Проект на тему «Исследование возможностей математического пакета Wolfram Mathematica для графического способа решения систем уравнений»
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Школа № 163» городского округа Самара
Исследование возможностей математического пакета Wolfram Mathematica для графического способа решения систем уравнений
Выполнил:
Зайцев Сергей Антонович
Проверила:
Платошина Екатерина Александровна
Самара, 2018
СОДЕРЖАНИЕ
1 ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ 3
1.1 Математический пакет Wolfram Mathematica 5
1.2 Wolfram Alpha 7
2 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 9
2.1 Графический способ решения систем уравнений 9
2.2 Решение систем линейных уравнений с помощью Wolfram Alpha 10
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 17
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 18
Введение
В современном мире, когда информационные и компьютерные технологии развиваются с огромной скоростью, человек может себе позволить отдохнуть от нудных и однообразных вычислительных работ, перепоручив этим заниматься компьютеру, который не только облегчит работу человеку, но и ускорит ее.
Современные компьютеры могут выполнять миллионы операций в минуту, следовательно, скорость вычислений у них огромная. Задачу, которую человек будет решать несколько минут, машина в состоянии решить всего за пару секунд. Конечно, при условии, что компьютер прежде будет запрограммирован на решение данной задачи.
Это означает, что человеку достаточно один раз записать алгоритм для решения какого-либо типа задач, после чего компьютер решит любую задачу данного типа, человеку останется только вносить нужные исходные данные.
Программ, способных выполнять вычисления по заданной человеком программе, множество, но сейчас наибольшую популярность в научном мире набирает математический пакет Wolfram Mathematica или ее онлайн версия Wolfram Alpha. Причем вторая доступна любому: она бесплатна и гораздо более проста, чем первая.
В данном проекте исследуются функции этих программ, а именно функция решения систем линейных уравнений.
Цель: исследование функций математического пакета Wolfram Mathematica для решения систем линейных уравнений графическим способом.
Задачи:
изучить математический пакет Wolfram Mathematica и его онлайн версию Wolfram Alpha,
рассмотреть графический способ решения систем линейных уравнений, изучаемый в школе,
решить 10 систем линейных уравнений с помощью Wolfram Alpha и изучить полученный результат.
1 Программное обеспечение 1.1 Математический пакет Wolfram Mathematica
Mathematica — система компьютерной алгебры (обычно называется Математика, программный пакет Математика), широко используемая в научных, инженерных, математических и компьютерных областях. Изначально система была разработана Стивеном Вольфрамом, впоследствии — компанией Wolfram Research.
На протяжении трёх десятилетий система Mathematica определяет передовой край технических вычислений и обеспечивает основную среду для проведения расчётов для миллионов изобретателей, педагогов, студентов и других пользователей по всему миру.
Благодаря энергичному развитию и стабильному видению на протяжении трёх десятилетий, система Mathematica не имеет себе равных в большом диапазоне измерений и уникальна в своей поддержке современной среды и организации рабочего процесса для технических расчётов.
Система Mathematica имеет в наличии почти 5000 встроенных функций, покрывающих все области технических расчётов—все они тщательно интегрированны для идеальной совместной работы, и все они включены в полностью интегрированную систему Mathematica.
Полагаясь на три десятилетия наработок, система Mathematica превосходит во всех областях технических расчётов, включая нейронные сети, машинное обучение, обработку изображений, геометрию, теорию анализа и обработки данных, визуализацию и многое другое.
Система Mathematica строится на беспрецендентно мощных алгоритмах всех предметных областей; многие из них были созданы компанией Wolfram, используя уникальные методы развития и уникальные возможности языка Wolfram Language.
Система Mathematica построена с целью предоставления возможностей промышленной мощности, с крепкими эффективными алгоритмами во всех областях, способными решать крупномасштабные задачи с параллелизмом, вычислениями на графических процессорах и многим другим.
Система Mathematica использует свои алгоритмические возможности и тщательное проектирование языка Wolfram Language для создания уникальной в использовании системы, имеющей предиктивные рекомендации, поддержку ввода на естественном языке и многое другое.
Система Mathematica использует Wolfram Notebook Interface, который позволяет организовать всё, что Вы делаете, в богатый содержанием документ, который включает текст, выполнимый код, динамичную графику, пользовательский интерфейс и многое другое.
