Система n линейных уравнений с n переменными – 8. Решение системы n линейных уравнений с n переменными

Система m уравнений с n неизвестными.

Система n линейных уравнений с n неизвестными.

Пусть дана квадратная система, т.е. m=n, , т.е. матрица системы квадратная и невырожденная. Δ=|А| — определитель системы.

Теорема 1. СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет и притом единственное решение.

Доказательство. Покажем сначала единственность решения (в предположении, что оно существует). Пусть существуют n чисел х₁,х₂,…,х_n такие, что при подстановке в систему все уравнения системы обращаются в верные тождества:

(8)

Тогда умножая тождества (8) соответственно на алгебраические дополнения A_1j, A_2j,…,A_nj элементов j-го столбца определителя  матрицы А=и складывая полученные при этом тождества, получимj=1,2,…,n:

=b₁A_1j+b₂A_2j+…+b_nA_nj.

Т.к., по свойствам определителя,, то из последнего равенства получаем, чтоx_j=b₁A_1j+b₂A_2j+…+b_nA_nj (9)

Обозначим Δ_j – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы А заменой j-го столбца столбцом свободных членов.

Тогда равенство (9) примет вид: x_j=Δ_j.

В итоге получаем (j=1,2,…,n) (10) – формулы Крамера (Габриэль Крамер (1704-1752) – швейцарский математик).

Т.о., если решение квадратно системы существует, то оно однозначно определяется формулами (10).

Докажем теперь существование решения. Покажем, что rg (AВ)=rg A.

Т.к. 0, то rg A=n, а расширенная матрица (AВ) содержит только n строк, следовательно rg (AВ)n rg (AВ)=n=rg A ч.т.д.

Матричный способ решения СЛАУ (при помощи А^-1).

Матричная запись СЛАУ: АХ=В. (6)

Т.к. матрица системы А квадратная и невырожденная, то существует обратная матрица А^-1.Умножая слева обе части матричного равенства (2) на А^-1, получим А^-1(АХ)=А^-1В. Т.к. А^-1(АХ)= (А^-1А)Х=ЕХ=Х, то решением системы методом обратной матрицы будет матрица-столбец:

Х_nx1=А_nxn^-1В_nx1(11)

Пример. ,,,. х₁=-4, х₂=1, х₃=2. А^-1=

Система m уравнений с n неизвестными.

Рассмотрим решение системы m уравнений с n неизвестными. Допустим она совместна и rg (AВ)=rg A=r.

Пусть r<n. r переменных х

1, х₂,…,х_r называются базисными (зависимыми, основными), если определитель матрицы из коэффициентов при них (т.е. базисный минор) отличен от нуля. Остальные n-r называются свободными (независимыми, неосновными).

Решение системы (1), в котором все n-r свободных переменных равны нулю, называется базисным.

Т.к. каждому разбиению переменных на базисные и свободные соответствует одно базисное решение, а число способов разбиения не превосходит числа сочетаний , то и базисных решений не более. Т.о. совместная система m линейных уравнений с n переменными (m<n) имеет бесконечное множество решений, среди которых базисных решений конечное число, не превосходящее.

Не ограничивая общности, будем считать, что базисный минор матрицы А расположен в верхнем левом углу.

Тогда первые r строк как основной, так и расширенной матрицы являются базисными и, следовательно (по теореме о базисном миноре) каждая из строк расширенной матрицы, начиная с (r+1)-й, является линейной комбинацией первых r строк.

Это означает, что каждое из уравнений системы, начиная с (r+1)-го, является линейной комбинацией (т.е. следствием) первых r уравнений.

Т.о. достаточно найти все решения только первых r уравнений. Запишем первые r уравнений в виде:

(12)

Если задать свободным неизвестным х_r+1,х_r+2,…,x_n произвольные значения, то относительно базисных неизвестных получим квадратную СЛАУ с невырожденной матрицей, у которой существует единственное решение. Т.о., произвольно выбранный набор чисел с_r+1,с_r+2,…,с_n однозначно определяют совокупность r чисел c₁,c₂,…,c_r, обращающих в тождество все уравнения системы (12) и определяющиеся по формулам Крамера.

Обозначим символом M_j(d_i) определитель, получающийся из базисного минора М матрицы системы заменой его j-го столбца столбцом из чисел d₁,d₂,…,d_i,…,d_r (с сохранением без изменения всех остальных столбцов М). Тогда, записывая решение системы (12) с помощью формул Крамера и пользуясь линейным свойством определителя, получим:

c_j=M_j(b_i-a_i,r+1c_r+1-…-a_inc_n)=(M_j(b_i)-c_r+1M_j(a_i,r+1)-…-c_nM_j(a_in)) j=1,2,…,r (13)

Формулы (13) выражают значения неизвестных x_j=c_j (j=1,2,…,r) через коэффициенты при неизвестных, свободные члены и произвольно заданные параметры c

r₊₁,…,c_n.

