Коэффициенты Стьюдента
Число измерений N | Надежность Р | ||||||
0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,9 | 0,95 | 0,99 | |
2 | 1,00 | 1,38 | 2,0 | 3,1 | 6,3 | 12,7 | 637 |
3 | 0,82 | 1,06 | 1,5 | 1,9 | 2,9 | 4,3 | 35 |
4 | 0,77 | 0,98 | 1,3 | 1,6 | 2,4 | 3,2 | 12,9 |
5 | 0,74 | 0,94 | 1,2 | 1,5 | 2,1 | 2,8 | 8,6 |
6 | 0,73 | 0,92 | 1,2 | 1,5 | 2,0 | 2,6 | 6,9 |
7 | 0,72 | 0,91 | 1,1 | 1,4 | 1,9 | 2,4 | 6,0 |
8 | 0,71 | 0,90 | 1,1 | 1,9 | 2,4 | 5,4 | |
9 | 0,71 | 0,89 | 1,1 | 1,4 | 1,9 | 2,3 | 5,0 |
10 | 0,70 | 0,88 | 1,1 | 1,4 | 1,8 | 2,3 | 4,8 |
2.
2. Расчет случайной погрешностиПри обработке прямых измерений результаты наблюдений и вычислений удобно оформлять в виде табл. 2.
Таблица 2
Расчет среднего значения и случайной погрешности по методу Стьюдента
№ | ai | ai | ai2 | | P | tPN | aсл | |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
1 | ||||||||
2 | ||||||||
3 |
В колонке 1указывается номер опыта
по порядку (обычно проводится 3-7
измерений).
В колонке 2 записываютсязначения измеряемой величины.
В колонку 3вноситсясреднее значениеизмеряемой величины, рассчитанное по формуле:
. (1)
В колонке 4представленыотклонениякаждого значенияизмеряемой величины от среднего:
. (2)
Каждый результат, полученный по последней формуле, возводится в квадрат и заносится в колонку 5.
В колонке 6следует расположитьсреднеквадратичную погрешность , рассчитанную по формуле:
. (3)
Она характеризует разброс средних значений измеряемой величины. Среднеквадратичная погрешность тем больше, чем сильнее измеренные величины отличаются друг от друга.
В колонку 7заносится значение
доверительной вероятности (или надежности)
Обычно достаточно выбрать значениеР= 0,95 (или, что то же самое, 95%).
Коэффициент Стьюдента, учитывающий заданную доверительную вероятность и число измерений tPN ,находится по табл. 1 и располагаетсяв колонке 8.
Случайная погрешностьрассчитывается по формуле
aсл=tPN S(4)
и заносится в колонку 9.
2.3. Учет систематических погрешностей
К учитываемым систематическим погрешностям относятся погрешности средств измерения и погрешности отсчета.
В форме абсолютных погрешностейзадаются погрешности линеек, штангенциркулей, секундомеров, термометров и т.п. Абсолютная погрешность средства измерения в этом случае может быть вычислена по формуле
, (5)
где - цена деления прибора.
В форме приведенных погрешностей
задаются пределы допускаемых погрешностей электроизмерительных приборов, манометров.
Этим приборам присваиваются
классы точности.Класс точностиравен пределу допускаемой приведенной
погрешности, выраженной в процентах,
которая определяется по формуле,
где ап—нормирующее значениеприбора илипредел измерений;
— предел допускаемой приведенной погрешности прибора в процентах от нормирующего значения;
аси— абсолютная погрешность прибора.
Пользуясь этой формулой, можно определить абсолютную погрешность измерительного прибора:
. (6)
Полная абсолютная погрешностьпрямых измерений рассчитывается по формуле
Чаще всего случайная погрешность и погрешность средств измерения — величины разных порядков; в таких случаях меньшей погрешностью пренебрегают. Например, если , то
Оценка погрешностей измерений на примерах
Оценка погрешностей измерений на примерахПусть измеряемая имеет известное значение величина X.
