Системы квадратных уравнений с двумя переменными: Решение систем квадратных уравнений

Как решать системы уравнений с двумя переменными

Оглавление

Время чтения:  5 минут

298

Понятие системы уравнений с двумя переменными

Определения 1 — 2

Уравнениями называются математические равенства разной степени сложности, в которых одна или несколько величин неизвестны. Значения всех переменных нужно найти таким образом, чтобы в результате их постановки в первоначальное уравнение получилось верное числовое равенство.

Под системой уравнений понимается условие, которое заключается в одновременном выполнении нескольких уравнений, логически связанных между собой, относительно одной или нескольких переменных. Рассмотрим все варианты решения систему уравнений с двумя переменными.

Основные виды систем уравнений

В математике насчитывается достаточно много видов систем уравнений. Для более удобного их изучения и нахождения решений их разделяют на несколько групп с определёнными характеристиками.

Классификация помогает рассматривать системы уравнений разных видов. Первый вариант – это классифицирование по количеству уравнений в системе. Если оно всего одно, то его называют обычным уравнением. Если уравнений несколько, тогда речь идет о системе.

Отличительным критерием для другого вида классификации является количество переменных. Если переменная одна, значит это уравнение с одной неизвестной, если их две – то с двумя неизвестными и т.д.

Основные способы решения системы уравнений

Для того чтобы решить систему уравнений с двумя переменными, необходимо определить значения пары переменных, которые при подстановке в каждое из уравнений обратят их в верные числовые неравенства. Если удалось вычислить эти значения правильно, то они и будут являться решением для всех уравнений рассматриваемой системы.

В алгебре некоторые системы уравнений могут вовсе не иметь правильных решений или наоборот их может быть бесконечное множество. Убедиться в этом можно, если заняться углубленным изучением данной тематики. В итоге можно прийти к выводу, что системы представляют собой множества решений всех ее уравнений.

Рассмотрим основные способы решения систем с двумя неизвестными:

1. способ подстановки;
2. графический способ;
3. способ сложения;
4. способ введения новых переменных.

Чтобы подробно описать принцип решения на примере первых трех способов, будем рассматривать системы линейных уравнений с двумя неизвестными.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Способ подстановки

Этот способ считается одним из самых понятных и часто используемых для быстрого нахождения решения. Он заключается в следующем:

• в любом уравнении системы y выражается через x;
• полученное выражение подставляется в другое уравнение в результате чего остается только одна неизвестная;
• после решения уравнения определяется значение x;
• после этого легко вычисляется переменная y.

Пример 1

\[\left\{\begin{array}{c}3 x+2 y=16 \\2 x-y=6\end{array}\right.\]

Для того чтобы решить систему, выразим y через x во втором уравнении.
\[y=2 x-6\]
Подставим полученное выражение в первое уравнение и найдем значение x.
\[\begin{aligned}&3 x+4 x-12=16 \\&7 x=28 \\&x=4\end{aligned}\]
После этого найдем значение y.
\[y=8-6=2\]
Ответ (4,2).

Способ сложения

Алгоритм решения системы линейных уравнений с двумя переменными заключается в выполнении последовательных действий:

• сначала нужно уравнять модули коэффициентов при одном неизвестном;
• сложить либо вычесть уравнения системы;
• решить объединенное уравнение и найти значение одной переменной;
• вычислить второе неизвестное.

Рассмотрим решение с помощью этого способа на том же примере.

Пример 2

\[\left\{\begin{array}{c}3 x+2 y=16 \\2 x-y=6\end{array}\right.

{y}=4\end{gathered}\]
Получаем далее:
\[\left\{\begin{array}{l}x=3 \\y=2\end{array}\right.\]
Ответ: (3,2).

Графический способ

Наиболее наглядным является графический способ решения систем уравнений. Он заключается в том, что на координатной плоскости изображаются оба уравнения и в итоге находится точка пересечения графиков. Ее координаты и будут соответствовать значениям переменных.

\[\left\{\begin{array}{l} 2 x+3 y=5 \\ 3 x-y=-9 \end{array}\right.\]

В обоих уравнениях выразим y через x, получим:

\[\left\{\begin{array}{c} y=5-2 x \\ 3 y=3 x+9 \end{array}\right.\]

Изобразим графики на координатной плоскости:

Ответ: (−2, 3).

Оценить статью (44 оценки):

Поделиться

9 класс. Алгебра. Системы уравнений. — Решение систем уравнений методом замены переменных.