Докажем, что формулы (13) содержат любое решение системы (1). Пусть ,,…,,,…,- произвольное решение системы (1), тогда оно является и решением системы (12). Но из системы (12) величины,,…,однозначно определяются через величины,…,по формулам Крамера (13). Т.о. при=,…,=формулы (13) дают рассматриваемое решение,,…,,,…,.

Если rg (AВ)=rg A=r=n, то соотношения (13) переходят в формулы:

c_j=j=1,2,…,r определяющие единственное решение системы (1). Т.о. система (1) является определенной, если rg (AВ)=rg A=r=nm.

Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных – заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого или треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Пусть в системе (1) а₁₁0 (этого всегда можно добиться при помощи элементарных преобразований). В 1-м уравнении оставляем переменную х₁, во всех остальных уравнениях исключаем ее, умножая 1-е уравнение на подходящие числа () и прибавляя к соответственно 2-му, 3-му,…,m-му уравнению системы.

Далее, предполагая а₂₂0, аналогичным образом исключаем переменную х₂ из всех уравнений, начиная с 3-го. И т.д.

В результате последовательного исключения переменных получаем систему следующего вида:

(14) , где r≤m.

Число нуль в последних m-r уравнениях означает, что их левые части имеют вид . Если хотя бы одно из чиселне равно нулю, то соответствующее равенство противоречиво, и система (14) несовместна.

Т.о. для любой совместной системы числа в системе (14) не равны нулю. Тогда последниеm-r строчки являются тождествами и их можно отбросить при решении системы.

Если r<m (число уравнений меньше числа неизвестных), то система (14) неопределенна и имеет ступенчатый вид.

Если r=m, то система (14) определена и имеет треугольный вид.

Переход системы (1) к равносильной ей системе (14) называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение переменных из системы (14) – обратным ходом.

Преобразования Гаусса удобно проводить не с самими уравнениями, а с расширенной матрицей системы А^*.

Если система определена, то прямой и обратный ход метода Гаусса можно проводить одновременно: (А|В)~(Е|Х). Вместо столбца свободных членов получаем столбец неизвестных.

Пример.

Пример с. 75.

Пример.

Т.к. r(A)=r(A*)=2<3=n, то система совместна и неопределенна. Кол-во главных переменных равно r(A)=3, кол-во свободных переменных – (n-r)=1. Выберем ненулевой минор 2-го порядка, например . Его столбцы – 1-й и 2-й столбцы А- соответсвуют переменным х

1 и х₂, а х₃-свободная переменная. Обозначим х₃=с, тогда х₂=4+2с, х₁=-8-с. Частное решение системы при с=0: (-8;4;0)

Достоинства метода Гаусса: 1) значительно менее трудоемкий; 2) позволяет однозначно установить, совместна система или нет, а в случае совместности найти ее решения; 3) дает возможность найти ранг матрицы системы.

studfiles.net

Однородные системы линейных уравнений.

Рассмотрим однородную систему m линейных уравнений с n переменными:

(15)

Система однородных линейных уравнений всегда совместна, т.к. она всегда имеет нулевое (тривиальное) решение (0,0,…,0).

Если в системе (15) m=n и , то система имеет только нулевое решение, что следует из теоремы и формул Крамера.

Теорема 1. Однородная система (15) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы меньше числа переменных, т.е. r(A)<n.

Доказательство. Существование нетривиального решения системы (15) эквивалентно линейной зависимости столбцов матрицы системы (т.е. существуют такие числа х₁, x₂,…,x_n, не все равные нулю, что справедливы равенства (15)).

По теореме о базисном миноре столбцы матрицы линейно зависимы , когда не все столбцы этой матрицы являются базисными, т.е. , когда порядок r базисного минора матрицы меньше числа n ее столбцов. Ч.т.д.

Следствие. Квадратная однородная система имеет нетривиальные решения , когда |А|=0.

Теорема 2. Если столбцы х⁽¹⁾,х⁽²⁾,…,х^(s) решения однородной системы АХ=0, то любая их линейная комбинация так же является решением этой системы.

Доказательство. Рассмотрим любую комбинацию решений:

х=,_kR

Тогда АХ=А()===0. ч.т.д.

Следствие 1. Если однородная система имеет нетривиальное решение, то она имеет бесконечно много решений.

Т.о. необходимо найти такие решения х⁽¹⁾,х⁽²⁾,…,х^(s) системы Ах=0, чтобы любое другое решение этой системы представлялось в виде их линейной комбинации и притом единственным образом.

Определение. Система k=n-r (n –количество неизвестных в системе, r=rg A) линейно независимых решений х⁽¹⁾,х⁽²⁾,…,х^(k) системы Ах=0 называется фундаментальной системой решений этой системы.

