Для работы по рядам-гиперболические функции
Гиперболические функции
Гиперболи́ческие фу́нкции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями.
Гиперболические функции были введены Винченцо Риккати (Vincenzo Riccati) в 1757 году («Opusculorum», том I). Он получил их из рассмотрения единичной гиперболы. Дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено Ламбертом.
Риккати применял для гиперболических функций обозначения Sh и Ch. В дальнейшем в обозначениях гиперболических функций утвердился некоторый разнобой. Например, в Энциклопедии Брокгауза и Эфрона используются обозначения sinhyp, coshyp, в русскоязычной литературе закрепились обозначения sh, ch, в англоязычной закрепились sinh,cosh.
Гиперболические
функции часто встречаются при вычислении
различных интегралов.
Некоторые интегралы от рациональных
функций и от функций,
содержащих радикалы, довольно просто
выполняются с помощью замен
переменных с использованием
гиперболических функций.
Гиперболические функции задаются следующими формулами:
(в англоязычной литературе обозначается sinh(x))
(в англоязычной литературе обозначается tanh(x))
,
Иногда также определяются
В связи с особенностями написания операторов гиперболических функций в русском языке появился ряд жаргонных наименований этих функций. Простейшее (и наиболее распространённое) словообразование использует уточняющую приставку «гипер-» к названиям тригонометрических функций. Также существуют такие жаргонные названия:
— «ши́нус», «сихинус».
— «чо́синус», «коши́нус», «коси́хинус», «чуби́нус», «чи́нус», «чихо́нус».
— «ча́нгенс», «та́шинус», «та́хинус», «таха́нгенс».
— «кочангенс», «кота́хинус».
sh(x), ch(x), th(x), cth(x)
Геометрическое определение
Ввиду
соотношения ch²t-sh²t=1,
гиперболические
функции дают параметрическое
представление гиперболы x2 − y2 = 1 (x=cht,
y=sht).
При этом аргумент t = 2S,
где S —
площадь криволинейного треугольника OQR,
взятая со знаком «+», если сектор лежит
выше оси OX,
и «−» в противоположном случае. Это
определение аналогично определению
тригонометрических функций через
единичную окружность, которое тоже
можно построить подобным образом.
Связь с тригонометрическими функциями
Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента.
.
.
sin (х) = Im(e) cos(x) = Re(e), где e ix = cos (x) + i sin(x).
Функция Гудермана
При этом .
Имеют место также следующие тождества:
, ,
, ,
Важные тождества
Чётность:
Формулы сложения:
Формулы двойного угла:
Формулы кратных углов:
Произведения
Суммы
Формулы понижения степени
Производные:
Интегралы:
Неравенства
При всех выполняется:
,
Разложение в степенные ряды
(Ряд Лорана)
Здесь B2n —
числа
Бернулли.
Обратные гиперболические функции
Читаются ареа… (-синус и т. д.) — от лат. «area» — «площадь».
— обратный гиперболический синус, гиперболический арксинус, ареасинус:
— обратный гиперболический косинус, гиперболический арккосинус, ареакосинус.
— обратный гиперболический тангенс, гиперболический арктангенс, ареатангенс.
— обратный гиперболический котангенс, гиперболический арккотангенс, ареакотангенс.
— обратный гиперболический секанс, гиперболический арксеканс, ареасеканс.
— обратный гиперболический косеканс, гиперболический арккосеканс, ареакосеканс.
Связь между некоторыми обратными гиперболическими и обратными тригонометрическими функциями:
где i — мнимая единица.
Эти функции имеют следующее разложение в ряд:
В
зарубежной литературе обратные
гиперболические функции часто обозначают
посредством знака минус первой степени:
например, пишут
как (причём обозначает
другую функцию —
),
и т.
Сегодня я кратко упомянул известную формулу Эйлера в своем классе исчисления (при обсуждении гиперболических функций, конспекты лекций здесь):
где решение (обычно обозначается «», но на самом деле не существует однозначного квадратного корня для комплексных чисел или даже для отрицательных действительных чисел).
Один из обычных способов вывести эту формулу — сравнить степенной ряд экспоненциальной функции и тригонометрических функций и :
Подставив первое разложение и сравнив с оставшимися двумя, легко увидеть, что
Здесь я собираюсь дать другой подход, который не требует каких-либо знаний о рядах (чтобы избежать проблемы сходимости), а требует только базовых знаний о комплексных числах (комплексное сложение и умножение). Я уверен, что этот подход должен был быть использован раньше, но я не смог найти подходящую ссылку, особенно в Интернете.
