МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СЛР – навчальні матеріали
Залишити коментарВ блозі будуть розміщені навчальні матеріали для вивчення двох методів розв'язування систем лінійних рівнянь. А саме: метод Гауса та матричний метод.Залишити коментар
Используя этот онлайн калькулятор для решения систем линейных уравнений (СЛУ) методом Гаусса, вы сможете очень просто и быстро найти решение системы.
Воспользовавшись онлайн калькулятором для решения систем линейных уравнений методом Гаусса, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на решения систем линейных уравнений, а также закрепить пройденный материал.
онлайн калькулятор
Залишити коментарметод Гауса
метод Гауса 2
матричний метод
матричний метод 2
Залишити коментарМетоди розв’язування систем лінійних рівнянь
Методи розв’язування систем лінійних рівнянь _Freeze
Залишити коментарМетоди Гауса та матричний метод розв’язування
Методи Гауса та матричний метод розв’язування1
Примітка Залишити коментарhttps://example71728.files.wordpress.com/2016/05/d0bcd0b5d182d0bed0b4d0b8-d180d0bed0b7d0b2_d18fd0b7d183d0b2d0b0d0bdd0bdd18f-d181d0b8d181d182d0b5d0bc-d0bbd196d0bdd196d0b9d0bdd0b8d185.docx
Залишити коментарМетод Гауса розв’язування систем лінійних рівнянь.
Основні означення.
Система виду:
(1)
називається системою m лінійних рівнянь з n невідомими.
Шукати розв’язки такої системи будемо на основі алгебраїчних перетворень системи. Мета цих перетворень полягає в тому, що задану систему потрібно замінити новою, більш «простого» виду і щоб нова система мала ту ж саму множину розв’язків, що і задана.
Якщо дві системи задовольняють умові: множина розв’язків однієї з них співпадає з множиною розв’язків другої або обидві вони несумісні, то такі системи називаються рівносильними або еквівалентними.
Виділяємо такі елементарні перетворення:
множення обох частин будь-якого рівняння системи (1) на число, відмінне від 0.
додавання до одного з рівнянь системи (1) іншого рівняння цієї системи, помноженого на будь-яке число.
Розглянуті елементарні перетворення системи лінійних рівнянь покладені в основу метода розв’язування систем.
Цей метод був запропонований Карл Фрідріх Гаус [1] і називається метод послідовного виключення невідомих або метод Гауса [2].Метод Гауса розв’язування систем лінійних рівнянь
Нехай нам дана система лінійних рівнянь (1). Вважаємо, що в заданій системі коефіцієнт a_11≠0.
Утворимо множник -a_21/a_11 . Помножимо на дане число перше рівняння і додамо до другого. Побудуємо число -a_31/a_11 і виконаємо перетворення для ІІІ рівняння і т.д. Врешті перетворимо останнє рівняння (-a_m1/a_11 ). В результаті цих дій утворилася нова система:
(2)
Система (2) отримується в результаті виключення з системи (1) невідомого x_1. Система (2) буде рівносильною системі (1), так як ми застосували елементарні перетворення.
В процесі такої роботи у нашій системі може з’явитися рівняння, всі коефіцієнти якого і вільний член дорівнюють 0 (рівняння виду ОХ=0). Таке рівняння задовольняється будь-яким n-вимірним вектором і не впливає на розв’язок системи. Тому ми можемо таке рівняння вивести з нашої системи, зменшивши кількість рівнянь системи.
Отже l≤m. Наряду з такими рівняннями в системі можуть з’явитись рівняння, у яких всі коефіцієнти при невідомих є нулі, а вільний член не дорівнює нулю (рівняння виду: OX=b,b≠0) Таке рівняння не задовольняється жодним n-вимірним вектором (не має розв’язку). А значить і система, в якій воно є, розв’язків не має. Тобто система буде несумісною. Отже, якщо в системі (2) не має рівняння виду OX=b, тобто вона сумісна, ми можемо застосувати до неї ще такі цикли перетворень, виключаючи невідоме x_2, x_3, x_4і т.д.Система (3) буде рівносильна всім своїм попереднім системам, а отже рівносильна системі (1). Вважаємо, що система (3) не містить рівнянь виду OX=b.
Можливі два випадки:
k=n
Отримується система виду:
(4)
В останньому рівнянні цієї системи залишиться тільки одне невідоме. Така система називається системою виду трикутника. Вона буде мати єдиний розв’язок і буде визначеною.
k Така система буде називатися системою виду трапеції. В цій системі кількість рівнянь k буде меншою за кількість невідомих n.
В цьому випадку в лівій частині даної системи залишимо точно k невідомих (x_1-x_k), а решту (x_(k+1)-x_n) перенесемо в праву частину і надаємо їм значення «вільних» невідомих (вільні невідомі набувають довільні числові значення). Тоді через значення вільних невідомих ми можемо визначити значення невідомих, що залишилися в лівій частині і знайти загальний розв’язок системи. В цьому випадку система має множину розв’язків – система невизначена. Конкретний розв’язок таких систем називається частинним розв’язком.Висновки з методу Гауса:
Метод Гауса дозволяє знайти всі розв’язки системи (1), якщо вони існують або довести, що система (1) несумісна.
Якщо в системі з’являться рівняння виду OX=0, то ми маємо право вивести це рівняння з системи.
Якщо в системі з’являться рівняння виду OX=b, то це означає, що задана система несумісна.
Якщо система зводиться до виду трикутника, то така система сумісна і визначена.
Якщо система зводиться до виду трапеції, то така система буде сумісна але невизначена (має загальний розв’язок).
