Синус через экспоненты: Представление синуса через экспоненту — Dudom

Экспонента и синус комплексного аргумента : Анализ-II

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Ktina	Экспонента и синус комплексного аргумента 17. 05.2013, 23:24
01/12/11 ∞ 8634	На Всесоюзной Студенческой Олимпиаде 1975г. предлагалась следующая задача: Доказать или опровергнуть (всяко , иначе задача предлагалась бы на занятии маткружка старшеклассников) Очень частный случай () решается тривиально: функция монотонно возрастает, а значит, и следовательно их синусы равны друг другу. Для чувствую, что ответ будет «нет». Альфа показывает, что уравнение имеет бесконечно много решений. Вряд ли у всех этих решений синусы одинаковы. Но мне не хватает знаний, чтобы это доказать. Что такое вообще синус комплексного числа? А экспонента комплексного числа? Я знаю только одну, почти школьную, формулу: , а больше ничего пока не знаю. Пожалуйста, помогите решить.

ИСН	Re: Экспонента и синус комплексного аргумента 17.05.2013, 23:40
Заслуженный участник 18/05/06 13406 с Территории	Дак больше почти ничего и не надо. То есть так: — отсюда проистекает объяснение комплексных экспонент через обычные сикось-косинусы, и наоборот.

Ktina	Re: Экспонента и синус комплексного аргумента 17.05.2013, 23:43
01/12/11 ∞ 8634	ИСН в сообщении #725251 писал(а): Дак больше почти ничего и не надо. То есть так: — отсюда проистекает объяснение комплексных экспонент через обычные сикось-косинусы, и наоборот. Всё равно не соображу, как контрпример построить. Альфа делает это через функцию .

Ms-dos4	Re: Экспонента и синус комплексного аргумента 18.05.2013, 00:45
Заслуженный участник 25/02/08 2961	Ktina в сообщении #725252 писал(а): Всё равно не соображу, как контрпример построить. Альфа делает это через функцию . А он и не будет простой. Тут задачу можно немного переформулировать. Распишем подробно уравнение Ясно, что равенство будет когда действительная часть равна действительной а мнимая мнимой. То же самое делаем для второго уравнения Теперь нужно показать, что из НЕ следует Вот показать обратное (т.е. что из не следует ) элементарно — т.к. действительная часть в одином случае периодична, а в другом нет. А вот с вопросом задачи труднее. Здесь вряд-ли можно получить контрпример в виде элементарной функции, т.к. приходится решать уравнения, где неизвестное стоит и в «явном» виде и в показателе экспоненты, откуда и лезут функции Ламберта. P.S.Надеюсь в выкладках не напортачил.

provincialka	Re: Экспонента и синус комплексного аргумента 18. 05.2013, 00:47
Заслуженный участник 18/01/13 12040 Казань	Попробуем найти решения так, чтобы их синусы были точно не равны. Ну, например, в виде . Подстановка это равенства в исходное уравнение дает . Конечно, в вещественных числах это равенство не решается, но в комплексных — пожалуйста! В комплексном случае логарифма не существует только у нуля. Итак, числа и дают требуемый контрпример.

nnosipov	Re: Экспонента и синус комплексного аргумента 18. 05.2013, 04:51
Заслуженный участник 20/12/10 8862	provincialka в сообщении #725263 писал(а): Попробуем найти решения так, чтобы их синусы были точно не равны. Ну, например, в виде . Вообще-то уравнение имеет корни. Но все они вещественны, поэтому контрпример корректен.

hippie	Re: Экспонента и синус комплексного аргумента 18. 05.2013, 06:09
Заслуженный участник 18/01/12 933	Учитывая, что задача предлагалась в третьей секции (гуманитарные факультеты, институт лёгкой промышленности, институт пищевой промышленности и т.п.) её, всё-таки, предполагалось решать в действительных числах . В комплексных числах легко показать, что все корни уравнения можно записать в виде двусторонней последовательности и при этом Следовательно, и

provincialka	Re: Экспонента и синус комплексного аргумента 18. 05.2013, 10:39
Заслуженный участник 18/01/13 12040 Казань	nnosipov в сообщении #725290 писал(а): provincialka в сообщении #725263 писал(а): Попробуем найти решения так, чтобы их синусы были точно не равны. Ну, например, в виде . Вообще-то уравнение имеет корни. Но все они вещественны, поэтому контрпример корректен. Спасибо! Я как-то об этом не подумала

Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию

Страница 1 из 1

[ Сообщений: 8 ]

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Разложение экспоненты в ряд — Лисья нора

Главная » Математика » Разложение экспоненты в ряд

§

Разложение экспоненты в ряд

Это самая простая формула из всех возможных. {\ circ}}) \).

На этой странице мы расширим это понимание и придем к формуле Эйлера, названной в честь Леонарда Эйлера, швейцарского математика 18 ^го века. Затем мы объясним, почему ученые так его любят (есть как минимум две причины, но они взаимосвязаны, так что, может быть, это одна большая причина…).

Приходя к формуле Эйлера

Для этого нам понадобятся некоторые знания о разложении в ряд функций синуса, косинуса и экспоненты. Но это нормально, потому что вы, очевидно, запомнили Раздел 07 — Серия Power! 9х\) расширение. Это почти как если бы мы могли добавить синус и косинус, чтобы получить экспоненциальную функцию. Однако это не так просто, потому что в тригонометрических разложениях альтернативные члены отрицательны, тогда как в экспоненциальном ряду все члены положительны.

