) раз услышать, поэтому смотрите картинку.
Теперь пояснение: пусть нужно определить \(sin∠КОА\) с градусной мерой в \(150°\).
Если же нас интересует угол с градусной мерой, например, в \(-60°\) (угол КОВ), делаем также, но \(60°\) откладываем по часовой стрелке.
И, наконец, угол больше \(360°\) (угол КОС) — всё аналогично тупому, только пройдя по часовой стрелке полный оборот, отправляемся на второй круг и «добираем нехватку градусов». Конкретно в нашем случае угол \(405°\) отложен как \(360° + 45°\).
Несложно догадаться, что для откладывания угла, например, в \(960°\), надо сделать уже два оборота (\(360°+360°+240°\)), а для угла в \(2640°\) — целых семь.
Как вы могли заменить, и синус числа, и синус произвольного угла определяется практически одинаково. Изменяются только способ нахождения точки на окружности.
Другие наиболее часто применяемые формулы смотри здесь.
Функция \(y=\sinx\)
Если отложить по оси \(x\) углы в радианах, а по оси \(y\) — соответствующие этим углам значения синуса, мы получим следующий график:
График данной функции называется синусоида и обладает следующими свойствами:
— область определения – любое значение икса: \(D(\sinx )=R\)
— область значений – от \(-1\) до \(1\) включительно: \(E(\sinx )=[-1;1]\)
— нечетная: \(\sin(-x)=-\sinx\)
— периодическая с периодом \(2π\): \(\sin(x+2π)=\sinx\)
— точки пересечения с осями координат:
ось абсцисс: \((πn;0)\), где \(n ϵ Z\)
— промежутки знакопостоянства:
функция положительна на интервалах: \((2πn;π+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
функция отрицательна на интервалах: \((π+2πn;2π+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
— промежутки возрастания и убывания:
функция возрастает на интервалах: \((-\)\(\frac{π}{2}\)\(+2πn;\) \(\frac{π}{2}\)\(+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
функция убывает на интервалах: \((\)\(\frac{π}{2}\)\(+2πn;\)\(\frac{3π}{2}\)\(+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
— максимумы и минимумы функции:
функция имеет максимальное значение \(y=1\) в точках \(x=\)\(\frac{π}{2}\)\(+2πn\), где \(n ϵ Z\)
функция имеет минимальное значение \(y=-1\) в точках \(x=-\)\(\frac{π}{2}\)\(+2πn\), где \(n ϵ Z\).
Смотрите также:
Косинус
Тангенс
Котангенс
Решение уравнения \(\sinx=a\)
Sin of Sin Inverse — Формула, что такое Sin of Sin Inverse?
Перед тем, как узнать, что такое «грех греха, обратный х» (который записывается как sin(sin -1 x)), давайте вспомним несколько фактов об области и диапазоне значений sin и sin -1. (что является инверсией греха). Мы знаем, что функция синуса — это функция из R → [-1, 1]. Но синусоидальная функция НЕ является биекцией (поскольку она НЕ является взаимно однозначной) в области R. Следовательно, она не может иметь обратную, если ее областью определения является R. Таким образом, для того, чтобы синусоидальная функция была взаимно однозначной, ее область определения ограничена [ -π/2, π/2]. Мы также знаем, что область определения и область значений функции будут соответственно областью значений и областью определения ее обратной функции.
| 1. | Что такое грех греха, обратный x? |
| 2. | Как рассчитать Sin of Sin, обратный x? |
| 3. | Как вычислить Sin, обратный Sin x? |
| 4. | Часто задаваемые вопросы о Sin of Sin, обратном x |
Что является грехом греха, обратным x?
Давайте рассмотрим несколько примеров, приведенных ниже, чтобы понять концепцию «грех от греха, обратный х». Мы можем рассчитать каждое из следующих действий с помощью калькулятора.
- грех(грех -1 0) = 0
- грех(грех -1 1) = 1
- sin(sin -1 (1/2)) = 1/2
- грех(грех -1 (0,3)) = 0,3
- грех(грех -1 1.
2) = ОШИБКА
2) = ОШИБКАОй! Почему мы получили ошибку в конце? Это связано с тем, что областью определения функции sin -1 (x) является [-1, 1]. Это означает, что sin of sin inverse принимает только те значения, которые лежат между -1 и 1 (оба включительно). т. е. любое число, заключенное в скобки sin -1 ( ), должно лежать между -1 и 1 (оба включительно). Для всех остальных значений калькулятор выдает ошибку. Таким образом, мы можем резюмировать обратную формулу греха греха следующим образом:
sin of sin Обратная формула:
- sin (sin -1 x) = x, когда x ∈ [-1, 1] и
- sin (sin -1 x) НЕ определяется, когда x ∉ [-1, 1].
