Системы уравнений с параметром решение: Системы уравнений с двумя переменными и параметрами: алгоритм, примеры

2\end{cases} имеет ровно 2 решения.

Показать решение

Решение

Если y \geqslant 0, то первое уравнение задаёт окружность \phi _1 с центром в точке C_1(4; 4) радиуса 3, а если y < 0, то оно задаёт окружность \phi _2 с центром в точке C_2(4; -4) того же радиуса.

При a > 0 второе уравнение задаёт окружность \phi с центром в точке C(0; 4) радиуса a. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра a, при каждом из которых окружность \phi имеет ровно две общие точки с объединением окружностей \phi _1 и \phi _2.

Координаты точки касания окружностей \phi и \phi _1 явно видны на чертеже — точки A_1(1; 4) и B_1(7; 4). То есть при a=CA_1=1 и a=CB_1=7 окружности \phi и \phi _1 касаются. При a > 7 и a < 1 окружности \phi и \phi _1 не пересекаются, при 1 < a < 7 окружности \phi и \phi _2 имеют 2 общие точки.

Далее, из точки C проведём луч CC_2 и обозначим A_2 и B_2 точки его пересечения с окружностью \phi_2 , где A_2 лежит между C и C_2. 2 }=\sqrt {45} =3\sqrt 5, то CA_1=3\sqrt 5-2, CB_1=3\sqrt 5+2.

При a < CA_1 или a > CB_1 окружности \phi и \phi _1 касаются. При CA_1 < a < CB_1 окружности \phi и \phi _1 имеют 2 общие точки. При a=CA_1=3\sqrt 5-2 или a=CB_1=3\sqrt 5+2, окружности \phi и \phi _1 касаются.

Координаты точки касания окружностей \phi и \phi _2 явно видны на чертеже: это точки A_2(-3; 1) и B_2(-3; 5). То есть при a=1 и a=5 окружности \phi и \phi _2 касаются. При остальных значениях параметра a окружности \phi и \phi _2 либо имеют 2 общие точки, либо не имеют общих точек.

Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность \phi касается ровно одной из двух окружностей \phi _1 и \phi _2 и не пересекается с другой.

Так как 1<3\sqrt 5-2<5<3\sqrt 5+2, то условию задачи удовлетворяют только числа a=1 и a=3\sqrt 5+2.

Ответ

1; 3\sqrt 5+2.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. 2-5xy-5y+25}{\sqrt {x+5}}=0 параметра не содержит и представляет собой равенство дроби нулю. Это выполняется, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, при этом оба выражения имеют смысл.

Запишем уравнение в виде \frac{(y-5)(xy-5)}{\sqrt {x+5}}=0, разложив числитель на множители. При x \leqslant -5 левая часть не имеет смысла. При x>-5 уравнение задаёт прямую y=5 и гиперболу y=\frac5x.

Найдём координаты точек A, B и C. B — точка пересечения прямой y=5 и гиперболы y=\frac5x , чтобы найти её координаты, нужно решить систему уравнений \begin{cases} y=5,\\y=\frac5x. \end{cases}

Получаем B(1; 5).

У точек A и C абсцисса равна -5, ординаты находим из уравнений прямой и гиперболы. A(-5;5) и C(-5;-1).

При каждом значении a уравнение y=ax задаёт прямую с угловым коэффициентом a, проходящую через начало координат. Чтобы найти значение a, при котором такая прямая проходит через точку с указанными координатами, нужно подставить координаты в уравнение прямой. \circ. Отсюда O_{1}M=O_{1}O \sin \angle O_{1}OM=\frac{a\sqrt{2}}{2}. Следовательно, \frac{a\sqrt{2}}{2}=\sqrt{a}, \sqrt{a}=\sqrt{2}, a=2. Ясно, что 2 \in \mathbb Z.

Ответ

2

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Математика

Русский язык

История

Сложно со сдачей ЕГЭ?

Звоните, и подберем для вас репетитора: 78007750928

Презентация «Уравнения с параметром. Системы уравнений с параметром»

Уравнения с параметром. Системы уравнений с параметром

Уравнения с параметром

Слово « параметр » происходит от греческого слова parametron – отмеривающий.