Естественно, отдельные, найденные в процессе измерения значения этой величины x1,x2,…xn заведомо не вполне точны, т.е. не совпадают с X. Тогда величина
будет являться абсолютной погрешностью i-го измерения. Но поскольку истинное значение результата X, как правило, не известно, то реальную оценку абсолютной погрешности используя вместо X среднее арифметическое
,которое рассчитывают по формуле:
(1) |
Однако при малых объемах выборки вместо
предпочтительнее пользоваться медианой. Медианой (Ме) называют такое значение случайной величины х, при котором половина результатов имеет значение меньшее, а другая большее, чем Ме. Для вычисления Ме результаты располагают в порядке возрастания, то есть образуют так называемый вариационный ряд.
Для нечетного количества измерений n мeдиана равна значению среднего члена ряда. Например,
для n=3
Для четных n, значение Ме равно полусумме значений двух средних результатов. Например,
для n=4
Далее рассчитывают среднеквадратичную погрешность (стандартное отклонение выборки), являющуюся мерой разброса и характеризующую случайную погрешность определения:
(2) |
Выборочное стандартное отклонение sзависит от объема выборки n и ее значение колеблется по случайному закону около постоянного значения генерального стандартного отклонения σ
|
Для расчета s пользуются неокругленными результатами анализа с неточным последним десятичным знаком.
При очень большом числе выборки (n>
) случайные погрешности могут быть описаны при помощи нормального закона распределения Гаусса. При малых n распределение может отличаться от нормального. В математической статистике эта дополнительная ненадежность устраняется модифицированным симметричным t-распределением. Существует некоторый коэффициент t, называемый коэффициентом Стьюдента, который в зависимости от числа степеней свободы (f) и доверительной вероятности (Р) позволяет перейти от выборки к генеральной совокупности.
Стандартное отклонение среднего результата
определяется по формуле:
(3) |
Разности между средним
выборки и средним значением генеральной совокупности μ лежат в Р случаях в пределах, которые при помощи нормального распределения и связанного с ним t-распределения определяются следующим выражением:
(4) |
Величина
является доверительным интервалом среднего значения
.
Для серийных анализов обычно полагают Р = 0,95.
Таблица 1. значения коэффициента Стьюдента (t)
f |
Р=0,90 |
Р=0,95 |
Р=0,98 |
Р=0,99 |
1 |
6,31 |
12,7 |
31,8 |
63,6 |
2 |
2,92 |
4,30 |
6,97 |
9,93 |
3 |
2,35 |
3,18 |
4,54 |
5,84 |
4 |
2,13 |
2,78 |
3,75 |
4,60 |
5 |
2,02 |
2,57 |
3,37 |
4,03 |
6 |
1,94 |
2,45 |
3,14 |
3,71 |
7 |
1,90 |
2,36 |
3,00 |
3,50 |
8 |
1,86 |
2,31 |
2,90 |
3,36 |
9 |
1,83 |
2,26 |
2,82 |
3,25 |
10 |
1,81 |
2,23 |
2,76 |
3,17 |
11 |
1,80 |
2,20 |
2,72 |
3,11 |
12 |
1,78 |
2,18 |
2,68 |
3,05 |
Пример 1.
Из десяти определений содержания марганца в пробе требуется подсчитать стандартное отклонение единичного анализа и доверительный интервал среднего значения Mn %: 0,69; 0,68; 0,70; 0,67; 0,67; 0,69; 0,66; 0,68; 0,67; 0,68.
Решение. По формуле (1) подсчитывают среднее значение анализа
|
= 0,679 .
Далее по формуле (2) находят стандартное отклонение единичного результата
|
|
По табл. 1 (приложение) находят для f = n-1= 9 коэффициент Стьюдента (Р = 0,95) t = 2,26 и рассчитывают доверительный интервал среднего значения.
|
По табл. 1 (приложение) находят для f=n-1=9 коэффициент Стьюдента (Р=0,95) t=2,26 и рассчитывают доверительный интервал среднего значения. Таким образом, среднее значение анализа определяется интервалом (0,679 ± 0,009) % Мn.