7) a n > 1, якщо a > 1, n > 0
8) a n 1, n
9) a n > a m, якщо 0
У практиці часто використовують функції виду y = a x , де a — задане позитивне число, x — змінна. Такі функції називають показовими. Ця назва пояснюється тим, що аргументом показової функції є показник ступеня, а основою ступеня – задане число.
Визначення.Показовою функцією називається функція виду y = a x , де а — задане число, a > 0, (a \ neq 1 \)
Показова функція має такі властивості
1) Область визначення показової функції — безліч всіх дійсних чисел.
Ця властивість випливає з того, що ступінь a x де a > 0 визначено для всіх дійсних чисел x.
2) Безліч значень показової функції — безліч всіх позитивних чисел.
Щоб переконатися в цьому, потрібно показати, що рівняння a x = b де а > 0, \(a \neq 1\), не має коренів, якщо \(b \leq 0\), і має корінь при будь-якому b > 0 .
3) Показова функція у = a x є зростаючою на безлічі всіх дійсних чисел, якщо a > 1, і спадною, якщо 0 Це випливає з властивостей ступеня (8) і (9)
Побудуємо графіки показових функцій у = a x при a > 0 і за 0 Використавши розглянуті властивості відзначимо, що графік функції у = a x при a > 0 проходить через точку (0; 1) і вище осі Oх.
Якщо х 0.
Якщо x > 0 і |х| збільшується, то графік швидко піднімається нагору.
Графік функції у = a x при 0 Якщо х > 0 і збільшується, графік швидко наближається до осі Ох (не перетинаючи її). Таким чином, вісь Ох є горизонтальною асимптотою графіка.
Якщо х
Показові рівняння
Розглянемо кілька прикладів показових рівнянь, тобто. рівнянь, у яких невідоме міститься у показнику ступеня. Рішення показових рівнянь часто зводиться до розв’язання рівняння a x = a b де а > 0, \(a \neq 1\), x — невідоме. Це рівняння вирішується за допомогою властивості ступеня: ступеня з однаковою основою а > 0, (a \neq 1 \) рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх показники.
Розв’язати рівняння 2 3x 3 x = 576
Оскільки 2 3x = (2 3) x = 8 x , 576 = 24 2 , то рівняння можна записати у вигляді 8 x 3 x = 24 2 або у вигляді 24 x = 24 2 , звідки х = 2.
Відповідь х = 2
Розв’язати рівняння 3 х + 1 — 2 3 x — 2 = 25
Виносячи в лівій частині за дужки загальний множник 3 х — 2, отримуємо 3 х — 2 (3 3 — 2) = 25, 3 х — 2 25 = 25,
звідки 3 х – 2 = 1, x – 2 = 0, x = 2
Відповідь х = 2
Розв’язати рівняння 3 х = 7 х
Оскільки \(7^x \neq 0 \) , то рівняння можна записати у вигляді \(\frac(3^x)(7^x) = 1 \), звідки \(\left(\frac(3)( 7) \right) ^x = 1 \), х = 0
Відповідь х = 0
Розв’язати рівняння 9 х — 4 3 х — 45 = 0
Заміною 3 х = t дане рівняння зводиться до квадратного рівняння t 2 — 4t — 45 = 0.
(x-2) = 1 \)
x — 2 = 0
Відповідь х = 2
Вирішити рівняння 3 | х — 1 | = 3 | x + 3 |
Оскільки 3 > 0, \(3 \neq 1\), вихідне рівняння рівносильне рівнянню |x-1| = | x +3 |
Зводячи це рівняння у квадрат, отримуємо його наслідок (х — 1) 2 = (х + 3) 2 , звідки
х 2 — 2х + 1 = х 2 + 6х + 9, 8x = -8, х = -1
Перевірка показує, що х = -1 – корінь вихідного рівняння.
Відповідь х = -1
Сервіс для вирішення рівнянь онлайн допоможе вам вирішити будь-яке рівняння. Використовуючи наш сайт, ви отримаєте не просто відповідь рівняння, а й побачите докладне рішення, тобто покрокове відображення процесу отримання результату. Наш сервіс буде корисним старшокласникам загальноосвітніх шкіл та їхнім батькам. Учні зможуть підготуватися до контрольних, іспитів, перевірити знання, а батьки – проконтролювати рішення математичних рівнянь своїми дітьми. Вміння розв’язувати рівняння – обов’язкова вимога до школярів. Сервіс допоможе вам самонавчати і підвищувати рівень знань у галузі математичних рівнянь.
З його допомогою ви зможете вирішити будь-яке рівняння: квадратне, кубічне, ірраціональне, тригонометричне та ін. Користь онлайн сервісу безцінна, адже крім правильної відповіді ви отримуєте докладне рішення кожного рівняння. Переваги розв’язання рівнянь онлайн. Вирішити будь-яке рівняння онлайн на нашому сайті ви можете абсолютно безкоштовно. Сервіс повністю автоматичний, вам нічого не доведеться встановлювати на свій комп’ютер, достатньо буде лише ввести дані та програма видасть рішення. Будь-які помилки у розрахунках або друкарські помилки виключені. З нами вирішити будь-яке рівняння онлайн дуже просто, тому обов’язково використовуйте наш сайт для вирішення будь-яких видів рівнянь. Вам необхідно лише ввести дані та розрахунок буде виконано за лічені секунди. Програма працює самостійно, без людської участі, а ви отримуєте точну та докладну відповідь. Розв’язання рівняння у загальному вигляді. У такому рівнянні змінні коефіцієнти та коріння, що шукаються, пов’язані між собою.