Теорема 3. Пусть дана однородная система Ах=0 с n неизвестными и r=rg A. Тогда существует набор из k=n-r решений х⁽¹⁾,х⁽²⁾,…,х^(k) этой системы, образующих фундаментальную систему решений.

Доказательство. Не ограничивая общности, можно считать, что базисный минор матрицы А расположен в верхнем левом углу. Тогда, по теореме о базисном миноре, остальные строки матрицы А являются линейными комбинациями базисных строк. Это означает, что если значения х₁,х₂,…,x_n удовлетворяют первым r уравнениям т.е. уравнениям, соответствующим строкам базисного минора), то они удовлетворяют и другим уравнениям. Следовательно, множество решений системы не изменится, если отбросить все уравнения начиная с (r+1)-го. Получим систему:

Перенесем свободные неизвестные х_r+1,х_r+2,…,x_n в правую часть, а базисные х₁,х₂,…,x_r оставим в левой:

(16)

Т.к. в этом случае все b_i=0, то вместо формул

c_j=(M_j(b_i)-c_r+1M_j(a_i,r+1)-…-c_nM_j(a_in)) j=1,2,…,r ((13), получим:

c_j=-(c_r+1M_j(a_i,r+1)-…-c_nM_j(a_in)) j=1,2,…,r (13)

Если задать свободным неизвестным х_r+1,х_r+2,…,x_n произвольные значения, то относительно базисных неизвестных получим квадратную СЛАУ с невырожденной матрицей, у которой существует единственное решение. Т.о., любое решение однородной СЛАУ однозначно определяется значениями свободных неизвестных х_r+1,х_r+2,…,x_n. Рассмотрим следующие k=n-r серий значений свободных неизвестных:

=1, =0, ….,=0,

=1, =0, ….,=0, (17)

………………………………………………

=1, =0, ….,=0,

(Номер серии указан верхним индексом в скобках, а серии значений выписаны в виде столбцов. В каждой серии =1, еслиi=j и =0, еслиij.

i-й серии значений свободных неизвестных однозначно соответствуют значения ,,…,базисных неизвестных. Значения свободных и базисных неизвестных в совокупности дают решения системы (17).

Покажем, что столбцы е_i=,i=1,2,…,k (18)

образуют фундаментальную систему решений.

Т.к. эти столбцы по построению являются решениями однородной системы Ах=0 и их количество равно k, то остается доказать линейную независимость решений (16). Пусть есть линейная комбинация решений e₁,e₂,…,e_k (х⁽¹⁾, х⁽²⁾,…,х^(k)), равная нулевому столбцу:

₁e₁+₂e₂+…+_ke_k (₁х⁽¹⁾+₂х⁽²⁾+…+_kх^(k)=0)

Тогда левая часть этого равенства является столбцом, компоненты которого с номерами r+1,r+2,…,n равны нулю. Но (r+1)-я компоненты равна ₁1+₂0+…+_k0=₁. Аналогично, (r+2)-я компонента равна ₂,…, k-я компонента равна _k. Поэтому ₁=₂=…=_k=0, что и означает линейную независимость решений e₁,e₂,…,e_k (х⁽¹⁾, х⁽²⁾,…,х^(k)).Ч.т.д.

Построенная фундаментальная система решений (18) называется нормальной. В силу формулы (13) она имеет следующий вид:

(20)

Следствие 2. Пусть e₁,e₂,…,e_k-нормальная фундаментальная система решений однородной системы, тогда множество всех решений можно описать формулой:

х=с₁e₁+с₂e₂+…+с_ke_k (21)

где с₁,с₂,…,с_k – принимают произвольные значения.

Доказательство. По теореме 2 столбец (19) является решением однородной системы Ах=0. Остается доказать, что любое решение этой системы можно представить в виде (17). Рассмотрим столбецх=у_r+1e₁+…+y_ne_k. Этот столбец совпадает со столбцом у по элементам с номерами r+1,…,n и является решением (16). Поэтому столбцы х и у совпадают, т.к. решения системы (16) определяются однозначно набором значений ее свободных неизвестных x_r+1,…,x_n, а у столбцов у и х эти наборы совпадают. Следовательно, у=х= у_r+1e₁+…+y_ne_k, т.е. решение у является линейной комбинацией столбцов e₁,…,y_n нормальной ФСР. Ч.т.д.

Доказанное утверждение справедливо не только для нормальной ФСР, но и для произвольной ФСР однородной СЛАУ.

Х=c₁Х₁+c₂Х₂+…+с_n—rХ_n—r — общее решение системы линейных однородных уравнений

Где Х₁,Х₂,…,Х_n—r – любая фундаментальная система решений,

c₁,c₂,…,с_n—r – произвольные числа.

Пример. (с. 78)

Установим связь между решениями неоднородной СЛАУ (1) и соответствующей ей однородной СЛАУ(15)

Теорема 4. Сумма любого решения неоднородной системы (1) и соответствующей ей однородной системы (15) является решением системы (1).