Комментарии преподавателя

На этом уроке мы рассмотрим последний метод решения систем уравнений – метод введения новых переменных. Сформулируем суть метода и будем рассматривать его применение на конкретных задачах.

 

Тема: Си­сте­мы урав­не­ний

Урок: Метод вве­де­ния новых пе­ре­мен­ных

На преды­ду­щих уро­ках для ре­ше­ния си­стем урав­не­ний при­ме­ня­лись гра­фи­че­ский метод, метод под­ста­нов­ки и метод ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния. Сей­час будет рас­смот­рен метод вве­де­ния новых пе­ре­мен­ных.

Вве­де­ние новых пе­ре­мен­ных поз­во­ля­ет упро­стить ис­ход­ную си­сте­му. Рас­смот­рим в ка­че­стве при­ме­ра си­сте­му, ко­то­рая пред­ла­га­лась на всту­пи­тель­ном эк­за­мене в 1979 г. в МГУ на ме­ха­ни­ко-ма­те­ма­ти­че­ский фа­куль­тет.

При­мер 1. Ре­шить си­сте­му 

Ре­ше­ние.

По­лез­но вве­сти новые пе­ре­мен­ные  

 

До­воль­но слож­ная ис­ход­ная си­сте­ма све­лась к более про­стой. Это си­сте­ма двух ли­ней­ных урав­не­ний от­но­си­тель­но a и b. Решим ее ме­то­дом ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния, вы­чтем из пер­во­го урав­не­ния вто­рое.

   

Мы ввели новые пе­ре­мен­ные и ре­ши­ли си­сте­му от­но­си­тель­но этих пе­ре­мен­ных. Воз­вра­ща­ем­ся к ста­рым пе­ре­мен­ным.

 

Мы по­лу­чи­ли вто­рую си­сте­му двух ли­ней­ных урав­не­ний от­но­си­тель­но x и y.

Решим си­сте­му ме­то­дом под­ста­нов­ки.

 

Ответ: 

Часто при за­мене пе­ре­мен­ных мы по­лу­ча­ем квад­рат­ное урав­не­ние. На­пом­ним ос­нов­ные све­де­ния о них:

Квад­рат­ное урав­не­ние в общем виде: 

Фор­му­ла кор­ней квад­рат­но­го урав­не­ния через дис­кри­ми­нант:

Если b – чет­ное число, имеем фор­му­лу: 

На­пом­ним тео­ре­му Виета: Если  корни квад­рат­но­го урав­не­ния , то 

Верно и об­рат­ное: Если числа  удо­вле­тво­ря­ют си­сте­ме  , то они яв­ля­ют­ся кор­ня­ми квад­рат­но­го урав­не­ния.

На­пом­ним прием, ко­то­рый поз­во­ля­ет упро­стить на­хож­де­ние кор­ней квад­рат­но­го урав­не­ния. Умно­жим квад­рат­ное урав­не­ние на  По­лу­чим  

По­лу­чи­ли новое урав­не­ние от­но­си­тель­но новой пе­ре­мен­ной  

 

Мы по­лу­чи­ли при­ве­ден­ное квад­рат­ное урав­не­ние с це­лы­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми (если они были це­лы­ми в ис­ход­ном урав­не­нии).

При­мер 2. Ре­шить урав­не­ние 

Ре­ше­ние:

 

 

;

 

Это при­ве­ден­ное урав­не­ние, ко­эф­фи­ци­ен­ты – целые числа.

По тео­ре­ме Виета  

 

Ответ: 

При­мер 3. Ре­шить урав­не­ние 

Ре­ше­ние:

 

  

 

 

По­лу­чи­ли при­ве­ден­ное квад­рат­ное урав­не­ние от­но­си­тель­но z.

По тео­ре­ме Виета 

 

Ответ: 

Мы рас­смот­ре­ли еще один прием, ко­то­рый поз­во­ля­ет упро­стить на­хож­де­ние кор­ней квад­рат­но­го урав­не­ния.

После сде­лан­ных на­по­ми­на­ний для квад­рат­ных урав­не­ний решим си­сте­му:

При­мер 4. Ре­шить си­сте­му 

Ре­ше­ние: Про­из­ве­дем за­ме­ну: 

 

 

 

 

 

 

Вер­нем­ся к ис­ход­ной си­сте­ме:

   

Ответ:

При­мер 5. Ре­шить си­сте­му: 

Ре­ше­ние:

Вве­дем новую пе­ре­мен­ную:  По­лу­ча­ем квад­рат­ное урав­не­ние от­но­си­тель­но новой пе­ре­мен­ной.