2-4ac. Якщо дискримінант менший за нуль, то рівняння не має дійсних коренів (коріння знаходиться з поля комплексних чисел), якщо дорівнює нулю, то у рівняння один дійсний корінь, і якщо дискримінант більший за нуль, то рівняння має два дійсних кореня, які знаходяться за формулою: D = -b+-sqrt/2а. Для вирішення квадратного рівняння онлайн вам достатньо запровадити коефіцієнти такого рівняння (цілі числа, дроби чи десяткові значення). За наявності знаків віднімання рівняння необхідно поставити мінус перед відповідними членами рівняння. Вирішити квадратне рівняння онлайн можна і залежно від параметра, тобто змінних коефіцієнтів рівняння. З цим завданням чудово справляється наш онлайн сервіс з знаходження загальних рішень. Лінійні рівняння. Для вирішення лінійних рівнянь (або системи рівнянь) на практиці використовуються чотири основні методи. Опишемо кожен метод докладно. Метод підстановки. Розв’язання рівнянь методом підстановки вимагає виразити одну змінну через інші. Після цього вираз підставляється на інші рівняння системи.
Звідси і назва методу рішення, тобто замість змінної підставляється її вираз через інші змінні. На практиці метод вимагає складних обчислень, хоч і простий у розумінні, тому рішення такого рівняння онлайн допоможе заощадити час та полегшити обчислення. Вам достатньо вказати кількість невідомих у рівнянні та заповнити дані від лінійних рівнянь, далі сервіс зробить розрахунок. Метод Гауса. В основі методу найпростіші перетворення системи з метою дійти до рівносильної системи трикутного вигляду. Із неї по черзі визначаються невідомі. На практиці потрібно вирішити таке рівняння онлайн з докладним описом, завдяки чому ви добре засвоїте метод Гауса для вирішення систем лінійних рівнянь. Запишіть у правильному форматі систему лінійних рівнянь та врахуйте кількість невідомих, щоб безпомилково виконати рішення системи. Метод Крамер. Цим методом вирішуються системи рівнянь у випадках, коли система єдине рішення. Головна математична дія тут – це обчислення матричних визначників. Рішення рівнянь методом Крамера проводиться в режимі онлайн, результат ви отримуєте миттєво з повним та детальним описом.
Достатньо лише заповнити систему коефіцієнтами та вибрати кількість невідомих змінних. Матричний метод. Цей метод полягає у зборі коефіцієнтів при невідомих у матрицю А, невідомих – у стовпець Х, а вільних членів у стовпець В. Таким чином, система лінійних рівнянь зводиться до матричного рівняння виду АхХ=В. У цього рівняння єдине рішення тільки якщо визначник матриці А відмінний від нуля, інакше система не має рішень, або нескінченну кількість рішень. Розв’язання рівнянь матричним методом полягає у знаходженні зворотної матриці А.
2x 4 + 5x 3 — 11x 2 — 20x + 12 = 0
Для початку необхідно шляхом вибору знайти один корінь. Зазвичай він є дільником вільного члена. У цьому випадку дільниками числа 12 є ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.Почнемо їх підставляти по черзі:
1: 2 + 5 — 11 — 20 + 12 = -12 ⇒ число 1
-1: 2 — 5 — 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ число -1 не є коренем багаточлена
2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 — 11 ∙ 4 — 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ число 2 є коренем багаточлена
Ми знайшли один з коренів багаточлена.
Коренем багаточлена є 2, отже вихідний многочлен повинен ділитися на x — 2. Для того, щоб виконати поділ багаточленів, скористаємося схемою Горнера:
| 2 | 5 | -11 | -20 | 12 | |
| 2 |
У верхньому рядку виставляються коефіцієнти вихідного многочлена. У першому осередку другого рядка ставиться знайдений нами корінь 2. У другому рядку пишуться коефіцієнти багаточлена, який вийде внаслідок розподілу. Вони вважаються так:
| У другому осередку другого рядка запишемо число 2, просто перенісши його з відповідного осередку першого рядка. | ||||||||||||
| 2 ∙ 2 + 5 = 9 | ||||||||||||
| 2 ∙ 9 — 11 = 7 | ||||||||||||
| 2 ∙ 7 — 20 = -6 | ||||||||||||
| 2 ∙ (-6) + 12 = 0 |
Останнє число — це залишок від розподілу.
Якщо він дорівнює 0, то ми всі правильно порахували.
2x 4 + 5x 3 — 11x 2 — 20x + 12 = (x — 2) (2x 3 + 9x 2 + 7x — 6)
Але це ще не кінець. Можна спробувати розкласти таким же способом багаточлен 2×3+9×2+7x-6.
Знову шукаємо коріння серед дільників вільного члена. Дільниками числа -6 є ±1, ±2, ±3, ±6.
1: 2 + 9 + 7 — 6 = 12 ⇒ число 1 не є коренем багаточлена
-1: -2 + 9 — 7 — 6 = -6 ⇒ число -1 не є коренем багаточлена
2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 — 6 = 60 ⇒ число 2 не є коренем багаточлена
-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) — 6 = 0 ⇒ число -2 є коренем багаточлена
Напишемо знайдений корінь у нашу схему Горнера і почнемо заповнювати порожні осередки:
| У другому осередку третього рядка запишемо число 2, просто перенісши його з відповідного осередку другого рядка. | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ 2 + 9 = 5 | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ 5 + 7 = -3 | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ (-3) — 6 = 0 |
Таким чином ми вихідний багаточлен розклали на множники:
2x 4 + 5x 3 — 11x 2 — 20x + 12 = (x — 2)(x + 2)(2x 2 + 5x — 3)
Багаточлен 2x 2 + 5x — 3також можна розкласти на множники.
