Системы уравнений с параметрами: § 3. Решение систем с параметром и с модулями — ЗФТШ, МФТИ

Система уравнений с параметром. Задание 20 (С5)

Решим систему уравнений с параметром (А. Ларин, вариант 98)

Найдите все значения параметра , при каждом из которых система

имеет ровно одно решение.

Посмотрим внимательно на систему. В первом уравнении системы слева стоит , а правая часть не зависит от параметра. То есть мы можем рассматривать это уравнение как уравнение функции

и можем построить график этой функции.

Второе уравнение системы

зависит от параметра, и, выделив в левой части уравнения полный квадрат, мы получим уравнение окружности.

Так что имеет смысл построить графики каждого уравнения, и посмотреть, при каком значении параметра эти графики имеют одну точку пересечения.

Начнем с первого уравнения. Для начала раскроем модули. Для этого приравняем каждое подмодульное выражение к нулю, чтобы найти точки, в которых происходит смена знака.

Первое подмодульное выражение меняет знак при , второе — при .

Нанесем эти точки на координатную прямую, и найдем знаки каждого подмодульного выражения на каждом промежутке:

Заметим, что при и уравнение не имеет смысла, поэтому эти точки выкалываем.

Теперь раскроем модули на каждом промежутке. (Вспомним: если подмодульное выражение больше или равно нулю, то мы раскрываем модуль с тем же знаком, а если меньше нуля, то с противоположным.)

1.

Оба подмодульных выражения отрицательны, следовательно, оба модуля раскрываем с противоположным знаком:

То есть при исходная функция имеет вид

2.

На этом промежутке первое подмодульное выражение отрицательно, а второе положительно, следовательно получаем:

  — на этом промежутке функция не существует.

3.

На этом промежутке оба подмодульных выражения положительны, раскрываем оба модуля с тем же знаком. Получаем:

То есть при исходная функция имеет вид

Итак, мы получили  график функции

Теперь займемся вторым уравнением:

Выделим в левой чаcти уравнения полный квадрат, для этого прибавим к обеим частям уравнения число 4:

При конкретном значении параметра график этого уравнения представляет собой окружность с центром в точке с координатами , радиус которой равен 5. При различных значениях мы имеем серию окружностей:

Будем двигать окружность снизу вверх до тех пор, пока она не коснется левой части графика первой функции. На рисунке эта окружность красного цвета. Центр этой окружности — точка , ее координаты (-2;-3).  Дальше при движении вверх окружность имеет одну точку пересечения с левой частью графика функции, то есть система имеет единственное решение.

Продолжаем двигать окружность вверх пока она не коснется правой части графика первой функции. Это произойдет когда центр окружности будет в точке  с координатами (-2;0) — на рисунке эта окружность синего цвета.

При движении дальше вверх окружность будет пересекать и левую, и правую части графика первой функции, то есть окружность будет иметь две точки пересечения с графиком первой функции, а система будет иметь два решения. Это ситуация продолжается до тех пор, пока центр окружности не окажется в точке с координатами (-2; 5) — эта окружность зеленого цвета. В этой точке окружность касается левой части графика и пересекает правую. То есть система имеет одно решение.

Двигаем окружность дальше. Последний раз она касается правой части графика функции, когда имеет центр в точке с координатами (-2;6).

Итак, система имеет единственное решение при (-3;0][5;6)

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Системы уравнений с параметрами

Замечание. В приведенном примере вычисление всех определителей заканчивалось представлением в виде произведения сомножителей, один из которых (13) сократился при делении. Такая ситуация является весьма общей. Поэтому не надо торопиться перемножать сомножители, хотя чаще всего они не сокращаются.

Задача 4.4. Решить системы уравнений, используя правило Крамера:

x	1 + 4x 2 + x3 = 21	3x		1 + x2 − x3 = 2	2×1 + x2 + x3 = 7
			4×1	+3x 2 −3×3 =1		= 2
1) 4×1 + 2×2 + x3 = 27		2)			3) x1 + 4×2 −5×3
	3x 2 + 2×3 =19			−2×2 +3×3 = 7		=1
		2×1			4×1 +10×2 −x3

Решение приведенных задач показывает, что формулы Крамера представляют собой единый и удобный метод отыскания решений систем линейных уравнений.

Указание. Использование формул Крамера значительно упрощается, если надо найти только одно из неизвестных: в этом случае надо сосчитать только два определителя.

Рекомендация. Найденное решение следует всегда проверять подстановкой в исходную систему уравнений.

Выше всюду рассматривались системы линейных алгебраических уравнений с фиксированными коэффициентами при неизвестных и правыми частями уравнений. В практических задачах очень часто эти коэффициенты и значения правых частей известны неточно. Поэтому приходится анализировать влияние таких параметров на решение систем.

Пример 4.5. Исследовать зависимость решения системы уравнений

3x +8y = a5x +9y = b

от параметров a и b .

