Система крамера: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Метод Крамера — 📙 Математика

1. Общие понятия
2. Способы расчета определителей матриц
3. Использование метода Крамера

Методом Крамера, или как его еще называют, правилом Крамера, является такой способ нахождения неизвестных для заданной системы уравнений. Такой метод используется лишь тогда, когда количество неизвестных равняется числу уравнений системы, иными словами, матрица, образованная из заданной системы уравнений, должна быть квадратной без нулевых строк и ее главный определитель не должен равняться нулю. Рассмотрим теорему Крамера:

При условии, что главный детерминант матрицы \(D\), состоящей их коэффициентов системы уравнений, не равняется нулю, эта система уравнений считается совместной, с существующим для нее единственным решением. Неизвестные этих систем линейных уравнений рассчитывают по формуле Крамера: \(x_i={D_i\over D}\).

Порядок определения неизвестных по методу Крамера включает такие действия:

1. Сперва рассчитывают главный детерминант матрицы \(D\). Если найденный детерминант равняется нулю, то для данной системы уравнений не существует решений или их существует бесконечное множество. В таком варианте рекомендуют воспользоваться методом Гаусса для определения базисного решения.
2. Если же главный детерминант не равняется нулю, то эту систему уравнений рассчитывают методом Крамера. Левый столбик главной матрицы заменяют на столбик свободных членов и рассчитывают детерминант \(D_1\).
3. Проделывают те же действия для всех следующих столбиков по порядку и определяют детерминанты \(D_1, D_2, …, D_n\), где \(n\) – число столбиков.
4. Теперь, имея все детерминанты, рассчитывают все переменные от \(x_1\) до \(x_n\).

Для расчета определителей матриц, размером более 2х2, применяют различные способы, рассмотрим их подробнее:

1. Метод Гаусса, второе его название – метод понижения порядка определителя. При данном методе матрицу преобразуют к форме треугольника, после этого перемножают составляющие главной диагонали.

Стоит отметить, что при применении этого метода запрещено множить или делить строки, или столбцы на числа, не вынося их как множители или делители.

При данном методе можно лишь плюсовать или минусовать строки, или столбцы друг с другом, перед этим перемножив минусуемую строку на нуль. Необходимо также помнить, что во время перестановки столбиков или строк местами, нужно изменять знак матрицы.

2. Правило треугольников или правило Саррюса, которые очень похожи между собой. Для применения правила Саррюса, вначале записывают матрицу, а потом справа от нее снова записывают ее первый и второй столбики.

Числа матрицы и этих столбиков соединяют диагоналями, числа, что лежат на главной и параллельных диагоналях, записывают с плюсом, а числа, что лежат на побочной и параллельных ей диагоналях – с минусом.

Правило треугольников заключается в том, что для расчета детерминанта произведения всех чисел, что соединены на рисунке красной линией слева, записывают с плюсом, а те, что соединены так же справа – с минусом.

Оба способа применимы для матриц величиной 3х3.

3. Для расчета систем линейных арифметических уравнений с четырьмя неизвестными, стоит отметить, что более применимым для расчета определителей является метод Гаусса, либо также применяют метод миноров.

Метод Крамера применяют для определения неизвестных в системах линейных арифметических уравнений.

Разберем применение метода Крамера для расчета системы уравнений с двумя неизвестными:

\( \begin{cases} a_1 x_1+a_2 x_2=b_1 \\ a_3 x_1+a_4 x_2=b_2 \end{cases}\)

Преобразуем ее в такую форму:

Рассчитаем главный определитель системы, его так же именуют детерминантом основной матрицы:

\(D= \begin{vmatrix} {a_1   a_2\\a_3   a_4 } \end{vmatrix} =a_1∙a_4-a_3∙a_2\)

Далее, если главный детерминант не равняется нулю, рассчитываем систему линейных уравнений методом Крамера. Для этого рассчитываем все детерминанты, заменяя поочередно столбики основной матрицы столбиками свободных членов:

\(D_1=\begin{vmatrix}{b_1   a_2\\b_2   a_4}\end{vmatrix}=b_1∙a_4-b_2∙a_2\)
\(D_2=\begin{vmatrix}{a_1   b_1\\a_3   b_2 }\end{vmatrix}=a_1∙b_2-a_3∙b_1\)

Затем по формуле Крамера рассчитаем все переменные:

\(x_1={D_1\over D} \\ x_2={D_2\over D}\)

Рассмотрим задачу с конкретными уравнениями. Рассчитаем данную систему уравнений методом Крамера:

\(\begin{cases}3x_1-2x_2+4x_3=21\\3x_1+4x_2+2x_3=9\\2x_1-x_2-x_3=10\end{cases}\)

Порядок решения:

1. Определим главный детерминант по вышеизложенному принципу:

\(D=\begin{vmatrix}3&-2&4\\3&4&-2\\2& -1&1\end{vmatrix}=\) \(3∙4∙(-1)+2∙(-2)∙2+4∙3∙(-1)-4∙4∙2-3∙(-2)∙(-1)-(-1)∙2∙3=\)
\(=-12-8-12-32-6+6=-64.   \)

2. Далее рассчитаем остальные детерминанты:
\(D_1=\begin{vmatrix}21& -2&4\\9&4&-2\\10& -1&1\end{vmatrix}=\)\(21∙4∙(-1)+2∙(-2)∙10+4∙9∙(-1)-4∙4∙10-9∙(-2)∙(-1)-(-1)∙2∙21=\)
\(=-84-40-36-160-18+42=-296.\)

