Системы неравенств онлайн: Калькулятор систем неравенств

Решение систем неравенств. (9 класс)

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Решение систем неравенств

(9 класс)
Разработано учителем математики
МОУ «СОШ» п. Аджером
Корткеросского района Республики Коми
Мишариной Альбиной Геннадьевной
А. Нивен

3. Запомним

Решить систему неравенств –
это значит найти значение
переменной, при котором верно
каждое из неравенств системы.

4. Запомним

Если надо решить систему неравенств,
то:
1) решаем каждое неравенство
системы отдельно
2) изображаем полученные решения на
числовой прямой и смотрим
пересечения этих решений.
Эта общая часть и является
решением данной системы неравенств.

5. Содержание

• Решение систем линейных
неравенств
• Решение двойных неравенств
• Решение систем, содержащих
квадратные неравенства

6. Решим систему неравенств (состоящую из линейных неравенств)

5х + 1 > 6
2х – 4 < 3
Решение: решим каждое неравенство отдельно
5х + 1 > 6
2х – 4 < 3
5х > 6 -1
2х < 4+3
5х > 5
2х < 7
х >1
х < 3,5
1
3,5
х
Ответ: (1; 3,5)

7. Решим систему неравенств

5х + 12 ≤ 3х+ 20
х < 2х+3
2х + 7 ≥ 0
Решение: решим каждое неравенство отдельно
5х + 12 ≤ 3х+ 20
5х – 3х ≤ — 12 + 20
2х ≤ 8
х≤4
х < 2х+3 2х + 7 ≥ 0
х – 2х < 3
2х ≥ -7
-х < 3
х ≥ -7/2
х>-3
х ≥ -3,5
Изобразим на числовой прямой:
-3,5
Ответ: ( -3; 4]
-3
4

8.

Решите самостоятельно:Решить систему
неравенств:
1) 3х – 2 ≥ х + 1
4 – 2х ≤ х – 2
2) 3х > 12 + 11х
5х – 1 ≥ 0
Проверим ответы:
1) [2; +∞)
2) Нет решения

9. Примеры двойных неравенств

Прочитайте неравенства:
-6 < х < 0
-1,2 ≤ х < 3,5
0 < х ≤ 5,9

10. Решение двойных неравенств

Решить неравенство: 0< 4х +2 ≤ 6
Решение: составим систему:
4х + 2 > 0
4х + 2 ≤ 6
Решим каждое неравенство системы отдельно:
1) 4х + 2 > 0
2) 4х + 2 ≤ 6
х > — 0,5
х≤1
Полученные результаты изобразим на числовой прямой:
-0,5
1
х
Ответ: -0,5 < х ≤ 1 или
(-0,5; 1]

11. Решите неравенства, самостоятельно

Решить неравенства:
1)
2)
3)
4)
5)
-6 ≤ — 3х ≤ 3
4 < 2х – 1 ≤ 13
-2 ≤ 6х + 7 < 1
0,3 < 0,5 + 0,1х < 0,6
0 < — 2х < 8
Проверим
ответы:
1)
2)
3)
4)
5)
[-1; 2]
(2,5; 7]
[- 1,5; — 1)
(-2; 1)
(-4; 0)

12.

Решим систему неравенств (в которую входит квадратное неравенство)Решить систему неравенств: х² — 5х + 4 ≤ 0
9 — 4х < 0
Решение: решим каждое неравенство системы отдельно
1) х² — 5х + 4 ≤ 0
х² — 5х + 4 = 0
т.к. а+в+с=0, то х1=1; х2=4
2) 9 — 4х < 0
— 4х < — 9
х > 9/4=2,25
Полученные результаты изобразим на числовой прямой:
1
2,25
Ответ: [ 4; +∞)
4
х

13. Решим систему неравенств (в которую входит квадратное неравенство)

Решить систему неравенств:
х² — 3х + 2 < 0
2х² — 3х – 5 > 0
Решение: решим каждое неравенство отдельно
х² — 3х + 2 < 0
2х² — 3х – 5 > 0
Найдем корни соответствующих квадратных уравнений
х² — 3х + 2 = 0
2х² — 3х – 5 = 0
По свойствам коэффициентов имеем:
х1 = 1 х 2 = 2
х1 = -1
Изобразим метод интервала на числовой оси:
-1
Ответ: (- ∞; -1) υ (2,5; +∞)
1
х2 = 5/2= 2,5
2
2,5
х

14. Решите системы неравенств, работая самостоятельно

1) х² — 10х + 9 ≥ 0
12 – 3х < 0
Проверим ответы:
2) 2х²- 5х + 2 > 0
4х – 1 ≥ 3
2) [1; 2)
3)
2х² — 7х + 5 < 0
2–х≥0
1) (4; 9]
3) (- ∞; 1)
http://krasdo. ucoz.ru/ee383358c499.png

English     Русский Правила

как их решать, примеры задач

Что значит решить систему неравенств

Определение

Неравенством называют выражение, в котором имеются знаки ≠,<,>,≤,≥.

