1.2.Тригонометрическая форма комплексного числа.
С каждым комплексным числом на плоскости связывается точка с координатами. Положение этой точки однозначно определяется расстоянием от начала координати угломмежду положительным направлением вещественной оси и лучем, проведенным из начала координат в эту точку. Если угол отсчитывается в положительном направлении, то ему приписывается знак «+», а в противном случае знак «-». Комплексное число 0=0+0iоднозначно определяется расстоянием (равным 0) от начала координат, а потому ему значение угла не приписывается. Числоназываетсямодулем комплексного числа, а указанный выше уголназываетсяаргументом и обозначается. Аргумент комплексного числа определяется с точностью до слагаемого, кратного.
Из рисунка видно, что . Так что мы имеем следующий вид тригонометрической формы комплексного числа
.
А
число, комплексно сопряженное к z,имеет
такую тригонометрическую форму.
Теперь, используя формулы для синуса и
косинуса суммы (разности) двух углов,
получаем
При возведении комплексного числа в степень с натуральным показателем можно воспользоваться следующей формулой, которая называется формулой Муавра.
.
Для представления комплексного числа в тригонометрической форме очень полезно изобразить соответствующую этому числу точку (это избавит вас от ошибки в определении аргумента числа).
При решении задач часто используется следующий результат.
где .
Приведем примеры решения некоторых задач.
Формула Муавра.
еорема. (Формула Муавра, 1707 г.)
Для любого целого числа n и любого действительного числа имеет место следующее равенство:
. (1)
Доказательство. Разобьем доказательство на 3 этапа.
1)
Пусть –
натуральное число.
2) Пусть теперь . Тогда
, ч.т.д.
3) Пусть , где – натуральное число. Тогда по свойству целых степеней, которые справедливы в любом поле, в том числе и вполе комплексных чисел, имеем:
.
Здесь мы использовали уже доказанные случаи формулы Муавра возведения в натуральную степень и в степень, равную (–1).
Теорема доказана.
Следствие. (О целых степенях комплексного числа.)
Пусть . Тогда
.
Доказательство предоставляется читателю.
п.2. Деление комплексных чисел в тригонометрической форме записи.
Теорема. (О делении комплексных чисел в тригонометрической форме)
.
(2)
Доказательство. Воспользуемся следствием формулы Муавра и правилом умножения комплексных чисел в тригонометрической форме записи. Получаем:
, ч.т.д.
Пример 1. Запишите комплексные числа и в тригонометрической форме и найдите их произведение и частное .
Решение. 1) Комплексное число на комплексной плоскостинаходится во второй четверти, поэтому
, .
2) Комплексное число на комплексной плоскости находится во четвертой четверти, поэтому
, .
3)
.
Ответ: , .
Пример 2. Вычислить .
Решение. Комплексное число на комплексной плоскостинаходится в третьей четверти, поэтому ,
Применим формулу Муавра:
.
Корені п-ого степеня з комплексного числа, корні з одиниці.
п.3. Корни из комплексных чисел.
Определение.
Пусть и .
Корнем n-й степени из комплексногочисла z
называется комплексное число ,
такое, что .
Теорема. (Формула корней из комплексного числа.)
Для любого ненулевого комплексного числа
, где , существует ровно n корней n-й степенииз комплексного числа z и все они могут быть найдены по формуле
, (3)
где , – арифметический корень n-й степени из положительного числа .
Доказательство. Обозначим
(4)
и докажем, что данное множество исчерпывает все множество корней n-й степени из комплексного числа z.
Доказательство проведем в 3 этапа. Сначала мы докажем, что всеэлементы множества (4) являются корнями n-й степени из комплексногочисла z. Затем мы покажем, что среди корней множества (4) нет равных. И, наконец, мы покажем, что любой корень n-й степени из комплексногочисла z является элементом множества (4).
1) По следствию 2 формулы Муавра
, ч.т.д.
2)
Допустим, что ,
где и .
Тогда по теореме о равенстве двух комплексных
чисел в тригонометрическойформе записи следует,
что равны их аргументы.
Но, аргумент числа может отличаться от числа на числократное числу (т.е. на целое число оборотов) и аналогично для аргумента числа . Отсюда следует, что , где . Умножим это равенство на n: . Отсюда следует, что и т.к. по нашему предположению , то , чего не может быть, т.к. и . Получили противоречие. Следовательно, среди корней вмножестве (10) нет равных, ч.т.д.
3) Пусть теперь комплексное число является корнем n-й степени из комплексного числа z, т.е. . Так как . Отсюда, из тех же соображений, что и во второй части доказательства, следуют равенства и , где . Из первого равенства получаем, что , а из второго следует .
Далее, разделим целое число t на n с возможным остатком: , где , а остаток r также является целым числом, но . Отсюда
и
. Таким образом,корень является корнем из множества корней (4), ч.т.д.
Теорема доказана.
Пример. Вычислить .
Решение. Запишем число в тригонометрической форме записи: . Тогда
, где
, .
