2без знания уравнений Френеля?
Я думал использовать теорему сравнения, так как $\sin x$ никогда не больше 1. Однако я не могу найти функцию, всегда большую 1 между 0 и бесконечностью, такую, что ее интеграл от 0 до бесконечности сходится.
Спасибо.
- интегрирование
- неправильные интегралы
- контурное интегрирование
$\endgroup$
2 9{-x} dx, \quad Re(s)>0 .$$
Примечание:
$$ \Gamma\left( -\frac{1}{2} \right) = -2\Gamma\ влево( \frac{1}{2} \right)=-2 \sqrt{\pi}. $$
$\endgroup$
$\begingroup$
$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,граница:1px углубление темно-синий]{\displaystyle{#1}}\,} \ newcommand {\ скобки} [1] {\ влево \ lbrace \, {# 1} \, \ вправо \ rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \ новая команда {\ дд} {\ mathrm {d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \ новая команда {\ mc} [1] {\ mathcal {# 1}} \ newcommand {\ mrm} [1] {\ mathrm {# 1}} \newcommand{\on}[1]{\operatorname{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \ newcommand {\ totald} [3] [] {\ frac {\ mathrm {d} ^ {# 1} # 2} {\ mathrm {d} # 3 ^ {# 1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \начать{выравнивать} &\bbox[5px,#ffd]{\int_{0}^{\infty}\sin\pars{1 \over x^{2}} \,\дд х} \,\,\,\stackrel{x\ =\ t^{-1/4}}{=}\,\,\,\,\,\, {1 \более 4}\int_{0}^{\infty} т ^ {\ цвет {красный} {1/4} — 1} \, \, \, {\ sin \ pars {\ root {t}} \ over \ root {t}} \, \ dd t \end{выравнивание} Последний интеграл можно вычислить с помощью 9{2}} \,\дд х} = {1 \более 4}\,\Gamma\pars{\color{красный}{1 \более 4}}\, {\Gamma\pars{1 — \color{red}{1/4}} \over \Gamma\pars{2 — 2\bracks{\color{red}{1/4}}}} \\[5 мм] = &\ {1 \over 4}\,{\pi \over \sin\pars{\pi/4}}\,{1 \over \pars{1/2}\root{\pi}} = \bbx{{\root{2} \over 2}\root{\pi}} \приблизительно 1,2533 \\ & \end{выравнивание}
$\endgroup$
$\begingroup$
Я предпочитаю оценивать более общий интеграл ниже
$$\displaystyle I(a):=\int_{-\infty}^{\infty} \sin\left(\frac{a}{x^2}\right)dx, \tag*{}$$
где $a\geq 0.