Доказательство. Если c₁,…,c_n – решение системы (1), а d₁,…,d_n — решение системы (15), то подставив в любое (например, в i-е) уравнение системы (1) на место неизвестных числа c₁+d₁,…,c_n+d_n, получим:

=+=b_i+0=b_i ч.т.д.

Теорема 5. Разность двух произвольных решений неоднородной системы (1) является решением однородной системы (15).

Доказательство. Если c₁,…,c_n и c₁,…,c_n – решения системы (1), то подставив в любое (например, в i-е) уравнение системы (1) на место неизвестных числа c₁-с₁,…,c_n-с_n, получим:

=-=b_i-b_i=0 ч.т.д.

Из доказанных теорем следует, что общее решение системы m линейных однородных уравнений с n переменными равно сумме общего решения соответствующей ей системы однородных линейных уравнений (15) и произвольного числа частного решения этой системы (15).

Х_неод.=Х_{общ. одн.}+Х_{част. неодн.} (22)

В качестве частного решения неоднородной системы естественно взять то его решение, которое получается, если в формулах c_j=(M_j(b_i)-c_r+1M_j(a_i,r+1)-…-c_nM_j(a_in)) j=1,2,…,r ((13) положить равными нулю все числа c_r+1,…,c_n,т.е.

Х₀=(,…,,0,0,…,0) (23)

Складывая это частное решение с общим решением Х=c₁Х₁+c₂Х₂+…+с_n—rХ_n—r соответствующей однородной системы, получаем:

Х_неод.=Х₀+С₁Х₁+С₂Х₂+…+С_n—rХ_n—r (24)

Рассмотрим систему двух уравнений с двумя переменными:

в которой хотя бы один из коэф. a_ij0.

Для решения исключим х₂, умножив первое уравнение на а₂₂, а второе – на(-а₁₂) и сложив их: Исключим х₁, умножив первое уравнение на (-а₂₁), а второе – на а₁₁ и сложив их: Выражение в скобках – определитель

Обозначив ,, тогда система примет вид:, т.о., если, то система имеет единственное решение:,.

Если Δ=0, а (или), то система несовместна, т.к. приводится к видуЕсли Δ=Δ₁=Δ₂=0, то система неопределенная, т.к. приводится к виду

studfiles.net

Системы n линейных уравнений с n неизвестными.

Методы их решения

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными.

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + а_1nx_n = b₁

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + … + а_2nx_n = b₂ (1)

……………………………….

а_n1х₁ + а_n2х₂ + … + а_nnx_n = b_n

 

Определение: Решением системы (1) называется совокупность чисел (х₁, х₂, …, х_n), которая обращает каждое уравнение системы в верное равенство.

Матрица А, составленная из коэффициентов при неизвестных, называется основной матрицей системы (1).

A = .

Матрица В, состоящая из элементов матрицы А и столбца свободных членов системы (1), называется расширенной матрицей.

В =

 

Матричный метод

Рассмотрим матрицы

Х = – матрица неизвестных;

С = – матрица свободных членов системы (1).

Тогда по правилу умножения матриц систему (1) можно представить в виде матричного уравнения

А × Х = С (2)

Решение уравнения (2) изложено выше, то есть Х = А^-1 × С, где А^-1 – обратная матрица для основной матрицы системы (1).

Решить системы уравнений матричным методом:

59. 60.

61. 62.

63. . 64. .

Метод Крамера

 

Система n линейных уравнений с n неизвестными, главный определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное, которое находится по формулам:

,

где D = det А – определитель основной матрицы А системы (1), который называется главным, Dх_i получаются из определителя D заменой i-ого столбца столбцом из свободных членов, т. е.

D = ;

Dх₁ = ;

Dх₂ = ;

Dх_n = ;

Пример. Решить систему уравнений методом Крамера:

2х₁ + 3х₂ + 4х₃ = 15

х₁ + х₂ + 5х₃ = 16

3х₁ — 2х₂ + х₃ = 1

Решение.

Вычислим определитель основной матрицы системы

D = det A = = 44 ¹ 0

Вычислим вспомогательные определители

Dх₁ = = 0;

Dх₂ = = 44;

Dх₃ = = 132.

По формулам Крамера найдем неизвестные

; ; .

Таким образом, х₁ = 0; х₂ = 1; х₃ = 3.

 

 

Решить системы уравнений методом Крамера:

65. . 66. .

67. . 68. .

69. . 70. .

71. . 72. .

73. . 74. .