Определение

Решением неравенства является такое значение переменной, которое обращает его в верное неравенство.

Определение

Решить неравенство — определить множество значений, при которых это неравенство является верным.

Простые задачи, которые можно нечасто встретить на уроках математики в девятом классе школы, подразумевают решение линейных неравенств с переменной в первой степени. Тогда необходимо выполнить ряд преобразований, что позволит получить слева неизвестное в первой степени, коэффициент при котором равен 1.

Алгоритм действий:

1. Раскрытие скобок, перенос неизвестного в левую часть, приведение подобных слагаемых. В итоге неравенство примет один из видов: ax<b;ax≤b;ax>b;ax≥b.
2. При ax≤bследует разделить обе части неравенства на коэффициент, который стоит перед а.
3. При a > 0, получим, что x≤ba. Когда а < 0, необходимо заменить знак на противоположный. В результате x≥ba.
4. Ответ требуется записать так, как он есть, либо представить его, согласно таблице числовых промежутков.

В более сложных заданиях встречаются системы неравенств.

Определение

Решение системы неравенств является таким значением переменной, которое обращает каждое неравенство из данной системы в верное.

В процессе решения системы неравенств, в том числе, с дробными числами, требуется определить все решения для заданной системы, либо прийти к выводу об отсутствии таких решений.

Определение

Решение неравенства, которое содержит две переменные — два значения переменных, обращающие каждое из неравенств в верное числовое неравенство.

В процессе решения системы неравенств, которые содержат две переменные, нужно определить упорядоченную пару чисел в соответствии с каждым неравенством системы. Заметим, что два действительных числа однозначно определяют точку координатной плоскости. Поэтому существует возможность отразить решение неравенства или системы неравенств, имеющей две переменные, на графике.

Алгоритм графического решения системы неравенств с двумя переменными

При решении системы неравенств, в которых записаны две переменные, можно воспользоваться следующим алгоритмом:

1. Решить каждое неравенство из системы.
2. Изобразить решения на одной и той же плоскости координат.
3. Определить пересечение данных решений.

Рассмотрим алгоритм на конкретном примере:

Источник: krasavtsev.blogspot.com

В первую очередь с помощью графического метода определим корни первого неравенства:

y≥0

Источник: krasavtsev.blogspot.com

Далее решим второе неравенство аналогичным способом:

x≤0

Источник: krasavtsev.blogspot.com

Обобщая полученные решения в одной плоскости координат, получим:

Источник: krasavtsev. blogspot.com

Таким образом, система неравенств задает второй координатный угол:

Источник: krasavtsev.blogspot.com

Примеры решения задач с пояснениями

Дана система неравенств, включающая одно из неизвестных в квадрате и знак модуля:

Источник: krasavtsev.blogspot.com

Определим все решения х и у, которые обращают каждое из представленных неравенств в верное числовое неравенство.

Преобразуем систему:

Источник: krasavtsev.blogspot.com

Заметим, что:

|х2–2х|≥0

|х–1|≥0

Тогда:

у+12˃|х2–2х|

у < 2 – |х –1|

В результате:

–12<у<2

Решения в виде целых чисел для данной системы равны 0 и 1.

Источник: krasavtsev.blogspot.com

По этой причине система обладает целыми решениями лишь при у = 0  и  у = 1.

Когда у = 0, система преобразуется таким образом:

Источник: krasavtsev.blogspot.com

Второму неравенству соответствуют следующие целые числа: 0, 1, 2. С помощью проверки можно определить, что для первого неравенства подходят числа 0 и 2. В результате решениями начальной системы неравенств являются такие пары чисел:

х1=0, у1=0

х2=2, у2=0

Когда у = 1, систему можно записать в таком виде:

Источник: krasavtsev.blogspot.com

Решением второго неравенства рассматриваемой системы является только х = 1. Это же число представляет собой решение первого неравенства. Запишем ответ.

Ответ: х1=0, у1=0,х2=2, у2=0,х3=1, у3=1.

