Математика для блондинок: Тригонометрический круг
Более правильным названием этого произведения математического искусства является «единичная окружность», в простонародье больше прижилось название «тригонометрический круг». Вы про платье «в окружность» слышали? Лично я — нет. А про платье «в горошек», оно же «в кружочек»? Наверняка, приходилось слышать. Так вот, круг — это горошек, а окружность — это обручальное кольцо.| Тригонометрический круг |
Тригонометрический круг показывает значения синусов и косинусов при определенных углах. Для простоты давайте разделим этот круг на составляющие. Сперва уберем с картинки всё, что относится к синусам, и у нас получится тригонометрический круг косинусов.
| Тригонометрический круг косинус |
| Тригонометрический круг синус |
Когда-то, давным-давно, я нарисовал картинки для синусов, но так и не опубликовал их здесь. Наверное, на косинусы сил не хватило и это благородное дело не свершилось. Вот теперь настало время разобрать тригонометрический круг по косточкам на примере значений синуса.
Что такое тригонометрическая окружность? | Александр Будников
Итак, друзья, я вас поздравляю! Начальный этап знакомства с тригонометрией благополучно пройден. Подытожим его. Теперь мы с вами:
1. Знаем, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс в прямоугольном треугольнике.
2. Знаем, как устроена связь между тригонометрическими функциями одного и того же угла и умеем находить полный набор функций, если известна хотя бы одна из них. Кроме того, ещё мы умеем (надеюсь) пользоваться основными тригонометрическими формулами. А чего? Зря, что ли, примеры разбирали?)
Это – самые азы тригонометрии. Без этих элементарных знаний и навыков – дальше никуда. Так что, прошу прогуляться и почитать, пока не поздно. Тем более там всё очень просто и доступно.)
Идём дальше.
Как мы уже с вами знаем, у каждого острого угла в прямоугольном треугольнике имеется свой джентльменский набор тригонометрических функций. Знаем длины катетов и гипотенузу, делим друг на друга и считаем себе. И так для любого острого угла. Всё элементарно.
Вопрос: а если угол сделать тупым? Скажем, вот таким:
Что делать? Развалился наш прямоугольный треугольник. Ни катетов больше нет, ни гипотенузы… А тригонометрические функции тоже ушли в небытие, да?
Если бы древние математики не нашли выход из этой ситуации, то, возможно, вы бы сейчас и не читали этот сайт. Ибо не было бы у нас тогда ни планшетов, ни компьютеров, ни смартфонов, ни многих других полезных штучек…
Так как можно определять любые тригонометрические функции любых углов без прямоугольного треугольника? Что ж, пришла пора взрослеть дальше. Знакомимся!
Тригонометрическая окружность. Единичная окружность. Числовая окружность. Что всё это значит?
Это очень простые понятия. Более того, эти понятия – верный друг и надёжный помощник во всех разделах тригонометрии! От простой работы с углами в градусах или в радианах до тригонометрических уравнений и неравенств. Почему? А потому, что эта штука – своего рода шпаргалка! Причём совершенно законная! Обычно ведь что бывает: за шпоры выгоняют, двойки ставят… А тут нарисовал окружность, угол, функцию – и сразу увидел всё что тебя интересует.
Например, такое простое задание:
Что больше – sin200° или sin(-100°)?
Кто не в теме, тот отдыхает в сторонке. А кто в теме, тот нацарапает что-то типа вот такого наскального рисунка:
и сразу же увидит всю необходимую информацию!
И никто слова не скажет! Даже суровая комиссия в боевой обстановке ЕГЭ. Так зачем же такой шанс упускать, правда?
Чуть позже, в соответствующем уроке, мы разберём эту страшную задачку. И про злые углы типа -100 градусов тоже поговорим.)
А пока начнём. Для начала нарисуем самый обычный привычный нам острый угол. Назовём его, как обычно, «альфа». Вот так:
Угол как угол, пока ничего выдающегося, но… Раз есть угол (пока что острый), то у него должны быть и свои тригонометрические функции! Косинус там или тангенс… А где их взять? Ни гипотенузы, ни катетов больше нет, только угол. Тупик?