Метод Гаусса

Суть метода Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы, т.е. приведении основной матрицы системы к треугольному виду, когда под ее главной диагональю стоят нули. Это достигается с помощью элементарных преобразований матрицы над строчками. В результате таких преобразований не нарушается равносильность системы, и она приобретает также треугольный вид, т. е. последнее уравнение содержит одну неизвестную, предпоследнее – две и т. д. Выражают из последнего уравнения n-ую неизвестную и с помощью обратного хода, используя ряд последовательных подстановок, получают значения всех неизвестных.

Пример. Решить систему уравнений методом Гаусса

3х₁ + 2х₂ + х₃ = 17

2х₁ — х₂ + 2х₃ = 8 .

х₁ + 4х₂ — 3х₃ = 9

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и приведем содержащуюся в ней матрицу А к треугольному виду.

В = .

Поменяем местами первую и третью строки матрицы, что равносильно перестановке первого и третьего уравнений системы. Это позволит нам избежать появления дробных выражений при последующих вычислениях

В ~ .

Первую строку полученной матрицы умножим последовательно на (-2) и (-3) и сложим соответственно со второй и третьей строками, при этом В будет иметь вид:

В ~ .

После умножения второй строки на и сложения ее с третьей строкой матрица А примет треугольный вид. Однако, чтобы упростить вычисления, можно поступить следующим образом: умножим третью строку на (-1) и сложим со второй. Тогда получим:

В ~ .

Далее, умножая вторую строку матрицы на 10 и складывая с третьей, окончательно получим:

В ~ .

Восстановим из полученной матрицы В систему уравнений, равносильную данной

х₁ + 4х₂ — 3х₃ = 9

х₂ — 2х₃ = 0

— 10х₃ = -10

Из последнего уравнения находим Найденное значение х₃ = 1 подставим во второе уравнение системы, из которого х₂ = 2х₃ = 2 × 1 = 2.

После подстановки х₃ = 1 и х₂ = 2 в первое уравнение для х₁ получим х₁ = 9 — 4х₂ + 3х₃ = 9 — 4 × 2 + 3 × 1 = 4.

Итак, х₁ = 4, х₂ = 2, х₃ = 1.

Замечание. Для проверки правильности решения системы уравнений необходимо подставить найденные значения неизвестных в каждое из уравнений данной системы. При этом, если все уравнения обратятся в тождества, то система решена верно.

Проверка:

3 × 4 + 2 × 2 + 1 = 17 верно

2 × 4 — 2 + 2 × 1 = 8 верно

4 + 4 × 2 — 3 × 1 = 9 верно

Итак, система решена верно.

Решить системы уравнений методом Гаусса:

75. . 76. .

77. . 78. .

79. . 80. .

81. . 82. .

83. . 84. .

 

Метод Жордана-Гаусса

Суть метода Жордана-Гаусса состоит в полном исключении переменных из каждого уравнения системы, кроме единственной, т. е. основная матрица системы приводится с помощью элементарных преобразований над строчками к единичной матрице и система (1) приобретает следующий вид:

откуда видно, что неизвестные х₁; х₂;…; х_n равны соответствующим свободным членам в₁^‘; в₂^‘;…; в_n^‘, т.е. решением системы уравнений (1) является набор чисел (в₁^‘; в₂^‘;…; в_n^‘).

 



infopedia.su

Система m линейных уравнений с n неизвестными. Метод Гаусса. — КиберПедия

Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида

Здесь x₁, x₂, …, x_n — неизвестные, которые надо определить. a₁₁, a₁₂, …, a_mn — коэффициенты системы — и b₁, b₂, … b_m — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (a_ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно^[1].

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b₁ = b₂ = … = b_m = 0), иначе — неоднородной.

Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы (1) — совокупность n чисел c₁, c₂, …, c_n, таких что подстановка каждого c_i вместо x_i в систему (1) обращает все её уравнения в тождества.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Решения c₁⁽¹⁾, c₂⁽¹⁾, …, c_n⁽¹⁾ и c₁⁽²⁾, c₂⁽²⁾, …, c_n⁽²⁾ совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

c1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2).

Совместная система вида (1) называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

Метод Гаусса классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Таким образом, процесс решения системы линейных алгебраических уравнений по методу Гаусса состоит из двух этапов. Первый этап (прямой ход метода) – система приводится к треугольному виду.Второй этап (обратный ход) – неизвестные определяются последовательно, начиная с последнего неизвестного и кончая первым.

Пример 2.13. Решить систему уравнений методом Гаусса:

x + y — 3z = 2,

3x — 2y + z = — 1,

2x + y — 2z = 0.

Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы

и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками:

а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2:

~ ;

б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую:

.

В результате всех этих преобразований данная система приводится к треугольному виду:

x + y — 3z = 2,

-5y + 10z = -7,

— 10z = 13.

Из последнего уравнения находим z = -1,3. Подставляя это значение во второе уравнение, имеем y = -1,2. Далее из первого уравнения получим
x = — 0,7.

8. Система линейных однородных уравнений.