 

 

 

Ис­ход­ная си­сте­ма све­лась к со­во­куп­но­сти двух си­стем:

Каж­дую си­сте­му ре­ша­ем ме­то­дом под­ста­нов­ки.

1. 

 

 

 

 

2. 

 

 

 

 

На­хо­дим y при из­вест­ных x.

  

Ответ: 

Сле­ду­ю­щая си­сте­ма – сим­мет­ри­че­ская. Сим­мет­ри­че­ской на­зы­ва­ет­ся такая си­сте­ма, ко­то­рая не из­ме­нит­ся, если пе­ре­мен­ные по­ме­нять ме­ста­ми.

 

Ре­ше­ние: Про­из­ве­дем за­ме­ну 

По­лу­ча­ем си­сте­му:

 

Мы ввели новые пе­ре­мен­ные, и нашли их.

Вер­нем­ся к ста­рым пе­ре­мен­ным. По­лу­ча­ем две си­сте­мы:

 

1. 

 

 

 

2.  

 

нет ре­ше­ний.

Ответ:  

За­ме­тим, что ре­ше­ни­ем сим­мет­ри­че­ской си­сте­мы яв­ля­ют­ся сим­мет­рич­ные пары чисел.

 

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/sistemy-uravneniy/metod-vvedeniya-novyh-peremennyh?konspekt&chapter_id=26

 

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=hMUW7O1rPZE

Решение квадратных систем — квадратичные функции и уравнения

Система квадратных уравнений состоит только из .

{у=х2-6х+3у=-х2+2х-5​

Графики квадратичных систем с двумя уравнениями могут иметь 0, 1, 2 или бесконечно много . Следовательно, число решений квадратичной системы также равно 0, 1, 2 или бесконечно много.

Квадратичные системы могут быть решены графически или алгебраически. Так как уравнения в квадратичной системе не являются линейными, эти системы .

Подобно решению и решению , решение квадратных систем можно выполнить, построив оба уравнения в виде графика. Решение(я) можно найти, указав координаты точки .

Квадратичные системы можно решать с помощью замены так же, как . Одно уравнение подставляется в другое, в результате получается либо квадратное, либо линейное уравнение. Решение полученного уравнения дает значения x для решения всей системы. Наконец, они подставляются в одно из исходных уравнений, чтобы найти соответствующие значения y.

Решите систему с помощью подстановки.

{y=x2−4x+2y=-x2+2x−2​

Показать решение expand_more

Мы можем решить систему, подставив одно уравнение в другое.

х2-4х+2=-х2+2х-2

Теперь у нас есть . Его решения дадут нам значения x для решений системы. Перестроим уравнение так, чтобы оно стало равным 0.

x2-4x+2=-x2+2x-2

2×2-4x+2=2x-2

2×2-6x+2=-2

2×2-6x+4=0

Отсюда мы можем решить уравнение, используя .

2х2−6х+4=0

х=2⋅2-(-6)±(-6)2−4⋅2⋅4

х=2⋅26±(-6)2 −4⋅2⋅4

х=46±36−32

х=46±4

х=46±2

х= 46+2​ x=46−2​

x=8/4x=4/4​

x1​=2×2​=1​

Значения x для решений равны x=2 и x=1. Теперь мы подставляем их в одно из исходных уравнений, чтобы найти соответствующие значения y. Мы будем использовать первое уравнение, но неважно какое.

y=22−4⋅2+2=-2y=12−4⋅1+2=-1​

Таким образом, решения квадратичной системы

(2,-2) и (1,-1).​

Квадратичная система может также состоять из квадратичных неравенств, таких как

{y Решением системы квадратных неравенств является, подобно , вся область в координатной плоскости.

Систему квадратных неравенств можно решить графически, подобно системе . В частности, отдельные неравенства изображены на графике, а пересечение заштрихованных областей является решением системы. Например,

{y≥0,5×2−4x+6y≤-x2+8x−12​

можно решить таким образом.

Чтобы найти решения для системы, начните с . Здесь y≥0,5×2−4x+6 имеет граничную кривую y=0,5×2−4x+6, а область, соответствующая множеству решений, лежит внутри .

Далее нарисуйте другое неравенство. Здесь y≤-x2+8x−12 имеет границу y=-x2+8x−12. Область, соответствующая множеству решений, также лежит внутри параболы.

Решения системы являются решениями обоих индивидуальных неравенств. Это означает, что они лежат в перекрывающихся заштрихованных областях. Вот, это фиолетовая область.