\(D_2=\begin{vmatrix}3&21&4\\3& 9& -2\\2&10&1\end{vmatrix}=\)\(=3∙9∙(-1)+2∙21∙2+4∙3∙10-4∙9∙2-3∙21∙(-1)-10∙2∙3=\)
\(=-27+120+84-72+63-60=108.\)
 

\(D_3=\begin{vmatrix}3 &-2&21\\3&4& 9\\2& -1&10\end{vmatrix} =\)\(=3∙4∙10+9∙(-2)∙2+21∙3∙(-1)-21∙4∙2-3∙(-2)∙10-(-1)∙9∙3=\)
\(120-63-36-198+60+27=-60.

 \)

3. Затем рассчитаем наши неизвестные, применяя формулы Крамера:

\(x_1={D_1\over D}={-296\over-64}=4,625\)
\(x_2={D_2\over D}={108\over-64}=-1,6875\)
\(x_2={D_3\over D}={-60\over-64}=0,9375\)
 

Метод Крамера решение систем линейных уравнений

Краткая биография Габриэля Крамера

Габриэль Крамер — (нем. Gabriel Cramer), Швейцария, 31 июля 1704 г. родился в семье врача. Он уже в детстве опередил своих сверстников в развитии интеллектуальной деятельности и проявил завидную способность в математике. В 18 лет успешно защитил дипломную работу. Через два года Крамер выдвинул свою кандидатуру на пост преподавателя в университете в Женеве.

Юноша привлек внимание магистрата, поэтому для него и еще одного кандидата на должность преподавателя был учрежден отдельный факультет математики, где Крамер затем работал в течение последующих нескольких лет.

Gabriel Cramer

Учёный очень много путешествовал в Европу, принимая опыт известных математиков того времени, как – Иоганна Бернулли и Эйлера в Базеле, Галлея и де Муавра в Лондоне, Мопертюи и Клеро в Париже и других. Всю жизнь поддерживал с ними тесный контакт.

В 1729 г. Крамер возвращается на должность преподавателя в Женеве. В этот период времени участвует в Парижском конкурсе и занимает заслуженное второе место. Используя свой исключительный талант пишет много статей по самым разным дисциплинам: геометрии, истории, математике, философии.

В 1730 г. он выпускает труд по астрономии.

В 1740 году Иоганн Бёрнулли поручил Крамеру опубликовать сборник его произведений. В 1742 г. Крамер подготовил и опубликовал сборник в 4 -х томах.

В 1744 г. выходит посмертная книга Якоба Бернули брата Иоанна Бернули и двухтомная переписка Лейбницы с Иоанном Бернули. Эти работы вызывали большой интерес ученых по всему миру.

Крамер — один из тех, кто изобрел линейную алгебру. Одна из его наиболее известных работ «Введение в анализ алгебраических кривых», опубликованная в 1750 г. на французском.

Титульный лист «Введения в анализ алгебраических кривых»

В ней Крамер создает систему уравнений по линейным уравнениям и алгоритм, который позже будет носить его имя, — метод Крамера. Габриэль умер во Франции 4 Января 1752 года.

Метод Крамера – теоремы замещения и аннулирования

Перед решением систем линейных уравнений методом Крамера необходимо изучить две важные закономерности. К ним относятся: теорема аннулирования; теорема замещения.

Теорема замещения. Складывая произведения алгебраического дополнения какого-то столбца, а также произвольные чисел b1, b2, b3, получается новый определитель, в котором значения заменяют соответствующие элементы первоначального определения, соответствующие данному алгебраическому дополнению.

Теорема аннулирования. В сумме произведения компонентов одного столбца или таблицы и алгоритмических дополнений соответствующих элементов другого столбца – будут равняться нулю.

Применение метода Крамера для решения систем линейных уравнений (СЛАУ)

Для поиска ответов по задачам для решения систем линейных уравнений актуальна эта методика. Метод Крамера позволяет находить решение системы с количеством строк равным количеству неизвестного. Так решаются квадратные уравнения. В процессе нужно вычислить матричные определители, в том числе основные, и дополнительные, полученные с помощью замены одного столбца основного определителя на столбец со свободными членами системы алгоритмов. На рисунке можно найти наглядное представление алгоритма.

Для этого необходимо применить метод Крамера СЛАУ:

Рассмотрим решение системы уравнений методом Крамера:

\[\left\{\begin{array}{l} a_{1} x+b_{1} y=s_{1} \\ a_{2} x+b_{2} y=s_{2} \end{array}\right.\]

Первое: вычислим определитель, а именно – определитель системы.

Если \[\Delta=0\] система имеет только 1 решение, чтобы найти корни, следует сделать вычислить еще два определителя:

\[ \Delta_{x}=\left|\begin{array}{ll} s_{1} & b_{1} \\ s_{2} & b_{2} \end{array}\right| \text { и } \Delta_{y}=\left|\begin{array}{ll} a_{1} & s_{1} \\ a_{2} & s_{2} \end{array}\right| \]

На практике данные определители обычно могут быть обозначены обычной латинской буквой D. Чтобы найти корни уравнения используем следующую формулу:

\[ x=\frac{\Delta_{x}}{\Delta} y=\frac{\Delta_{y}}{\Delta} \]

Пример: Решите систему уравнений линейным методом Крамера

\[ \left\{\begin{array}{l} 506 a+66 b=2315,1 \\ 66 a+11 b=392,3 \end{array}\right. \]

Решение: Из уравнения следует, что коэффициенты уравнения велики, в правой части уравнения видим десятичные дроби с запятой. Запятая – крайне редко можно увидеть в практике по математике, эта система взята из эконометрической задачи.