Здесь от параметров зависят только правые части уравнений. Поскольку

∆ =		A		=	3	8	= 27 − 40 = −13 ≠ 0
					5	9

для отыскания решения можно воспользоваться формулами Крамера.

Имеем:

∆1	=	a	8	= 9a −8b,∆2	=	3	a	= 3b −5a
		b	9			5	b

Поэтому

x = x

= ∆1

=

9a −8b

=

8b −9a

, y = x

=

∆2 =

5a −3b

1

13

2

13

∆

−13

∆

Подстановкой убеждаемся, что полученное решение верно:

3

8b −9a

+8

5a −3b

=

a(−27 + 40)

+ b(24 −24)

= a

13

13

13

5

8b −9a

+9

5a −3b

=

a(−45 + 45)

+ b(40

−27)

= b

13

13

13

В частности, если a =11,b =14 получаем: x =

8×14 −9×11

=1 и y =1.

13

47

y(a,b)

x(a,b)

Таким образом, каждой паре параметров a и b соответствует единственная пара чисел x и y , удовлетворяющая заданной системе уравнений. Это значит, что решением системы уравнений является упорядоченная пара и двух функций от двух переменных (параметров a и b ). Обе функции определены для любых значений этих параметров и линейно зависят от независимых переменных a и b . Кроме того, x – монотонно возрас-

тающая функция b и монотонно убывающая функция a ,			а	y	– наоборот,
возрастающая функция a и монотонно убывающая функция b .
Задача 4.5. Найти решение систем уравнений
8x + 5y = 2a +1	4x + 9 y = a + b	9x + 4 y	= 2a		+ b
1)	2)	3)		= a
3x + 2 y = a	3x + 8y = 3a − b	8x + 3y

и исследовать зависимость их решения от параметров a и b . Рекомендация. Постройте графики полученных решений x(a,b) и y(a,b)

как функций переменных параметров a и b . Объясните, почему во всех задачах решения линейно зависят от параметров a и b .

Пример 4.6. Исследовать зависимость решения системы уравнений

			(a +3)x + 2ay = 5
от параметров a и b .					x +5y = b
В этом примере коэффициенты при неизвестных зависят от параметра
a , а правые части – от параметра b .
Найдем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных:
∆ =		a +3 2			= 5(a +3) − 2a = 3(a +5)
		1	5

Этот определитель не равен нулю только тогда, когда a ≠ −5. Поэтому пользоваться формулами Крамера можно только тогда, когда a ≠ −5. В этом случае:

∆1 =		5	2a		= 25 − 2ab , ∆2 =		a + 3	5		= ab + 3b − 5
		b	5				1	b

x = x	=	25 − 2ab	y = x	2	=	3b −5 + ab
1		3(a +5)				3(a +5)

Рассмотрим отдельно случай a = −5 . Тогда исходная система есть:

− 2x −10 y = 5x +5y = b

После прибавления удвоенного второго уравнения к первому, получаем:

0 = 5 + 2bx +5y = b

Здесь первое равенство выполняется только тогда, когда b=− 52. Следо-

вательно при любом b ≠ − 52 и a = −5 система не имеет решения, т.е. нельзя найти ни одной пары чисел х и у, которые удовлетворяют исходной системы.

48

Иначе обстоит дело, если одновременно a = −5, b = − 52 . При таких зна-

чениях параметров остается только одно второе уравнение. Оно имеет бесконечно много решений

− 5 − c x = c , y = 2

5

Конечно, здесь имеется произвол в выборе значения любой из неизвестных, а решение можно записать и в виде:

x = − 52 − 5 c , y = c

Таким образом, зависимость от параметра коэффициентов при неизвестных исходной системы может порождать отсутствие решения или наличие бесконечного множества решений. Обнаруженный факт представляет собой обобщение известного ранее для одного уравнения ax=b и для систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Замечание 1. Введение константы c в решение системы уравнений напоминает произвол в выборе константы интегрирования.

Замечание 2. Рассмотренный пример показывает, что как и для одного уравнения, для линейных алгебраических систем с большим числом уравнений и неизвестных возможны только три разных случая: единственное решение, отсутствие решения или бесконечно много решений.

Задача 4.6. Исследовать решения системы уравнений:

4 x + 5ay = 2a		4 x + 5ay = 2a			4 x + 5ay = 2a	.
1)		2)		3)
8 x + 10 y	= 3	8 x + 10 y	= 2		8 x + 10 y = b

Задача 4.7. Придумать собственную систему двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными и двумя параметрами и исследовать ее в зависимости от значений параметров.

1)Что такое минор элемента определителя?

2)Чем отличаются алгебраическое дополнение и минор элемента определителя?

3)Что называется присоединенной матрицей?

4)Как найти присоединенную матрицу для заданной матрицы?

5)Чему равен порядок присоединенной матрицы?

6)В каком случае обратная матрица не существует?

7)Какая матрица называется невырожденной?

8)При каких условиях можно использовать формулы Крамера?

9)Что такое решение системы линейных алгебраических уравнений?

