Асимптоты найти онлайн – Асимптоты функции онлайн

Найти вертикальные асимптоты онлайн

Вертикальной асимптотой функции f(x) называется прямая параллельная оси y к которой неограниченно приближается функция f(x)при стремлении к бесконечности. Уравнение вертикальной асимптоты записывается в виде

x = x0, где x0 — некоторая константа (конечное число)

Вертикальная асимптота функции f(x) существует, если значение хотя бы одного из пределов

и

равно +∞ или −∞.

Стоит отметить, что представленные выше пределы используются также для проверки является ли точка x = x0 точкой разрыва функции f(x). Отсюда следует, что вертикальные асимптоты необходимо искать только в точках разрыва функции.

Воспользуйтесь нашим онлайн калькулятором, построенным на основе системы WolramAlpha, для вычисления вертикальных асимптот своей функции.

www.mathforyou.net

Найти наклонные асимптоты функции онлайн

Прямая y = k x + b является наклонной асимптотой функции f(x), если выполняется условие:

Исходя из приведенного выше условия, можно определить коэффициенты k и b наклонной асимптоты функции f(x):


тогда

и

Таким образом, прямая y = k x + b является наклонной асимптотой функции f(x) тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы


и

Для нахождения наклонных асимптот своей функции воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн калькулятором, построенные на основе системы Wolfram Alpha.

www.mathforyou.net

Найти горизонтальные асимптоты онлайн

Горизонтальной асимптотой функции f(x) называется прямая параллельная оси x к которой неограниченно приближается функция f(x) при стремлении к бесконечности. Уравнение горизонтальной асимптоты записывается в виде

y = y

0, где y0 — некоторая константа (конечное число)

Для того, чтобы найти горизонтальную асимптоту функции f(x), очевидно, необходимо найти y0. Получить значение y0 можно вычислив пределы

и

Если значение хотя бы одного предела равно конечному числу y0, тогда

y = y0 — горизонтальная асимптота функции f(x).

Для вычисления горизонтальных асимптот своей функции Вы можете воспользоваться нашим бесплатным онлайн калькулятором, построенным на основе системы Wolfram Alpha.

www.mathforyou.net

Как найти асимптоты графика функции f(x)

Найти асимптоты графика функции f(x) — это пятое по счету задание в общей схеме исследования функции, которое следует после четырех предыдущих.

Вот эти первые четыре задания, о которых идет речь:

  1. Найти область определения функции f(x), точки ее разрыва.
  2. Найти множество значений функции f(x).
  3. Найти точки пересечения графика функции f(x) с осью Ox (нули функции f(x)).
  4. Найти точку пересечения графика функции f(x) с осью Oy.
Для отыскания асимптот служит запрос asymptotes f(x), который позволяет найти вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

asymptotes (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4)

Чтобы найти отдельно вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты используются запросы, соответственно: vertical asymptotes f(x), horisontal asymptotes f(x) и oblique asymptotes f(x). Кроме того, по запросу asymptotes f(x) выводятся также полиномиальные и параболические асимптоты графика функции (если они есть).

Горизонтальные асимптоты можно найти вычислив пределы функции f(x) на бесконечности. Для этого служат запросы вида: lim f(x) x->-oo и lim f(x) x->+oo. Вместо символа бесконечности можно использовать слово «infinity» или же символы «оо».

lim (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4) x->-oo

lim (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4) x->+oo

Как видим, данная функция не имеет горизонтальных асимптот: на минус бесконечности она неограниченно возрастает, а на плюс бесконечности — неограниченно убывает.

Наклонные асимптоты также можно найти пошагово, воспользовавшись уравнением наклонной асимптоты

параметрами которого являются угловой коэффициент k и свободный член b. здесь используются такие запросы: для отыскания k служит запрос lim f(x)/x x->oo, для отыскания b — запрос lim (f(x)-kx) x->oo (вместо k нужно подставить его значение, найденное на предыдущем шаге).

Найдем k:

k = lim ((5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))/x x->oo

Найдем b:

b = lim [(5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))-(-5)x] x->oo

Как видим, этот результат совпадает с тем, что было найдено выше при помощи запроса asymptotes.

www.wolframalpha-ru.com

Асимптоты графика функций: их виды, примеры решений

Во многих случаях построение графика функции облегчается, если предварительно построить асимптоты кривой.

Определение 1. Асимптотами называются такие прямые, к которым сколь угодно близко приближается график функции, когда переменная стремится к плюс бесконечности или к минус бесконечности.

Определение 2. Прямая называется асимптотой графика функции, если расстояние от переменной точки М графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки М от начала координат по какой-либо ветви графика функции.

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Определение. Прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции, если точка x = a является точкой разрыва второго рода для этой функции.

Из определения следует, что прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции f(x), если выполняется хотя бы одно из условий:

  • (предел функции при значении аргумента, стремящимся к некоторому значению a слева, равен плюс или минус бесконечности)
  • (предел функции при значении аргумента, стремящимся к некоторому значению a справа, равен плюс или минус бесконечности).