1. Есть вариант выразить одну переменную через другую, это не самый удобный способ, так как мы получим дроби, с которыми невозможно будет работать, и будет хромать оформление самого решения.
2.  В таких случаях применимо правило Крамера.

Оба корня имеют бесконечные хвосты, решение дает лишь приближенное значение, что допустимо, если это задачи по эконометрике. Данное условие решается по готовым формулам, однако, есть одна деталь. Если используется данный метод, то обязательным условием, является использование вот этого фрагмента: это значит, что уравнение имеет одно решение». Если этого не сделать, то при проверке вас могут наказать за пренебрежением теоремой Крамера.

Оба корня имеют бесконечные хвосты, решение дает лишь приближенное значение, что допустимо, если это задачи по эконометрике. Данное условие решается по готовым формулам, однако, есть одна деталь. Если используется данный метод, то обязательным условием, является использование вот этого фрагмента: \[\neq 0\] это значит, что уравнение имеет одно решение». Если этого не сделать, то при проверке вас могут наказать за пренебрежением теоремой Крамера.

Важно сделать проверку, ее удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения \[a \approx-0,35 \quad b \approx 37,77\] в левую часть каждого уравнения системы. По итогу с небольшой погрешностью получаться числа, которые находятся в правых частях.

Определение

Метод Крамера — это простой метод решения линейных алгебраических уравнений.

Этот вариант применим только к СЛАУ, в которых количество уравнений согласуется с неизвестным числом, а определитель не равен нулю.

Поэтому, когда вы изучили все шаги, вы можете продолжать использовать метод Крамера для решения алгоритма уравнения. Записываем их по порядку:

• Найти главный определитель матрицы:

Важно, чтобы определитель не имел значения – 0.

• Ищем определители:

В итоге получаем, определители матриц, которые мы вывели из матрицы A заменяя столбцы на свободные члены.

• Найдем неизвестные переменные значения:

Тут важно помнить тождества Крамера, при помощи которых, можно найти корни или по-другому неизвестные переменные.

\[ x=\frac{\Delta_{x}}{\Delta}, y=\frac{\Delta_{y}}{\Delta}, z=\frac{\Delta_{z}}{\Delta} \]

• Выполняем проверку:

Мы проверяем решение, подставляя x, y и z в исходную СЛАУ. Все уравнения в абсолютной системе необходимо преобразовать в тождества. Вы также можете вычислить произведение матрицы A * X.

Если результатом является матрица, равная B, система решена правильно. Если он не равен B, то одно из уравнений, вероятно, содержит ошибку.

Давайте сначала рассмотрим систему, состоящую из двух линейных уравнений, потому что она проще и поможет вам понять, как правильно использовать правило Крамера. Если вы разбираетесь в простых и коротких уравнениях, вы можете решать более сложные системы из трех уравнений с тремя неизвестными.

Среди прочего, существуют уравнения с двумя переменными, и решение этих уравнений целиком связано с правилом Крамера.

Пример. Таким образом, дана система, состоящая из двух линейных уравнений:

\[ \left\{\begin{array}{l} a_{1} x+b_{1} y=S_{1} \\ a_{2} x+b_{2} y=S_{2} \end{array}\right. \]

• Ищем главный определитель системы:

\[ \Delta=\left|\begin{array}{ll} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{array}\right| \]

• Это означает, что если \[\Delta=0\], то либо у системы много решений, либо у системы нет решений. В этом случае нет смысла использовать правило Крамера, потому что решение не будет работать, и вам нужно запомнить метод Гаусса, который можно использовать для быстрого и простого решения этого примера.

Если \[\Delta \neq 0\], система имеет только одно решение, но для этого необходимо вычислить два других определителя и найти корень системы.

\[ \Delta_{x}=\left|\begin{array}{ll} S_{1} & b_{1} \\ S_{2} & b_{2} \end{array}\right| \] \[ \Delta_{y}=\left|\begin{array}{ll} a_{1} & S_{1} \\ a_{2} & S_{2} \end{array}\right| \]

На практике определитель обычно может быть представлен не только \[\Delta\], но и латинской буквой D, что тоже правильно.

• Найти корни уравнения несложно, ведь главное знать формулу:

\[ x=\frac{\Delta_{x}}{\Delta}, y=\frac{\Delta_{y}}{\Delta} \]

Теперь, когда мы можем решить двух линейные уравнения, мы можем решить трех линейные уравнения без каких-либо проблем. Для этого мы рассмотрим систему:

\[ \left\{\begin{aligned} a_{11} x+a_{12} y+a_{13} z &=b_{1} \\ a_{21} x+a_{22} y+a_{23} z &=b_{2} \\ a_{31} x+a_{32} y+a_{33} z &=b_{3} \end{aligned}\right. \]

Здесь алгебраическим дополнением элементов является первый столбец \[A_{11}, A_{21}, A_{31}\]. При решении не забывайте и о других элементах. Следовательно, в системе линейных уравнений вам нужно найти три неизвестных — x, y, z и другие известные элементы.