Ответ: , где
,
,
п.4. Расположение корней на комплексной плоскости.
Перепишем формулу (3) в виде
, где ,.
Заметим, что
. (5)
Из этой формулы мы видим, что аргументы корней образуют арифметическую прогрессию.
Так как модульу всех корней одинаковый, то на комплексной плоскости они удалены от началакоординатна одинаковое расстояние. Отсюда делаем вывод, что все корни на комплексной плоскости изображаются точками, лежащими наокружностирадиусас центром в начале координат. Из формулы (5) мы видим, чтоуголмеждутакимидвумясоседнимиточкамиодинаковый. Отсюда делаем вывод, что все корни располагаются наокружностиравномерно. Если соединить все соседние точки (корни) отрезками прямой, то получим правильный n-угольник.
рис.
1.
При изображении корней на комплексной плоскости около точки, с которой отождествляется кореньпроставляется только его аргумент, поскольку модули у всех корней одинаковые.
Пример. Изобразить все корни на комплексной плоскости.
Решение. Сами корни мы уже вычислили (см. предыдущий пример). Изображаем координатные оси, проводим окружность радиуса с центром в началекоординати отмечаем на ней точки полярныйуголкоторых равен:
, ,.
Соединим построенные точки отрезками прямыхи получаем правильный треугольник.
прямоугольная выноска: » width=»83″>
рис.2.
п.5. Корни из единицы.
Пусть – натуральное число. По формуле корней изкомплексногочисла, существует ровно n корней изкомплексногочисла. Для вычисления этих корней запишем единицу втригонометрическойформе:
,
т.
е. ,.
Обозначим все множество корней через . По формуле корней получаем:
, (6)
, . (7)
В частности, ,
. (8)
Заметим, что верна формула:
. (9)
Действительно, равенство(9) сразу же получается по формуле Муавра:
.
Теперь мы все множество корней из 1 можем записать так:
(10)
Теорема. Множество всех корней из 1 является коммутативной группой.
Доказательство.
Сначала мы должны показать, что
множество замкнуто
относительно умножения. Пусть–
два произвольных корня из 1, т.
.
Замечаем, что
. (11)
Отсюда следует, что , если. В противном случае,. Обозначим черези. Тогда
, ч.т.д.
Таким образом, на множествеопределена операция умножения и т.к. она ассоциативна и коммутативна вполекомплексныхчисел, то она ассоциативна и коммутативна и намножестве. Далее,. Покажем, что любой элемент изимеет обратный элемент также принадлежащий множеству:
.
Действительно, по условию . Тогда
, т.е. .
Теорема доказана.
Пример. Построить таблицу умножения для группы .
. Тогда, где.
Заполняем таблицу Кэли (таблицу умножения):
Изобразим
все корни третьей степенииз
1 на комплексной плоскости.
Т.к.
ихмодульравен
1, то все они лежат натригонометрической(т.е.
единичной) окружности:
рис.3.
Здесь, ,.
Многочлени. Дії над многочленами, теорема про ділення з остачею.
Лучший ответ по мнению автора | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||
05.16
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика
Калькулятор комплексных чисел в тригонометрическую форму
Автор Анна Щепанек, доктор философии
Отзыв от Komal Rafay
Последнее обновление: 25 марта 2023 г.
- Что такое тригонометрическая форма комплексного числа?
- Как найти тригонометрическую форму комплексного числа?
- Как преобразовать это комплексное число в калькулятор тригонометрической формы
- Калькуляторы Omni и комплексные числа
- Часто задаваемые вопросы
Этот калькулятор комплексного числа в тригонометрическую форму поможет, если вы все еще не совсем уверены, как найти тригонометрическую форму комплекс № а + би . В краткой статье ниже мы объясним, что такое тригонометрическая форма комплексного числа и как быстро преобразовать прямоугольную форму в тригонометрическую.
Что такое тригонометрическая форма комплексного числа?
Тригонометрическая форма комплексного числа z читается как
z = r × [cos(φ) + i × sin(φ)] ,
где:
- 40 0 r 9 модуль , т. е. расстояние от
(0,0)дог; и -
φ— это аргумент , т.
е. угол между осью x и радиусом между (0,0)иz.
Вы можете увидеть
rиφна картинке ниже. Используя базовую тригонометрию, мы видим, что
cos(φ) = a × rиsin(φ) = b × r, в точности как утверждает формула выше.Как найти тригонометрическую форму комплексного числа?
Чтобы преобразовать комплексное число
z = a + biиз прямоугольной формы в тригонометрическую, необходимо определить как модуль, так и аргументz:- Вычислить модуль как
r = √(a² + b²). - Вычислите фазу как
φ = atan(b / a). При необходимости исправьте на± π, чтобы оказаться в правильном квадранте плоскости. - Запишите тригонометрическую форму как
z = r × [cos(φ) + i × sin(φ)].