Уравнения, в записи которых, кроме неизвестного, есть буква, обозначающая число, называют уравнениями с параметром .

( а – 1)х + 4 = а + 1, где а – параметр;

х 2 + 4( с – 1)х + с 2 = 0, где с – параметр.

Решение уравнения с параметром

Решить уравнение с параметром – это значит указать значение параметра, при которых уравнение имеет корни, и для этих значений параметра найти корни уравнения, а также указать, при каких значениях параметра решений нет.

( Решить уравнение с параметром – это значит решить данное уравнение при каждом значении параметра)

Пример 1

Решить уравнение с неизвестным х

(а – 3)х + 4 = а + 1 .

Решение. (а – 3)х = а – 3;

• Если а ≠ 3 , то уравнение имеет единственный

корень х = , т.е. х = 1 .

• Если а = 3 , то данное уравнение равносильно уравнению 0 ∙ х = 0, х – любое число .

Ответ: х = 1 , при а ≠ 3 ;

х — любое число при а = 3 .

а – 3

а — 3

Пример 2

Решить уравнение с неизвестным х: с 2 х – с = 4х + 2 .

Решение. с 2 х – с = 4х + 2, с 2 х — 4х = с + 2, (с 2 – 4)х = с + 2

• Если с 2 – 4 ≠ 0, т.е . с ≠ -2 и с ≠ 2 , то х = .
• Если с 2 – 4 = 0, т.е. с = -2 и с = 2 .

Когда с = -2 , то данное уравнение равносильно уравнению 0 ∙ х = 0, х – любое число .

Когда с = 2 , то данное уравнение равносильно уравнению 0 ∙ х = 4, нет корней .

Ответ : х = , при с ≠ -2 и с ≠ 2 ;

х – любое число , при с ≠ -2 ;

нет корней , при с ≠ -2 .

1

с – 2

1

с — 2

Пример 3

При каких значениях параметра а уравнение

х 2 + 4(а – 1)х + а 2 = 0

имеет единственное решение?

Решение . Квадратное уравнение имеет

единственное решение при D = 0 .

Тогда D = 4(а 2 – 2а + 1) – 4а 2 = -8а + 4 .

-8а + 4 = 0 ,

а = 0,5 .

Ответ : при а = 0,5 .

0, т.е. а , то . Когда D = 0, т.е. а = , то . Когда D т.е. а , то корней нет . 1 8 1 8 1 8 «

Пример 4

Решить уравнение с параметром а:

ах 2 + 4(а – 1)х + 4а = 0 .

Решение. ах 2 + 4(а – 1)х + 4а = 0 .

• Если а = 0 , то уравнение имеет вид

0х 2 — х = 0, х =0 .

• Если а ≠ 0 , то решение зависит от значения

дискриминанта D = -8a + 1.

Когда D 0, т.е. а , то .

Когда D = 0, т.е. а = , то .

Когда D т. е. а , то корней нет .

1

8

1

8

1

8

∩

Пример 4

Ответ:

ри а (-∞; 0) (0; ) ;

х = 0 при а = 0 ;

при а = ;

нет корней при а ( ; + ∞) .

1

8

1

8

1

8

Системы уравнений с параметром

Системы уравнений, в записи которых, кроме неизвестного, есть буквы, обозначающие числа, называют системами уравнений с параметром .

2х – у = 3, ( а + 1)х + а у = 4 а + 1,

а х + 4у = 1; ( а – 3)х + (3 а – 4)у = а – 6.

Решение систем уравнений с параметром

Решить систему уравнений с параметром – это значит указать значение параметра, при которых система уравнений имеет решения, и для этих значений параметра найти решения системы, а также указать, при каких значениях параметра решений нет.

( Решить систему уравнений с параметром – это значит решить данную систему уравнений при каждом значении параметра)

Пример 1

Решить систему уравнений с параметром р :

рх + у = 3,

2х + (2р – 3)у = 1.

Решение . Решаем систему методом подстановки.

у = 3 — рх,

2х + (2р – 3)(3 – рх) = 1.

Пусть -2р 2 + 3р + 2 = 0 , тогда р = -0,5

или р = 2 .