Составим определитель системы из коэффициентов неизвестных: мы умножаем каждый член уравнения на \[A_{11}, A_{21}, A_{31}\] — алгебраическое дополнение элементов в первом столбце (коэффициент при x), а затем складываем все три уравнения вместе. У нас есть:

Согласно теореме о разложении коэффициент при x равен \[\Delta\].Коэффициенты при y и z будут равняться нулю по теореме аннулирования. Правая часть равенства по теореме замещения даёт новый определитель, который называется вспомогательным и обозначается:

\[ \Delta_{x}=\left|\begin{array}{lll} b_{1} & a_{12} & a_{13} \\ b_{2} & a_{22} & a_{23} \\ b_{3} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right| \]

Далее, можно записать равенство:

\[ x * \Delta+y * 0+z * 0=\Delta_{x} \]

Для нахождения y и z перемножим каждое из уравнений изначальной системы в первом случае соответственно \[A_{12}, A_{22}, A_{32}\] во втором \[A_{13}, A_{23}, A_{33}\] и прибавим значение.

Итог преобразований:

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Алгоритм однородной системы уравнений: правила решения

Среди решений однородной системы могут быть, как нулевые решения (x = y = z = 0), так и решения отличны от нуля.

Линейная система является системой дифференциального уравнения.

(1)

Где коэффициенты a_ij и f_i – некоторые функции независимой переменной x. Будем считать их непрерывными; тогда для данной системы заведомо выполняются условия теоремы о существование и единственности решения задачи Коши. Если все f_i=0, то система называется однородной, в противном случае она называется неоднородной. 

При изучении линейных систем удобно использовать матричные обозначения.

Позволяющие записать систему (1) в виде одного матричного уравнения

\[\mathrm{Y}^{\prime}=\mathrm{AY}+F\]

Так же, как и в случае линейных уравнений, общее решение неоднородной системы представляет собой сумму частного решения этой системы и общего решения соответствующей ей однородной системы. В свою очередь, общее решение однородной системы имеет вид:

\[\mathrm{Y}=C_{1} \mathrm{Y}_{1}+C_{2} \mathrm{Y}_{2}+\ldots+C_{n} \mathrm{Y}_{n}\]

Где С₁,…,С_n— произвольные постоянные, а

\[\mathrm{Y}_{1}=\left(\begin{array}{l} y_{11}(x) \\ y_{21}(x) \\ \vdots \\ y_{n 1}(x) \end{array}\right), \ldots, \mathrm{Y}_{n}=\left(\begin{array}{l} y_{1 n}(x) \\ y_{2 n}(x) \\ \vdots \\ y_{n n}(x) \end{array}\right)\]

Произвольные линейно независимые решения, называемые фундаментальным набором решений этой системы. Критерием линейной независимости этих решений является неравенство нулю определителя Вронского.

\[ W\left(\mathrm{Y}_{1}, \ldots, \mathrm{Y}_{n}\right)=\left|\begin{array}{ccc} y_{11} & \ldots & y_{1 n} \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ y_{n 1} & \ldots & y_{n n} \end{array}\right| \]

Решением системы линейных алгебраических уравнений называют набор значений неизвестных переменных \[x_{1}=\alpha_{1}, x_{2}=\alpha_{2}, \ldots, x_{n}=\alpha_{n}\] , обращающий все уравнения системы в тождества. Матричное уравнение \[A \cdot X=B\] при данных значениях неизвестных переменных также обращается в тождество \[A \cdot X=B\].

При помощи метода Крамера следует решать системы линейных алгебраических уравнений в том случае, если определитель не имеет значения 0. Использование этого метода поможет найти определители матриц такого порядка, как n на n. В случае, если свободные члены равны 0, тогда и их определители равны нулю, так как в них содержится столбец с нулевыми элементами. Поэтому, если определители имеют нулевое значение, лучше решать систему, используя метод Гаусса, а не Крамера, только в этом случае ответ решения будет правильный.

Объяснение урока

: Правило Крамера | Nagwa

В этом объяснителе мы узнаем, как использовать правило Крамера для решения система линейных уравнений.

Это будет включать использование определителей для решения систем двойки и тройки линейные уравнения.

Правило Крамера дает нам полезный способ решения одновременные уравнения; например, это позволяет нам решить систему уравнения для одной переменной независимо без необходимости решать для всех переменные.

Правило Крамера было разработано Габриэлем Крамером, женевским математиком, в 1750 году, и то, что он изобрел, было способ решения системы линейных уравнений с использованием матричного уравнения и определители соответствующих матриц.

Теперь мы рассмотрим правило Крамера и то, как оно используется. Начнем с системы двух линейных уравнений.

Определение: правило Крамера для системы двух линейных уравнений в двух неизвестных

Если у нас есть следующая система два линейных уравнения с двумя неизвестными 𝑥 и 𝑦 с константами 𝑎–𝑓, 𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑒𝑐𝑥+𝑑𝑦=𝑓, которое можно преобразовать в матричное уравнение 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑥𝑦=𝑒𝑓, Правило Крамера говорит нам, что если определитель коэффициента матрица отлична от нуля, то 𝑥=|||𝑒𝑏𝑓𝑑||||||𝑎𝑏𝑐𝑑|||=𝑒𝑑−𝑏𝑓𝑎𝑑−𝑏𝑐𝑦=|||𝑎𝑒𝑐𝑓||||||𝑎 𝑏𝑐𝑑|||=𝑎𝑓−𝑒𝑐𝑎𝑑−𝑏𝑐и является единственным решением этой системы уравнений.