Благодаря когерентному дизайну и использованию интуитивных названий функций, состоящих из полных английских слов, язык Wolfram Language исключительно просто читать, использовать и изучать.
Благодаря утончённой вычислительной эстетике и отмеченному наградами дизайну, система Mathematica представляет Ваши результаты в прекрасном виде, мгновенно создавая передовые интерактивные визуализации и готовые к публикации документы.
Начните с практически любого проекта с помощью более 150000 примеров из Documentation Center и более 10000 демонстраций с открытым кодом в Wolfram Demonstrations Project и большого количества других ресурсов.
Система Mathematica имеет доступ к широкой Wolfram Knowledgebase, которая включает актуальные реальные данные из тысяч предметных областей.
1.2 Wolfram Alpha
История проекта началась в 1988 году, когда Стивен Вольфрам, британский математик, написал пять миллионов строчек алгоритма Wolfram|Alpha на придуманном им самим языке Mathematica. Прошло 20 лет, прежде чем на его основе была создана целая система, способная систематизировать все, что поддается систематизации, и находить точные ответы на миллионы фактических вопросов.
Внешне Wolfram|Alpha напоминает обычный поисковик, но, в отличие от похожих сервисов, выдает структурированные ответы, а не набор ссылок, где эти ответы еще придется поискать. С помощью сервиса можно, к примеру, составлять таблицы по характеристикам минералов или населению и экономике разных стран. Всем этим можно пользоваться прямо на уроках: у Wolfram|Alpha есть мобильные приложения для iOS и Android.
В отличие от Википедии, которую иные преподаватели просто запрещают упоминать, на Wolfram|Alpha можно безбоязненно ссылаться в научных работах.
Структурированную базу знаний на протяжении нескольких лет формировали профессиональные математики, физики, историки и биологи, основываясь на авторитетных источниках. Нередко в блоге компании можно увидеть объявления, например, о том, что в систему внесли полное собрание сочинений Шекспира или возможность поворачивать 3D модели стереометрических фигур.
Если запрос касается персоналий, информация представляется в таблице — в нее можно внести сразу несколько имен для сравнения, узнать, кто был современником Байрона или какой философ XIX века дольше всех прожил.
Впрочем, случаются и забавные просчеты. Так, некоторое время Wolfram|Alpha считал президентом России Аслана Масхадова, а лучшим смартфоном по всем показателям оказывался один из аппаратов Nokia.
Запустив невероятно сложную машину знаний, создатели Wolfram|Alpha в какой-то момент поняли, что даже они сами не в состоянии быть в курсе всех ее возможностей. Использованию Wolfram|Alpha в образовании посвящен целый раздел.
На уроках истории ученики ищут, какую сумму в 1950 году составляли современные $100, каким был уровень инфляции в разное время и что можно было купить, а на занятии, посвященном землетрясениям, предлагается выяснить, в какой части света чаще всего происходят землетрясения и какова вероятность их возникновения в том районе, где стоит школа. Учителей просят присылать планы занятий, на которых используется сервис, и периодически устраивают на эту тему конкурсы.
А в начале учебного года в блоге проекта опубликовали подборку из 100 скриншотов, иллюстрирующих возможности сервиса на примере синусов.
На каждый день лета приходилось по картинке — и еще несколько в качестве бонуса. Обзор заканчивался словами: «Понимая, что не все рады возвращаться к урокам, мы надеемся, что некоторым из вас все же будет чуть веселее с Wolfram|Alpha. По крайней мере, веселее, чем было долгим скучным летом».
2 Решение систем линейных уравнений 2.1 Графический способ решения систем уравнений
Способ заключается в построении графика каждого уравнения, входящего в данную систему, в одной координатной плоскости и нахождении точки пересечения этих графиков.
Координаты этой точки (x; y) и будут являться решением данной системы уравнений.
Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, пересекаются, то система уравнений имеет единственное решение.
Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, параллельны, то система уравнений не имеет решений.
Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, совпадают, то система уравнений имеет бесконечное множество решений.
На рисунке 1 показан пример графического способа решения системы линейных уравнений.