Пусть дана система линейных однородных уравнений

Очевидно, что однородная система всегда совместна , она имеет нулевое (тривиальное) решение x1=x2=x3=…=xn=0.

Для того, чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее основной матрицы был меньше числа n неизвестных, т. е. r<n.

Необходимость:

Так как ранг не может превосходить размера матрицы, то, очевидно, r n. Пусть r=n. Тогда один из минеров размера nхn отличен от нуля. Поэтому соответствующая система линейных уравнений имеет единственное решение:

Значит, других, кроме тривиальных, решений нет. Итак, если есть нетривиальное решение, то r<n.

Достаточность:

Пусть r<n. Тогда однородная система, будучи совместной, является неопределенной. Значит, она имеет бесчисленное множество решений, т. е. имеет и ненулевые решения. Пусть дана однородная система n линейных уравнений с n неизвестными

Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель D был равен нулю, т. е. D=0.

Если система имеет ненулевые решения, то D=0. Ибо при D¹0 система имеет только единственное, нулевое решение. Если же D=0, то ранг r основной матрицы системы меньше числа неизвестных, т.е. r<n. И, значит, система имеет бесконечное множество (ненулевых) решений.

cyberpedia.su

Системы m линейных уравнений с n неизвестными

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4

 

Понятие совместности системы уравнений

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + а_1nx_n = b₁

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + … + а_2nx_n = b₂ (2)

……………………………….

а_m1х₁ + а_m2х₂ + … + а_mnx_n = b_m

 

Определение: Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, если же система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Определение. Совместная система называется определенной, если она имеет только одно решение, и неопределенной, если она имеет больше одного решения.

Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности системы уравнений).

Система m линейных уравнений с n неизвестными совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы, r(A) = r (В) = r, где r называется рангом системы, причем

1. если r = n, то система имеет единственное решение, т.е. определена;

2. если r < n, то система имеет бесконечное множество решений, т.е. система не определена.

 

Понятие общего решения системы уравнений

Рассмотрим систему уравнений (2) и будем считать, что она совместна, т.е. r(А) = r(В) = r и пусть r< n.

Рассмотрим какой-нибудь базисный минор основной матрицы А, выделим в нем произвольную строку, элементы которой есть коэффициент при r неизвестных в одном из уравнений системы. Эти неизвестные, например, х₁, х₂, …, х_r назовем базисными, тогда остальные (n-r) неизвестных, т.е. х_r+1, х_r+2, …, х_n назовем свободными переменными.

Выразим все базисные неизвестные через свободные в выбранной системе r уравнений, получим:

Присвоим свободным переменным произвольные действительные значения с_i , где , тогда получим общее решение системы уравнений (х₁, х₂, …, х_r, с₁, с₂, …, с_n—r)

Количество наборов r базисных неизвестных из n переменных определяется числом базисных миноров.

Пример. Исследовать систему уравнений на совместность и найти ее общее решение.

х₁ + 5х₂ + 4х₃ + 3 х₄ = 1

2х₁ — х₂ + 2х₃ — х₄ = 0

5х₁ + 3х₂ + 8х₃ + х₄ = 1

Решение. Определим ранги матриц А и В, для чего выпишем расширенную матрицу В и приведем ее к ступенчатому виду

В =

Умножим последовательно первую строку на (-2) и (-5) и сложим соответственно со второй и третьей строками. Получим эквивалентную матрицу

В ~

К третьей строке прибавим вторую, умноженную на (-2), тогда

В ~

Число ненулевых строк матриц А и В равно двум, r(А) = r(В) = r = 2, следовательно, по теореме Кронекера-Капелли система совместна, но т.к. r = 2 < n = 4, она имеет бесконечное множество решений.

Ранг системы r = 2, а это значит, что базисные миноры матрицы А имеют порядок, равный двум, каждый из которых определяет набор базисных неизвестных.

Выпишем базисные миноры матрицы А

М₁ = = -1 ¹ 0, х₁, х₂ – первый набор базисных неизвестных;

М₂ = = -6 ¹ 0, х₁, х₃ – второй набор базисных неизвестных;

М₃ = = -7 ¹ 0, х₁, х₄ – третий набор базисных неизвестных;

М₄ = = 14 ¹ 0, х₂, х₃ – четвертый набор базисных неизвестных;

М₅ = = -2 ¹ 0, х₂, х₄ – пятый набор базисных неизвестных;

М₆ = = -10 ¹ 0, х₃, х₄ – шестой набор базисных неизвестных.

Таким образом, существует шесть вариантов общего решения системы уравнений.

Для примера рассмотрим первый вариант, соответствующий базисному минору М₁.

а) х₁ и х₂ – базисные неизвестные; х₃ и х₄ – свободные переменные. Пусть х₃ = с₁, х₄ = с₂, с₁, с₂ Î R.