Это часто упрощается до 𝑥=ΔΔ,𝑦=ΔΔ, где Δ=|||𝑒𝑏𝑓𝑑|||, Δ=|||𝑎𝑒𝑐𝑓||| и Δ=|||𝑎𝑏𝑐𝑑||| являются определителями матриц, найденных заменив элементы матрицы констант элементами из столбцы 𝑥- и 𝑦-коэффициентов и определитель матрицы коэффициентов. Правило Крамера можно распространить на любое ряд линейных уравнений. Например, для системы из трех уравнений в трех неизвестных, получаем следующее.

Определение: правило Крамера для системы трех уравнений в Три неизвестных

Если у нас есть следующая система из трех линейных уравнений с тремя неизвестными, 𝑥, 𝑦 и 𝑧, с константами 𝑎–𝑙, 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧=𝑗,𝑑𝑥+𝑒𝑦+𝑓𝑧=𝑘,𝑔𝑥+ℎ𝑦+𝑖𝑧=𝑙, которое можно преобразовать в матричное уравнение 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓𝑔ℎ𝑖𝑥𝑦𝑧=𝑗𝑘𝑙, Правило Крамера говорит нам, что если Δ не равно нулю, то 𝑥=ΔΔ,𝑦=ΔΔ,𝑧=ΔΔ является единственным решением этой системы уравнений, где Δ=||||𝑗𝑏𝑐𝑘𝑒𝑓𝑙ℎ𝑖||||, Δ=|||||𝑎𝑗𝑐𝑑𝑘𝑓𝑔𝑙𝑖|||||, Δ=||||𝑎𝑏𝑗𝑑𝑒𝑘𝑔ℎ𝑙||||, и Δ=||||𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓𝑔ℎ𝑖|||| являются определителями матриц, найденных заменив элементы матрицы констант элементами из столбцы 𝑥-, 𝑦-, и 𝑧-коэффициенты и определитель коэффициента матрица.

Однако стоит отметить, что правило Крамера можно обобщить на 𝑛 линейные уравнения с 𝑛 неизвестными и различные обозначение можно увидеть; например, для определителя матрицы вы можете увидеть 𝐷 или |Δ|. В этом объяснении мы будем использовать обозначение в форме Δ и мы будем иметь дело только с системами линейных уравнений с не более чем тремя неизвестными.

Теперь мы знаем, что такое правило Крамера и как его использовать, но где это откуда?

Чтобы понять, откуда взялось правило Крамера, попробуем решить следующую систему линейных уравнений: 𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑟,𝑐𝑥+𝑑𝑦=𝑟.

Мы хотим удалить переменную; предполагая как 𝑏, так и 𝑑 отличны от нуля, мы умножаем верхнее уравнение на 𝑑 и нижнее уравнение на 𝑏, а затем вычтите: 𝑎𝑑𝑥+𝑏𝑑𝑦=𝑑𝑟𝑏𝑐𝑥+𝑏𝑑𝑦=𝑏𝑟𝑎𝑑𝑥−𝑏𝑐𝑥=𝑑𝑟−𝑏𝑟. 

Факторинг дает нам (𝑎𝑑−𝑏𝑐)𝑥=𝑑𝑟−𝑏𝑟.

Наконец, если 𝑎𝑑−𝑏𝑐≠0, 𝑥=𝑑𝑟−𝑏𝑟𝑎𝑑−𝑏𝑐.

В наших обозначениях это ΔΔ; мы могли бы сделать точно так же для 𝑦. Фактически, мы можем сделать то же самое для матрицы более высокого порядка, если определитель отличен от нуля.

Теперь в качестве первого примера мы рассмотрим вопрос, объясняющий условие правила.

Пример 1. Определение применимости правила Крамера к решению системы линейных уравнений с бесконечным набором решений

Полезно ли правило Крамера для поиска решений систем линейные уравнения, в которых существует бесконечное множество решения?

Ответ

Короткий ответ на этот вопрос — нет, так как правило Крамера не работает. применимо, когда система линейных уравнений имеет бесконечное число решения.

Давайте разберемся, почему. Есть два пути для системы линейных уравнений иметь бесконечное число решений. Во-первых, может быть больше переменных чем уравнения. В этом случае правило Крамера неприменимо, так как нам нужно, чтобы матрица коэффициентов была квадратной. Во-вторых, если определитель матрица коэффициентов равна нулю, то может быть бесконечное число решения или нулевые решения. Однако, как мы видим из нашей формулы для Правило Крамера, делим на определитель коэффициента матрица; мы не можем этого сделать, если он равен нулю. Следовательно, Крамер правило не применимо.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что правило Крамера не может быть использовано для нахождение решений систем линейных уравнений, в которых есть бесконечное множество решений.

Мы рассмотрели условия правила, но прежде чем перейти к Глядя на примеры использования правила, мы быстро повторим, как найти определитель 2×2 и 3×3 матрицы.

Практическое руководство. Нахождение определителя матрицы 2 × 2 и 3 × 3

Если мы начнем с матрицы 2×2, 𝑎𝑏𝑐𝑑, затем

Мы получаем этот результат, вычитая произведение диагоналей.

