Синусы и косинусы тангенсы и котангенсы: Синус, косинус, тангенс и котангенс

Более важные личности

Определение отношений тангенса, котангенса, секанса и косеканса через синус и косинус.

тан т  =	sin t cos t		детская кроватка t  =	1 тан т	=	cos t sin t
сек t  =	1 cos  т		csc т =	1 sin  t

Формула Пифагора для синусов и косинусов.

sin ² t  + cos ² t  = 1

Тождества, выражающие триггерные функции через их дополнения

cos t  = sin(/2   t ) sin t  = cos(/2   t )

кроватка  t  = загар(/2   t ) tan t  = кроватка(/2   t )

csc t  = сек(/2   t ) сек t  = csc(/2   t )

Периодичность триггерных функций. Синус, косинус, секанс и косеканс имеют период 2, а тангенс и котангенс имеют период.

sin ( t + 2) = sin t

cos ( t + 2) = cos t

тангенс ( t +) = тангенс t

Тождества для отрицательных углов. Синус, тангенс, котангенс и косеканс — нечетные функции, а косинус и секанс — четные функции.

sin   t  = sin  t

cos  t  = cos  t

tan  t  = tan  t

Формулы сумм для синуса и косинуса

sin ( s + t ) = sin s cos t + cos s sin t

cos ( s + t ) = cos s cos t sin s sin t

Формулы двойного угла для синуса и косинуса

sin 2 t = 2 sin t cos t

cos 2 t = cos ² t sin ² t = 2 cos ² t 1 = 1 2 sin ² t

Менее важные личности

Формула Пифагора для тангенсов и секансов.

сек ² t  = 1 + тангенс ² t

Тождества, выражающие триггерные функции через их дополнения

sin(   t ) = sin  t

cos(   t ) = cos  t

tan(   t ) = tan  t

Разность формул для синуса и косинуса

sin ( s t ) = sin s cos t cos s sin t

cos ( s t ) = cos s cos t  + sin s sin t

Формулы суммы, разности и двойного угла для тангенса

тангенс ( s  +  t ) =	tan s  + tan t 1  tan s tan t
tan ( s  t ) =	тан s тан t 1 + тан s тан t
тан 2 т  =	2 коричневый t 1 коричневый 2 t

Формулы половинного угла

грех t /2 = ±((1  cos  t ) / 2)

cos t /2 = ±((1 + cos  t ) / 2)

tan t /2 =

sin t 1 + cos t

=

1  cos  t sin t

Действительно неясные тождества

Тождества суммы произведений

0017 sin s sin t  =000

Идентификаторы продуктов

sin s  + sin t  =	2 sin	s + t 2	cos	s t 9 048	2 cos	s + t 2	sin	s t 2
cos s  + cos  t  =	2 cos	s  +  t 2	cos	s t	cos  s   cos  t  =	2 sin	s + t 2	sin	s t 4	2

sin s  cos t  =  sin ( s + t ) + sin ( s t ) 2 cos с cos t  =  cos ( s + t ) + cos ( s t ) 2 sin с sin t  =  cos ( с  t )  cos ( s  +  t ) 2

В стороне: как ни странно, эти идентификаторы продуктов использовались до логарифмов для выполнения умножения. Вот как можно использовать второй. Если вы хотите умножить x на y, используйте таблицу, чтобы найти угол s , косинус которого равен x , и угол t , косинус которого равен y. Найдите косинусы суммы с  +  т, и разница с  т. Среднее значение этих двух косинусов. Вы получаете товар xy ! Три поиска в таблице и вычисление суммы, разности и среднего, а не одного умножения. Тихо Браге (1546-1601), среди прочих, использовал этот алгоритм, известный как prosthaphaeresis. )

Формулы тройного угла. Вы можете легко реконструировать их по формулам сложения и двойного угла.

sin 3 t  = 3 sin t   4 sin ³   t

cos 3 t  = 4 cos  ³   t  3 cos  t

тан 3 т  =

3 tan  t   tan 3 t 1  3 tan 2 t

2 Еще формулы полууглов. (Они используются в исчислении для особого вида подстановок в интегралах, иногда называемых Вейерштрассом 9).0005 т -замена.)

sin t  =

2 коричневый t /2 1 + коричневый 2 t /2

cos  t  =

1 коричневый 2 t /2 1 + коричневый 2 t /2

тангенс t  =

2 коричневый t /2 1 коричневый 2 т /2

Оглавление.

© 1996, 1997.

Дэвид Э. Джойс
Кафедра математики и информатики
Университет Кларка
Вустер, Массачусетс 01610

Электронная почта: djoyce@clarku. edu

Краткий триггерный курс Дейва находится по адресу http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/trig.

Тригонометрические функции и их графики: кофункции

Синус и косинустангенс

Purplemath

Как мы видели на двух предыдущих страницах, определения отношений синуса, косинуса и тангенса можно расширить, создав синус, косинус и касательные функции. Мы можем сделать то же самое с другими отношениями; а именно, секанс, косеканс и котангенс.

(Примечание: легко сказать, что котангенс соответствует тангенсу, но что насчет других? Я держу их прямыми, помня, что косеканс есть величина, обратная отношению к синусу, а секанс есть обратная величина косинуса. Другими словами, я держу их прямыми, помня, что их соответствие не имеет для меня смысла. Я имею в виду, не должно ли ко- идти с ко-? Но нет.)

Содержимое продолжается ниже

MathHelp.com

График функции косеканса

Коэффициент косеканса является обратной величиной отношения синуса. Мы создаем функцию косеканса , взяв обратное значение функции синуса (кроме случаев, когда синус равен нулю). И это дает нам полезную информацию для понимания и построения графика функции косеканса.