Спокойствие! Сейчас всё увидите.)
Для начала нарисуем самые обычные и знакомые нам координатные оси. OX по горизонтали, OY – по вертикали, всё чин-чинарём… Нарисуем и… приколотим горизонтальную сторону угла к положительной полуоси OX. Приколотим покрепче, дабы не оторвать ненароком.) Вершину угла поместим в начало координат, точку О. А вот вторую сторону угла прибивать не будем и оставим подвижной. Зачем? А чтобы угол менять можно было. Хотим побольше, хотим поменьше. Хотим острый, хотим тупой – любой! Раздвижной у нас угол будет. Как угол раствора циркуля, только одна из его ножек будет прибитой.) Конец подвижной стороны обозначим буквой
Получим вот такой незамысловатый рисунок:
Итак, угол у нас пристроен, это хорошо. А где же его синус и косинус – спросите вы? Потерпите минутку, торопыги, сейчас всё увидите! Я же только начал.)
Введём теперь координаты x и y конца подвижной стороны угла (точки А) и отметим их на осях. Это будут точки В и С соответственно. Ясное дело, что ОВ и ОС – какие-то числа. Длины отрезков. Или координаты точки А.
ОВ = х
ОС = у
Так вот, оказывается, иксовая координата точки А (отрезок ОВ) будет косинусом угла альфа, а игрековая координата (отрезок ОС) – его синусом!
Смотрим на рисунок:
Стоп-стоп! С какого такого перепугу-то? Ведь мы же чётко зарубили себе на носу из прошлых двух уроков, что синус и косинус – это отношения сторон в прямоугольном треугольнике! Которые от длин этих самых сторон никак не зависят. А у нас тут координаты точки А присутствуют. Которые могут быть любыми!
Всё верно. Любыми. Но! Давайте посмотрим внимательнее на треугольник АВО. Прямоугольный, между прочим.) Ибо координаты точки, они обычно перпендикулярами отмечаются на осях, да… По нашему заклинанию косинус угла альфа – это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Или ОВ/ОА. Синус альфа – соответственно ОС/ОА. Причём мы с вами помним, что синус/косинус никак не зависят от длин сторон. А это совсем прекрасно! Почему? А потому, что мы имеем полное право выбирать длины сторон как хотим. Как нам удобно, так и выберем. В частности, мы имеем полное право принять длину гипотенузы ОА за единичку (ОА=1)! Причём единицы измерения нас вообще не волнуют – миллиметр, километр, миля, дюйм… Синус и косинус от этого всё равно не изменятся.)
Почему именно гипотенуза (а не катеты) и именно единичка (а не 2, 10, 157 и т.д)? Потому, что так нам (и древним людям) очень удобно! Именно при таком выборе у нас достигаются максимальные упрощения. Смотрите, что получается:
Вот и все дела.) Косинус – иксовая координата точки А, а синус – игрековая (если гипотенуза ОА – единичка). Да, ненаучно, да нестрого, но зато понятно. И запоминается проще. А запомнить очень важно. Причём, запомнить надёжно!
Запоминаем:
Косинус – по Х, синус – по
Y.Именно в таком порядке. Не путаемся!
Как видите, всё просто. Пока что всё идёт в рамках геометрии восьмого класса. С той лишь разницей, что катеты превратились у нас в координаты х и у точки А, а гипотенуза – та и вовсе превратилась в единичку. Очень удобное число.) Однако… Тема урока называется «Тригонометрическая окружность», не так ли? Пока ни слова про окружность не было!
Всё правильно. Но остались совсем пустяки. Сейчас мы с вами резко повзрослеем и колоссально расширим наши возможности всего одним движением руки! Как? Очень просто. Берём подвижную сторону угла (т.е. ОА) и… проворачиваем её вокруг точки О на полный оборот! Как вы думаете, какую линию при этом опишет точка А? Ну, конечно! Окружность!
Вот так:
Вот и всё. Это и есть тригонометрическая окружность!
