Система уравнений как решать: Решение систем уравнений — метод как решить систему линейных уравнений

Содержание

Системы уравнений

На этой странице вы узнаете:

Что такое система уравнений?
Как решать системы уравнений методом сложения?
Как решать системы уравнений методом подстановки?
Почему не стоит решать систему уравнений графическим методом?

Система уравнений – это совокупность двух и более уравнений с одной или несколькими переменными, объединённые фигурной скобкой.

Переменная – это неизвестное число, обозначенное буквой

То есть, это уравнения, состоящие из одной и более переменных и выполняющиеся одновременно. Чтобы решить такую систему уравнений, нужно найти все её решения или доказать, что их нет. Решениями называют комбинации значений переменных, при которых все уравнения системы становятся верными

Рассмотрим примеры таких систем:

{2x+3y = 13 x*y = 5 система уравнений с двумя переменными

{x+y+z = 12 z+3*y = 13x*y = 6 система уравнений с тремя переменными

Существует три метода решения систем уравнений:

— графический метод

— метод сложения

— метод подстановки

Методы решения систем

Графический метод решения систем уравнений заключается в построении графика для каждого уравнения, решения будут точки пересечения графиков, на практике такой метод очень неточный и удобен только для нахождения количества решений

Чтобы решить систему методом сложения, нужно умножить обе стороны одного или нескольких уравнений на число так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными друг другу числами, далее нужно сложить уравнения системы и записать новую систему с использованием полученного уравнения и одного из более легких уравнений изначальной системы

Давайте рассмотрим на примере:

{6x-2y = 4x²-4x+10 = y

Перенесём у в левую часть уравнения

{6x-2y = 4x²-4x+10-y = 0

Умножим обе части первого уравнения на — 12

{-3x+y = -2x²-4x+10-y = 0

Сложим первое и второе уравнения и составим систему из нового уравнения и первого

{x²-7x+12 = 0-3x+y = -2

Решим первое уравнение по теореме Виета и получим корни х = 3 и х = 4, рассмотрим случаи для каждого из корней и решим второе уравнение

{x = 3-9+y = -2 или {x = 4 -12+y = -2

Получим у = 7 и у = 10 , полученные решения запишем в виде координат(x; y): (3; 7), (4; 10)

Можно решить систему уравнений методом подстановки, для этого нужно выразить одну переменную из любого уравнения системы и подставить в другое, в новую систему нужно записать получившееся уравнение и более легкое в решении уравнение изначальной системы

Давайте рассмотрим на примере того же уравнения:

{6x-2y = 4 x2-4x+10 = y

Во втором уравнение уже выражена переменная y, подставим её в первое уравнение и запишем систему из нового уравнения с одной переменной и первого уравнения с двумя переменными

{6x-2(x2-4x+10)= 4 6x-2y = 4

Раскроем скобки у первого уравнения и приведём подобные слагаемые

{-2×2+14x-24 = 0 6x-2y = 4

Разделим обе стороны первого уравнения на -2 и найдём корни по теореме Виета, х = 3 и х = 4 , рассмотрим случаи для каждого из этих корней и решим второе уравнение

{x = 3 18-2y = 4 или {x = 4 24-2y = 4

Получим у = 7 и у = 10 , полученные решения запишем в виде координат(x; y): (3; 7), (4; 10)

К решению систем уравнений, состоящих из большего количества уравнений тоже можно применять эти методы

Фактчек

Системой уравнений являются несколько уравнений с одной и более переменными, выполняющиеся одновременно.

Для решения систем уравнений используют три метода: графический, метод сложения и метод подстановки. Графический метод очень неточный, поэтому он удобен только для нахождения количества решений.

Метод сложения заключается в сложении двух уравнений так, чтобы получить одно из уравнений в системе с одной переменной и второе уравнение перенести из прошлой системы.

Для метода подстановки нужно выразить из любого уравнения одну неизвестную, подставить ее значение вместо этой переменной в другое уравнение и аналогично составить систему из нового уравнения и одного из уравнений начальной системы

Проверь себя

Задание 1.
Решить систему уравнений {x2+y=5 6x-y=2

(-7; -44), (1; 4)
(8; 15), (4; 1)
(11; -4), (1; 2)
(-7; -4), (3; 4)

Задание 2.
Решить систему уравнений {xy+x=0 x-y=7

(7; -2), (6; -1)
(0; -2), (5; -11)
(-7; 0), (6; 0)
(0; -7), (6; -1)

Задание 3.
Решить систему уравнений {x+xy2=0 x-y=5

(2; 3)
(0; -8)
(0; -5)
(2; -5)

Задание 4.
Решить систему уравнений {x+3y=16 xy=5

(15;1)
(10;2)
(8;2)
(15;2)

Задание 5.
Решить систему уравнений {x-yx+y=0 x+y2=2

(-2; -3), (1; 1), (1; 0), (-2; 2)
(-2; -2), (-1; 1), (1; -1), (2; 2)
(-1; -2), (1; 2), (1; 0), (-1; 2)
(-2; -2), (1; 1), (1; -1), (-2; 2)

Ответы: 1. — 1; 2. — 4; 3. — 3; 4. — 2; 5. — 4.