Теперь для матрицы 3×3 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓𝑔ℎ𝑖, затем, используя первую строку, чтобы найти определитель, мы получаем

. Если посмотреть на определитель матрицы 3 × 3, важно помнить, что коэффициенты, которые вы умножаете миноры матрицы 2 × 2 по шаблону +, -, + как показано выше.

Здесь мы также помним, что определитель можно вычислить используя любую строку или столбец.

Давайте вспомним, как мы нашли кофактор 2×2:

Если мы возьмем элемент a, а затем удалим столбец и строку, в которых он находится, тогда четыре оставшихся элемента образуют наш кофактор.

Напомнив себе, как находить определители, мы теперь рассмотрим некоторые примеры использования правила Крамера для решения систем линейных уравнений.

Пример 2. Решение системы двух уравнений с использованием определителей

Использование определителей для решения системы −8𝑥−4𝑦=−8,9𝑥−6𝑦=−9.

Ответ

Первым шагом является составление матричного уравнения для нашей системы уравнений: −8−49−6𝑥𝑦=−8−9.

Теперь, когда мы пытаемся решить систему уравнений с помощью определителей, вспомним правило Крамера.

Если Δ не равно нулю, 𝑥=ΔΔ,𝑦=ΔΔ является единственным решением этой системы уравнений, где Δ и Δ определители матриц, найденные подстановкой элементов матрица констант с элементами из столбцов 𝑥- и 𝑦-коэффициенты, следующим образом:

Чтобы применить правило Крамера, нам нужно определить Δ, Δ, и Δ. Начнем с Δ: Δ=||−8−49−6||=(−8×−6)−(−4×9)=48+36=84.

С этим результатом мы не только нашли Δ, но так как Δ отличен от нуля, мы показали, что можем найти единственное решение нашей системы уравнений.

Далее рассчитаем Δ: Δ=||−8−4−9−6||=(−8×−6)−(−4×−9)=48−36=12.

Наконец, вычислим Δ: Δ=||−8−89−9||=(−8×−9)−(−8×9)=72+72=144.

Теперь подставим значения наших определителей в решение по правилу Крамера, чтобы найти значения 𝑥 и 𝑦: 𝑥=ΔΔ,Δ=12,Δ=84; поэтому, 𝑥=1284=17.

Теперь, если мы посмотрим на 𝑦, 𝑦=ΔΔ,Δ=144,Δ=84; поэтому, 𝑦=14484=127.

В заключение можно сказать, что единственное решение системы линейных уравнения 𝑥=17𝑦=127.и

На этом этапе мы можем выполнить быструю проверку, подставив значения из 𝑥 и 𝑦 в исходный набор уравнения, чтобы проверить, что оба уравнения удовлетворены, следующим образом: −8𝑥−4𝑦=−8,✓9𝑥−6𝑦=−9. ✓

В первом уравнении −817−4127=−87−487=−567=−8.✓

Во втором уравнении 917−6127=97−727=−637=−9.✓

В нашем следующем примере мы рассмотрим задачу, в которой система уравнений нужно будет переставить перед решением.

Пример 3. Решение системы двух уравнений с использованием определителей

Использование определителей для решения системы −9𝑥=−8+8𝑦,6𝑦=7+3𝑥.

Ответ

В этом вопросе нас просят решить систему двух линейных уравнения с двумя переменными. Мы могли бы сделать это, исключив переменную; однако мы будем использовать правило Крамера.

Для системы уравнений с двумя неизвестными правило Крамера утверждает что если Δ отличен от нуля, то 𝑥=ΔΔ,𝑦=ΔΔ является единственным решением системы.

Таким образом, первый шаг — преобразовать наши уравнения в форму, которая можно легко преобразовать в матричное уравнение: −9𝑥−8𝑦=−8, −3𝑥+6𝑦=7.

Теперь, когда у нас есть наша система в этой форме, мы составим матричное уравнение: −9−8−36𝑥𝑦=−87.

Здесь мы помним, что Δ и Δ – определители матриц, найденных как результат замены элементов матрицы констант на элементы из столбцов 𝑥- и 𝑦-коэффициенты, как показано ниже: Δ=||−8−876||Δ=||−9−8−37||.и

Следующим этапом является вычисление искомых определителей. Начнем с Δ: Δ=||-9-8-36||=(-9×6)-(-8×-3)=-54-24=-78.

С этим результатом мы не только нашли Δ, но и мы также показали, что можем решить нашу систему уравнений, так как определитель матрицы коэффициентов не равен нулю.

Далее рассчитаем Δ: Δ=||−8−876||=(−8×6)−(−8×7)=−48+56=8.

Наконец, вычислим Δ: Δ=||−9−8−37||=(−9×7)−(−8×−3)=−63−24=−87.

У нас есть все, что нужно, чтобы использовать правило Крамера для решения нашей системы уравнений. уравнения. Теперь подставим значения определителей, чтобы найти значения 𝑥 и 𝑦: 𝑥=ΔΔ,Δ=8,Δ=−78; поэтому, 𝑥=−878=−439.

Теперь, если мы посчитаем 𝑦, 𝑦=ΔΔ,Δ=−87,Δ=−78; поэтому, 𝑦=−87−78=2926.

В заключение можно сказать, что единственное решение системы уравнений является 𝑥=−439𝑦=2926.and

В предыдущих двух примерах мы рассмотрели задачи с двумя неизвестными. В следующем примере мы рассмотрим систему трех линейных уравнений с три неизвестных.