Для цього можна вирішити квадратне рівняння через дискримінант, а можна пошукати корінь серед дільників числа -3. Так чи інакше, ми дійдемо висновку, що корінням цього багаточлена є число -3
| До другого осередку четвертого рядка запишемо число 2, просто перенісши його з відповідного осередку третього рядка. | ||||||||||||||||||||||||
| -3 ∙ 2 + 5 = -1 | ||||||||||||||||||||||||
| -3 ∙ (-1) — 3 = 0 |
Таким чином ми вихідний багаточлен розклали на лінійні множники:
2x 4 + 5x 3 — 11x 2 — 20x + 12 = (x — 2)(x + 2)(x + 3)(2x — 1)
А корінням рівняння є.
Рівняння з одним невідомим, яке після розкриття дужок та приведення подібних членів набуває вигляду
aх + b = 0, де a і b довільні числа, називається лінійним рівнянням з одним невідомим. Сьогодні розберемося, як ці лінійні рівняння вирішувати.
Наприклад, усі рівняння:
2х + 3 = 7 — 0,5 х; 0,3 х = 0; x/2 + 3 = 1/2 (х – 2) – лінійні.
Значення невідомого, що звертає рівняння у правильну рівність, називається рішенням або коренем рівняння .
Наприклад, якщо в рівнянні 3х + 7 = 13 замість невідомого х підставити число 2 то отримаємо правильну рівність 3 · 2 +7 = 13. Значить, значення х = 2 є рішення або корінь рівняння.
А значення х = 3 не перетворює рівняння 3х + 7 = 13 у правильну рівність, оскільки 3· 2 +7 ≠ 13. Значить, значення х = 3 не є розв’язком або коренем рівняння.
Розв’язання будь-яких лінійних рівнянь зводиться до розв’язання рівнянь виду
aх + b = 0.
Перенесемо вільний член із лівої частини рівняння в праву, змінивши при цьому знак перед b на протилежний, отримаємо
Якщо a ≠ 0, то х = ‒ b/a .
приклад 1. Розв’яжіть рівняння 3х + 2 =11.
Перенесемо 2 з лівої частини рівняння в праву, змінивши при цьому знак перед 2 протилежний, отримаємо
3х = 11 — 2.
Виконаємо віднімання, тоді
3х = 9.
Щоб знайти їх треба розділити твір на відомий множник, тобто
х = 9: 3.
Значить, значення х = 3 є розв’язком чи коренем рівняння.
Відповідь: х = 3.
Якщо а = 0 та b = 0, Отримаємо рівняння 0х = 0. Це рівняння має нескінченно багато рішень, так як при множенні будь-якого числа на 0 ми отримуємо 0, але b теж дорівнює 0. Рішенням цього рівняння є будь-яке число.
приклад 2.Розв’яжіть рівняння 5(х – 3) + 2 = 3 (х – 4) + 2х ‒ 1.
Розкриємо дужки:
5х — 15 + 2 = 3х — 12 + 2х — 1.
5х — 3х — 2х = — 12 — 1 + 15 — 2.
Наведемо такі члени:
0х = 0.
Відповідь: х — будь-яке число.
Якщо а = 0 та b ≠ 0, Отримаємо рівняння 0х = — b. Це рівняння рішень немає, оскільки з множенні будь-якого числа на 0 ми отримуємо 0, але b ≠ 0 .
приклад 3.Розв’яжіть рівняння х + 8 = х + 5.
Згрупуємо в лівій частині члени, які містять невідомі, а в правій – вільні члени:
х — х = 5 — 8.
Наведемо такі члени:
0х = ‒ 3.
Відповідь: немає рішень.
на малюнку 1 зображено схему розв’язання лінійного рівняння
Складемо загальну схему розв’язання рівнянь з однією змінною. Розглянемо рішення прикладу 4.
приклад 4. Нехай треба розв’язати рівняння
1) Помножимо всі члени рівняння на найменше загальне кратне знаменників, що дорівнює 12.
2) Після скорочення отримаємо
4 (х — 4) + 3 · 2 (х + 1) — 12 = 6 · 5 (х — 3) + 24х — 2 (11х + 43)
3) Щоб відокремити члени, які містять невідомі та вільні члени, розкриємо дужки:
4х — 16 + 6х + 6 — 12 = 30х — 90 + 24х — 22х — 86.
4) Згрупуємо в одній частині члени, які містять невідомі, а в іншій – вільні члени:
4х + 6х — 30х — 24х + 22х = — 90 — 86 + 16 — 6 + 12.
5) Наведемо такі члени:
‒ 22х = ‒ 154.
6) Розділимо на – 22 , Отримаємо
х = 7.
Як бачимо, корінь рівняння дорівнює семи.
Взагалі такі рівняння можна вирішувати за наступною схемою:
а) привести рівняння до цілого виду;
б) розкрити дужки;
в) згрупувати члени, що містять невідоме, в одній частині рівняння, а вільні члени – в іншій;
г) навести таких членів;
д) вирішити рівняння виду aх = b, яке одержали після приведення подібних членів.
Однак ця схема не є обов’язковою для будь-якого рівняння. При розв’язанні багатьох простіших рівнянь доводиться починати не з першого, а з другого ( приклад. 2), третього ( приклад. 1, 3) і навіть із п’ятого етапу, як у прикладі 5.
Приклад 5.Розв’яжіть рівняння 2х = 1/4.
Знаходимо невідоме х = 1/4: 2,
х = 1/8 .