Это научное название. А на математическом сленге обычно говорят «тригонометрический круг». Или совсем коротко — просто «круг». Или — «радар» :).
Ну хорошо, окружность начертили. Но почему – тригонометрическая? Окружность как окружность… Вскрою тайну. Любой точке на окружности соответствуют два числа – координаты этой точки по X и координаты этой точки по Y. То есть, А(х; у). А икс и игрек у нас что? Только что разбирались… Да! Косинус и синус угла альфа. То есть, не что иное, как его тригонометрические функции. Вот и весь смысл.
А теперь, вспомнив, что ОА = 1 и что ОА – радиус окружности, можно сообразить, что это же самое понятие – и единичная окружность тоже.
А если вспомнить самый первый урок по тригонометрии (а чуть конкретнее – то, что синус и косинус – просто какие-то числа), то наша с вами тригонометрическая окружность будет ещё и числовой окружностью.
Вот так. Сразу три термина в одном. Очень удобно и практично.
Запоминаем:
Тригонометрическая, единичная и числовая окружности – это всё одно и то же понятие. В рамках тригонометрии.
Так, ну хорошо. Окружность изобразили. Угол у нас крутящийся, меняющийся. А раз крутящийся, то нам уже ничто не запрещает прокрутить подвижную сторону ОА куда угодно. Например, так, чтобы угол альфа стал каким-нибудь тупым!
Хотя бы вот так:
А как увидеть его синус и косинус? Не вопрос! Всё точно так же. Опускаем перпендикуляры из точки А на оси OX и OY и всё видим:
Самые глазастые, возможно, уже заметили, что синус угла альфа у нас положительный (точка С лежит на положительной полуоси OY). А вот косинус альфа – отрицательный! Ибо точка В, иксовая координата точки А (т.е. не что иное, как косинус альфа!), лежит на отрицательной полуоси OХ. Значит, у любого тупого угла синус положительный, а косинус – отрицательный. Чего, кстати, принципиально не бывает в прямоугольном треугольнике: там все тригонометрические функции – синус, косинус, тангенс, котангенс – положительные.
А здесь – пожалуйста! Не зря же мы с вами расширили наши возможности!) Ну а коли так, раз уж мы столкнулись с отрицательным косинусом у тупого угла, то пришла пора разобраться и с такой важной штукой, как знаки синуса/косинуса по четвертям. До кучи и знаки тангенса/котангенса разберём сразу же.
Знаки синуса и косинуса, тангенса и котангенса по четвертям.
Всё проще простого. Для начала напомню, что координатные четверти (или по-другому квадранты) в тригонометрии нумеруются точно так же, как и при работе с обычными задачами на координаты точек – против часовой стрелки.
Вот так:
А что же со знаками синуса/косинуса по четвертям? Тоже всё элементарно, Ватсон.) С первой и второй четвертями мы уже разобрались выше. Незаметно для себя.) С первой четвертью вообще вопросов нет. Там только острые углы, у которых все функции (в том числе и синус с косинусом) – положительные. Со второй четвертью тоже всё ясно: синус положительный, а косинус – отрицательный. Это мы уже выяснили, когда тупой угол рисовали.
Осталось лишь разобраться с третьей и четвёртой четвертями. Как? Точно так же! Не зря же мы с вами тут углы мотать учимся потихоньку.)
Мы же знаем, что ОА – подвижная сторона нашего угла альфа. Вот и продолжим её крутить от положительной полуоси ОХ в нужную нам сторону! В третью четверть. Получим вот такую картинку:
Как видно из рисунка, для любого угла в третьей четверти уже станет отрицательным не только косинус, но и синус тоже:
Для четвёртой четверти тоже ничего хитрого. Крутим и рисуем:
И видим, что синус в четвёртой четверти остаётся по-прежнему отрицательным. А косинус? Да! Косинус снова становится положительным:
Так, по всем четвертям пробежались. Как видите, всё просто. Для лучшего запоминания можно нарисовать знаки синуса/косинуса прямо на нашем круге.