Как решается система уравнений? Методы решения систем уравнения.

Home » 7 класс » Как решается система уравнений? Методы решения систем уравнения.

Posted on 22.05.201302.07.2021Author admin 43

Методы решения систем уравнения.

Разберем два вида решения систем уравнения:

1. Решение системы методом подстановки.
2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.

Для того чтобы решить систему уравнений методом подстановки нужно следовать простому алгоритму:
1. Выражаем. Из любого уравнения выражаем одну переменную.
2. Подставляем. Подставляем в другое уравнение вместо выраженной переменной, полученное значение.
3. Решаем полученное уравнение с одной переменной. Находим решение системы.

Чтобы решить систему методом почленного сложения (вычитания)

нужно:
1.Выбрать переменную у которой будем делать одинаковые коэффициенты.
2.Складываем или вычитаем уравнения, в итоге получаем уравнение с одной переменной.
3. Решаем полученное линейное уравнение. Находим решение системы.

Решением системы являются точки пересечения графиков функции.

Рассмотрим подробно на примерах решение систем.

Пример №1:

Решим методом подстановки

Решение системы уравнений методом подстановки

2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2 уравнение)

1. Выражаем
Видно что во втором уравнении имеется переменная x с коэффициентом 1,отсюда получается что легче всего выразить переменную x из второго уравнения.
x=3+10y

2.После того как выразили подставляем в первое уравнение 3+10y вместо переменной x.
2(3+10y)+5y=1

3.Решаем полученное уравнение с одной переменной.
2(3+10y)+5y=1 (раскрываем скобки )
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Решением системы уравнения является точки пересечений графиков, следовательно нам нужно найти x и у, потому что точка пересечения состоит их x и y.Найдем x, в первом пункте где мы выражали туда подставляем y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Точки принято записывать на первом месте пишем переменную x, а на втором переменную y.
Ответ: (1; -0,2)

Пример №2:

Решим методом почленного сложения (вычитания).

Решение системы уравнений методом сложения

3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2 уравнение)

1.Выбираем переменную, допустим, выбираем x. В первом уравнении у переменной x коэффициент 3, во втором 2. Нужно сделать коэффициенты одинаковыми, для этого мы имеем право домножить уравнения или поделить на любое число. Первое уравнение домножаем на 2, а второе на 3 и получим общий коэффициент 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2.Из первого уравнения вычтем второе, чтобы избавиться от переменной x.Решаем линейное уравнение.
__6x-4y=2
6x-9y=-30
-4y+9y=2+30

5y=32 | :5
y=6,4

3.Находим x. Подставляем в любое из уравнений найденный y, допустим в первое уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Точкой пересечения будет x=4,6; y=6,4
Ответ: (4,6; 6,4)

Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно. Без шуток. ЗДЕСЬ

Category: 7 класс, Уроки Tag: Система уравнений 43 комментария

3 метода решения систем уравнений

••• ChristianChan/iStock/GettyImages

Обновлено 14 марта 2018 г.

Автор: Karl Wallulis

Для решения систем уравнений чаще всего используются три метода: замена, удаление и расширенные матрицы . Подстановка и исключение — это простые методы, с помощью которых можно эффективно решить большинство систем из двух уравнений за несколько простых шагов. Метод дополненных матриц требует больше шагов, но его применение распространяется на большее разнообразие систем.

Подстановка

Подстановка — это метод решения систем уравнений путем удаления всех переменных, кроме одной, в одном из уравнений и последующего решения этого уравнения. Это достигается путем выделения другой переменной в уравнении, а затем подстановки значений этих переменных в другое уравнение. Например, чтобы решить систему уравнений x + y = 4, 2x — 3y = 3, выделите переменную x в первом уравнении, чтобы получить x = 4 — y, затем подставьте это значение y во второе уравнение, чтобы получить 2 (4 — y) — 3y = 3. Это уравнение упрощается до -5y = -5 или y = 1. Подставьте это значение во второе уравнение, чтобы найти значение x: x + 1 = 4 или x = 3,

Исключение

Исключение — это еще один способ решения систем уравнений путем перезаписи одного из уравнений только с одной переменной. Метод исключения достигает этого путем добавления или вычитания уравнений друг из друга, чтобы исключить одну из переменных. Например, добавление уравнений x + 2y = 3 и 2x — 2y = 3 дает новое уравнение 3x = 6 (обратите внимание, что члены y сокращаются). Затем система решается теми же методами, что и для подстановки. Если невозможно сократить переменные в уравнениях, необходимо будет умножить все уравнение на коэффициент, чтобы коэффициенты совпали.

Расширенная матрица

Расширенные матрицы также могут использоваться для решения систем уравнений. Расширенная матрица состоит из строк для каждого уравнения, столбцов для каждой переменной и расширенного столбца, содержащего постоянный член на другой стороне уравнения. Например, расширенная матрица для системы уравнений 2x + y = 4, 2x — y = 0 равна [[2 1], [2 -1]…[4, 0]].