Пример 4. Решение системы трех уравнений с использованием определителей

Использование определителей для решения системы 5𝑥=−2𝑦−5+3𝑧,−3𝑥−𝑦+1=2𝑧,2𝑦−𝑧=−5𝑥+3.

Ответ

Чтобы решить систему из трех уравнений с тремя неизвестными с помощью определителей, можно использовать правило Крамера при условии, что определитель матрица коэффициентов отлична от нуля.

Тогда единственное решение определяется выражением 𝑥=ΔΔ,𝑦=ΔΔ,𝑧=ΔΔ. 

Первый шаг — изменить наши уравнения так, чтобы у нас была константа условия самостоятельно. Мы делаем это для того, чтобы систему можно было легко конвертировать в матричное уравнение: 5𝑥+2𝑦−3𝑧=−5,−3𝑥−𝑦−2𝑧=−1,5𝑥+2𝑦−𝑧=3.

Теперь, когда у нас есть наша система в этой форме, мы составим матричное уравнение: 52−3−3−1−252−1𝑥𝑦𝑧=−5−13.

Далее по правилу Крамера запоминаем, что Δ, Δ, и Δ – определители матриц, которые результат замены элементов матрицы констант на элементы из столбцов 𝑥-, 𝑦-, и 𝑧-коэффициенты следующим образом: Δ=||||−52−3−1−1−232−1||||.

Следующим этапом является вычисление необходимых определителей; мы начнем с Δ: Δ=||||52−3−3−1−252−1||||=5||−1−22−1||−2||−3−25−1||−3||− 3−152||=5(1+4)−2(3+10)−3(−6+5)=2.

С этим результатом мы не только нашли Δ, но и также показали, что мы можем найти единственное решение нашей системы уравнений. Это связано с тем, что значение Δ отлично от нуля.

Далее рассчитаем Δ: Δ=||||−52−3−1−1−232−1||||=−5||−1−22−1||−2||−1−23−1||−3| |−1−132||=−5(5)−2(7)−3(1)=−42.

Затем рассчитаем Δ: Δ=||||5−5−3−3−1−253−1||||=5||−1−23−1||+5||−3−25−1||−3| |−3−153||=5(7)+5(13)−3(−4)=112.

Наконец, вычислим Δ: Δ=||||52−5−3−1−1523||||=5||−1−123||−2||−3−153||−5||−3−152||= 5(−1)−2(−4)−5(−1)=8.

Теперь у нас есть все, что нужно, чтобы использовать правило Крамера для решения задачи. система уравнений; мы подставляем наши значения для определителей в единственное решение, даваемое правилом Крамера, для нахождения значений 𝑥, 𝑦 и 𝑧 следующее: 𝑥=ΔΔ,Δ=−42,Δ=2; поэтому, 𝑥=−422=−21.

Теперь вычисляем 𝑦: 𝑦=ΔΔ,Δ=112,Δ=2; поэтому, 𝑦=1122=56.

Наконец, вычисляем 𝑧: 𝑧=ΔΔ,Δ=8,Δ=2; поэтому, 𝑧=82=4.

В заключение можно сказать, что единственное решение системы линейных уравнения 𝑥=−21,𝑦=56,𝑧=4. и

В качестве последнего примера рассмотрим вопрос, где система уравнений задается через определители.

Пример 5. Решение системы трех уравнений с помощью определителей

Решите, используя правило Крамера, одновременные уравнения |||−1𝑧−4𝑦|||=23, |||2𝑦−5𝑥|||=13, ||3𝑥5𝑧||=51.

Ответ

Чтобы мы могли использовать правило Крамера в этой задаче, первым шагом будет для оценки определителей матриц 2 × 2: |||−1𝑧−4𝑦|||=(−1×𝑦)−(𝑧×(−4))=−𝑦+4𝑧,|||2𝑦−5𝑥|||=(2×𝑥)−(𝑦 ×(−5))=2𝑥+5𝑦,||3𝑥5𝑧||=(3×𝑧)−(𝑥×5)=−5𝑥+3𝑧.

Теперь, когда у нас есть определители, мы можем составить систему из трех уравнений затем его можно использовать для составления матричного уравнения: −𝑦+4𝑧=23,2𝑥+5𝑦=13,−5𝑥+3𝑧=51.

Поскольку нас попросили решить систему уравнений с помощью определителей, вспомним правило Крамера: если определитель матрица коэффициентов отлична от нуля, то существует единственное решение системы данный 𝑥=ΔΔ,𝑦=ΔΔ,𝑧=ΔΔ. 

Чтобы применить правило Крамера, перепишем систему в виде матрицы уравнение; однако мы должны быть осторожны, чтобы включить нулевые коэффициенты в наш матрица коэффициентов. Чтобы помочь нам в этом, мы можем переписать нашу систему уравнений чтобы включить нулевые коэффициенты перед записью в виде матричного уравнения: 0𝑥−𝑦+4𝑧=23,2𝑥+5𝑦+0𝑧=13,−5𝑥+0𝑦+3𝑧=51.

При записи в виде матричного уравнения получаем 0−14250−503𝑥𝑦𝑧=231351.

Здесь мы помним, что Δ, Δ и Δ, по правилу Крамера, являются определителями матриц, которые образованный в результате замены элементов матрицы констант на элементы из столбцов 𝑥-, 𝑦- и 𝑧-коэффициенты следующим образом: Δ=||||23−1413505103||||.