Запоминаются обе картинки достаточно просто и быстро. Особенно если железно помнить наше секретное заклинание: «Косинус – по икс, синус – по игрек.» Кстати, сопоставьте заклинание с картинками! Очень полезно.)
Ну хорошо, с синусом/косинусом всё понятно. А тангенс и котангенс? Тоже никаких проблем. Если, конечно, помнить из второго урока, что тангенс – это синус поделить на косинус:
А котангенс – наоборот.
Вот теперь и прикинем. В первой четверти у нас всё шоколадно. Всё с плюсом – и синус и косинус. А плюс поделить на плюс – что будет? Конечно же, плюс! Во второй четверти знаки синуса и косинуса – разные. Плюс и минус. А это значит, что их отношение (что синуса к косинусу, что наоборот) будет всегда отрицательным. Ибо в борьбе минуса с плюсом всегда выигрывает минус. Так уж повелось в математике.) В третьей четверти как синус, так и косинус имеют знак «минус». А их отношение? Минус на минус – будет… будет… плюс! А в четвёртой четверти знаки синуса/косинуса опять разные. Стало быть, их отношение (тангенс с котангенсом) снова будет с минусом! Вот и все дела.)
Получаем для тангенса/котангенса вот такую картинку:
Запомнить знаки тоже проще простого: плюс-минус-плюс-минус. Простое чередование знаков.)
И вот тут у некоторых назревает закономерный вопрос:
А можно ли увидеть тангенс и котангенс на круге? Синус – по игрек, косинус – по икс. Это понятно.) А тангенс и котангенс???
Ух, какие вы любопытные, оказывается! Все-то секреты вам раскрой сразу же! Да, можно! Можно увидеть тангенс и котангенс на числовой окружности! Любого угла. Только для этого на нашем рисунке необходим ещё один дополнительный взмах пера. Всего один. Какой именно – в спецтеме «Тангенс и котангенс на тригонометрической окружности».
Итак, полдела сделали. Нарисовали угол, с его помощью начертили окружность. Осталась вторая половина дела. А именно – научиться проделывать обратную операцию. По любой произвольной точке на окружности научиться определять сам угол! А вот эта задачка та ещё…
Об этом – в следующей теме: «Как отсчитывать углы на тригонометрической окружности?».
Тригонометрический круг. Значения тангенса и котангенса на круге
В прошлой статье мы познакомились с тригонометрическим кругом и научились находить значения синуса и косинуса основных углов.
Как же быть с тангенсом и котангенсом? Об этом и поговорим сегодня.
Где же на тригонометрическом круге оси тангенсов и котангенсов?
Ось тангенсов параллельна оси синусов (имеет тоже направление, что ось синусов) и проходит через точку (1; 0).
Ось котангенсов параллельна оси косинусов (имеет тоже направление, что ось косинусов) и проходит через точку (0; 1).
На каждой из осей располагается вот такая цепочка основных значений тангенса и котангенса: 
Почему так?
Я думаю, вы легко сообразите и сами. 🙂 Можно по-разному рассуждать. Можете, например, использовать тот факт, что 
и 
Изучаем картинку:
Собственно, картинка за себя сама говорит.
Если не очень все же понятно, разберем примеры:
Пример 1.
Вычислить 
Решение:
Находим на круге 
. Эту точку соединяем с точкой (0;0) лучом (начало – точка (0;0)) и смотрим, где этот луч пересекает ось тангенсов. Видим, что 
Ответ: 
Пример 2.
Вычислить 
Решение:
Находим на круге 
. Точку (0;0) соединяем с указанной точкой лучом. И видим, что луч никогда не пересечет ось тангенсов.
не существует.
Ответ: не существует
Пример 3.
Вычислить 
Решение:
Находим на круге точку 
(это та же точка, что и 
) и от нее по часовой стрелке (знак минус!) откладываем 
(
). Куда попадаем? Мы окажемся в точке, что на круге у нас (см. рис.) названа как 
. Эту точку соединяем с точкой (0;0) лучом. Вышли на ось тангенсов в значение 
.
Так значит, 
Ответ: 
Пример 4.
