Как решить Cos(2x)cos(x)-sin(2x)sin(x)=0?
Тригонометрия
Наука
- Анатомия и физиология
- астрономия
- Астрофизика
- Биология
- науки о Земле
- Наука об окружающей среде
- Органическая химия
- Физика
Математика
- Алгебра
- Исчисление
- Геометрия
- Преалгебра
- Предварительный расчет
- Статистика
- Тригонометрия
Гуманитарные науки
- Английская грамматика
- История США
- Мировая история
- Сократическая мета
- Избранные ответы
.
.. и не толькоТемы
#x = pi/6 pm k pi/3, {k = 0,pm1,pm2,pm3,…}#
Ссылка для ответа
Влияние этого вопроса
3786 просмотров по всему миру
Вы можете повторно использовать этот ответ
Лицензия Creative Commons
Решите следующие уравнения: (i) cos x + sin x = cos 2x + sin 2x (ii) sin x + sin 2x + sin 3x = 0 (iii) sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x = 0 — Sarthaks eConnect
Так как общее решение любого тригонометрического уравнения задается как
sin x = sin y, подразумевает x = nπ + (– 1) n y, где n ∈ Z.
cos x = cos y, подразумевает x = 2nπ ± y, где n ∈ Z.
tan x = tan y, подразумевает x = nπ + y, где n ∈ Z.
(i) cos x + sin x = cos 2x + sin 2x
Теперь упростим,
cos x + sin x = cos 2x + sin 2x
Тогда при перестановке
cos x – cos 2x = sin 2x – sin x
По формуле
sin A – sin B = 2 cos (A + B)/2 sin (A — Б)/2
cos A – cos B = – 2 sin (A + B)/2 sin (A — B)/2
Следовательно,
-2 sin (2x + x)/2 sin (2x — x)/2 = 2 cos (2x + x)/2 sin (2x — x)/2
2 sin 3x/2 sin x/2 = 2 cos 3x/2 sin x/2
Sin x/2 (sin 3x/2 – cos 3x/2) = 0
Следовательно,
Sin x/2 = 0 или sin 3x/2 = cos 3x/2
Sin x/2 = sin mπ или sin 3x/2 / cos 3x/2 = 0
Sin x/2 = sin mπ или tan 3x/2 = 1
Sin x/2 = sin mπ или tan 3x/2 = tan π/4
x/2 = mπ или 3x/2 = nπ + п/4
x = 2mπ или x = 2nπ/3 + π/6
∴ общее решение
Таким образом, x = 2mπ или 2nπ/3 + π/6, где m, n ϵ Z.
) sin x + sin 2x + sin 3x = 0
Теперь упростим,
sin x + sin 2x + sin 3x = 0
Затем перестроим и воспользуемся формулой преобразования
sin 2x + sin x + sin 3x = 0
При использовании формулы
sin A + sin B = 2 sin (A + B)/2 cos (A — B)/2
Следовательно,
Sin 2x + 2 sin (3x + x)/2 cos (3x — x)/2 = 0 Sin 2x = 0 или 2cos x + 1 = 0
Sin 2x = sin 0 или cos x = -1/2
Sin 2x = sin 0 или cos x = cos (π – π/3)
Sin 2x = sin 0 или cos x = cos 2π/3
2x = nπ или x = 2mπ ± 2π/3
x = nπ/2 или x = 2mπ ± 2π/3
∴ общее решение
x = nπ /2 или 2mπ ± 2π/3, где m, n ϵ Z.
(iii) sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x = 0
Теперь упростим,
sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x = 0
Затем перегруппируем и используем формула преобразования
sin x + sin 3x + sin 2x + sin 4x = 0
При использовании формулы
sin A + sin B = 2 sin (A + B)/2 cos (A — B)/2
Следовательно,
2 sin (3x + x)/2 cos (3x — x)/2 + 2 sin (4x + 2x)/2 cos (4x — 2x)/2 = 0
2 sin 2x cos x + 2 грех 3х потому что х = 0
2cos x (sin 2x + sin 3x) = 0
Снова по формуле
sin A + sin B = 2 sin (A + B)/2 cos (A — B)/2
Теперь, получаем,
2cos x (2 sin (3x + 2x)/2 cos (3x — 2x)/2) = 0
2 cos x (2 sin 5x/2 cos x/2) = 0
4 cos x sin 5x/2 cos x/2 = 0
Следовательно,
Cos x = 0 или sin 5x/2 = 0 или cos x/2 = 0
Cos x = cos 0 или sin 5x/2 = sin 0 или cos x/2 = cos 0
Cos x = cos π/2 или sin 5x/2 = kπ или cos x/2 = cos (2p + 1) π/2
x = (2n + 1) π/2 или 5x/2 = kπ или x/2 = (2p + 1) π/2
x = (2n + 1) π/2 или x = 2kπ/5 или x = (2p + 1)
x = nπ + π/2 или x = 2kπ/5 или x = (2p + 1)
∴ общее решение
x = nπ + π/2 или x = 2kπ /5 или x = (2p + 1), где n, k, p ϵ Z.