Розглянемо розв’язання деяких лінійних рівнянь, що зустрічаються на основному державному екзамені.
Приклад 6.Розв’яжіть рівняння 2 (х + 3) = 5 — 6х.
2х + 6 = 5 — 6х
2х + 6х = 5 — 6
Відповідь: ‒ 0, 125
Приклад 7.Розв’яжіть рівняння – 6 (5 – 3х) = 8х – 7.
— 30 + 18х = 8х — 7
18х — 8х = — 7 +30
Відповідь: 2,3
Приклад 8. Розв’яжіть рівняння
3 (3х — 4) = 4 · 7х + 24
9х — 12 = 28х + 24
9х — 28х = 24 + 12
Приклад 9.Знайдіть f(6), якщо f(x + 2) = 3 7-х
Рішення
Тому що треба знайти f(6), а нам відомо f(x + 2),
то х + 2 = 6.
Вирішуємо лінійне рівняння х + 2 = 6,
отримуємо х = 6 — 2, х = 4.
Якщо х = 4, тоді
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27
Відповідь: 27.
Якщо у Вас залишилися питання, є бажання розібратися з розв’язанням рівнянь більш ґрунтовно, записуйтесь на мої уроки у РОЗКЛАДІ . Буду рада Вам допомогти!
Також TutorOnline радить переглянути новий відеоурок від нашого репетитора Ольги Олександрівни, який допоможе розібратися як з лінійними рівняннями, так і з іншими.
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов’язкове.
Квадратні рівняння вивчають у 8 класі, тож нічого складного тут немає. Вміння вирішувати їх необхідно.
Квадратне рівняння — це рівняння виду ax 2 + bx + c = 0, де коефіцієнти a, b і c — довільні числа, причому a ≠ 0.
Перш ніж вивчати конкретні методи розв’язання, зауважимо, що всі квадратні рівняння можна умовно поділити на три класи:
- Не мають коріння;
- Мають рівно один корінь;
- Мають два різні корені.
У цьому полягає важлива відмінність квадратних рівнянь від лінійних, де корінь завжди існує і єдний. Як визначити, скільки коренів має рівняння? Для цього існує чудова річ. дискримінант.
Дискримінант
Нехай дано квадратне рівняння ax 2 + bx + c = 0. Тоді дискримінант це просто число D = b 2 − 4ac .
Цю формулу треба знати напам’ять. Звідки вона береться — зараз не має значення.
Важливо інше: за знаком дискримінанта можна визначити, скільки коренів має квадратне рівняння. А саме:
- Якщо D
- Якщо D = 0, є рівно один корінь;
- Якщо D > 0, коріння буде два.
Зверніть увагу: дискримінант вказує на кількість коренів, а зовсім не на їхні знаки, як чомусь багато хто вважає. Погляньте на приклади — і самі все зрозумієте:
Завдання. Скільки коренів мають квадратні рівняння:
- x 2 − 8x + 12 = 0;
- 5×2+3x+7=0;
- x 2 — 6x + 9 = 0.
Випишемо коефіцієнти для першого рівняння та знайдемо дискримінант:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16
Отже, дискримінант позитивний, тому рівняння має два різні корені. Аналогічно розбираємо друге рівняння:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.
Дискримінант негативний, коріння немає. Залишилося останнє рівняння:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.
Дискримінант дорівнює нулю – корінь буде один.
Зверніть увагу, що для кожного рівняння було виписано коефіцієнти. Так, це довго, так, це нудно — зате ви не переплутаєте коефіцієнти і не припуститеся дурних помилок. Вибирайте самі: швидкість чи якість.
До речі, якщо «набити руку», через деякий час вже не потрібно виписувати всі коефіцієнти. Такі операції ви виконуватимете в голові. Більшість людей починають робити десь після 50-70 вирішених рівнянь — загалом, не так і багато.
Коріння квадратного рівняння
Тепер перейдемо власне до рішення. Якщо дискримінант D > 0, коріння можна знайти за формулами:
Основна формула коренів квадратного рівняння
Коли D = 0, можна використовувати будь-яку з цих формул — вийде те саме число, яке і буде відповіддю. Нарешті, якщо D
- x 2 − 2x − 3 = 0;
- 15 − 2x − x 2 = 0;
- x2+12x+36=0.
Перше рівняння:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.
D > 0 ⇒ рівняння має два корені. Знайдемо їх:
Друге рівняння:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.
D > 0 ⇒ рівняння знову має два корені. Знайдемо їх
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]
Нарешті, третє рівняння:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.
D = 0 ⇒ рівняння має один корінь. Можна використати будь-яку формулу. Наприклад, першу:
Як бачимо з прикладів, все дуже просто. Якщо знати формули та вміти рахувати, проблем не буде. Найчастіше помилки виникають при підстановці формулу негативних коефіцієнтів. Тут знову ж таки допоможе прийом, описаний вище: дивіться на формулу буквально, розписуйте кожен крок — і дуже скоро позбавтеся помилок.
Неповні квадратні рівняння
Буває, що квадратне рівняння дещо відрізняється від того, що дано у визначенні.
Наприклад:
- x 2 + 9x = 0;
- x 2 — 16 = 0.
Неважко помітити, що у цих рівняннях відсутнє одне із доданків. Такі квадратні рівняння вирішуються навіть легше, ніж стандартні: у них навіть не потрібно вважати дискримінант. Отже, введемо нове поняття:
Рівняння ax 2 + bx + c = 0 називається неповним квадратним рівнянням, якщо b = 0 чи c = 0, тобто. коефіцієнт при змінній x чи вільний елемент дорівнює нулю.