Вычислить 
Решение:
Поэтому от точки 
(именно там будет 
) откладываем против часовой стрелки 
.
Выходим на ось котангенсов, получаем, что 
Ответ: 
Пример 5.
Вычислить 
Решение:
Находим на круге 
. Эту точку соединяем с точкой (0; 0). Выходим на ось котангенсов. Видим, что 
Ответ: 
Теперь, умея находить по тригонометрическому кругу значения тригонометрических функций (а я надеюсь, что статья, где мы начинали знакомство с кругом и учились вычислять значения синусов и косинусов, вами прочитана…), вы можете пройти тест по теме «Нахождение значений косинуса, синуса, тангенса и котангенса различных углов».
Тригонометрия: определение тригонометрических функций
В этой статье мы рассмотрим тригонометрический круг и введем определения тригонометрических функций с помощью тригонометрического круга .
Впервые с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса школьники встречаются в восьмом классе в курсе геометрии. Напомню эти определения. Рассмотрим прямоугольный треугольник: 
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:
sin A=a/b; sin C=c/b
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:
cos A=c/b; cos C= a/b
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему:
tg A=a/c; tg C=c/a.
Эти определения тригонометрических функций удобно использовать при решении геометрических задач, связанных с нахождением сторон и углов в прямоугольном треугольнике, однако они не улучшают понимания того, что из себя представляют тригонометрические функции именно как функции.
Часто во время занятий со школьниками я сталкиваюсь с тем, что они не понимают, откуда «взялись» тригонометрические функции, что они из себя представляют, и как их «готовить», чтобы легко решать уравнения и неравенства, содержащие тригонометрические функции.
Предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК, чтобы понять, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс, как они между собой связаны, и как легко определять знаки тригонометрических функций без использования таблиц.
Итак.
Косинусом угла α называется абсцисса (то есть координата по оси OX) точки на единичной окружности, соответствующей данному углу α.
Синусом угла α называется ордината (то есть координата по оси OY ) точки на единичной окружности, соответствующеий данному углу α.
Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса (x), синус — ордината (y).
Поскольку радиус окружности равен 1, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от −1 до 1:
−1 ≤ cos α ≤ 1, −1 ≤ sin α ≤ 1.
Основное тригонометрическое тождество является следствием теоремы Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов):
sin2 α+ cos2 α = 1
Чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу α, смотрим, положительны или отрицательны её координаты по x (это косинус угла α) и по y (это синус угла α).
Купить видеокурс «ВСЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ. Часть В и 13»
Тригонометрический круг (окружность)
ОПРЕДЕЛЕНИЕТригонометрический круг (окружность) – круг радиуса один (единичная окружность), с центром в начале координат (рисунок 1).
За нулевое положение радиуса, принимается его положение на положительном направлении оси Ox. Угол поворота радиуса отсчитывается от положительного направления оси Ox: с плюсом – против часовой стрелки, с минусом – по часовой стрелке. Полный круг – это . Каждому углу от до соответствует точка на единичной окружности.
Синусом угла есть ордината точки , а косинусом угла есть абсцисса точки .
Рис. 1
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1| Задание | Используя единичную окружность, определить синус и косинус угла . |
| Решение | Отложим на единичной окружности угол равный (рис. 1), ему будет соответствовать точка A окружности. Найдем синус заданного угла. Для этого найдем проекцию точки A на ось Oy, ею будет точка . Значит, ордината точки A равна и значение .
Для нахождения косинуса заданного угла, найдем проекцию точки A на ось Ox. Ею будет точка , тогда абсцисса точка A равна и, соответственно, . |
| Ответ |
Единицы измерения углов
Углы обычно измеряются либо в градусах, либо в радианах. Перевести градусы в радианы просто: 360 градусов (полный круг) соответствует радиан.
ПРИМЕР 2| Задание | Перевести:
1) угол в градусы; 2) угол в радианы. |
| Решение | 1) Для того чтобы перевести угол из радиан в градусы, умножим данный угол на . Получим
2) Для того чтобы перевести заданный угол из градусов в радианы, умножим его на . Получим
|
| Ответ |
На единичной окружности также можно находить углы, которые больше 360 градусов. Поскольку, значения синуса и косинуса на тригонометрическом круге повторяются каждые .