Когда р = -0,5 , то линейное уравнение имеет вид

0 ∙ х – 13 = 0 , нет корней .

Следовательно нет решений и у системы.

Когда р = 0,5 , то линейное уравнение имеет вид

0 ∙ х + 2 = 0 , нет корней .

Следовательно также нет решений у системы.

(-2р 2 + 3р + 2)х + 6р – 10 = 0 .

Когда р ≠ -0,5 и р ≠ 2 , то линейное уравнение имеет

один корень

Из первого уравнения системы у = 3 – рх находим

Ответ: ; при р ≠ -0,5 и р ≠ 2 ;

система не имеет решений при р = -0,5 и

р = 2 .

Квадратные уравнения с параметром | О математике понятно

Задачи с параметрами. Простейшие задачи на квадратный трёхчлен.

        Сегодня мы рассмотрим задачи на квадратный трёхчлен, про который, в зависимости от параметра, надо будет что-то выяснить. Это «что-то» может быть самым разнообразным, насколько только хватит фантазии у составителей задачи. Это самый простой тип задач с параметрами. И, если на ЕГЭ вам попалась такая — считайте, что вам повезло!

        Но, прежде чем приступать к разбору самих задач, ответьте сами себе на такие простые вопросы:

        — Что такое квадратное уравнение, как оно выглядит и как решается?

        — Что такое дискриминант и куда его пристроить?

        — Что такое теорема Виета и где её можно применить?

        Если вы верно отвечаете на эти простые вопросы, то 50% успеха в решении параметрических задач на квадратный трёхчлен вам обеспечены! А остальные 50% — это обычная алгебра и арифметика: раскрытие скобок, приведение подобных, решение уравнений, неравенств и систем и т.д.

        Итак, приступим!

        Для начала рассмотрим совсем безобидную задачку. Для разминки. 🙂

 

        Пример 1

       

        Приступаем к решению. Во-первых, чтобы в будущем не накосячить в коэффициентах, всегда полезно выписать их отдельно. Прямо в столбик. Вот так:      

        a = 1

        b = -(a-1)

        c = a-2

        Да-да! Часть коэффициентов в уравнении (а именно — b и с) зависит от параметра. В этом как раз и состоит вся фишка таких задач. А теперь снова въедливо перечитываем условие. Ключевой зацепкой в формулировке задания являются слова «единственный корень». И когда же квадратное уравнение имеет единственный корень? Подключаем наши теоретические знания о квадратных уравнениях. Только в одном единственном случае — когда его дискриминант равен нулю.

        Так и пишем:

        D = 0

        Осталось составить выражение для дискриминанта и приравнять его к нулю. Поехали!

       

        Теперь надо приравнять наш дискриминант к нулю:

       

       Можно, конечно, решать это квадратное уравнение через дискриминант, а можно немного схитрить. На что у нас похожа левая часть, если как следует присмотреться? Она у нас похожа на квадрат разности (a-3)²!

        Респект внимательным! Верно! Если заменить наше выражение слева на (a-3)², то уравнение будет решаться в уме!

        (a — 3)² = 0

        a — 3 = 0

        a = 3

        Вот и всё. Это значит, что единственный корень наше квадратное уравнение с параметром будет иметь только в одном единственном случае — когда значение параметра «а» равно тройке.)

        Ответ: 3

 

        Это был разминочный пример. Чтобы общую идею уловить.) Теперь будет задачка посерьёзнее.

 

        Пример 2

        

        Вот такая задачка. Начинаем распутывать.  Первым делом выпишем наше квадратное уравнение:

        0,5x² — 2x + 3a + 1,5 = 0

        Самым логичным шагом, было бы умножить обе части на 2. Тогда у нас исчезнут дробные коэффициенты и само уравнение станет посимпатичнее. Умножаем:

         

        

        Выписываем в столбик наши коэффициенты a, b, c:

          a = 1

          b = -4

          c = 6a+3

         Видно, что коэффициенты a и b у нас постоянны, а вот свободный член с зависит от параметра «а»! Который может быть каким угодно — положительным, отрицательным, целым, дробным, иррациональным — всяким!