Как рассчитать Sin of Sin, обратный x?
Мы вычисляем sin of sin, обратный x, используя его определение, упомянутое в предыдущем разделе. Итак, чтобы вычислить sin(sin -1 x),
- Посмотрите, лежит ли x в интервале [-1, 1].
- Если да, то sin(sin -1 х) = х
- В противном случае sin(sin -1 x) = НЕ определено.
Вот еще несколько примеров обратного греха греха.
- sin(sin -1 0,5) = 0,5 (поскольку 0,5 ∈ [-1, 1])
- sin(sin -1 (-0,3)) = -0,3 (поскольку -0,3 ∈ [-1, 1])
- sin(sin -1 √2) = НЕ определено (как √2 ∉ [-1, 1])
- sin(sin -1 (-1.3)) = НЕ определено (как -1.3 ∉ [-1, 1])
Как вычислить Sin, обратный Sin x?
Перед тем, как узнать, что такое «грех, обратный греху х», давайте рассмотрим несколько примеров.
- Пример 1: Мы знаем, что sin π/2 = 1, поэтому π/2 = sin -1 (1), вы можете проверить значение sin
- Пример 2: Мы знаем, что sin π = 0, тогда π = sin -1 (0)? Можете ли вы проверить значение sin -1 (0) с помощью своего калькулятора? Вы вернули π? Без прав? Вы должны получить sin -1 (0) = 0. То есть мы получили sin -1 (sin π) = 0, но sin -1 (sin π) ≠ π. Почему это происходит?
То есть мы получили sin -1 (sin π) = 0, но sin -1 (sin π) ≠ π. Почему это происходит?Из приведенных выше двух примеров мы можем сделать вывод, что sin -1 (sin x) НЕ всегда равен x. На самом деле sin -1 (sin x) = x только тогда, когда x лежит в интервале [-π/2, π/2]. Тогда как найти значение sin -1 (sin x), когда x лежит за пределами этого интервала? Давайте разберемся на примере.
Пример: Найдите значение sin -1 (sin 8) (обратите внимание, что здесь 8 указано в радианах).
Решение:
Здесь угол равен 8 радианам.
Шаг — 1: Найдите два последовательных кратных π, между которыми лежит заданный угол.
Имеем 2π < 8 < 3π (поскольку π = 3,142)
Обратите внимание, что среди этих кратных π одно (2π) кратно π, а другое (3π) кратно π нечетно.
Шаг — 2: Найти «нечетное кратное π — x» и «x — четное кратное π».
нечетное кратное π — x = 3π — 8 ≈ 1,42
x — четное кратное π = 8 — 2π ≈ 1,72 /2].
Имеем [-π/2, π/2] = [-1,57, 1,57], и среди двух указанных выше значений (1,42 и 1,72) 1,42 лежит в этом интервале.
Таким образом, sin -1 (sin 8) = 1,42 радиана.
Важные примечания:
Вот несколько важных примечаний относительно греха, обратного греху, и греха, обратного греху.
- sin (sin -1 x) = x, ТОЛЬКО когда x ∈ [-1, 1]. Это связано с тем, что областью sin -1 является [-1, 1].
- sin -1 (sin x) = x, ТОЛЬКО когда x ∈ [-π/2, π/2]. Это связано с тем, что область греха для инверсии равна [-π/2, π/2].
Связанные темы:
Следующие темы могут оказаться полезными при чтении этой статьи «sin of sin inverse».
- Степень
- Тригонометрические функции
- Обратные тригонометрические функции
- Калькулятор обратного синуса
Примеры Sin of Sin, обратного x
Пример 1: Найдите точные значения a) sin(sin -1 (-2,3)) b) sin(sin -1 (-0,3)).
Решение:
Мы знаем, что sin of sin обратный x [ sin(sin -1 (x)) ] = x только тогда, когда x лежит в интервале [-1, 1]. В противном случае sin(sin -1 (x)) НЕ определен.
Используя это,
a) sin(sin -1 (-2.3)) НЕ определяется, поскольку -2.3 НЕ находится в [-1, 1].
b) sin(sin -1 (-0,3)) = -0,3, поскольку -0,3 находится в [-1, 1].
Ответ: а) sin(sin -1 (-2.3)) НЕ определено и b) sin(sin -1 (-0.3)) = -0.3.