Рассмотрим на практике применение графического способа решения системы неравенств с двумя переменными. Подобные задачи часто встречаются в контрольных по алгебре. Попробуем таким методом решить систему, сопровождая действия объяснениями:

Источник: krasavtsev.blogspot.com

На первом шаге с помощью графика нужно решить первое неравенство:

у≥2х–3

Источник: krasavtsev.blogspot.com

Затем следует решить второе неравенство, в котором присутствует сложение:

у≤2х+2

Источник: krasavtsev.blogspot.com

Далее обобщим полученные решения путем их переноса на одну плоскость координат:

Источник: krasavtsev. blogspot.com

Таким образом, исходная система неравенств задает полосу, которая ограничена следующими прямыми:

у = 2х – 3

у = 2х + 2

Задания для самостоятельной работы

Задача

Дана система неравенств, решения которой требуется изобразить на координатной плоскости:

Источник: krasavtsev.blogspot.com

Решение

Здесь нужно решать каждое неравенство отдельно. Рассмотрим первое неравенство:

у≥х2–6х+2

Заметим, что для этого неравенства точки расположены выше, чем парабола, либо в ее внутреннем пространстве:

Источник: krasavtsev.blogspot.com

Далее рассмотрим неравенство:

у≤х+5

Решения такого неравенства соответствуют области, расположенной ниже, чем прямая:

Источник: krasavtsev.blogspot.com

Объединим полученные графики на одной координатной плоскости и определим, в каких областях они пересекаются:

Источник: krasavtsev.blogspot.com

Задача

Дана система неравенств, решения которой необходимо отметить на плоскости координат:

Источник: krasavtsev. blogspot.com

Решение

Множество корней рассматриваемой системы представляют собой пересечение из множеств корней, которые удовлетворяют входящим в эту систему неравенствам. Определим, как изображены точки с координатами, соответствующими решениям данной системы.

Множество точек для неравенства у≥х представляют собой множество из точек, которые соответствуют прямой у = х, а также изображенной выше этой прямой неограниченной полуплоскости.

Источник: krasavtsev.blogspot.com

Изобразить на графике множество точек с координатами, соответствующими неравенству х2+у2≤9, можно в виде круга. Центральная точка этой геометрической фигуры совпадет с началом координат, а ее радиус составит 3:

Источник: krasavtsev.blogspot.com

Заметим, что системе неравенств соответствуют только те точки, которые расположены в области пересечений построенных графиков. Таким образом, решением системы неравенств является полукруг:

Источник: krasavtsev.blogspot.com

Задача

На графике изобразить решения для следующей системы неравенств:

Источник: krasavtsev. blogspot.com

Решение

Изобразим на координатной плоскости прямые:

х + у = 3,

4х – 5у = 20

Получим:

Источник: krasavtsev.blogspot.com

Решения, которые соответствуют первому неравенству заштрихованы горизонтальными линиями. Решения для второго неравенства — вертикальной штриховкой. Область, в которой они пересекаются — двойными штрихами. Это и есть решения системы неравенств, которая задает на графике плоской угол.

Задача

Построить на координатной плоскости множество решений, которые соответствуют следующей системе неравенств:

Источник: krasavtsev.blogspot.com

Решение

Изобразим на графике прямые линии:

х + у = 3

4х – 5у = 20

5х + у = –5

Получим:

Источник: krasavtsev.blogspot.com

Заштрихованная на графике область является решением системы неравенств.

Задача

Дана система неравенств, решение которой нужно представить графически на плоскости координат:

Источник: krasavtsev.blogspot.com

Решение

Рассмотрим систему неравенств:

Решением данной системы станут точки, расположенные в первом координатном углу:

Источник: krasavtsev. blogspot.com

Преобразуем неравенство х + у < 5:

у < 5 – х

Решения данного неравенства расположены на графике ниже, чем прямая, построенная в соответствии с функцией:

у = 5 – х

Источник: krasavtsev.blogspot.com

Так как x>0, преобразуем неравенство ху ˃ 4:

у˃4x

Решение данного неравенства является множеством точек, которые расположены сверху ветвей гиперболы, то есть графика функции:

у=4x

Источник: krasavtsev.blogspot.com

Решением начальной системы неравенств является область с множеством точек, которая расположена в первом координатном углу ниже, чем график функции у = 5 – х в виде прямой, и выше, чем график функции у=4x в виде гиперболы.

Источник: krasavtsev.blogspot.com

систем линейных неравенств, решения этих систем. Картинки, примеры и практические задачи.

Система линейных неравенств — это просто два или более линейных неравенства на одной плоскости. Другими словами, система линейных неравенств — это всего лишь два или более неравенства вместе.

Самый простой способ запомнить, что означает слово «система» в данном контексте, — это ответить на следующий вопрос: «Соответствует ли слово система всегда относится только к одному объекту или система всегда относится к нескольким объектам?’