Рисунок 1 – Графический способ решения системы линейных уравнений
Графиком каждого уравнения служит прямая линия, для построения которой достаточно знать координаты двух точек. Мы составили таблицы значений х и у для каждого из уравнений системы.
Прямую y=2x-3 провели через точки (0; -3) и (2; 1).
Прямую y=x+1 провели через точки (0; 1) и (2; 3).
Графики данных уравнений системы 1) пересекаются в точке А(4; 5).
Это и есть единственное решение данной системы.
Ответ: (4; 5).
2.2 Решение систем линейных уравнений с помощью Wolfram Alpha
Команда для решения системы уравнений: solve 2x+7y=6, 4x+5y=2
Результат:
Рисунок 2 – Графическое решение системы уравнений
2.
Команда для решения системы уравнений: solve x+5y =7, 3x−2y=4
Результат:
Рисунок 3 – Графическое решение системы уравнений
Команда для решения системы уравнений: solve 3x+2y=1, y-4x=-16
Результат:
Рисунок 4 – Графическое решение системы уравнений
Команда для решения системы уравнений: solve x=2+y, 3x-2y=9
Результат:
Рисунок 5 – Графическое решение системы уравнений
Команда для решения системы уравнений: solve y=11-2x, 5x-4y=8
Результат:
Рисунок 6 – Графическое решение системы уравнений
Команда для решения системы уравнений: solve x=3+2y, 5x+y=4
Результат:
Рисунок 7 – Графическое решение системы уравнений
Команда для решения системы уравнений: solve 3x-y=5, 5x+2y=23
Результат:
Рисунок 8 – Графическое решение системы уравнений
Команда для решения системы уравнений: solve 5x+6y=13, 7x+18y=-1
Результат:
Рисунок 9 – Графическое решение системы уравнений
Команда для решения системы уравнений: solve 2x+y=8, 3x+4y=7
Результат:
Рисунок 10 – Графическое решение системы уравнений
Команда для решения системы уравнений: solve 2x+5y=15, 3x+8y=-1
Результат:
Рисунок 11 – Графическое решение системы уравнений
Заключение
В современном мире сверхбыстрого развития информационных технологий все больше становится важна скорость вычислений.
Огромная часть из них, ранее выполнявшаяся исключительно человеком, теперь может выполняться практически без его участия. Достаточно только написать однажды программу, а затем можно изменять лишь исходные данные – машина сама найдет решение той или иной типовой задачи.
Программы Wolfram Mathematica и ее онлайн версия Wolfram Alpha позволяют производить достаточно сложные вычисления с огромной точностью, без ошибки, которую может совершить человек.
В данном проекте были исследованы некоторые функции языка Wolfram, а именно – решение систем линейных уравнений. Достаточно всего одной команды, чтобы программа нашла ответ за считанные секунды.
С помощью онлайн версии математического пакета Wolfram Mathematica — Wolfram Alpha – было решено 10 систем линейных уравнений, и полученные результаты совпадают с графическим способом решения этих уравнений вручную.
Список использованных источников
edutainme.ru/post/wolfram-alpha/
mathematics-repetition.
com/6-klass-mathematics/6-9-1-reshenie-sistem-lineynh-uravneniy-grafitcheskim-sposobom.htmlru.wikipedia.org/wiki/Mathematica
ru.wikipedia.org/wiki/WolframAlpha
wolfram.com/mathematica/
wolframalpha.com
wolframalpha-ru.com
com/6-klass-mathematics/6-9-1-reshenie-sistem-lineynh-uravneniy-grafitcheskim-sposobom.html19
Школы vs. искусственный интеллект. Почему Wolfram Alpha стоит отдать должное
Современная система образования не приемлет списывания. Особенно жестоко наказываются попытки обмана с помощью онлайн-инструментов, например, Wolfram Alpha. Вместо того, чтобы использовать построенный на искусственном интеллекте сервис в полезном ключе, преподаватели все больше негодуют о слишком большом влиянии цифровой среды на результаты их работы. Корреспондент Wired Филиппа Биддл пообщалась с преподавателями и представителями Wolfram Alpha, чтобы составить полную картину проблемы. Редакция AIN.UA приводит адаптированный перевод материала.