Условимся, что мы определяем число Эйлера равным 9.0003
Из этого легко увидеть, что
Тогда естественно определить комплексную экспоненциальную функцию как
Здесь я немного обманываю, потому что я неявно предположил, что этот предел существует.
Теперь вспомним геометрию комплексной плоскости. Мы можем отождествить комплексное число с точкой на плоскости. Мы можем записать комплексное число в его полярной форме, которая отождествляется с полярными координатами. Назовем и модуль (или длину) и аргумент (или угол) соответственно.
Сложный самолет
Комплексное умножение и равно
, т. е. модуль является произведением двух модулей, а аргумент представляет собой сумму двух аргументов.
Итак, теперь давайте исправим и вычислим
, что по определению будет . Мы будем утверждать, что его длина равна , а его аргумент равен , т.
е. выполняется (1):
Геометрия степеней 1+yi
Чтобы увидеть это, пусть . Тогда и так
Отсюда имеем
как . С другой стороны, аргумент (который корректно определен с точностью до кратного ) может быть выбран равным
Тогда по правилу Лопиталя
Таким образом, мы имеем
Комбинируя ( 3) и (4), имеем
Добавлено 12 ноября 2017 г. :
Я нашел видео, объясняющее (но без полных математических деталей) описанный выше подход:
Нравится:
Нравится Загрузка.
..
Эта запись была размещена в Анализ, Исчисление, Комплексный анализ, Геометрия. Добавьте постоянную ссылку в закладки.
использовать логарифмическую дифференциацию для поиска производной y — Googlesuche
AlleBilderVideosBücherMapsNewsShopping
suchoptionen
com › смотреть
08.06.2015 · Мой курс по деривативам: https://www.kristakingmath.com/derivatives-courseПроверить http …
Dauer: 6:54
Прислан: 08.06.2015
Логарифмическое дифференцирование экспоненциальных функций — YouTube
www.youtube.com › смотреть
14.10.2016 · … правила, которые необходимо применять, используют логарифмические дифференцировать, чтобы найти производную от …
Dauer: 39:40
Прислан: 14.10.2016
Примеры исчисления | производные | Используйте логарифмическое дифференцирование для…
www.mathway.com › используйте логарифмическое дифференцирование для нахождения производной
Используйте логарифмическое дифференцирование для нахождения производной.
.. Дифференцируйте выражение, используя цепное правило, имея в виду, что y y является функцией x x …
Логарифмическое дифференцирование (с 7 пошаговыми примерами!)
calcworkshop.com › Производные
22.02.2021 · Логарифмическое дифференцирование использует логарифмические свойства для неявного поиска производных, когда переменная возводится в переменную.
Ähnliche Fragen
Какова производная от y?
Как найти производную логарифмического уравнения?
Какова производная натурального логарифма у?
Как вы используете логарифмическое дифференцирование, чтобы найти … — Socratic
socratic.org › вопросы › как вы используете логарифм…
Для y=(3x+5)5( 4x−9)7 , мы могли бы найти dydx, используя правило отношения, правило степени и правило цепочки, а затем упростить алгебраически. ИЛИ lny …
Как с помощью логарифмического дифференцирования найти производную от …
socratic.
org › вопросы › как-вы-используете-логарифм…
y=xx. lny=lnxx. lny=xlnx. Теперь продифференцируем неявно: 1ydydx=(1)(lnx)+(x)(1x). 1ydydx=1+lnx.
Используйте логарифмическое дифференцирование, чтобы найти производную функции.
www.wyzant.com › Ресурсы › Спросите эксперта
Логарифмическое дифференцирование, по сути, представляет собой натуральный логарифм обеих частей уравнения, применяя несколько логарифмических правил, затем …
Используйте логарифмическое дифференцирование, чтобы найти производную функции
math.stackexchange.com › вопросы › используйте логарифм…
Отсюда y′=y⋅(lny)′. Эти правила журнала будут вам полезны: ln(ab)=lna+lnbln(ab)=lna-lnblnab=blna. И ddxln(g(x))=g′(x)g(x).
Объяснение урока: Логарифмическое дифференцирование — Nagwa
www.nagwa.com › объяснители
Пример 1. Нахождение первой производной функции, имеющей в основании переменную и показатель степени, с помощью логарифмического дифференцирования.