Ответ «больше, чем одна вещь»

Точно так же «система линейных неравенств» — это «более одного линейного неравенства».

Интерактивная Система
линейных неравенств

Нажмите и перетащите точки ниже, и система линейных неравенств соответствующим образом скорректируется. (Полноразмерная интерактивная система линейных неравенств)

Привязки к сетке

Y ≥ Х ≥

?

Y ≥ Х ≥

Используйте его для включения или отключения привязки

Нажмите на уравнение, чтобы изменить тип неравенства между ≤,

<, > и ≥

Вы можете перетаскивать точки, чтобы изменить уравнение линии

Ниже приведены графики линейных неравенств: y < x + 1 и y > x.

На изображении выше представлена ​​система неравенств, составленная из тех же двух линейных неравенств:

у < х + 1
у > х

Когда мы возьмем оба линейных неравенства, изображенных выше, и изобразим их на одной и той же декартовой плоскости, получаем систему линейных неравенств.

раствор этой системы — желтая область что является областью перекрытия. Другими словами, решением системы является область, в которой оба неравенства верны. Координаты y всех точек в желтой области равны как на больше x + 1, так и меньше x.

Пример
системы линейных неравенств

На рисунке ниже показана система линейных неравенств.

Слева график двух линейных неравенств. Каково решение этой системы линейных неравенств?

(Напоминание: решение — это область, которую покрывают оба неравенства)

Практика Проблемы

Проблема 1

Ниже приведен график следующей системы неравенств:

• y > – x
• у > х + 1

Сможете ли вы определить по картинке, какая область является решением этой системы?

Проблема 2

Слева график

• y = x + 1
• у = -3/2х + 1

Какая область слева является решением этой системы линейных неравенств?

• г ≥ х + 1
• г ≥ –3/2x + 1

Помните: это просто означает, какая область включает и следующих линейных неравенств:

у ≥ х + 1 и у ≥ –х + 1

#2

Проблема 3

Каково решение следующей системы линейных неравенств (линии которой изображены справа)

у ≤ -½x + 2
у ≥ ½x — 1

Розовая область представляет собой решение этой системы линейных неравенств.

Графики линейных неравенств — ChiliMath

Если вы впервые изучаете, как построить график линейного неравенства, такого как y > x + 1 , вы поймете, что после изучения этого урока все сводится к построению граничной линии (штриховой или сплошной) и затенению соответствующей регион (верхний или нижний).

Итак, с чего начнем? Ниже приведены предлагаемые шаги, которым вы можете следовать, чтобы сделать это правильно.

---

Шаг 1: Всегда начинайте с выделения переменной \color{red}y в левой части неравенства.

These are the four symbols of inequalities:

• Greater than → >

• Greater than or equal to → \ge

• Less than → <

• Less than or равно → \le

---

Шаг 2: Замените неравенство символом равенства. На данный момент вы будете иметь дело с линией.

---

Шаг 3: Начертите линию границы от шаг 2 в плоскости XY. Ниже приведены три распространенных метода, которые можно использовать для построения графика. Неважно, какой из них вы выберете.

• Построение линии с использованием таблицы значений
• Построение линии с использованием y = mx + b
• Построение линии с использованием точек пересечения x и y

плоскость XY на две области.

• Использовать пунктирную или пунктирную линию , если у вас есть символы строгого неравенства >  и < .

• Используйте сплошную линию , если у вас есть символы нестрогого неравенства, такие как \ge и \le . Эти символы имеют компонент «равно».

---

Шаг 4: Последним шагом является затенение одной стороны или области границы.

• Закрасьте верхнюю сторону граничной линии, если у вас есть символы неравенства > или \ge .
• Оттенок нижняя сторона граничной линии, если у вас есть символы неравенства < или \le .

---

Шаг 5: Используйте этот необязательный шаг, чтобы проверить или убедиться, что вы правильно заштриховали сторону линии границы.

• Выберите тестовую точку , расположенную в заштрихованной области. Точка имеет вид \color{blue}\left( {x,y} \right).
• Подставьте значения \color{blue}x и \color{blue}y, взятые из контрольной точки, в исходное неравенство, затем упростите.
• Если неравенство оказывается верным утверждением, это означает, что ваш график неравенства абсолютно верен! В противном случае перепроверьте свою работу, потому что, возможно, вы закрасили не ту область.

---

Ниже приведен график неравенства y > x + 1.

Шаг 1: Неравенство уже имеет тот вид, который нам нужен. То есть переменная y изолирована в левой части неравенства.

Шаг 2: Замените неравенство на равенство.