Вочевидь, можливий дуже важкий випадок, коли обидва цих коефіцієнта дорівнюють нулю: b = c = 0. І тут рівняння набуває вигляду ax 2 = 0. Вочевидь, таке рівняння має єдиний корінь: x = 0.
Розглянемо решту випадків. Нехай b = 0, тоді отримаємо неповне квадратне рівняння виду ax 2 + c = 0. Дещо перетворимо його:
Оскільки арифметичний квадратний корінь існує тільки з невід’ємного числа, остання рівність має сенс виключно за (−c /a ) ≥ 0. Висновок:
- Якщо у неповному квадратному рівнянні виду ax 2 + c = 0 виконано нерівність (−c /a ) ≥ 0, коріння буде два.
Формула дана вище; - Якщо ж (−c /a)
Формула дана вище;Як бачите, дискримінант не був потрібний — у неповних квадратних рівняннях взагалі немає складних обчислень. Насправді навіть необов’язково пам’ятати нерівність (−c /a ) ≥ 0. Достатньо виразити величину x 2 і подивитися, що стоїть з іншого боку знаку рівності. Якщо там позитивне число — коріння буде два. Якщо негативне — коріння взагалі не буде.
Тепер розберемося з рівняннями виду ax 2 + bx = 0, у яких вільний елемент дорівнює нулю. Тут усе просто: коріння завжди буде два. Достатньо розкласти багаточлен на множники:
Винесення загального множника за дужкуДобуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю. Звідси є коріння. На закінчення розберемо кілька таких рівнянь:
Завдання. Розв’язати квадратні рівняння:
- x 2 − 7x = 0;
- 5x 2 + 30 = 0;
- 4x 2 − 9 = 0.
x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.
5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6.
Коріння немає, т.к. квадрат не може дорівнювати негативному числу.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.
systeme — Выравнивание системы линейных уравнений — TeX
Задавать вопрос
спросил
Изменено 6 лет, 9 месяцев назад
Просмотрено 117 тысяч раз
Я хочу выяснить, как мне очень хорошо выровнять систему линейных уравнений.
В данный момент я использую следующую команду:
\systeme{x_1=2r + s -t,x_2= r, x_3=-2s +2t, x_4=s, x_5=t}
Но это дает мне что-то уродливое в форме лестницы, например:
В любом случае, я мог бы исправить это так, чтобы x_i были с левой стороны, красиво друг под другом, и, возможно, со знаками уравнения выровнены?
Вот MWE:
\documentclass[11pt,a4paper,openany]{отчет}
\usepackage{amssymb,amsmath,amsthm}
\usepackage[голландский]{babel}
\usepackage{mdframed}
\usepackage{система,mathtools}
\makeatletter
\renewcommand*\env@matrix[1][*\c@MaxMatrixCols c]{%
\hskip -\arraycolsep
\let\@ifnextchar\new@ifnextchar
\массив{#1}}
\ сделать другое
\usepackage{липсум}
\usepackage{relsize}
\ новая команда \ md {\ }
\начать{документ}
\systeme{x_1=2r + s -t, x_2= r, x_3=-2s +2t, x_4=s, x_5=t}
\конец{документ}
- уравнения
- система
Для этого используется команда \systeme* :
\documentclass[11pt,a4paper,openany]{отчет}
\usepackage{аммат}
\usepackage{система}
\начать{документ}
Я хочу выяснить, как я могу очень хорошо выровнять систему линейных уравнений.
На данный момент я использую следующую команду:
\[
\systeme*{x_1=2r + s -t, x_2= r, x_3=-2s +2t, x_4=s, x_5=t}
\]
\конец{документ}
На данный момент я использую следующую команду:
\[
\systeme*{x_1=2r + s -t, x_2= r, x_3=-2s +2t, x_4=s, x_5=t}
\]
\конец{документ}
Установив значение \syslineskipcoeff , вы можете изменить интервал; значение по умолчанию 1,25:
\[
\syslineskipcoeff{1}
\systeme*{x_1=2r + s -t, x_2= r, x_3=-2s +2t, x_4=s, x_5=t}
\]
5 Вот решение, в котором используется только пакет массива и среда массива . Если вам интересно, что происходит в преамбуле массив среда:
Четыре столбца, содержащие переменные, имеют тип
r, чтобы получить правильное расстояние вокруг символов
=и знаки+и-, количество межколонного пробела (управляется параметром длины\ Arraycolsep), первое, установлено в0PT.Символы
=вставляются автоматически; директива@{{}={}}указывает LaTeX рассматривать=как объект типаmathrel.Директивы
>{{}}c<{{}}сообщают LaTeX установить по центру содержимое столбца (которое будет либо+,-, либо пустое) и рассматривать их как объекты типаматбин.
\documentclass[11pt,a4paper,openany]{отчет}
\usepackage{массив}
\начать{документ}
\[
\левый\{
\setlength\arraycolsep{0pt}
\begin{array}{ r @{{}={}} r >{{}}c<{{}} r >{{}}c<{{}} r }
х_1&2р &+&с&-&т\
х_2&г\
х_3&&-&2с&+&2т\
x_4 & & & с \\
х_5 & & & & & т \\
\конец{массив}
\верно.
\]
\конец{документ}
Команда systeme предназначена для того, чтобы "матричная" (если вы не можете сказать, я инженер, а не математик) часть системы располагалась слева, а не справа - стороны рук.