Пример 2. Среднее из девяти измерений давления паров воды над раствором карбамида при 20°С равно 2,02 кПа. Выборочное стандартное отклонение измерений s = 0,04 кПа. Определить ширину доверительного интервала для среднего из девяти и единичного измерения, отвечающего 95 % — й доверительной вероятности.
Решение. Коэффициент Стьюдента t для доверительной вероятности 0,95 и f = 8 равен 2,31. Учитывая, что
и
, найдем:
— ширина доверит. интервала для среднего значения
— ширина доверит. интервала для единичного измерения значения
Если же имеются результаты анализа образцов с различным содержанием, то из частных средних s путем усреднения можно вычислить общее среднее значение s.
Имея m проб и для каждой пробы проводя nj параллельных определений, результаты представляют в виде таблицы:
Номер |
Номер анализа |
||
1 |
2 |
i…nj |
|
1 |
x11 |
x12 |
x1i… |
2 |
x21 |
x22 |
x2i… |
3 |
x31 |
x32 |
x3i… |
… |
… |
… |
… |
j… |
… |
… |
… |
m |
… |
… |
… |
Средняя погрешность рассчитывают из уравнения:
(5) |
со степенями свободыf = n – m, где n – общее число определений, n = m.
nj.
Пример 2. Вычислить среднюю ошибку определения марганца в пяти пробах стали с различным содержанием его. Значения анализа, % Mn:
1. 0,31; 0,30; 0,29; 0,32.
2. 0,51; 0,57; 0,58; 0,57.
3. 0,71; 0,69; 0,71; 0,71.
4. 0,92; 0,92; 0,95; 0,95.
5. 1,18; 1,17; 1,21; 1,19.
Решение. По формуле (1) находят средние значения в каждой пробе, затем для каждой пробы рассчитывают квадраты разностей, по формуле (5) — погрешность.
1)
= (0,31 + 0,30 + 0,29 + 0,32)/4 = 0,305.
2)
= (0,51 + 0,57 + 0,58 + 0,57)/4 = 0,578.
3)
= (0,71+ 0,69 + 0,71 + 0,71)/4 = 0,705.
4)
= (0,92+0,92+0,95+0,95)/4 =0,935.
5)
= (1,18 + 1,17 + 1, 21 + 1,19)/4 = 1,19.
Значения квадратов разностей
1) 0,0052 +0,0052 +0,0152 +0,0152 =0,500.10-3.
2) 0,0122 +0,0082 +0,0022 +0,0082 =0,276.
10-3.
3) 0,0052 + 0,0152 + 0,0052 + 0,0052 = 0,300.10-3.
4) 0,0152+ 0,0152 + 0,0152 + 0,0152 = 0,900.10-3.
5) 0,012 +0,022 +0,022 + 02 = 0,900.10-3.
Средняя погрешность для f = 4,5 – 5 = 15
|
s = 0,014 % (абс. при f=15 степеням свободы).
Когда проводят по два параллельных определения для каждого образца и находят значения х’ и х», для образцов уравнение преобразуется в выражение:
(6) |
при f = m степеней свободы.
Пример 3. Найти среднюю погрешность в фотометрическом определении хрома в стали по двукратному анализу десяти проб с разным содержанием.
Решение. Расчет производят по таблице (с учетом формулы (6)):
Проба |
х’ |
х» |
х’-х» |
(х’-х»)2 |
1 |
3,77 |
3,75 |
0,02 |
0,0004 |
2 |
2,52 |
2,55 |
0,03 |
0,0009 |
3 |
2,46 |
2,48 |
0,02 |
0,0004 |
4 |
3,25 |
3,20 |
0,05 |
0,0025 |
5 |
1,82 |
1,85 |
0,03 |
0,0009 |
6 |
2,05 |
2,10 |
0,05 |
0,0025 |
7 |
0,88 |
0,90 |
0,02 |
0,0004 |
8 |
1,04 |
1,02 |
0,02 |
0,0004 |
9 |
1,10 |
1,13 |
0,03 |
0,0009 |
10 |
1,52 |
1,48 |
0,04 |
0,0004 |
|
Средняя погрешность по формуле (6) равна
0,023 % Cr |
(при f=10 степеням свободы).