При этом функция f(x) может быть вообще не определена соответственно при x ≥ a и x ≤ a.

Замечание:

  • символом обозначается стремление x к a справа, причём x остаётся больше a;
  • символом обозначается стремление x к a слева, причём x остаётся меньше a.

Пример 1. График функции y=lnx имеет вертикальную асимптоту x = 0 (т.е. совпадающую с осью Oy) на границе области определения, так как предел функции при стремлении икса к нулю справа равен минус бесконечности:

(рис. сверху).

Найти асимптоты графика функции самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 2. Найти асимптоты графика функции .

Пример 3. Найти асимптоты графика функции

Если (предел функции при стремлении аргумента к плюс или минус бесконечности равен некоторому значению b), то y = bгоризонтальная асимптота кривой y = f(x) (правая при иксе, стремящимся к плюс бесконечности, левая при иксе, стремящимся к минус бесконечности, и двусторонняя, если пределы при стремлении икса к плюс или минус бесконечности равны).


Пример 5. График функции

при a > 1 имеет левую горизонтальную асимпототу y = 0 (т.е. совпадающую с осью Ox), так как предел функции при стремлении «икса» к минус бесконечности равен нулю:

Правой горизонтальной асимптоты у кривой нет, поскольку предел функции при стремлении «икса» к плюс бесконечности равен бесконечности:

Вертикальные и горизонтальные асимптоты, которые мы рассмотрели выше, параллельны осям координат, поэтому для их построения нам требовалось лишь определённое число — точка на оси абсцисс или ординат, через которую проходит асимптота. Для наклонной асимптоты необходимо больше — угловой коэффициент k, который показывает угол наклона прямой, и свободный член b, который показывает, насколько прямая находится выше или ниже начала координат. Не успевшие забыть аналитическую геометрию, а из неё — уравнения прямой, заметят, что для наклонной асимптоты находят уравнение прямой с угловым коэффициентом. Существование наклонной асимптоты определяется следующей теоремой, на основании которой и находят названные только что коэффициенты.


Теорема.

Для того, чтобы кривая y = f(x) имела асимптоту y = kx + b, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы k и b рассматриваемой функции при стремлении переменной x к плюс бесконечности и минус бесконечности:

          (1)

и

      (2)

Найденные таким образом числа k и b и являются коэффициентами наклонной асимптоты.


В первом случае (при стремлении икса к плюс бесконечности) получается правая наклонная асимптота, во втором (при стремлении икса к минус бесконечности) – левая. Правая наклонная асимптота изображена на рис. снизу.

При нахождении уравнения наклонной асимптоты необходимо учитывать стремление икса и к плюс бесконечности, и к минус бесконечности. У некоторых функций, например, у дробно-рациональных, эти пределы совпадают, однако у многих функций эти пределы различны а также может существовать только один из них.

При совпадении пределов при иксе, стремящемся к плюс бесконечности и к минус бесконечности прямая y = kx + b является двусторонней асимптотой кривой.

Если хотя бы один из пределов, определяющих асимптоту y = kx + b, не существует, то график функции не имеет наклонной асимптоты (но может иметь вертикальную).

Нетрудно видеть, что горизонтальная асимптота y = b является частным случаем наклонной y = kx + b при k = 0.

Поэтому если в каком-либо направлении кривая имеет горизонтальную асимптоту, то в этом направлении нет наклонной, и наоборот.


Пример 6.

Найти асимптоты графика функции

Решение. Функция определена на всей числовой прямой, кроме x = 0, т.е.

Поэтому в точке разрыва x = 0 кривая может иметь вертикальную асимптоту. Действительно, предел функции при стремлении икса к нулю слева равен плюс бесконечности:

Следовательно, x = 0 – вертикальная асимптота графика данной функции.

Горизонтальной асимптоты график данной функции не имеет, так как предел функции при стремлении икса к плюс бесконечности равен плюс бесконечности:

Выясним наличие наклонной асимптоты:

Получили конечные пределы k = 2 и b = 0. Прямая y = 2x является двусторонней наклонной асимптотой графика данной функции (рис. внутри примера).

Пример 7. Найти асимптоты графика функции

Решение. Функция имеет одну точку разрыва x = −1. Вычислим односторонние пределы и определим вид разрыва:

,

.

Заключение: x = −1 — точка разрыва второго рода, поэтому прямая x = −1 является вертикальной асимптотой графика данной функции.

Ищем наклонные асимптоты. Так как данная функция — дробно-рациональная, пределы при и при будут совпадать. Таким образом, находим коэффициенты для подстановки в уравнение прямой — наклонной асимптоты:

Подставляя найденные коэффициенты в уравнение прямой с угловым коэффициентом, получаем уравнение наклонной асимптоты:

y = −3x + 5.

На рисунке график функции обозначен бордовым цветом, а асимптоты — чёрным.

Пример 8. Найти асимптоты графика функции

.

Решение. Так как данная функция непрерывна, её график не имеет вертикальных асимптот. Ищем наклонные асимптоты:

.