Учитель математики в Вест-Хартфорде, Коннектикут, Денис Гарсия знает, что ее ученики иногда хитрят, но ситуация, произошедшая в феврале 2017 года, казалась совершенно другой.
Гарсия случайно дала своему классу усложненное уравнение множеств на контрольной работе. Несколько учеников из группы в 15 человек решили задачу правильно и показали решения, подтвердив, что получили ответы самостоятельно, не списывая результат у соседа по парте. Гарсия была озадачена, пока не вспомнила давний разговор бывших учеников об онлайн-инструменте Wolfram Alpha, который выполняет сложные вычисления за считанные секунды. Он дает как ответ, так и развернутые шаги решения, не оставляя практически никаких шансов обнаружить обман.
Студенты долгое время пользовались CliffsNotes для быстрого чтения книг, SparkNotes для отстаивания необычных точек зрения на произведения культуры и Wikipedia для поиска любой информации. Сегодня же большой популярностью пользуется Wolfram Alpha — инструмент, который применяет искусственный интеллект для решения уравнений и сложных математических вычислений. Wolfram Alpha построен на базе технологии, обрабатывающей естественный язык, и предоставляет студентам возможность списывать и быть уверенным в результате.
С момента запуска в 2009 году Wolfram Alpha плотно влился в современную систему образования. Использование инструмента трудно увидеть, и в руках умелых студентов его идеальные решения могут иметь непредвиденные последствия. Алгоритм работает по системе дробления вопроса на куски, будь-то математическое уравнение или вопрос «Где центр США». После система прогоняет куски вопроса через огромную библиотеку данных, которая ежедневно пополняется. Наборы данных из библиотеки включают информацию обо всем на свете: химических соединениях, генах человека, исторических метеорологических измерениях, геодезических схемах и тысячах других тем, объединение которых используется при формировании ответа.
Но система ограничена библиотекой — она не может интерпретировать каждый вопрос. Она не может отвечать естественным языком или разговорной речью. Это камень преткновения искусственного интеллекта в целом. Даже Siri, виртуальный помощник от Apple, полагающаяся на движок Wolfram Research, — Mathematica — может отвечать на вопросы только по запрограммированным сценариям.
Воспользоваться Wolfram Alpha так же просто, как и Google. Но в отличие от всемогущей поисковой системы, Wolfram Alpha не выдает бесконечный список страниц потенциально релевантных результатов, а предоставляет конкретные ответы. Любой может перейти на сайт инструмента, ввести вопрос или уравнение в диалоговое окно, нажать Enter и получить ответ. Если хотите решить x² + 5x + 6 = 0, то Wolfram Alpha покажет вам корни уравнения, альтернативные формы и решения. А если хотите посмотреть на шаги решения, то нужно купить подписку за $6,99/месяц (есть скидки для студентов и преподавателей).
Впервые я услышала о Wolfram Alpha на кухне от моих родителей. Вернувшись с работы в одной из частных школ Нью-Йорка, отец спросил меня, что я думаю о Wolfram Alpha. В тот день он встретился с преподавателями, которые руководят STEM-курсами (Science, Technology, Engineering, Math — программа, которая включает занятия по техническим дисциплинам с практической работой в командах). Преподаватели жаловались, что использование Wolfram Alpha учениками — это вопиющий обман.
После того, как я спросила у своих друзей в Facebook, пользуются ли они Wolfram Alpha, оказалось, что таких людей много. Некоторые использовали инструмент, чтобы сдать экзамен в колледже, а кто-то пользуется им до сих пор, работая инженером или специалистом по статистике. Но все они говорили, что не хотят, чтобы кто-то знал об использовании ими Wolfram Alpha в работе. Хотя инструмент и был разработан как образовательный ресурс, работники системы образования не знают как на это реагировать. То, что некоторые называют обманом, другие прозвали огромным шагом вперед: как мы учимся, чему учим и какое образование полезно. Говорят, Wolfram Alpha — это будущее. Неудивительно, что создатель с этим согласен.
Стивен Вольфрам впервые показал Wolfram Alpha в 2009 году. Идея создания такого инструмента появилась у него как раз из-за страданий на факультете математики. В младшем возрасте Стивен увлекался физикой, подростком выпустил три книги, а к 15 годам уже публиковал научные статьи.