Если вы можете принять простую замену LHS->RHS вашего ввода, systeme работает из коробки:
\documentclass{article}
\usepackage{система}
\начать{документ}
\systeme{2r + s -t=x_1, r=x_2, -2s +2t=x_3, s=x_4, t=x_5}
\конец{документ}
Вероятно, можно создать новую команду в духе \systeme{} , поменяв местами выровненные и невыровненные стороны, но код выше моего понимания.
;-)
Простой хак с выровненной по средой :
\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{система}
\usepackage{аммат}
\начать{документ}
\[ \left\{\begin{выровнено}x_1 & = \\x_2 & =\\x_3 & =\\x_4 & =\\x_5 & =\\ \end{выровнено}\sysdelim. . \systeme[rst]{2r + s -t, r, -2s +2t, s, t}\right.
\]%
\конец{документ}
Использование стека TAB. В этом случае «Центр» \tabbedCenterstack относится к вертикальному центрированию, [r] относится к горизонтальному выравниванию каждого столбца по правому краю, \stackMath обрабатывает данные в математическом режиме, а \TABbinary вставляет {} до и после каждой ячейки, чтобы дать + и - правильный горизонтальный интервал.
\documentclass[11pt,a4paper,openany]{отчет}
\usepackage{tabstackengine}
\стекМатематика
\начать{документ}
\[
\левый\{
\TABbinary\tabbedCenterstack[r]{
х_1=&2р &+&с&-&т\
х_2 =& г \\
x_3 =& &-& 2s &+& 2t \\
x_4 =&&&с\\
x_5 =& & & & & & т
}\верно.
\]
\конец{документ}
2
\]
\конец{документ}
Математика 1314 Информация об алгебре колледжа |
LSC-CyFair Math Department
Описание каталога:
Углубленное изучение и применение полиномиальных, рациональных, радикальных, абсолютных, кусочно определенных, экспоненциальных и логарифмических функций, уравнений, неравенств, навыки построения графиков и систем уравнений с использованием матриц . Могут быть включены дополнительные темы, такие как последовательности, ряды, вероятности, коники и инверсии.
Курс Результаты обучения:
Студент будет:
- Демонстрировать и применять знания о свойствах функций, включая область определения и область значений, операции, композиции, обратные и кусочно определенные функции.
- Распознавать, отображать и применять полиномиальные, рациональные, радикальные, экспоненциальные, логарифмические и абсолютные функции и решать соответствующие уравнения.
- Применение графических методов.
- Вычислить все корни многочленов высших степеней и рациональных функций.
- Распознавать, решать и применять системы линейных уравнений с использованием матриц.
- Решение абсолютного, полиномиального и рационального неравенств.
Контактная информация о часах
Кредитные часы: 3
Часы лекций: 3
Часы работы лаборатории: 0
Внешние часы: 0
Общее количество контактных часов: 48
Предварительные требования:
МАТЕМАТИКА 0310 или зачисление путем тестирования
Необходимые условия:
Курс можно пройти одновременно с зачислением на курс математики 0314
Необходимые материалы
Учебник: Lial, Hornsby, Schneider, Daniels; Начальная и средняя алгебра и алгебра колледжа: необходимое решение , 1-е изд.; Пирсон
Требуется: учащиеся должны купить код доступа к MyMathLab, онлайн-системе управления курсами, которая включает в себя полную электронную книгу; учащимся сначала потребуется идентификатор курса, предоставленный преподавателем, чтобы зарегистрироваться; онлайн-покупка доступа к MyMathLab на сайте www.
mymathlab.com;
ISBN для печатных копий MyMathLab Коды доступа: 9780134896038
Текст в твердом переплете (College Algebra, 12-е изд.) + доступ к MyMathLab на 24 месяца, ISBN: 9780135263419
Примечание для преподавателей: при создании курса MyMathLab с нуля выполняйте поиск по следующему ISBN, а не по названию или автору текста: 9780134896038
Калькулятор:
Калькуляторы могут потребоваться для некоторых заданий/оценок по усмотрению инструктора. Подробности смотрите в программе занятий.
Ни сотовые телефоны, ни КПК не могут использоваться в качестве калькуляторов. Калькуляторы могут быть очищены перед тестами.
Информация по математике 0314/1314 Дополнительная программа:
Общие процедуры для обязательных классов LSC-CyFair
Математика 0314 Информация о курсе Страница
Схема, показывающая соответствие математики 0314/0315 и математики 1314
Формулы:
В этом курсе содержится набор фактов, формул и тождеств, которые учащиеся должны запомнить, потому что иметь их наготове для запоминания очень важно.
необходимы для их успеха в будущих классах. Преподаватели должны разработать тестовые задания, для которых требуются эти формулы, чтобы оценить, усвоены ли они. Учащимся не должно быть разрешено приносить их на тест на бланке с формулами, а преподаватели не должны предоставлять им эти формулы.
Нажмите здесь для получения необходимых формул по алгебре для колледжа.
Разделы учебника
В некоторых разделах охвачены не все цели. Требуемые цели перечислены ниже. Для пояснения перечислены примеры, которые сопровождают цели, которые можно пропустить. Инструкторы могут охватывать дополнительные задачи по своему усмотрению. Хотя инструкторы не обязательно могут давать все задачи из предлагаемых блоков упражнений, чтобы продемонстрировать свое мастерство в результатах обучения по этому курсу, учащиеся должны уметь решать любые задачи из этих списков.