Определение решения

Следующий шаг включает использование элементарных операций со строками, таких как умножение или деление строки на константу, отличную от нуля, а также сложение или вычитание строк. Целью этих операций является преобразование матрицы в ступенчато-строковую форму, в которой первый ненулевой элемент в каждой строке равен 1, все элементы выше и ниже этого элемента являются нулями, а первый ненулевой элемент для каждого строка всегда находится справа от всех таких записей в строках над ней. Строково-эшелонная форма для приведенной выше матрицы имеет вид [[1 0], [0 1]…[1, 2]]. Значение первой переменной задается первой строкой (1x + 0y = 1 или x = 1). Значение второй переменной задается второй строкой (0x + 1y = 2 или y = 2).

Приложения

Подстановка и исключение являются более простыми методами решения уравнений и используются гораздо чаще, чем расширенные матрицы в базовой алгебре. Метод подстановки особенно полезен, когда одна из переменных уже изолирована в одном из уравнений. Метод исключения полезен, когда коэффициент одной из переменных одинаков (или его отрицательный эквивалент) во всех уравнениях. Основное преимущество расширенных матриц заключается в том, что их можно использовать для решения систем из трех и более уравнений в ситуациях, когда замена и исключение либо невозможны, либо невозможны.

Решение системы уравнений – методы и примеры

К настоящему моменту вы получили представление о том, как решать линейные уравнения, содержащие одну переменную. Что, если бы вам представили множественных линейных уравнений, содержащих более одной переменной ? Набор линейных уравнений с двумя или более переменными известен как система уравнений .

Существует несколько методов решения систем линейных уравнений.

Эта статья научит , как решать линейные уравнения, используя обычно используемые методы , а именно замена и устранение.

Метод подстановки

Подстановка — это метод решения линейных уравнений, при котором переменная в одном уравнении выделяется, а затем используется в другом уравнении для решения оставшейся переменной.

Общие шаги для замены:

Составьте подлежащее формулы для переменной в одном из данных уравнений.
Подставьте значение этой переменной во второе уравнение».
Решите уравнение, чтобы получить значение одной из переменных.
Подставьте полученное значение в любое из уравнений, чтобы также получить значение другой переменной.

Решим пару примеров методом подстановки.

Пример 1

Решите приведенные ниже системы уравнений.

b = a + 2

a + b = 4.

Решение

Подставьте значение b во второе уравнение.

а + (а + 2) = 4

Теперь найдем

а + а + 2 = 4

2а + 2 = 4

Подставьте полученное значение a в первое уравнение.

b = a + 2

b = 1 + 2

b = 3

Следовательно, решение для двух уравнений: a = 1 и b = 3.

Пример 2

Решите следующие уравнения с помощью подстановки.
7x – 3y = 31 ——— (i)

9x – 5y = 41 ——— (ii)

Решение

Из уравнения (i),

7x – 3y = 31

Сделать y объектом формулы в уравнении: = 31

Вычтите 7x из обеих частей уравнения 7x – 3y = 31, чтобы получить;

– 3y = 31 – 7x

3y = 7x – 31

3y/3 = (7x – 31)/3

Следовательно, y = (7x – 31)/3

Теперь подставим уравнение y = ( 7x – 31)/3 во второе уравнение:9x – 5y = 41

9x – 5 × (7x – 31)/3 = 41

Решение уравнения дает;

27х – 35х + 155 = 41 × 3

–8х + 155 – 155 = 123 – 155

–8х = –32 x в уравнении y = (7x – 31)/3, получаем;

y = (7 × 4 – 31)/3

y = (28 – 31)/3

y = –3/3

y = –1

Следовательно, решением этих систем уравнений является х = 4 и у = –1

Пример 3

Решить следующие системы уравнений:

2x + 3y = 9 и x – y = 3

Решить второе уравнение

Составьте из формулы второе уравнение.

х = 3 + у.

Теперь подставьте это значение x в первое уравнение: 2x + 3y = 9.

⇒ 2(3 + y) + 3y = 9

⇒ 6 + 2y + 3y = 9

y = ⅗ = 0,6

Подставляем полученное значение y во второе уравнение – y =3.

⇒ x = 3 + 0,6

x = 3,6

Следовательно, решение x = 3,6 и y = 0,6

Приравнять коэффициенты данных уравнений путем умножения на константу.
Вычесть общие коэффициенты новых уравнений с одинаковыми знаками и сложить, если общие коэффициенты имеют противоположные знаки,
Решите уравнение, полученное в результате сложения или вычитания.
Подставьте полученное значение в любое из уравнений, чтобы получить значение другой переменной.

4а+3а) +(5b – 5b) = 12 + 9

7а = 21

а = 21/7

а = 3

полученное значение а=3 подставить в уравнение первое уравнение 0

b = 0/5 = 0

Следовательно, решение a = 3 и b = 0.