Но даже несмотря на впечатляющие способности, математика для Стивена была проблемой. Он мог найти способ решения, но сами вычисления давались сложно.
Это стало причиной создания специального программного обеспечения, которое проводило все вычисления, тогда как Стивен концентрировался на науке. В 1981 году Стивен Вольфрам стал самым молодым человеком, получившим стипендию Мак-Артура ( награда, которую выдают демонстрирующим исключительные достижения и потенциал для долгой и плодотворной творческой работы людям — ред.). Тогда Стивену было всего 21.
Тем не менее, с физикой Стивену пришлось покончить как только он стал одержим возможностями компьютерных вычислений. Спустя пять лет после получения стипендии он начал разрабатывать систему компьютерной алгебры Mathematica, и в 1988 году его компания Wolfram Research выпустила продукт в свет.
Алан Джойс, директор по разработке контента для Wolfram Alpha, говорит, что разработка компании вовсе не про обман и хитрость. Он понимает, что Wolfram Alpha заставляет учителей нервничать, ведь исторически ситуация в образовательной сфере сложилась таким образом, что ручные вычисления всегда были в приоритете.
Джон Диксон, менеджер программ Wolfram Research, говорит, что компания должна помогать разочарованным в инструменте преподавателям вроде Денис Гарсиа разобраться в принципах работы Wolfram Alpha и понять, как помочь своим студентам. Люди, которые стоят за развитием системы, рассматривают ее как образовательный инструмент, заменяющий преподавателя на дому. Та же функция показа шагов решения поможет учителям разбить уравнения на проблемы и не увязнуть в механике.
«Когда начинаешь показывать педагогам потенциал Wolfram Alpha, то видишь, что у них горят глаза», — говорит Диксон.
Тем не менее, представление о том, что Wolfram Alpha — это своеобразная форма обмана, все еще присутствует и преобладает.
«Понятие образования как передачи информации от профессионала к новичку и повтор этой информации человеком в качестве доказательства усвоения — далеко от реальности 2017 года», — говорит Дэвид Хельфанд, профессор астрономии в Колумбийском университете.
Конечно, технология компьютерной алгебры никуда не денется.
Как и списывание ответов с последних страниц книги и совместные с другими учениками решения, Wolfram Alpha все равно будет пользоваться популярностью среди студентов. Им не перестанут пользоваться только потому, что так сказал преподаватель. Подобно тому, как робототехника перевернула производство, Wolfram Alpha позволяет переосмыслить образовательную систему. И если мы не изменим отношение к использованию Wolfram Alpha в школах, то рискуем стать живыми артефактами в быстро развивающемся мире.
Оптимизация окна β-фазы вольфрама для спин-орбитальной магнитной памяти с произвольным доступом
%PDF-1.4 % 1 0 объект > эндообъект 8 0 объект /Заголовок /Предмет /Автор /Режиссер /CreationDate (D:20221201121256-00’00’) /CrossMarkDomains#5B1#5D (journals.aps.org) /CrossmarkDomainExclusive (ложь) /CrossmarkMajorVersionDate (2021-12-03) /DOI (10.1103/PhysRevApplied.16.064009) /Keywords (doi:10.1103/PhysRevApplied.16.064009 URL:https://doi.org/10.1103/PhysRevApplied.16.064009) /ModDate (Д:20211220180944+05’30’) >
> эндообъект 2 0 объект > эндообъект 3 0 объект > эндообъект 4 0 объект > эндообъект 5 0 объект > эндообъект 6 0 объект > эндообъект 7 0 объект > транслировать 2021-12-20T16:47LaTeX с пакетом hyperref + hypdvips2021-12-20T18:09:44+05:302021-12-20T18:09:44+05:30Acrobat Distiller 10.
0.0 (Windows)doi:10.1103/PhysRevApplied.19.064000 URL: https://doi.org/10.1103/PhysRevApplied.16.064009application/pdfdoi:10.1103/PhysRevApplied.16.064009
10© Американское физическое общество, 2018 г. конечный поток
эндообъект
9bi{|U)-.
1LRAmwur|20.3 Сопротивление и удельное сопротивление – College Physics
Глава 20 Электрический ток, сопротивление и закон Ома
Резюме
- Объясните понятие удельного сопротивления.