см. также
Математическая обработка результатов химического анализа
- О математической обработке результатов химического анализа
- Оценка погрешностей измерений. Расчет выборочного стандартного отклонения
- Запись результатов измерений
- Сравнение средних результатов химического анализа.
t-критерий Стьюдента - Проблема подозрительно выделяющихся значений
- Погрешности косвенных измерений. Погрешность функций одного или нескольких переменных
Что такое стандартная ошибка? | Как рассчитать (Руководство с примерами)
Опубликован в 11 декабря 2020 г. к Прита Бхандари. Отредактировано 19 декабря 2022 г.
Стандартная ошибка среднего, или просто стандартная ошибка , показывает, насколько среднее значение генеральной совокупности может отличаться от среднего выборочного.
Он говорит вам, насколько изменится среднее значение выборки, если вы повторите исследование с использованием новых выборок из одной популяции.
Стандартная ошибка среднего (SE или SEM) является наиболее распространенным типом стандартной ошибки. Но вы также можете найти стандартную ошибку для других статистических данных, таких как медианы или пропорции. Стандартная ошибка — это обычная мера ошибки выборки — разница между параметром генеральной совокупности и статистикой выборки.
Содержание
- Почему стандартная ошибка имеет значение
- Стандартная ошибка против стандартного отклонения
- Формула стандартной ошибки
- Как сообщить о стандартной ошибке?
- Другие стандартные ошибки
- Часто задаваемые вопросы о стандартной ошибке
Почему стандартная ошибка имеет значение
В статистике данные из выборок используются для понимания больших групп населения. Стандартная ошибка имеет значение, потому что она помогает вам оценить, насколько хорошо ваши выборочные данные представляют всю совокупность.
С помощью вероятностной выборки, когда элементы выборки выбираются случайным образом, вы можете собрать данные, которые, вероятно, будут репрезентативными для генеральной совокупности. Однако даже при вероятностных выборках сохраняется некоторая ошибка выборки. Это связано с тем, что выборка никогда не будет полностью соответствовать генеральной совокупности, из которой она получена, с точки зрения таких показателей, как средние значения и стандартные отклонения.
Рассчитав стандартную ошибку, вы можете оценить, насколько ваша выборка репрезентативна для вашей совокупности, и сделать правильные выводы.
Высокая стандартная ошибка показывает, что средние значения выборки широко разбросаны по среднему значению генеральной совокупности — ваша выборка может не точно представлять вашу генеральную совокупность. Низкая стандартная ошибка показывает, что средние значения выборки близко распределены вокруг среднего значения совокупности — ваша выборка репрезентативна для вашей совокупности.
Стандартную ошибку можно уменьшить, увеличив размер выборки. Использование большой случайной выборки — лучший способ свести к минимуму погрешность выборки.
Стандартная ошибка против стандартного отклонения
Стандартная ошибка и стандартное отклонение являются мерами изменчивости:
- Стандартное отклонение описывает изменчивость в пределах одного образца .
- Стандартная ошибка оценивает изменчивость по нескольким выборкам населения.
Стандартное отклонение — это описательная статистика, которую можно рассчитать на основе выборочных данных. Напротив, стандартная ошибка представляет собой выводную статистику, которую можно только оценить (если не известен реальный параметр совокупности).
Пример: стандартная ошибка и стандартное отклонение. В случайной выборке из 200 учащихся средний балл SAT по математике составляет 550. В этом случае выборка состоит из 200 учащихся, а совокупность — это все тестируемые в регионе.
Стандартное отклонение баллов по математике равно 180. Это число отражает в среднем, насколько каждый балл отличается от среднего балла по выборке, равного 550.
Стандартная ошибка результатов по математике, с другой стороны, показывает, насколько средний балл выборки, равный 550, отличается от среднего балла других выборок в выборках одинакового размера в совокупности всех испытуемых в регионе.
Стандартная формула ошибки
Стандартная ошибка среднего рассчитывается с использованием стандартного отклонения и размера выборки.
Из формулы видно, что размер выборки обратно пропорционален стандартной ошибке. Это означает, что чем больше выборка, тем меньше стандартная ошибка, потому что статистика выборки будет ближе к параметру генеральной совокупности.