Рекомендации по написанию экзаменов по алгебре в колледже
Особенно для новых преподавателей эти предложения могут оказаться полезными при планировании и подготовке к экзаменам по алгебре колледжа.
| Раздел | Цели для покрытия | Примеры для пропуска | Предлагаемые упражнения |
|---|---|---|---|
| 1.3 Комплексные числа | - Основные понятия комплексных чисел - Операции над комплексными числами | Нет | 11 - 84, 89 - 100 |
| 1.4 Квадратные уравнения | - Свойство нулевого фактора - Свойство квадратного корня - Завершение площади - Квадратичная формула - Решение для указанной переменной | 7,9 | 13 - 48, 51 - 65, 71 - 78 |
| 1.5 Приложения и моделирование с помощью квадратных уравнений | - Задачи по геометрии - Теорема Пифагора - Высота проектируемого объекта | 4 | 1 - 48 |
1. 6 Другие типы уравнений и приложений | - Рациональные уравнения - Уравнения с радикалами - Уравнения с рациональными показателями - Квадратные уравнения в форме | 3 | 6–10, 17–36, 45–100 |
| 1.7 Неравенства | - Линейные неравенства - Трехчастное неравенство - Квадратные неравенства - Рациональные неравенства | Нет | 13 - 24, 29 - 52, 55 - 78 |
| 1.8 Уравнения абсолютного значения и неравенства | - Основные понятия | 4, 5, 6 | 9 - 66 |
| 2.1 Прямоугольные координаты и графики | - Формула расстояния - Формула средней точки - Уравнения с двумя переменными | 1, 3, 4, 6, 7 | 15–22, 35–40, 47–58 |
2. 2 Круги | - Форма центр-радиус - Общая форма | 6 | 11 - 38 |
| 2.3 Функции | - Отношения и функции - Домен и диапазон - Определение того, являются ли отношения функциями 90 195 - Обозначение функции - Возрастающие, убывающие и постоянные функции | Нет | 11 - 96 |
| 2.5 Уравнения прямых и линейные модели | - Формула уклона точки - Форма пересечения склонов - Вертикальные и горизонтальные линии - Параллельные и перпендикулярные линии | 7, 8 | 11–31, 34–43, 45–58 |
| 2.6 Графики основных функций | - Преемственность - Функции тождества, возведения в квадрат и куба - Функции квадратного корня и кубического корня - Функция абсолютного значения - Кусочно-определенные функции (Функция пропуска наибольшего целого числа) - Отношение х = у 2 | 3, 4 | 1–5, 7–42 |
2. 7 Методы построения графиков | - Растяжение и сжатие - Отражение - Симметрия - Четные и нечетные функции - Переводы | Нет | 11 - 94, 103, 104 |
| 2.8 Функциональные операции и состав | - Арифметические операции над функциями - Состав функций и домена | 4 | 11 - 24, 33 -40, 57 - 64, 73 - 88, 93 - 96 |
| 3.1 Квадратичные функции и модели | - Полиномиальные функции - Квадратичные функции - Методы построения графиков - Завершение площади - Формула вершины | 6 | 11 - 50, 57, 58 |
| 3.2 Синтетический отдел | - Синтетический отдел (пропустить алгоритмы разделения) - Теорема об остатках - Возможные нули полиномиальных функций | Нет | 7–24, 33–64 |
3. 3 Нули полиномиальных функций | - Факторная теорема - Теорема о рациональных нулях | 4, 5, 6, 7 | 9 - 26, 31 - 34, 39 - 52 |
| 3.4 Полиномиальные функции: графики, приложения и модели | - Графики f ( x ) = ax n - Графики общих полиномиальных функций - Поведение у Зеро - Поворотные моменты и конечное поведение - Методы построения графиков | 5, 6, 7, 8 | 1 - 46, 71 - 88 (вопросы 75–82, используйте функцию нуля в TI 83/84) |
| 3.5 Рациональные функции: графики, приложения и модели | - Обратные функции f ( x ) = 1/ x - Функция f ( x ) = 1/ x 2 | 5, 6, 7, 8, 9, 10 | 1–28, 37–46 (идентифицируют только вертикальные асимптоты), 61–100 (идентифицируют только нули и вертикальные асимптоты) |
4. 1 Обратные функции | - Индивидуальные функции - Обратные функции - Уравнения обратных величин | 9 | 1, 2, 11–28, 41–82 |
| 4.2 Экспоненциальные функции | - Показатели и свойства - Экспоненциальные функции - Экспоненциальные уравнения - Сложные проценты - Номер е и непрерывное компаундирование | 11 | 11 - 106 |
| 4.3 Логарифмические функции | - Логарифмы - Логарифмические уравнения - Логарифмические функции - Свойства логарифмов | 7 | 11 - 92 |
| 4.4 Вычисление логарифмов и теорема о замене основания | - десятичные логарифмы - Натуральные логарифмы - Логарифмы с другими основаниями | 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 | 11–26, 79–90 |
4. 5 Экспоненциальные и логарифмические уравнения | - Экспоненциальные уравнения - Логарифмические уравнения | 10, 11 | 7 - 84 |
| 4.6 Приложения и модели экспоненциального роста и затухания | Выберите несколько приложений для покрытия | 3, 5, 6 | Избранные задачи из 9–22, 29–34, 39–42, 51–56 |
| 5.1 Системы линейных уравнений | - Линейные системы - Метод замены - Метод ликвидации - Специальные системы | 5, 6, 7, 8, 9 | 7 - 39 |
| 5.2 Матричные решения линейных систем | - Метод Гаусса-Джордана (используйте функцию rref на графическом калькуляторе для сокращения строк в матрицах) | 7–48 (используйте функцию rref на калькуляторе, чтобы уменьшить количество строк в матрицах) |
Предлагаемый обзор для выпускного экзамена
Этот общий обзор можно использовать в качестве обзора/практического теста для итогового экзамена по алгебре колледжа.