Поскольку косеканс является обратной величиной синуса, тогда, когда синус равен нулю, косеканс будет неопределенным, потому что мы не можем делить на ноль. Функция синуса имеет нулевое значение при каждом кратном π, поэтому функция косеканса будет иметь вертикальную асимптоту при каждом кратном π. Синусоида колеблется между y -значения −1 и +1. Обратное значение каждого из этих значений равно самому себе, поэтому косеканс будет принимать те же значения при тех же значениях угла.

Если функция синуса положительна, она находится в диапазоне от 0 до +1; обратные значения этих значений находятся между +1 и всегда вверх, поднимаясь по вертикальной асимптоте «до» бесконечности. (Бесконечность на самом деле не является числом, поэтому график косеканса никогда не «достигнет» бесконечности; его значения и будут становиться все больше и больше. ) И наоборот, когда функция синуса отрицательна, она находится между 0 и −1; обратные величины этих значений находятся в диапазоне от -1 до бесконечности, уменьшая вертикальную асимптоту «до» -бесконечности. (И нет, −бесконечность тоже не число.)

Подводя итог, мы видим, что всякий раз, когда синус достигает своего максимального значения 1, косеканс достигает своего минимального значения 1; всякий раз, когда синус достигает своего минимального значения -1, косеканс достигает своего максимального значения -1. Везде, где синус положительный, но меньше 1, косеканс будет положительным, но больше 1, поднимаясь по асимптотам; везде, где синус отрицателен, но больше -1, косеканс будет отрицательным, но меньше -1, уменьшая асимптоты.

Итак, чтобы построить график моей функции косеканса, я сначала слегка нарисую синусоиду:

← проведите пальцем по , чтобы просмотреть полное изображение →

Везде, где синус пересекает ось x , я нарисую вертикальные асимптоты для косеканс. И я нарисую точки в максимальных/минимальных точках синусоиды, так как это будут минимальные/максимальные точки графика косеканса:

← пролистните , чтобы просмотреть полное изображение →

Везде, где синус положителен, он также обратный, косеканс; везде, где синус отрицателен, также и косеканс. Я могу использовать эту информацию, чтобы заполнить остальную часть графика косеканса:

← смахните , чтобы просмотреть полное изображение →

Форма косеканса повторяется на той же длине, что и синус, поэтому период косеканса совпадает с периодом синуса 2π. Но, как и в случае с тангенсом (и его вертикальными асимптотами), понятие «амплитуда» не применяется к косекансу.

Примечание. Не бойтесь слегка рисовать карандашом график синуса (как я сделал выше) перед рисованием графика косеканса. Вы нарисуете «официальную» диаграмму темнее, а затем, возможно, сотрете синусоидальную диаграмму, прежде чем сдать свою работу. Просто убедитесь, что вы хорошо понимаете синусоидальные волны!

График секущих

Отношение секущих является обратной величиной отношения косинусов. Мы создаем функцию секанса , взяв обратные величины значений функции косинуса (за исключением случаев, когда косинус равен нулю). Звучит знакомо? Да, мы можем понять и построить график функции секущей, используя ту же логику, что и для функции косеканса.

Везде, где косинус равен нулю, график секущей будет иметь вертикальную асимптоту. Везде, где косинус имеет значение -1 или +1, секанс будет иметь такое же значение. На каких бы интервалах ни был положителен косинус, таким же будет и секанс; на промежутках, где косинус отрицателен, секанс будет таким же.

Итак, используя те же рассуждения и методы, которые мы использовали с синусоидой и графиком косинуса, я начинаю свой график секанса, слегка нарисовав волну косинуса. Везде, где косинус пересекает ось x , я рисую вертикальную асимптоту; везде, где косинус находится в точке максимума/минимума, я рисую соответствующую точку минимума/массы секанса. Затем я рисую то, что выглядит как U-образные кривые множества-объединения и множества-пересечения между парами асимптот. Это позволяет мне построить график секущих:

← пролистайте , чтобы просмотреть полное изображение →

Как косинус, так и секанс: оба они имеют период длиной 2π. Как и в случае с косекансом и тангенсом, с их вертикальными асимптотами, понятие амплитуды не применяется к секансу.

(И повторяю, не стесняйтесь использовать свои знания о косинусах, чтобы облегчить себе жизнь, когда дело доходит до секущих. на графике секущих сотрите все косинусные элементы, которые, по вашему мнению, ваш инструктор может не захотеть видеть.)

График котангенса

Котангенс является обратной величиной тангенса. Везде, где тангенс равен нулю, котангенс будет иметь вертикальную асимптоту; везде, где тангенс имеет вертикальную асимптоту, котангенс будет иметь ноль. Но переворачивание дроби (то есть нахождение ее обратной величины) не меняет знак дроби. Поэтому знаки на каждом интервале (между нулем и асимптотой) будут для котангенса такими же, как и для тангенса.

Чтобы построить график котангенса, я сначала делаю легкий набросок графика касательной. (Да, я все еще делаю это.) Я преобразовываю нули тангенса в вертикальные асимптоты котангенса и асимптоты тангенса в нули котангенса. Везде, где тангенс выше x -ось, котангенс тоже будет, но загибается в другую сторону; везде, где касательная находится ниже оси x , котангенс тоже будет, но изгибается вниз в другом направлении.

Собрав все вместе, мой график котангенса выглядит так:

← пролистайте , чтобы просмотреть полное изображение →

Котангенс имеет период π, и понятие амплитуды не применяется, как и в случае с тангенсом.

Когда вам нужно построить графики кофункций, у вас может возникнуть соблазн попытаться вычислить множество точек графика. Но все, что вам действительно нужно знать, это функции синуса, косинуса и тангенса. Возьмите то, что вы знаете, и переверните это для любой совместной функции, которую вы хотите изобразить на графике.