- Используйте удельное сопротивление для расчета сопротивления определенных конфигураций материала.
- Используйте термический коэффициент удельного сопротивления для расчета изменения сопротивления в зависимости от температуры.
Сопротивление объекта зависит от его формы и материала, из которого он состоит. Цилиндрический резистор на рис. 1 легко анализировать, и таким образом мы можем получить представление о сопротивлении более сложных форм. Как и следовало ожидать, электрическое сопротивление цилиндра [латекс]{R}[/латекс] прямо пропорционально его длине [латекс]{L}[/латекс], аналогично сопротивлению трубы потоку жидкости. Чем длиннее цилиндр, тем больше столкновений зарядов с его атомами произойдет. Чем больше диаметр цилиндра, тем больший ток он может пропускать (опять же аналогично потоку жидкости по трубе).
На самом деле, [латекс]{R}[/латекс] обратно пропорционален площади поперечного сечения цилиндра [латекс]{А}[/латекс].
Для данной формы сопротивление зависит от материала, из которого состоит объект. Различные материалы оказывают различное сопротивление потоку заряда. Мы определяем удельное сопротивление [латекс]{\rho}[/латекс] вещества, так что сопротивление [латекс]{R}[/латекс] объекта прямо пропорционально [латекс]{\ро}[/латекс ]. Удельное сопротивление [латекс] {\ rho} [/латекс] — это внутреннее свойство материала, не зависящее от его формы или размера. Сопротивление [латекс]{R}[/латекс] однородного цилиндра длиной [латекс]{L}[/латекс], площадью поперечного сечения [латекс]{А}[/латекс], изготовленного из материала с удельным сопротивлением [латекс]{\rho}[/латекс], составляет
[латекс] {R =} [/ латекс] [латекс] {\ гидроразрыва {\ rho L} {A}} [/ латекс].
В таблице 1 приведены репрезентативные значения [латекс]{\ро}[/латекс]. Материалы, перечисленные в таблице, разделены на категории проводников, полупроводников и изоляторов на основе широких групп удельного сопротивления. Проводники имеют наименьшее удельное сопротивление, а изоляторы — наибольшее; полупроводники имеют промежуточное сопротивление. Проводники имеют разную, но большую плотность свободного заряда, в то время как большинство зарядов в изоляторах связаны с атомами и не могут свободно перемещаться. Полупроводники занимают промежуточное положение, имея гораздо меньше свободных зарядов, чем проводники, но обладая свойствами, из-за которых количество свободных зарядов сильно зависит от типа и количества примесей в полупроводнике. Эти уникальные свойства полупроводников используются в современной электронике, что будет рассмотрено в последующих главах. 9{11}}[/латекс]
Пример 1.
Расчет диаметра резистора: нить накала фарыНить накала автомобильной фары изготовлена из вольфрама и имеет морозостойкость [латекс]{0,350 \;\Омега}[/латекс]. Если нить представляет собой цилиндр длиной 4,00 см (можно свернуть в спираль для экономии места), то каков ее диаметр?
Стратегия
Мы можем преобразовать уравнение [латекс]{R = \frac{\rho L}{A}}[/латекс], чтобы найти площадь поперечного сечения [латекс]{А}[/латекс] нити из предоставленной информации. Тогда его диаметр можно найти, предполагая, что он имеет круглое поперечное сечение. 9{-5} \;\text{m}} \end{array}.[/latex]
Обсуждение
Диаметр чуть меньше одной десятой миллиметра. Он заключен в кавычки только с двумя цифрами, потому что [латекс]{\rho}[/латекс] известен только с двумя цифрами.
Удельное сопротивление всех материалов зависит от температуры. Некоторые даже становятся сверхпроводниками (нулевое сопротивление) при очень низких температурах.