Вы были бы правы, если бы подумали, что эти три функции должны быть тесно связаны. В видео ниже мы проработаем отношения между ними.

 

9{i \theta}\) называется комплексной экспонентой. (Это экспоненциальная функция со сложным членом в степени). И это формула Эйлера.

Ну что, подумаешь? Ну да, на самом деле…

Почему так важна формула Эйлера? Часть 1

Ответ на этот вопрос мы намекали в разделе о комплексных числах. Мы сказали там:

«Ученые любят комплексные числа, потому что:

1. Величины могут быть описаны как комплексные числа
2. С ними можно «сделать математику» — и математика зачастую проще, чем если бы мы попытались избежать комплексных чисел и сделать это каким-то другим способом.
3. И тогда «реальную» часть ответа можно оставить, а мнимую отбросить.
4. И каким-то образом ответ описывает, что происходит.
5. Кажется, Вселенная знает, что с физическими величинами, измеряемыми действительными числами, проще обращаться с помощью комплексных чисел.

Теперь вы можете видеть, что мы имели в виду.

• Число 1 означает, что мы можем взять функцию синуса или (косинуса) и переписать ее как комплексную экспоненту. Синус становится мнимой частью комплексной экспоненты, а косинус становится действительной частью.
• Цифра 2 означает, что с экспонентами зачастую проще «делать что-то», чем с тригонометрическими функциями. Например, на самом деле легко различать экспоненты… (см. раздел 05, если вы не помните, почему)
• Цифра 3 означает, что если вы получили ответ в виде комплексной экспоненты, то вы можете записать его в виде \(\cos{\theta}+i\:\sin{\theta}\). И тогда вы можете взять реальную или мнимую часть, в зависимости от того, какая вам нужна (что может быть связано с шагом 1).
• А цифры 4 и 5 просто волшебные…!

На самом деле, в некоторых ситуациях существуют две взаимосвязанные действительные величины, обе из которых изменяются синусоидально, но на четверть оборота не совпадают по фазе (например, синус и косинус). Затем мы можем закодировать информацию об обеих величинах в одну комплексную величину. {i \omega t}\). Такое представление о вращающемся объекте постоянно встречается в науке. Некоторые люди называют это фазовращателем. Это вектор вращения в комплексной плоскости, но его можно использовать для описания реальных явлений вращения/колебаний, таких как вибрация объектов, круговое движение и волны. Мы увидим, как фазоры можно использовать в этих контекстах, в разделах 13 и 14. 9i = ?»

---

Ссылка на раздел 05: Что означает «экспоненциальный»
Если вам нужно напомнить основы работы с комплексными числами, это то, что вам нужно.

Ссылка на Раздел 06: Комплексные числа
Если вам нужно напомнить основы работы с комплексными числами, вам сюда.

Ссылка на раздел 07: Серии мощности
На этой странице предполагается знание серий мощности. Если вам нужно напоминание, попробуйте эту страницу.

Ссылка на раздел 13: Круговое движение и вектора
Здесь мы покажем, как сложные экспоненты могут быть очень полезным способом представления явлений вращения и колебаний.

Ссылка на главную
И вы всегда можете зайти сюда…

Формула Эйлера

Формула Эйлера

• Формула
• Резюме
• Использование
• Обозначение
• Примеры
• Объяснение

Формула

Резюме

Формула Эйлера возвращает комплексное число на единичной окружности, соответствующее входному углу (тета).

Выражение	Описание
	Показательная функция, которую иногда записывают в сокращенной форме.
	Комплексная константа . См. комплексные числа.
	Угол в радианах.
	Функция косинуса.
	Синусоидальная функция.

Применение

Формула Эйлера принимает угол в качестве входных данных и возвращает комплексное число, представляющее точку на единичной окружности в комплексной плоскости, которая соответствует углу. Например, при заданном угле в радианах формула Эйлера возвращает комплексное число, которое является крайней правой точкой единичного круга комплексной плоскости.

Обратите внимание, это обозначение является сокращением для экспоненциальной функции. Ниже показана формула, записанная в явном виде с экспоненциальной функцией.

Это полезно знать при использовании вычислительной среды, поддерживающей комплексные числа. Концептуально определение экспоненциальной функции можно использовать для проверки формулы, как описано в объяснении ниже.

Примеры

Пояснение

Связь экспоненциальной функции с тригонометрическими функциями синуса и косинуса удивительна и придает этой формуле дурную славу. Однако, как упоминалось выше, это сокращение для экспоненциальной функции.

Производная

В приведенном ниже примере выводится формула Эйлера, начиная с определения степенного ряда экспоненциальной функции ^[1] .

шагов

1. Начните с определения степенного ряда экспоненциальной функции.

2. Подставить комплексный ввод в функцию как ввод.

3. Раскройте выражения в числителях.

4. Обратите внимание на места, где появляется комплексная константа. Везде комплексная константа возводится в степень большую, чем единица, например , и мы можем подставить в выражение.

5. Упростите выражения, которые меняют местами некоторые знаки. Выражения, которые все еще содержат константу, выделены синим цветом.

6. Сгруппируйте выражения, содержащие и не содержащие, а затем вынесите комплексную константу.

7. Обратите внимание, что эти два выражения представляют собой определения степенных рядов синуса и косинуса ^{[2] [3]} .

   No related posts.