В зависимости от того, известно ли стандартное отклонение генеральной совокупности, используются разные формулы. Эти формулы работают для образцов с более чем 20 элементами ( и > 20).
Когда параметры популяции известны
Когда стандартное отклонение совокупности известно, вы можете использовать его в приведенной ниже формуле для точного расчета стандартной ошибки.
| Формула | Пояснение |
|---|---|
|
Когда параметры популяции неизвестны
Если стандартное отклонение генеральной совокупности неизвестно, вы можете использовать приведенную ниже формулу только для оценки стандартной ошибки. Эта формула использует стандартное отклонение выборки в качестве точечной оценки стандартного отклонения генеральной совокупности.
| Формула | Пояснение |
|---|---|
|
Использование формулы стандартной ошибки Чтобы оценить стандартную ошибку результатов SAT по математике, выполните два шага.Сначала найдите квадратный корень из размера вашей выборки ( n ).
| Формула | Расчет |
|---|---|
Затем разделите стандартное отклонение выборки на число, которое вы нашли на первом шаге.
| Формула | Расчет |
|---|---|
|
Стандартная ошибка результатов SAT по математике составляет 12,8.
Как сообщить о стандартной ошибке?
Вы можете указать стандартную ошибку вместе со средним значением или в доверительном интервале, чтобы указать неопределенность среднего значения.
Пример: представление среднего значения и стандартной ошибки. Средний балл SAT по математике для случайной выборки испытуемых составляет 550 ± 12,8 ( SE ).
Лучший способ указать стандартную ошибку — использовать доверительный интервал, потому что читателю не придется выполнять никаких дополнительных математических операций, чтобы получить значимый интервал.
Доверительный интервал — это диапазон значений, в котором ожидается, что неизвестный параметр совокупности будет находиться большую часть времени, если вы повторите исследование с новыми случайными выборками.
При доверительном уровне 95 % ожидается, что 95 % всех средних значений выборки будут лежать в пределах доверительного интервала ± 1,9.6 стандартных ошибок выборки.
На основе случайной выборки параметр истинной популяции также оценивается как находящийся в этом диапазоне с достоверностью 95%.
Пример: построение доверительного интервала 95 %Вы строите доверительный интервал 95 % (ДИ) для оценки среднего балла SAT по математике в популяции. Для нормально распределенной характеристики, такой как баллы SAT, 95% всех выборочных средних попадают примерно в 4 стандартных ошибки выборочного среднего.
| Формула доверительного интервала | |
|---|---|
ДИ = x̄ ± (1,96 × SE ) x̄ = выборочное среднее = 550 | |
| Нижний предел | Верхний предел |
x̄ − (1,96 × SE ) 550 − (1,96 × 12,8) = 525 | x̄ + (1,96 × SE ) 550 + (1,96 × 12,8) = 575 |
При случайной выборке 95% ДИ [525 575] говорит о том, что существует вероятность 0,95 того, что средний балл SAT по математике для населения находится в диапазоне от 525 до 575.
Другие стандартные ошибки
Помимо стандартной ошибки среднего (и других статистических данных), вы можете столкнуться с двумя другими стандартными ошибками: стандартной ошибкой оценки и стандартной ошибкой измерения.
Стандартная ошибка оценки относится к регрессионному анализу. Это отражает изменчивость расчетной линии регрессии и точность регрессионной модели. Используя стандартную ошибку оценки, вы можете построить доверительный интервал для истинного коэффициента регрессии.
Стандартная ошибка измерения относится к надежности измерения. Он показывает, насколько изменчива ошибка измерения теста, и об этом часто сообщается в стандартизированных тестах. Стандартную ошибку измерения можно использовать для создания доверительного интервала для истинной оценки элемента или человека.
Часто задаваемые вопросы о стандартной ошибке
- Что такое стандартная ошибка?
Стандартная ошибка среднего или просто стандартная ошибка показывает, насколько среднее значение генеральной совокупности может отличаться от среднего выборочного.