Из ступенчатой матрицы В восстановим систему уравнений, равносильную исходной

х₁ + 5х₂ + 4х₃ + 3х₄ = 1

-11х₂ — 6х₃ — 7х₄ = -2

Умножим второе уравнение на (-1) и с учетом введенных обозначений перепишем систему в виде

х₁ + 5х₂ = 1 — 4с₁ — 3с₂

11х₂ = 2 — 6с₁ — 7с₂

Выразим базисные неизвестные х₁ и х₂ через свободные переменные. Так как система уравнений имеет треугольный вид, ее удобно решать методом Гаусса.

Из последнего уравнения находим

Подставляя это значение х₂ в первое уравнение для х_1, получим

Таким образом, первый вариант общего решения будет иметь вид

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Вариант	Номера заданий
	1, 11, 21, 31, 41
	2, 12, 22, 32, 42
	3, 13, 23, 33, 43
	4, 14, 24, 34, 44
	5, 15, 25, 35, 45
	6, 16, 26, 36, 46
	7, 17, 27, 37, 47
	8, 18, 28, 38, 48
	9, 19, 29, 39, 49
	10, 20, 30, 40, 50

 

В заданиях с № 1 по № 16 вычислите определители.

№ 1. № 2.

№ 3. № 4.

№ 5. № 6.

№ 7. № 8.

№ 9. № 10.

 

 

№ 11. № 12.

№ 13. № 14.

№ 15. № 16.

 

В заданиях с № 17 по № 19 вычислите обратную матрицу для данной

 

№ 17.

А = А_-1=?

 

№ 18.

А = А_-1=?

 

 

№ 19.

А = А_-1=?

 

 

В заданиях с № 20 по № 22 решите матричные уравнения.

 

№ 20.

№ 21.

№ 22.

 

В заданиях с № 23 по № 24 установить линейную зависимость векторов.

 

№ 23. № 24.

= (2, -3, 1) = (5, 4, 3)

= (3, -1, 5) = (3, 3, 2)

= (1, -4, 3) = (8, 1, 3)

 

№ 25. Найти все значения l, при которых вектор линейно выражается через векторы , где

= (2, 3, 5)

= (3, 7, 8)

= (1, -6, 1)

= (7, -2, l)

 

В заданиях с № 26 по № 30 решите систему методом Гаусса:

№ 26.

3х₁ — 2х₂ — 5х₃ + х₄ = 3

2х₁ — 3х₂ + х₃ + 5х₄ = -3

х₁ + 2х₂ — 4х₄ = -3

х₁ — х₂ — 4х₃ + 9х₄ = 22

 

№ 27.

4х₁ — 3х₂ + х₃ + 5х₄ = 7

х₁ — 2х₂ — 2х₃ — 3х₄ = 3

3х₁ — х₂ + 2х₃ = -1

2х₁ + 3х₂ + 2х₃ — 8х₄ = -7

 

№ 28.

2х₁ — 2х₂ + х₄ + 3 = 0

2х₁ + 3х₂ + х₃ + 3х₄ + 6 = 0

3х₁ + 4х₂ — х₃ + 2х₄ = 0

х₁ + 3х₂ + х₃ — х₄ — 2 = 0

 

№ 29.

х₁ + х₂ — 6х₃ — 4х₄ = 6

3х₁ — х₂ — 6х₃ — 4х₄ = 2

2х₁ + 3х₂ + 9х₃ + 2х₄ = 6

3х₁ + 2х₂ + 3х₃ + 8х₄ = -7

 

№ 30.

2х₁ — 3х₂ + 3х₃ + 2х₄ -3 = 0

6х₁ + 9х₂ — 2х₃ — х₄ — 4 = 0

10х₁ + 3х₂ — 3х₃ — 2 х₄ — 3 = 0

8х₁ + 6х₂ + х₃ + 3х₄ + 7 = 0

 

В заданиях с № 31 по № 40 исследовать совместность системы и найти ее общее решение.

 

№ 31.

2х₁ + 7х₂ + 3х₃ + х₄ = 1

3х₁ + 5х₂ + 2х₃ + 2х₄ = 4

9х₁ + 4х₂ + х₃ + 7х₄ = 2

 

№ 32.

2х₁ — 3х₂ + 5х₃ + 7х₄ = 1

4х₁ — 6х₂ + 2х₃ + 3х₄ = 2

2х₁ — 3х₂ — 11х₃ — 15х₄ = 1

 

№ 33.

3х₁ + 4х₂ + х₃ + 2х₄ = 3

6х₁ + 8х₂ + 2х₃ + 5х₄ = 7

9х₁ + 12х₂ + 3х₃ + 10х₄ = 13

 

№ 34.

3х₁ — 2х₂ + 5х₃ + 4х₄ = 2

6х₁ — 4х₂ + 4х₃ + 4х₄ = 3

9х₁ — 6х₂ + 3х₃ + 2х₄ = 4

 

№ 35.