Поскольку кривые в целом не являются частью , обрежьте их так, чтобы они ограничивали только фиолетовую область. Теперь показано множество решений системы.

Решение систем, для которых требуется квадратичная формула

Введение Понятия построения графиковРешение простых системРешение промежуточных системРешение сложных систем

Purplemath

Как квадратичная формула может помочь решить систему нелинейных уравнений?

Когда в нелинейном уравнении есть член, где x и y перемножаются вместе, применение квадратичной формулы может позволить вам найти одну из переменных с точки зрения другой.

Содержание продолжается ниже

MathHelp.com

Другими словами, иногда при решении более сложных систем нелинейных уравнений вам потребуется использовать старые инструменты новыми способами. В приведенном ниже примере показано, как квадратичная формула иногда полезна при решении систем; это также показывает, насколько сложными могут быть ваши вычисления. (Подсказка: очень.)

• Решите следующую систему уравнений:
  
  х ² − ху + у ² = 21
  x ² + 2 xy − 8
  y ² = 0

Эта система представляет собой эллипс и набор прямых линий. (Да, действительно; второе уравнение на самом деле представляет собой две прямые линии.) Если я решу каждое приведенное выше уравнение для y =, тогда я могу ввести уравнения «плюс-минус» в свой графический калькулятор, чтобы проверить свою работу.

Подставив первое квадратное уравнение выше в квадратичную формулу и решив y через x , я получаю:

Чтобы применить квадратную формулу к первому уравнению, я должен был учесть все, что не было t a y (или y ² ) как коэффициент при этом члене. Это означало, что некоторые значения b и c в формуле содержали переменные. Это совершенно нормально; это совершенно законный способ применения Формулы.

Теперь я тоже решу второе квадратное число с помощью формулы:

(Откуда взялись эти столбцы абсолютного значения? Напомним, что технически квадратный корень из x ² является абсолютным значением x . Вот как я сделал это упрощение в предпоследней строке выше. И это абсолютное значение скоро будет иметь значение.)

Абсолютное значение x во втором уравнении выше дает два случая для значений у :

Если x < 0, то | х | = − x , поэтому:

y = ^{( x ± 3 x )} / ₈ = ^{90 101 х} / ₂ , − ^х / ₄

Если x > 0, то | х | = x , поэтому:

y = ^{( x ± 3 x )} / ₈ = − 90 118 х / ₄ , ^x / ₂

В любом случае я получаю два одинаковых выражения решения для соответствующих значений

y : 90 005

г = — ^х / ₄

y = ^x / ₂

Поскольку я получил эти » y =» уравнения-решения из второго исходного уравнения, я подставлю их в первое уравнение для решения для некоторых фактические числовые значения:

Если y = − ^x / ₄ , то я получаю:

Я получил эти два числовых значения, предполагая, что y  = − x /4. Подставляя эти x -значения в это уравнение, я получаю:

получил эти два числовых значения предполагая, что y  =  ^x / ₂ . Подключаю эти x -значения в это уравнение, я получаю:

Тогда мои четыре решения этой системы — это эти точки:

---

Предупреждение: не пытайтесь писать точки решения как «» или «», потому что это неверно . Не все комбинации этих значений x и y являются точками решения. Не будьте небрежными; правильно запишите решение.

Кстати, мой график системы выглядит так:

(Чтобы построить эллипс традиционными методами, вам придется сделать «вращение осей», процесс, который вы, вероятно, не увидите до исчисления, если вообще)

---

Между прочим, есть еще один метод выполнения алгебры для приведенного выше упражнения, потому что квадратное число во втором уравнении оказывается факторизуемым. (Эта факторизуемость обычно НЕ верна, но вы должны попытаться не забыть проверить ее на всякий случай. ) Если вы разложите второе уравнение и решите x через y , вы получите:

x ² + 2 ху − 8 у ² = 0
( х + 4 у )( х — 2 у ) = 0
x + 4 y = 0 или x − 2 y = 0
x = −4 y   или   x = 2 y

Вы можете подставить эти выражения для x = в первое уравнение вместо x 90 102 , и решить полученное уравнение для соответствующего и -значения.

Этот последний пример (первый способ, которым я его обработал) настолько сложен, насколько это возможно. Но если вы отключитесь и будете работать аккуратно и полностью, вы сможете успешно найти решение. И если у вас есть графический калькулятор (и время), попробуйте построить быстрый график, чтобы визуально проверить свои ответы.

Вам вряд ли когда-нибудь понадобится подставлять уравнение в квадратную формулу, чтобы создавать выражения, содержащие только одну переменную.