(См. рис. 2.) И наоборот, удельное сопротивление проводников увеличивается с повышением температуры. Поскольку атомы вибрируют быстрее и преодолевают большие расстояния при более высоких температурах, электроны, движущиеся через металл, совершают больше столкновений, что фактически увеличивает удельное сопротивление. При относительно небольших изменениях температуры (около 100ºC или менее) удельное сопротивление [латекс] {\ rho} [/латекс] зависит от изменения температуры [латекс] {\ Delta T} [/латекс], как выражается в следующем уравнении 9.0029
[латекс]{ \rho = \rho_{0} (1 + \alpha \Delta T)},[/latex]
, где [latex]{\rho_0}[/latex] — исходное удельное сопротивление, а [latex]{\alpha}[/latex] — температурный коэффициент удельного сопротивления . (См. значения [латекс] {\ альфа} [/латекс] в таблице 2 ниже.) Для больших изменений температуры [латекс] {\ альфа} [/латекс] может варьироваться, или может потребоваться нелинейное уравнение, чтобы найти [ латекс] {\ rho} [/латекс].
Обратите внимание, что [латекс] {\ альфа} [/ латекс] положителен для металлов, что означает, что их удельное сопротивление увеличивается с температурой. Некоторые сплавы были разработаны специально, чтобы иметь небольшую температурную зависимость. Манганин (состоящий из меди, марганца и никеля), например, имеет [латекс] {\ альфа} [/латекс] близок к нулю (до трех цифр по шкале в таблице 2), поэтому его удельное сопротивление незначительно зависит от температуры. Это полезно, например, для создания эталона сопротивления, не зависящего от температуры.
| Таблица 2: Температурные коэффициенты удельного сопротивления [латекс]{\альфа}[/латекс] |
Обратите внимание, что [латекс]{\альфа}[/латекс] имеет отрицательное значение для полупроводников, перечисленных в таблице 2, а это означает, что их удельное сопротивление уменьшается с повышением температуры.
Они становятся лучшими проводниками при более высокой температуре, потому что повышенное тепловое возбуждение увеличивает количество свободных зарядов, доступных для переноса тока. Это свойство уменьшать [латекс] {\ rho} [/латекс] с температурой также связано с типом и количеством примесей, присутствующих в полупроводниках.
Сопротивление объекта также зависит от температуры, так как [латекс]{R_0}[/латекс] прямо пропорционален [латекс]{\ро}[/латекс]. Для цилиндра мы знаем [латекс]{R = \rho L/A}[/латекс], и поэтому, если [латекс]{L}[/латекс] и [латекс]{А}[/латекс] не меняются сильно зависит от температуры, [латекс] {R} [/латекс] будет иметь ту же температурную зависимость, что и [латекс] {\ rho} [/латекс]. (Изучение коэффициентов линейного расширения показывает, что они примерно на два порядка меньше типичных температурных коэффициентов удельного сопротивления, и поэтому влияние температуры на [латекс]{L}[/латекс] и [латекс]{А}[ /latex] примерно на два порядка меньше, чем на [latex]{\rho}[/latex].
) Таким образом,
[латекс]{R = R_0(1 + \alpha \Delta T)}[/латекс]
— температурная зависимость сопротивления объекта, где [латекс]{R_0}[/латекс] — исходное сопротивление, а [латекс]{R}[/латекс] — сопротивление после изменения температуры [латекс]{\ Дельта Т}[/латекс]. Многие термометры основаны на влиянии температуры на сопротивление. (См. рис. 3.) Одним из наиболее распространенных является термистор, полупроводниковый кристалл с сильной температурной зависимостью, сопротивление которого измеряется для получения его температуры. Устройство маленькое, поэтому быстро приходит в тепловое равновесие с той частью человека, к которой прикасается.
Рисунок 3. Эти известные термометры основаны на автоматизированном измерении сопротивления термистора в зависимости от температуры. (кредит: Biol, Wikimedia Commons)Пример 2: Расчет сопротивления: сопротивление горячей нити
Хотя следует соблюдать осторожность при нанесении [латекса]{ \rho = \rho_0(1 + \alpha \Delta T)}[/latex ] и [латекс]{R = R_0(1 + \alpha \Delta T)}[/латекс] для изменений температуры более 100ºC, для вольфрама уравнения работают достаточно хорошо при очень больших изменениях температуры.
Каково же тогда сопротивление вольфрамовой нити в предыдущем примере, если ее температуру повысить с комнатной (20°С) до типичной рабочей температуры 2850°С? 9{\circ}C)]} \\[1em]= & {4.8 \;\Omega} \end{array}.[/latex]
Обсуждение
Это значение согласуется с примером сопротивления фары в примере 1 Глава 20.2 Закон Ома: сопротивление и простые цепи.
