«Почему синус от аргумента всегда(кроме случая x=0) меньше аргумента?» — Яндекс Кью
Математика и математики
Популярное
Сообщества
Возможно, я плохо искал, однако мне не удалось найти ответа на свой вопрос в привычных местах. Естественно, речь идёт об общем случае, а не о граничных, в которых это вполне очевидно. Я понимаю, что это, скорее всего, доказывается через окружность, однако почему-то не могу провести рассуждения, которые после понимания этого почти наверняка покажутся тривиальными. Заранее спасибо
МатематикаТригонометрия
Сергей Козлов
Математика и математики·
13,9 K
ОтветитьУточнитьВладимир Горбацевич
Математика
1,6 K
математика нестандартный психоанализ · 17 апр
Прочел множество ответов и ужаснулся.
Все же просто!
Неравенство sin(x)<x достаточно рассмотреть только для положительных острых углов (в радианах). Для остальных положительных x>1 (x в радианах!), а sin(x) меньше или равен 1. Для отрицательных же всегда наоборот sin(x) >x (получается изменением знака x) .
Итак, x — острый положительный угол. На окружности радиуса 1 он равен длине дуги, начинающейся в точке (1,0) на оси OX. А sin(x) — это длина проекции этой дуги на ось OY. Но при проекции (ортогональной) длина кривой не увеличиватся. Причем длина не меняется только для параллельного OY отрезка. Все!!!
Если нужно доказать утверждение про проекцию кривой — вот набросок (доступен только очень любознательным школьникам). Для отрезка и его проекции это очевидно (хотя и это можно легко доказать). Теперь параметризуем дугу окружности и аппроксимируем ее ломаной (как это делать — рассказывают, увы, обычно не в школе, а только студентам, хотя это очень несложно) — и для нее утверждение тоже верно.
1 эксперт согласен
Александр
подтверждает
13 октября
Даже если и учился в несколько нестандартной школе (ФМШ при НГУ), но привык правильно отвечать на поставленные вопросы.
Комментировать ответ…Комментировать…
Топ-20
Математика
2,1 K
математик-системный программист, асу тп для аэс. · 13 апр
На всякий случай сразу оговоримся, что аргумент синуса выражен именно в радианах.
Вспомним, что такое угол в радианах, угол в радианах это «длина дуги единичной окружности на которую опирается угол» (есть разные эквивалентные определения, нам сейчас удобно это).
Для начала рассмотрим обычный геометрический синус, реально существующего треугольника.
Так как рисовать мне… Читать далее
Леонид Коганов
16 апреля
Маклореновский ряд в нуле из первых двух членов с остатком по Лагранжу не пробовали смотреть при малых, но… Читать дальше
Комментировать ответ…Комментировать…
Достоверно
Дмитрий ИвановАстрономия
887
По образованию физик и математик (МФТИ). Любитель астрономии .Кроме родного русского… · 17 апр
Ну и напридумывали ответов, аж до рядов дошли)). Все просто.Из определения синуса через единичную окружность. Синус -отрезок AP, аргумент -дуга PB. Что больше, хорда или дуга? (здесь полхорды и полдуги) Читать далее
2 эксперта согласны
1 эксперт не согласен
Сергей Чабовский
возражает
13 октября
sin x > x всегда при x < 0, x ∈ ℝ.
3 и вижу что это не так.
Комментировать ответ…Комментировать…
Dmitry Maslov
4,4 K
Инженер путей сообщения – строитель · 12 апр
Потому-что синус есть отношение катета к гипотенузе. А катет всегда меньше гипотенузы, что ещё древние греки знали, называя своими именами аксиомы и теоремы геометрии.
4 эксперта не согласны
Александр
возражает
12 апреля
Данный ответ справедлив не для всех углов, например он неверен для отрицательных углов.
Комментировать ответ…Комментировать…
Вы знаете ответ на этот вопрос?
Поделитесь своим опытом и знаниями
Войти и ответить на вопрос
1 ответ скрыто(Почему?)
О сообществе
Математика и математики
Сообщество практикующих математиков разного уровня.
3. А у таких функций y(-x) = -y(x), то есть минус выносится.
🙃 Теперь неожиданно вспомним тригонометрические функции. Косинус — симметричен относительно оси OY, поэтому функция косинуса чётная и cos(-x) = cos(x), вот почему косинус съедает знак минус. Синус симметричен относительно начала координат, поэтому он — нечётный, а значит вносим знак за синус sin(-x) = -sin(x). Вот и всё, вот и всё.
Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter. Мы обязательно поправим!
Редакция Без Сменки
Честно. Понятно. С душой.
40 подписчиков
+ Подписаться
Редакция Без Сменки
06 июня, 2022
1 мин
Англ 🇬🇧
Вводные слова в английском
Итак, зачем вообще нужны эти вводные слова?
Чтобы передать собеседнику свою позицию, сделать.
..
Редакция Без Сменки
06 июня, 2022
1 мин
Англ 🇬🇧
Разница между so и such
👉 Rule 1. Мы используем such с существительными: She’s such a cinnamon bun😍 — Она такая булочка…
Редакция Без Сменки13 июня, 2022
1 мин
Био 🦠
Как работает сукцессия?
❓Как работает сукцессия? В природе ничего не бывает просто так. Если есть голые скалы, то на них…
Редакция Без Сменки
30 июня, 2022
1 мин
Мтмт 📈
Движение по окружности
Значимым частным случаем перемещения материальной точки по заданной траектории служит движение по.
..