Следующим этапом является вычисление искомых определителей; мы начнем с Δ: Δ=||||0−14250−503||||=0||5003||+1||20−53||+4||25−50||=0+1(6−0)+ 4(0+25)=106.

Далее рассчитаем Δ: Δ=||||23−1413505103||||=23||5003||+1||130513||+4||135510||=23(15)+1(39)+4(−255) =−636.

Тогда рассчитаем Δ: Δ=||||02342130−5513||||=0||130513||−23||20−53||+4||213−551||=0−23(6)+4(167) =530.

Наконец, рассчитаем Δ: Δ=||||0−1232513−5051||||=0||513051||+1||213−551||+23||25−50||=0+1(167)+23( 25)=742.

Теперь подставим наши значения определителей в уникальные решение из правила Крамера, чтобы найти наши значения 𝑥, 𝑦 и 𝑧: 𝑥=ΔΔ,Δ=−636,Δ=106; поэтому, 𝑥=−636106=−6.

Теперь вычисляем 𝑦: 𝑦=ΔΔ,Δ=530,Δ=106; поэтому, 𝑦=530106=5.

Наконец, мы рассмотрим 𝑧: 𝑧=ΔΔ,Δ=742,Δ=106; поэтому, 𝑧=742160=7.

В заключение можно сказать, что единственное решение системы линейные уравнения 𝑥=−6,𝑦=5,𝑧=7.и

Давайте закончим, повторив некоторые основные моменты.

Ключевые моменты

• Для следующей системы уравнений с двумя неизвестными 𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑒𝑐𝑥+𝑑𝑦=𝑓, Правило Крамера говорит нам, что если Δ не равно нулю, то система имеет единственное решение, заданное формулой 𝑥=ΔΔ,𝑦=ΔΔ.
• Для следующей системы уравнений с тремя неизвестными 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧=𝑗,𝑑𝑥+𝑒𝑦+𝑓𝑧=𝑘,𝑔𝑥+ℎ𝑦+𝑖𝑧=𝑙, Правило Крамера говорит нам, что если Δ не равно нулю, то система имеет единственное решение, заданное формулой 𝑥=ΔΔ,𝑦=ΔΔ,𝑧=ΔΔ.
• Правило Крамера можно распространить на 𝑛 линейные уравнения в 𝑛 неизвестных.
• Чтобы найти Δ, Δ или Δ, мы подставляем значения в матрице констант для столбца в матрице коэффициентов, который идентифицируется и находится определитель вновь образованной матрицы.
• Необходимое условие правила Крамера состоит в том, что определитель матрица коэффициентов ∆ не равна нулю.

Правило Крамера

Рассмотрим общую линейную систему 2 на 2

 

Умножение первого уравнения на a ₂₂ , второго уравнения на − a ₁₂ и сложение результатов исключает y и позволяет вычислить x :

при условии, что ≠ 0. Аналогично, умножая первое уравнение на − a ₂₁ , второе на a ₁₁ , а сложение результатов исключает x и определяет y : 

снова при условии, что a ₁₁ a ₂₂ − a ₁₂ a ₂₁ ≠ 0. Эти выражения для x и y можно записать в терминах определителей следующим образом:

и

Если исходная система записана в матричной форме,

   

, то знаменатели в приведенных выше выражениях для неизвестных x и y равны определителю матрицы коэффициентов. Кроме того, числитель в выражении для первого неизвестного x , равно определителю матрицы, которая получается при замене первого столбца матрицы коэффициентов столбцом констант, а числитель в выражении для второго неизвестного, y , равен определителю матрицы, которая получается при замене второго столбца матрицы коэффициентов столбцом констант. Это Правило Крамера для линейной системы 2 на 2.

Расширение шаблона до линейной системы 3 на 3,

  

Правило Крамера гласит, что если определитель матрицы коэффициентов отличен от нуля, то выражения для неизвестных x, y и z принимают следующий вид:

  

Общая форма правила Крамера выглядит следующим образом: Система n линейных уравнений с n неизвестными, записанная в матричной форме A x = b как

   

будет иметь единственное решение, если det A ≠ 0, и в этом случае значение неизвестного x _j дается выражением

, где A _j — это матрица, которая получается, когда столбец j матрицы коэффициентов A заменяется матрицей столбцов b .

Два важных теоретических результата о квадратных системах следуют из правила Крамера:

Теорема F . Квадратная система A x = b будет иметь единственное решение для каждой матрицы-столбца b тогда и только тогда, когда det A ≠ 0,

Теорема G . Однородная квадратная система A x = 0 будет иметь только тривиальное решение x = 0 тогда и только тогда, когда det A ≠ 0,

Хотя правило Крамера имеет теоретическое значение, поскольку оно дает формулу для неизвестных, обычно это неэффективный метод решения, особенно для больших систем. Исключение Гаусса по-прежнему является предпочтительным методом. Однако правило Крамера может быть полезно, когда, например, требуется значение только одного неизвестного.

Пример 1 : Используйте правило Крамера, чтобы найти значение y , учитывая, что

 

Так как эта линейная система эквивалентна матричному уравнению

 

Правило Крамера подразумевает, что второе неизвестное, y , задается выражением

   

при условии, что знаменатель — определитель матрицы коэффициентов — не равен нулю.