ПРИМЕР 3| Задание | Найти с помощью единичной окружности синус угла . |
| Решение | Представим данный угол следующим образом
Таким образом, необходимо сделать два полных обхода окружности, а затем остановиться в точке соответствующей углу в (рис. 1). Синусу соответствует ордината этой точки, то есть . |
| Ответ |
Тригонометрические функции
Тригонометрические уравнения и их решение
Косинус 45 градусов
Основное тригонометрическое тождество
Обратные тригонометрические функции
Синус угла
Синус и косинус числового аргумента, знаки значений функций. Тест
Тестирование онлайн
Единичная окружность
Рассмотрим единичную окружность, т.е. окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1.
Каждой точке на единичной окружности соответствует угол, координата х и координата y.
Точке А соответствует угол ?=300, координата х=0,87, координата y=0,5. Рассмотрим треугольник ОАВ: ; . Таким образом, координата х точки А — косинус угла ?, а координата y точки А — синус угла ?.
Для любой точки на окружности, соответствующей любому углу, можно определить значения косинуса и синуса этого угла.
Табличные значения углов
Знаки функций
Тригонометрическую окружность разбивают на четверти.
В соответствующей четверти синус, косинус, тангенс, котангенс принимают положительное или отрицательное значения.
Значение угла на тригонометрической окружности
При прохождении окружности против часовой стрелки, начиная с точки С (1;0), угол положительный, при прохождении по часовой стрелки — отрицательный.
В точку А можно попасть при повороте ОС на угол или на угол, отличающийся от на любое целое число оборотов. Например, или , или и т.д. Поэтому для описания угла, соответствующего точке А на окружности, применяют общую запись
В точку В можно попасть при повороте ОС на угол или, в общем виде, . Если угол, соответствующий точке В, описывать, используя положительное направление отсчета, получим эквивалентную запись .
@ используя единичный круг?Наука
- Анатомия и физиология
- астрономия
- астрофизика
- Биология
- Химия
- наука о планете Земля
Как сдвинуть синусоидальный или косинусный график на координатной плоскости
- Образование
- Математика
- Исчисление
- Как сдвинуть синусоидальный или косинусный график на координатной плоскости
Ян Куанг, Эллэйн Касе
Движение родительского синусоидального или косинусоидального графа вокруг координатной плоскости — это тип преобразования, известный как сдвиг или сдвиг . Для этого типа преобразования каждая точка родительского графа перемещается в другое место на координатной плоскости.Перевод не влияет на общую форму графика; он только меняет свое местоположение на плоскости. Следующие шаги показывают, как взять родительские графики синуса и косинуса и сдвинуть их как по горизонтали, так и по вертикали.
В большинстве учебников по математике горизонтальные и вертикальные сдвиги записываются как y = sin ( x — h ) + v, или y = cos ( x — h ) + v. Переменная h представляет горизонтальный сдвиг графика, а v представляет вертикальный сдвиг графика.Знак меняет направление движения. Например,
f ( x ) = sin ( x — 3) сдвигает родительский график y = sin x вправо на 3.
g ( x ) = cos ( x + 2) перемещает родительский график y = cos x влево на 2.
k ( x ) = sin x + 4 перемещает родительский граф y = sin x вверх на 4.
p ( x ) = cos x — 4 перемещает родительский график y = cos x вниз 4.
Например, если вам нужно построить график
выполните следующие действия:
Определите родительский граф.
Вы смотрите на синус, поэтому нарисуйте его родительский график. Начальное значение для родительского графика
Сдвинуть график по горизонтали.
Чтобы найти новое начальное место, установите значение в круглых скобках равным начальному значению родительского графика:
— это начало периода этого графика. Вы перемещаете каждую точку родительского графика вправо на
На рисунке показано, что у вас есть на данный момент.
Сдвиг родительского графа y = sin x вправо на pi / 4.