11 января, 2022
1 мин
Ист 🤴
Реформы Столыпина
Реформы Столыпина — это неудачная попытка председателя Совета министров Российской империи создать…
Редакция Без Сменки
01 июля, 2022
1 мин
Хим 🧪
Соединения галогенов
ℹ️ Все галогенводороды при обычных условиях газообразные. Если их растворить в воде, то получится…
Графический синусоид
Прежде всего, мы дадим вам несколько новых терминов.
Надеюсь, вы принесли свою рукавицу ловца.
Ваша базовая синусоидальная функция имеет следующую форму:
Период триггерной функции представляет собой горизонтальную длину одного полного цикла. Например, приведенный выше график начинает повторять свою форму через 2π единиц по оси x , поэтому его период равен 2π.
В общем, для y = a sin( bx ) , период равен
Средняя линия функции в значительной степени именно то, на что это похоже: горизонтальная линия, проходящая через «середину» нашей триггерной функции. Это будет прямо между максимальным и минимальным значениями графика. Поскольку это горизонтальная линия, она всегда будет выглядеть как y = (что-то).
Для функций вида y = a sin( bx ), как на графике выше, средняя линия всегда равна x -ось, также известная как линия y = 0. Чуть позже мы увидим, что происходит, когда эта линия скользит.
Амплитуда триггерной функции — это ее «высота» или расстояние по вертикали между средней линией и максимальным или минимальным значением. По сути, это то, насколько высокими становятся «волны» функции. График выше имеет пики при y = 1 и y = -1, поэтому его амплитуда равна всего 1.
В общем, для y = a sin( bx ), амплитуда | и |. Также важно отметить, что если a < 0, график переворачивается (инвертируется).
Разговоры дешевы, так что теперь давайте посмотрим на них в действии.
Пример задачи
Как выглядит график y = sin x ?
Амплитуда (максимальное значение) y = sin x равна |1| = 1. Период (время, необходимое для одного полного цикла) из y = sin x равно 2π ⁄ 1 = 2π. Средняя линия y = sin x является осью x .
Построим график y = sin x.
Как и в случае с любым графиком, это помогает построить график значений x и y . Включите пять ключевых углов, используя период 2π, и пять ключевых точек, полученных из этих углов.
Построение графика x против y дает нам:
Пример задачи
График y = 3 sin x.
На этот раз наша амплитуда равна |3| = 3. Наш период по-прежнему 2π ⁄ 1 = 2π, а наша средняя линия по-прежнему y = 0.
Давайте составим нашу таблицу.
Применим период 2π к пяти ключевым углам и амплитуду 3 к пяти ключевым точкам.
Расставьте точки.
Пример задачи
Укажите амплитуду и период г = 4 грех х. Затем постройте график функции.
Из y = a sin( bx ) мы получаем амплитуду |4| = 4, а период 2π ⁄ 1 = 2π.
Теперь нарисуйте это.
Начните со стола.
При построении этого графика мы просто будем следовать той же схеме, чтобы расширить график до 2π.
До сих пор все графики, которые мы рассматривали, имели ось x в качестве средней линии. Мы бросали в тебя софтболы. Иногда в высшей лиге графики равны переведено на или перемещено вверх или вниз по оси x .
В общем, для y = k + sin x график смещается вверх на k единиц, когда k > 0, и вниз на k единиц, когда k 0 < 0 0 0,12 k единиц.
Пример задачи
График y = 3 + sin x.
Период равен 2π, а амплитуда равна 1.
Мы применяем сдвиг (вертикальный перевод) на 3 к нашим ключевым точкам.
Теперь постройте график функции от 0 до 2π.
На этот раз наша средняя линия находится на y = 3.
Она сдвинулась вверх на 3 единицы, потому что мы добавили k = 3 к обычной старой синусоидальной функции.
угловой синус(х) | функция обратного синуса
arcsin(x) | функция обратного синусаГлавная›Математика›Тригонометрия› Arcsin
arcsin(x), sin -1 (x), функция обратного синуса.
- Определение углового синуса
- График arcsin
- Правила арксина
- Стол арксинуса
- Калькулятор арксинуса
Определение арксинуса
Арксинус x определяется как функция обратного синуса x, когда -1≤x≤1.
Когда синус y равен x:
sin y = x
Тогда арксинус x равен функции обратного синуса x, которая равна y:
arcsin x = sin -1 x = y
Пример
арксинус 1 = sin -1 1 = π/2 рад = 90°
График арксинуса
Правила арксинуса
| Правило | |
|---|---|
| Синус арксинуса | sin( arcsin х ) = х |
| Арксинус синуса | arcsin( sin x ) = x +2 k π, когда к ∈ℤ ( к целое число) |
| Арксинус отрицательного аргумента | arcsin(- x ) = — arcsin x |
| Дополнительные уголки | arcsin x = π/2 — arccos x = 90° — арккос х |
| Сумма арксина | arcsin α + arcsin( β ) = arcsin( α√ (1- β 2 ) + β√ (1- α 2 ) ) |
| Разница арксинуса | arcsin α — arcsin( β ) = arcsin( α√ (1- β 2 ) — β√ (1- α 2 )) |
| Косинус арксинуса | |
| Тангенс арксинуса | |
| Производная арксинуса | |
| Неопределенный интеграл арксинуса |
Стол арксинуса
| х | arcsin(x) (рад) | угловой синус(х) (°) |
|---|---|---|
| -1 | -π/2 | -90° |
| -√3/2 | -π/3 | -60° |
| -√2/2 | -π/4 | -45° |
| -1/2 | -π/6 | -30° |
| 0 | 0 | 0° |
| 1/2 | №/6 | 30° |
| √2/2 | №/4 | 45° |
| √3/2 | №/3 | 60° |
| 1 | №/2 | 90° |
См.