Он говорит вам, насколько изменится среднее значение выборки, если вы повторите исследование с использованием новых выборок из одной популяции.- В чем разница между точечной оценкой и интервальной оценкой?
Используя описательную и логическую статистику, вы можете делать два типа оценок генеральной совокупности: точечные оценки и интервальные оценки.
- Точечная оценка — это оценка одного значения параметра. Например, выборочное среднее — это точечная оценка среднего значения генеральной совокупности.
- Интервальная оценка дает вам диапазон значений, в которых ожидается, что параметр будет лежать. Доверительный интервал является наиболее распространенным типом интервальной оценки.
Оба типа оценок важны для получения четкого представления о том, где, вероятно, находится параметр.
Он говорит вам, насколько изменится среднее значение выборки, если вы повторите исследование с использованием новых выборок из одной популяции.
Процитировать эту статью Scribbr
Если вы хотите процитировать этот источник, вы можете скопировать и вставить цитату или нажать кнопку «Цитировать эту статью Scribbr», чтобы автоматически добавить цитату в наш бесплатный генератор цитирования.
Бхандари, П. (2022, 19 декабря). Что такое стандартная ошибка? | Как рассчитать (Руководство с примерами). Скриббр. Проверено 28 апреля 2023 г., с https://www.scribbr.com/statistics/standard-error/
Процитировать эту статью
Полезна ли эта статья?
Вы уже проголосовали.
Спасибо 🙂
Ваш голос сохранен 🙂
Обработка вашего голоса…
Прита имеет академическое образование в области английского языка, психологии и когнитивной нейробиологии. Как междисциплинарный исследователь, она любит писать статьи, объясняющие сложные исследовательские концепции для студентов и ученых.
Руководство для начинающих по стандартным отклонениям и стандартным ошибкам
Опубликовано 26 сентября 2018 г. автором Эвелиина Илола
Учебные пособия и основы
Что такое стандартное отклонение?
Стандартное отклонение показывает, насколько разбросаны данные. Это мера того, насколько далеко каждое наблюдаемое значение от среднего. В любом распределении около 95% значений будут в пределах 2 стандартных отклонений от среднего.
Как рассчитать стандартное отклонение
Стандартное отклонение редко рассчитывается вручную. Однако это можно сделать с помощью приведенной ниже формулы, где x представляет собой значение в наборе данных, μ представляет собой среднее значение набора данных, а N представляет количество значений в наборе данных.
Шаги расчета стандартного отклонения следующие:
- Для каждого значения найдите его расстояние до среднего
- Для каждого значения найдите квадрат этого расстояния
- Найдите сумму этих квадратов значений
- Разделить сумму на количество значений в наборе данных
- Найдите квадратный корень из этого числа .
Что такое стандартная ошибка?
Когда вы проводите исследование, вы часто собираете данные только о небольшой выборке всего населения. Из-за этого вы, вероятно, каждый раз будете получать несколько разные наборы значений с немного разными средними значениями.
Если вы возьмете достаточно выборок из населения, средние значения будут распределены вокруг истинного среднего значения населения. Стандартное отклонение этого распределения, то есть стандартное отклонение выборочных средних, называется стандартной ошибкой.
Стандартная ошибка показывает, насколько точно среднее значение любой данной выборки из этой совокупности будет сравниваться с истинным средним значением совокупности.
Когда стандартная ошибка увеличивается, т. е. средние значения становятся более разбросанными, становится более вероятным, что любое заданное среднее значение является неточным представлением истинного среднего значения генеральной совокупности.
Как рассчитать стандартную ошибку
Стандартную ошибку можно рассчитать по приведенной ниже формуле, где σ представляет собой стандартное отклонение, а n представляет размер выборки.
Стандартная ошибка увеличивается, когда увеличивается стандартное отклонение, т. е. дисперсия генеральной совокупности. Стандартная ошибка уменьшается с увеличением размера выборки — по мере того, как размер выборки приближается к истинному размеру совокупности, выборка означает, что она все больше и больше группируется вокруг истинного среднего значения совокупности.
Изображения:
Изображение 1: Дэн Кернлер из Wikipedia Commons: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Empirical_Rule.