Пример 2: Найдите точные значения a) sin -1 (sin (-π/2)) b) sin -1 (sin (7π/6)).
Решение:
Используя обратную формулу греха от греха,
а) sin -1 (sin (-π/2)) = -π/2, поскольку -π/2 ∈ [-π/2 , π/2].
б) 7π/6 ∉ [-π/2, π/2]. Таким образом, грех, обратный греху 7π/6, НЕ является 7π/6.
Находим два последовательных кратных π, между которыми лежит 7π/6.
Два таких кратных π числа π и 2π.
Находим
нечетное кратное π — x = π — 7π/6 = -π/6 ( ≈ -0,52)
x — кратное π = 7π/6 — 2π = -5π/6 (≈ -2,6)
Среди этих двух -π/6 ( ≈ -0,52) лежит в [-π/2, π/2 ].
Таким образом, sin -1 (sin (7π/6)) = π — 7π/6 = -π/6.
Ответ: а) sin -1 (sin (-π/2)) = -π/2 и b) sin -1 (sin (7π/6)) = -π/6 .
Пример 3: Вычислить sin(sin -1 (-√2/2)) — sin(sin -1 (√2/2)).
Решение:
Мы знаем, что sin of sin, обратный x, равен x, когда x ∈ [-1, 1].
Поскольку -√2/2 ≈ -0,707 ∈ [-1, 1],
sin(sin -1 (-√2/2)) — sin(sin -1 (√2/2) )
= -√2/2 — (√2/2)
= -2√2/2
= -√2
Ответ: sin(sin -1 (-√2/2 )) — sin(sin -1 (√2/2)) = -√2.
перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду
Есть вопросы по основным математическим понятиям?
Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила.
Узнайте, почему математика стоит за нашими сертифицированными экспертами
Запишитесь на бесплатный пробный урок
Практические вопросы о грехе греха Обратное x
перейти к слайдуперейти к слайду
Часто задаваемые вопросы о Sin of Sin, обратном x
Что такое Sin of Sin, обратный x?
sin of sin, обратная x, является тригонометрической функцией, обозначаемой как sin (sin -1 x) = x, когда x ∈ [-1, 1]. Если x ∉ [-1, 1], то sin (sin -1 х) не определено.
Что такое Sin, обратный Sin x, и Sin of Sin, обратный x, в тригонометрии?
sin обратное значение sin x может быть задано как sin -1 (sin x) = x, только когда x ∈ [-π/2, π/2]. Если x ∉ [-π/2, π/2], то мы найдем два последовательных кратных π, между которыми лежит x. Затем находим «нечетное кратное π — х» и «х — четное кратное π». Только одно из них лежит в [-π/2, π/2] и это значение sin -1 (sin x). Кроме того, sin of sin, обратный x, может быть задан как sin (sin -1 x) = x, когда x ∈ [-1, 1].
Если x ∉ [-1, 1], то sin (sin -1 x) не определен.
Всегда ли значение Sin of Sin, обратное x, равно x?
Нет, sin (sin -1 x) НЕ всегда равен x. Инверсия sin of sin может быть задана как sin (sin -1 x) = x только тогда, когда x находится в [-1, 1].
Как найти обратный синус от греха x?
sin -1 (sin x) НЕ всегда x. sin -1 (sin x) = x, только когда x находится в [-π/2, π/2].
Что такое Sin of Sin, обратный 1?
sin (sin -1 x) = x, когда x лежит в [-1, 1]. Поскольку 1 лежит в этом интервале, sin(sin -1 1) = 1.
Является ли математическое обозначение Sin, обратное Sin x, таким же, как обозначение Sin of Sin, обратное x?
sin и sin inverse — это функции, обратные друг другу и имеющие разные математические обозначения. инверсия sin по отношению к sin x записывается как sin -1 (sin x), тогда как sin инверсия по x записывается как sin (sin -1 x).
Что такое Sin of Sin, обратное значению x, если x НЕ находится в [-1, 1]?
sin (sin -1 x) = x, только если x лежит в [-1, 1]. Если x НЕ лежит в [-1, 1], то sin -1 (x) НЕ определен и, следовательно, sin (sin -1 x) также НЕ определен.
Что такое Sin, обратный Sin от x, когда x НЕ находится в [-π/2, π/2]?
sin -1 (sin x) = x, только если x находится в интервале [-π/2, π/2]. Если x НЕ входит в интервал, то найдите два числа, кратные π, такие, что x лежит между ними. Затем найдите «нечетное кратное π – x» и «x – четное кратное π». Выберите один из этих углов, который лежит в [-π/2, π/2], чтобы он был значением sin -1 (синус х).