10)Какие определители входят в формулы Крамера?

11)Когда определители зависят от параметров?

12)Может ли произведение присоединенной и исходной матрицы быть скалярной матрицей?

13)Как влияет на результат перестановка множителей при умножении присоединенной и исходной матрицы?

14)Что такое формулы Крамера?

15)При каких условиях решение системы линейных алгебраических уравнений можно найти с помощью правила (формул) Крамера?

49

матриц — Система линейных уравнений с параметром

спросил 3 года 9 месяцев назад

Изменено 3 года, 9 месяцев назад

Просмотрено 270 раз

$\begingroup$

У меня есть эта система линейных уравнений с параметром:

$ ax + 4y + z =0 $

$2y + 3z = 1$

$3x -cz=-2$

Я поместил эти уравнения в матрицу и преобразовал эту матрицу в треугольную матрицу. Затем я получил эти результаты на правой стороне: $ \frac{-c+10}{ac-15}$, $\frac{3+(c-6)a}{2ac-30}$, $\frac{2a-6}{ac-15}$ . Однако я не знаю, что теперь делать.

Спасибо за любую помощь!

• линейная алгебра
• матрицы
• системы уравнений
• параметрические

$\endgroup$

$\begingroup$

Из первого уравнения получаем $$z=-ax-4y$$, поэтому мы получаем с третьим уравнением $$-3ax-10y=1$$ и с последним: $$3x+acx+4yc=-2$$

Из второго уравнения выше $$y=-\frac{3}{10}ax-\frac{1}{10}$$ получаем наконец

$$(15-ac)x=2c-1$$ Можете ли вы закончить?Решение дано $$\left\{x=-2\,{\frac {c-5}{ac-15}},y=1/2\,{\frac {ac-6 \,а+3}{ас-15}}, г = 2 \, {\ гидроразрыва {а-3} {ас-15}} \ справа \} $$ Остается рассмотреть случай $$ac-15=0$$

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Это ситуация, когда правило Крамера работает достаточно хорошо.

Наша система имеет вид $A\vec{x}=\vec{b}$, где \начать{выравнивать*} A &= \left[\begin{массив}{rrr} а&4&1\ 0 и 2 и 3 \\ 3 и 0 и -с \end{массив}\right] & \vec{x} &= \left[\begin{массив}{r} Икс \\ у \\ г \end{массив}\right] & \vec{b} &= \left[\begin{массив}{r} 0 \\ 1\\ -2 \конец{массив}\справа] \конец{выравнивание*} Обратите внимание, что $$ \det(A)=2\cdot(15-ac) $$ Это означает, что система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда $ac\neq 15$.

Теперь, предполагая, что $ac\neq 15$, мы определяем \начать{выравнивать*} A_1 &= \left[\begin{массив}{rrr} 0 и 4 и 1 \\ 1 и 2 и 3 \\ -2 и 0 и -с \end{массив}\right] & A_2 &= \left[\begin{массив}{rrr} а & 0 & 1 \\ 0 и 1 и 3 \\ 3 и -2 и -с \end{массив}\right] & A_3 &= \left[\begin{массив}{rrr} а & 4 & 0 \\ 0 и 2 и 1 \\ 3 и 0 и -2 \конец{массив}\справа] \конец{выравнивание*} Обратите внимание, что $A_i$ — это $A$ с заменой столбца $i$ на $\vec{b}$. По правилу Крамера решение системы имеет вид \начать{выравнивать*} x &= \ frac {\ det (A_1)} {\ det (A)} = \ frac {2 \, {\ left (c — 5 \ right)}} {15-ac} & y & = \ frac { \det(A_2)}{\det(A)} = \frac{a {\left(c — 6\right)} + 3}{2 \, {\left(a c — 15\right)}} & z & = \ frac {\ det (A_3)} {\ det (A)} = \ frac {2 \, {\ left (a — 3 \ right)}} {a c — 15} \end{выравнивание*} 92 = c

, где x и y — переменные, а a, b, c — параметры. Я хотел бы иметь функцию, которой я могу передать параметры a, b, c, и она возвращает мне значения для x и y. Как мне это сделать ?

Сейчас у меня есть

 из scipy.optimize import fsolve
уравнение определения (var, *data):
    а, б, с = данные
    х, у = вар
    экв1 = х**2 + у**2 - а**2
    eq2 = (x - b)**2 + y**2 - c**2
    вернуть [экв1, экв2]
x, y = fsolve (уравнение, аргументы = данные)
 

Но это не совсем работает. Кто-нибудь может помочь?

• питон
• scipy

4

Я думаю, что просто отсутствуют инициализированные значения

 из scipy.optimize import fsolve
уравнение определения (var, *data):
    а, б, с = данные
    х, у = вар
    экв1 = х**2 + у**2 - а**2
    eq2 = (x - b)**2 + y**2 - c**2
   вернуть [экв1, экв2]
х, у = fsolve (уравнение, [1,1], аргументы = (1,1,1))
печать (х, у)
 

1

92).