Исследования PhET: сопротивление в проводе
Узнайте о физике сопротивления в проводе. Измените его удельное сопротивление, длину и площадь, чтобы увидеть, как они влияют на сопротивление провода. Размеры символов в уравнении меняются вместе со схемой провода.
Рис. 4. Сопротивление в проводе- Сопротивление [латекс]{R}[/латекс] цилиндра длиной [латекс]{L}[/латекс] и площадью поперечного сечения [латекс]{А}[/латекс] равно [латекс]{R = \frac{\rho L}{A}}[/latex], где [latex]{\rho}[/latex] — удельное сопротивление материала.
- Значения [латекс]{\rho}[/латекс] в таблице 1 показывают, что материалы делятся на три группы: проводники, полупроводники и изоляторы .
- Температура влияет на удельное сопротивление; для относительно небольших изменений температуры [латекс] {\ Delta T} [/ латекс] удельное сопротивление равно [латекс] {\ rho = \ rho_0 (1 + \ alpha \ Delta T)} [/ латекс], где [латекс] {\ rho_0}[/latex] — исходное удельное сопротивление, а αα — температурный коэффициент удельного сопротивления.
- В таблице 2 приведены значения [латекса]{\альфа}[/латекса], температурного коэффициента удельного сопротивления.
- Сопротивление [латекс]{R}[/латекс] объекта также зависит от температуры: [латекс]{R = R_0(1 + \alpha \Delta T)}[/латекс], где [латекс]{R_0} [/latex] — исходное сопротивление, а [latex]{R}[/latex] — сопротивление после изменения температуры.
Задачи и упражнения
1: Чему равно сопротивление отрезка медной проволоки 12-го калибра длиной 20,0 м и диаметром 2,053 мм?
2: Диаметр медной проволоки 0-го калибра 8,252 мм. Найти сопротивление такого провода длиной 1,00 км, по которому осуществляется передача электроэнергии.
3: Если вольфрамовая нить накаливания диаметром 0,100 мм в лампочке должна иметь сопротивление [латекс]{0,200 \;\Омега}[/латекс] при 20,0ºC, какой длины она должна быть?
4: Найдите отношение диаметра алюминиевого провода к медному, если они имеют одинаковое сопротивление на единицу длины (как в бытовой электропроводке). 93 \;\text{V}}[/latex] применяется к нему? (Такой стержень можно использовать, например, для изготовления детекторов ядерных частиц). в габаритах? (б) Происходит ли это в бытовой электропроводке при обычных обстоятельствах?
7: Резистор из нихромовой проволоки используется в тех случаях, когда его сопротивление не может измениться более чем на 1,00% от его значения при 20,0°C. В каком диапазоне температур его можно использовать?
8: Из какого материала изготовлен резистор, если его сопротивление при 100°С на 40,0% больше, чем при 20,0°С?
9: Электронное устройство, предназначенное для работы при любой температуре в диапазоне от –10,0ºC до 55,0ºC, содержит чисто углеродные резисторы.
Во сколько раз увеличивается их сопротивление в этом диапазоне?
10: (a) Из какого материала изготовлен провод, если он имеет длину 25,0 м, диаметр 0,100 мм и сопротивление [латекс]{77,7 \;\Омега}[/латекс] при 20,0ºC ? б) Каково его сопротивление при 150°С?
11: При постоянном температурном коэффициенте удельного сопротивления, каково максимальное уменьшение сопротивления константановой проволоки в процентах, начиная с 20,0ºC?
12: Проволоку протягивают через матрицу, растягивая ее в четыре раза по сравнению с первоначальной длиной. Во сколько раз увеличивается его сопротивление?
13: Медная проволока имеет сопротивление [латекс]{0,500 \;\Омега}[/латекс] при 20,0ºC, а железная проволока имеет сопротивление [латекс]{0,525 \;\Омега}[ /латекс] при той же температуре. При какой температуре их сопротивления равны? 9{\circ} \text{C}}[/latex]), когда он имеет ту же температуру, что и пациент.