Как использовать это комплексное число для калькулятора тригонометрической формы
Чтобы использовать возможности нашего инструмента, вам нужно ввести в него действительную и мнимую части вашего комплексного числа, поэтому с
bизформа а+би.Наш калькулятор комплексного числа в тригонометрическую форму немедленно вычислит величину
rи фазу (аргумент)φвашего числа, а затем отобразит тригонометрическую форму двумя способами: используя радиан и градусов .🙋 Для некоторых конкретных комплексных чисел вы также получите третью форму: она будет использовать
π × радв качестве единицы измерения угла. Таким образом, могут появиться углы типаπ/4.Омни-калькуляторы и комплексные числа
Удовлетворены калькулятором комплексного числа в тригонометрической форме? Omni Calculator содержит богатую коллекцию калькуляторов, посвященных комплексным числам! Вот полный список, если вы хотите узнать больше:
- Калькулятор комплексных чисел;
- калькулятор формы а+би;
- Калькулятор умножения комплексных чисел;
- Калькулятор деления комплексных чисел;
- Калькулятор мнимых чисел;
- Калькулятор комплексного числа в полярной форме;
- Калькулятор комплексного числа в прямоугольную форму;
- я калькулятор; и
- Калькулятор полярной формы.
Часто задаваемые вопросы
Какова тригонометрическая форма i+1?
Ответ
i = √2 × [cos(π/4) + i × sin(π/4)]. Чтобы получить этот результат, заметьте, что величинаiравнаr = √(1² + 1²) = √2. Затем заметьте, что аргументiравенπ/4, посколькуatan(1/1) = π/4.Как получить тригонометрическую форму из полярной?
Если у вас есть комплексное число в полярной форме
r × exp(iφ), то достаточно взятьrиφиз полярной формы и записатьr × [cos(φ) + i × sin(φ)], чтобы получить триггерную форму вашего комплексного числа. Расчеты не требуются!Анна Щепанек, PhD
Прямоугольная форма
Действительная часть (a)
Мнимая часть (b)
Тригонометрическая форма
Величина |z₁|
Фаза (φ₁)
Ознакомьтесь с 38 похожими калькуляторами алгебры 🔡
Уравнение абсолютного значенияАбсолютное неравенствоСложение и вычитание многочленов… еще 35
Тригонометрическая форма комплексных чисел 2023 92}$
(расстояние от точки $M$ до начала координат) и $\varphi \in \left [0, 2\pi \right \rangle $ — угол между отрезком прямой $\overline{OM }$ и положительная часть действительной оси. Число $r$ называется по модулю комплексного числа, а угол $\varphi$ называется аргументом комплексного числа и обозначается $\varphi = arg(z)$ .Затем
$$\cos \varphi = \frac{x}{r} \Rightarrow x = r \cos \varphi $$ 92}$$
$$tg \varphi = \frac{y}{x} , x \neq 0.$$
Последнее уравнение дает два решения для угла $\varphi \in \left [0, 2 \pi \право\rangle$. Мы выбираем угол в зависимости от того, в каком квадранте находится число $z$.
Пример 1: Запишите в тригонометрической форме комплексные числа $z$ и $\overline{z}$, если $z = \frac{1}{2} – \frac{\sqrt{3}} {2}i$.
Решение :
Нам нужно определить числа $r$ и $\varphi$. 92 } $$
$$= \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} $$
$$= 1. $$
$$tg \varphi = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = -\sqrt{3},$$
, то есть $\varphi = \frac{2 \pi}{3}$ или $\varphi = \frac{5\pi}{3}$.
Так как число $z = \frac{1}{2} – \frac{\sqrt{3}}{2}i$ находится в четвертом квадранте, то $\varphi = \frac{5\pi} {3}$.Комплексное число $z= \frac{1}{2} – \frac{\sqrt{3}}{2}i$ имеет тригонометрическую форму:
$$ z = \cos \frac{5 \pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3}.$$
Комплексно-сопряженные числа имеют одинаковый модуль . Следовательно, для $\overline{z} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ , $r =1$. $\overline{z}$ находится в первом квадранте, поэтому имеем:
$$tg \varphi = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2 }} = \sqrt{3} \Rightarrow \varphi = \frac{\pi}{3}.$$
Наконец, комплексное число $\overline{z} = \frac{1}{2} + \frac {\sqrt{3}}{2}$ имеет следующую тригонометрическую форму:
$$\overline{z} = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}.$$
Пример 2: Запишите в тригонометрическом составить комплексное число $z$:
$$ z = – \cos \frac{\pi}{5} + i \sin \frac{\pi}{5}.$$
Решение :
Косинус функции отрицателен во втором и третьем квадранте, а синус положителен в первом и втором квадранте.
- 40 0 r 9 модуль , т. е. расстояние от
е. угол между осью x и радиусом между 
Число $r$ называется по модулю комплексного числа, а угол $\varphi$ называется аргументом комплексного числа и обозначается $\varphi = arg(z)$ .
Так как число $z = \frac{1}{2} – \frac{\sqrt{3}}{2}i$ находится в четвертом квадранте, то $\varphi = \frac{5\pi} {3}$.