2х₁ — х₂ + 3х₃ — 7х₄ = 5

6х₁ — 3х₂ + х₃ — 4х₄ = 7

4х₁ — 2х₂ + 14х₃ — 31х₄ = 18

 

№ 36.

9х₁ — 3х₂ + 5х₃ + 6х₄ = 4

6х₁ — 2х₂ + 3х₃ + х₄ = 5

3х₁ — х₂ + 3х₃ + 14х₄ = -8

 

№ 37.

2х₁ — х₂ + х₃ + 2х₄ + 3х₅ = 2

6х₁ — 3х₂ + 2х₃ + 4х₄ + 5х₅ = 3

6х₁ — 3х₂ + 4х₃ + 8х₄ + 13х₅ = 9

4х₁ — 2х₂ + х₃ + х₄ + 2х₅ = 1

 

№ 38.

6х₁ + 4х₂ + 5х₃ + 2х₄ + 3х₅ = 1

3х₁ + 2х₂ + 4х₃ + х₄ + 2х₅ = 3

3х₁ + 2х₂ — 2х₃ + х₄ = -7

7х₁ + 6х₂ + х₃ + 3х₄ + 2х₅ = 2

 

№ 39.

3х₁ — 5х₂ + 2х₃ + 4х₄ = 2

7х₁ — 4х₂ + х₃ + 3х₄ = 5

5х₁ — 7х₂ — 4х₃ — 6х₄ = 3

 

№ 40.

х₁ + х₂ — 2х₃ = 1

5х₁ + 5х₂ — 10х₃ = 5

х₁ — х₂ — х₃ = 2

 

В заданиях с № 41 по № 50 вычислить одно неизвестное.

№ 41.

2х₁ + 2х₂ — х₃ + х₄ = 4

4х₁ + 3х₂ — х₃ + 2х₄ = 6 х₁ = ?

8х₁ + 5х₂ — 3х₃ + 4х₄ = 12

3х₁ + 3х₂ — 2х₃ + 2х₄ = 6

 

№ 42.

2х₁ + 3х₂ + 11х₃ + 5х₄ = 2

х₁ + х₂ + 5х₃ + 2х₄ = 1 х₃ = ?

2х₁ + х₂ + 3х₃ + 2х₄ = -3

х₁ + х₂ + 3х₃ + 4х₄ = -3

№ 43.

2х₁ + 5х₂ + 4х₃ + х₄ = 20

х₁ + 3х₂ + 2х₃ + х₄ = 11 х₂ = ?

2х₁ + 10х₂ + 9х₃ + 7х₄ = 40

3х₁ + 8х₂ + 9х₃ + 2х₄ = -37

 

№ 44.

2х + у + 4z + 8t = -1

х + 3y — 6z + 2t = 3 y = ?

3х — 2y + 2z — 2t = 8

2х — y + 2z = 4

 

№ 45.

2х — y — 6z + 3t + 1 = 0

7х — 4y + 2z — 15t + 32 = 0 x = ?

х + 2y — 4z + 9t — 5 = 0

х — y + 2z — 6t + 8 = 0

 

№ 46.

6х + 5y — 2z + 4t +4= 0

9х — y + 4z — t — 13 = 0 t = ?

3х + 4y + 2z — 2t — 1 = 0

3х — 9y + 2t — 11 = 0

 

№ 47.

2х₁ + 2х₂ — х₃ — х₄ = 4

4х₁ + 3х₂ — х₃ + 2х₄ = 1 х₃ = ?

2х₁ + х₂ + 3х₃ + 2х₄ = -3

х₁ + х₂ + 3х₃ + 4х₄ = -3

 

№ 48.

2х₁ + 3х₂ + 11х₃ + 5х₄ = 2

х₁ + х₂ + 5х₃ + 2х₄ = 1 х₂ = ?

2х₁ + х₂ + 3х₃ + 2х₄ = -3

х₁ + х₂ + 3х₃ + 4х₄ = -3

№ 49.

2х — y — 6z + 3t+ 1 = 0

7х — 4y + 2z — 15t + 32 = 0 t = ?

х — 2y — 4z + 9t — 5 = 0

х — y + 2z — 6t + 8 = 0

№ 50.

2х + y + 4z + 8t = -1

х + 3y — 6z + 2t = 3 z = ?

3х — 2y + 2z — 2t = 8

2х — y + 2z = 4

 

Литература

 

1. Высшая математика для экономистов / Под ред. Н.Ш. Кремера. М.: ЮНИТИ, 2012.

2. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. М.: Высшая школа, 1986. Ч. 2.

3. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. М.: «Дело», 2013.

4. Жуков В.М. Практические занятия по математике: теория, задания, ответы. Ростов н/Д: Феникс, 2012. 343с.

Рекомендуемые страницы:

lektsia.com

No related posts.