Таким образом, график данной функции имеет асимптоту y = 0 при и не имеет асиптоты при .

Пример 10. Найти асимптоты графика функции

Решение. Функция имеет область определения . Так как вертикальная асимптота графика этой функции может быть только на границе области определения, найдём односторонние пределы функции при :

,

.

Оба предела нашли, используя первый замечательный предел. Заключение: x = 0 — точка устранимого разрыва, поэтому у графика функции нет вертикальных асимптот.

Ищем наклонные асимптоты:

Таким образом, при наклонной асимптотой графика данной функции является прямая y = x. Но при найденные пределы не изменяются. Поэтому при наклонной асимптотой графика данной функции также является y = x.

Пример 11. Найти асимптоты графика функции

.

Решение. Сначала найдём вертикальные асимптоты. Для этого найдём точки разрыва функции и их виды. Знаменатель не может быть равным нулю, поэтому должно соблюдаться условие . Функция имеет две точки разрыва: , . Чтобы установить вид разрыва, найдём односторонние пределы:

Так как все пределы равны бесконечности, обе точки разрыва — второго рода. Поэтому график данной функции имеет две вертикальные асимптоты: x = 2 и x = −2.

Ищем наклонные асимптоты. Так как данная функция является дробно-рациональной, пределы при и при совпадают. Поэтому, определяя коэффициенты прямой, ищем просто пределы:

Подставляем найденные коэффициенты в уравнение прямой с угловым коэффициентом, получаем уравнение наклонной асимптоты y = 2x. Таким образом, график данной функции имеет три асимптоты: x = 2, x = −2 и y = 2x.

Поделиться с друзьями

Весь блок «Производная»

function-x.ru

Нахождение асимптот функции.

Пусть имеем функцию:

Найдём область определения функции, видим, что надо исключить x=1, потому что в знаменателе выражение x-1. Вычислим предел функции при x → 1.

Видим, что этот придел будет равный бесконечности, поэтому x=1, будет вертикальной асимптотой.
Найдём остальные асимптоты в виде y=kx+b, где k и b будем искать по следующим формулам.

Для начала найдём коэффициент k:

Поделим числитель и знаменатель дроби на x2 и таким образом найдём предел.

Потом найдём коэффициент b.

Помножим числитель и знаменатель дроби на число сопряженное к числителю

Раскроем скобки и сведём подобные слагаемые, после чего получим:

Далее собственно, как и в предыдущем переделе, поделим числитель и знаменатель дроби на x3 и таким образом найдём предел.

Таким образом мы нашли ещё одну асимптоту y=x+2 при х → ∞ .

Аналогично найдём коэффициенты k и b, при х → — ∞.
Начнём с коэффициента k.
Поделим числитель и знаменатель дроби на x2 и таким образом найдём предел. Но здесь надо учитывать то, что х → — ∞ и если мы будем делить на x в нечётной степени, то не надо забывать минусе.

Точно так же, как и раньше, найдём и коэффициент b.

Опять поделим числитель и знаменатель дроби на x3 и таким образом найдём предел, но также надо учитывать то, что х → — ∞ и если мы будем делить на x в нечётной степени, то не надо забывать минусе.

Видим, что есть ещё одна асимптота y=-x-2 при х → — ∞ .
Для наглядности можем посмотреть график функции и всех асимптот на рисунке.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка…

matemonline.com

Как найти асимптоты функции — 11 Февраля 2014 — Примеры решений задач

График функции может иметь вертикальную, горизонтальную или наклонную асимптоты.
 

Как найти вертикальную асимптоту:

♦ Если имеются точки разрыва функции, то в этих точках проверяем правый и левый пределы функции, если хотя бы один стремится к  бесконечности, то в данной точке имеем вертикальную асимптоту.

 

Пример 1. Найти вертикальную асимптоту
 

В точке x0 = 1 функция имеет разрыв (знаменатель обращается в ноль), следовательно в данной точке функция может иметь вертикальную асимптоту, проверяем:

          левый предел

          правый предел

Левый и правый пределы в точке x = 1 стремятся к бесконечности, следовательно в данной точке  функция имеет вертикальную асимптоту.

Для наглядности построим график функции.

 

 

Как найти горизонтальную асимптоту:

♦ Находим пределы

если хотя бы один предел конечный, то функция имеет горизонтальную асимптоту.

Пример 2. Найти горизонтальную асимптоту функции

Решение.

Находим пределы

— следовательно y = 2  —  горизонтальная асимптота.

Для наглядности построим график — вставляем в калькулятор  8/(x-1)+2.

Как найти наклонную асимптоту:

Если функция  имеет  наклонные асимптоты, то их уравнение имеет вид

где

Пример 3. Найти наклонную асимптоту функции

Решение. Находим пределы

Следовательно наклонная асимптота

 

Для наглядности построим график — вставляем в калькулятор  3x^2/(x+1)+2.

P.S. Как видим задача нахождения асимптот сводится к вычислению пределов.

Вычислить пределы (также левые и правые) можно с помощью калькулятора вычисления пределов

 

www.reshim.su

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.