Что такое Sin обратного косинуса x?
Чтобы найти синус обратного косинуса x, сначала мы должны преобразовать cos -1 в sin -1 . Тогда sin(cos -1 x) = sin(sin -1 √(1-x 2 )) = √(1-x 2 ).
Скачать БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы
Рабочий лист по тригонометрии
Обратные тригонометрические функции
Вы изучили, как тригонометрические функции грех ( Икс ) , потому что ( Икс ) , и загар ( Икс ) можно использовать для нахождения неизвестной длины стороны прямоугольного треугольника, если известна длина одной стороны и мера угла.
обратные тригонометрические функции грех
−
1
(
Икс
)
,
потому что
−
1
(
Икс
)
, и
загар
−
1
(
Икс
)
, используются для нахождения неизвестной меры угла прямоугольного треугольника, когда известны длины двух сторон.
Пример 1:
Основание лестницы размещено 3 футах от 10 высотой в фут, так, чтобы верх лестницы совпадал с верхом стены. Чему равен угол, образованный лестницей и землей?
Здесь у нас есть прямоугольный треугольник, в котором мы знаем длины двух катетов, то есть сторон, противоположных и примыкающих к углу. Итак, мы используем функцию арктангенса. Если вы введете это в калькулятор, установленный в режим «градус», вы получите
загар − 1 ( 10 3 ) ≈ 73,3 °
Если у вас установлен калькулятор в радианном режиме, вы получите
загар − 1 ( 10 3 ) ≈ 1,28
Если вы запомнили соотношения длин сторон, встречающиеся в
45
−
45
−
90
и
30
−
60
−
90
треугольников, возможно, вы сможете найти некоторые значения обратных тригонометрических функций без использования калькулятора.
Пример 2:
Находить потому что − 1 ( 3 2 ) .
Вы можете вспомнить, что в 30 − 60 − 90 треугольник, если гипотенуза имеет длину 1 , то длинная нога имеет длину 3 2 . Поскольку косинус — это отношение прилежащего катета к гипотенузе, значение арккосинуса равно 30 ° , или около 0,52 радианы.
потому что − 1 ( 3 2 ) «=» 30 °
Графики обратных тригонометрических функций
Все тригонометрические функции
периодические функции
. Таким образом, графики ни одного из них не проходят
Горизонтальная линия
Тест и так не
1
−
к
−
1
.
Это означает, что ни один из них не имеет обратного, если только
домен
каждого ограничено, чтобы сделать каждый из них
1
−
к
−
1
.
Поскольку графики периодические, если мы выберем соответствующую область, мы можем использовать все значения диапазон .
Если мы ограничим домен ф ( Икс ) «=» грех ( Икс ) к [ − π 2 , π 2 ] мы сделали функцию 1 − к − 1 . Диапазон [ − 1 , 1 ] .
(Хотя есть много способов ограничить домен для получения 1 − к − 1 функция это согласованный используемый интервал.)
Мы обозначаем
обратная функция
как
у
«=»
грех
−
1
(
Икс
)
.
это читается
у
является обратным синусу
Икс
и означает
у
— это действительный числовой угол, значение синуса которого равно
Икс
. Будьте осторожны с используемыми обозначениями. Верхний индекс «
−
1
” НЕ показатель степени. Чтобы избежать этого обозначения, в некоторых книгах используется обозначение
у
«=»
арксин
(
Икс
)
вместо.
Чтобы построить график функции, обратной синусоиде, помните, что график представляет собой отражение линии. у «=» Икс функции синуса.
Обратите внимание, что домен теперь является диапазоном, а диапазон теперь является доменом. Поскольку домен ограничен, все положительные значения дадут 1 ул. угол квадранта и все отрицательные значения дадут 4 й квадрантный угол.
Точно так же мы можем ограничить области значений функций косинуса и тангенса, чтобы сделать их
1
−
к
−
1
.
Область определения функции арккосинуса [ − 1 , 1 ] и диапазон [ 0 , π ] . Это означает, что положительное значение даст 1 ул. угол квадранта и отрицательное значение даст 2 й квадрантный угол.
Область определения функции арктангенса равна ( − ∞ , ∞ ) и диапазон ( − π 2 , π 2 ) . Функция, обратная касательной, даст значения в 1 ул. и 4 й квадранты.
Тот же процесс используется для нахождения обратных функций для остальных тригонометрических функций — котангенса, секанса и косеканса.