         А теперь, чтобы продвинуться дальше, вновь подключаем наши теоретические познания в области квадратных уравнений и начинаем рассуждать. Примерно так:

         «Для того чтобы сумма кубов корней была меньше 28, эти самые корни, во-первых, должны существовать. Сами по себе. В принципе. А корни у квадратного уравнения существуют, тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицательный. Кроме того, в задании говорится о двух различных корнях. Эта фраза означает, что наш дискриминант обязан быть не просто неотрицательным, а строго положительным!»

         Если вы рассуждаете таким образом, то вы движетесь правильным курсом! Верно.) Составляем условие положительности для дискриминанта:

          D = (-4)² — 4·1·(6a+3) = 16-24a-12 = 4-24a

          4-24a > 0

          -24a > -4

          a < 1/6

        Полученное условие говорит нам о том, что два различных корня у нашего уравнения будет не при любых значениях параметра «а», а только при тех, которые меньше одной шестой! Это глобальное требование, которое должно выполняться железно. Неважно, меньше 28 наша сумма кубов корней или больше. Значения параметра «а», большие или равные 1/6, нас заведомо не устроят. Гуд.) Соломки подстелили. Движемся дальше.

        Теперь приступаем к загадочной сумме кубов корней. По условию она у нас должна быть меньше 28. Так и пишем:

         

        Значит, для того чтобы ответить на вопрос задачи, нам надо совместно рассмотреть два условия:

         

        А дальше начинаем отдельно работать с этой самой суммой кубов. Есть два способа такой работы: первый способ для трудолюбивых и второй способ — для внимательных.

        Способ для трудолюбивых заключается в непосредственном нахождении корней уравнения через параметр. Прямо по общей формуле корней. Вот так:

         

        Теперь составляем нужную нам сумму кубов найденных корней и требуем, чтобы она была меньше 28: 

          

        А дальше — обычная алгебра: раскрываем сумму кубов по формуле сокращённого умножения, приводим подобные, сокращаем и т.д. Если бы корни нашего уравнения получились покрасивее, без радикалов, то такой «лобовой» способ был бы неплох. Но проблема в том, что наши корни выглядят немного страшновато. И подставлять их в сумму кубов как-то неохота, да. Поэтому, для того чтобы избежать этой громоздкой процедуры, я предлагаю второй способ — для внимательных.

        Для этого раскрываем сумму кубов корней по соответствующей формуле сокращенного умножения. Прямо в общем виде:

        

        

        А дальше проделываем вот такой красивый фокус: во вторых скобках выражаем сумму квадратов корней через сумму корней и их произведение. Вот так:

         

        Итого:

        

        Казалось бы, и что из этого? Сейчас интересно будет! Давайте, посмотрим ещё разок на наше уравнение. Как можно внимательнее:

        

        Чему здесь равен коэффициент при x²? Правильно, единичке! А как такое уравнение называется? Правильно, приведённое! А, раз приведённое, то, стало быть, для него справедлива теорема Виета:

         

        Вот и ещё одна теорема нам пригодилась! Теперь, прямо по теореме Виета, подставляем сумму и произведение корней в наше требование для суммы кубов:

         

        

         Осталось раскрыть скобки и решить простенькое линейное неравенство:

          4·(16-18a-9) < 28

          64–72a+36 < 28

          -72a < 28-64+36

          -72a < 0

          a > 0

          Вспоминаем, что ещё у нас есть глобальное требование a < 1/6. Значит, наше полученное множество a > 0 необходимо пересечь с условием a < 1/6. Рисуем картинку, пересекаем, и записываем окончательный ответ.

         

          Ответ:

         

          Да. Вот такой маленький интервальчик. От нуля до одной шестой… Видите, насколько знание теоремы Виета, порой, облегчает жизнь!

          Вот вам небольшой практический совет: если в задании говорится о таких конструкциях, как сумма, произведение, сумма квадратов, сумма кубов корней, то пробуем применить теорему Виета. В 99% случаев решение значительно упрощается.

 

          Это были довольно простые примеры. Чтобы суть уловить. Теперь будут примеры посолиднее.

          Например, такая задачка из реального варианта ЕГЭ:

 

          Пример 3

          

          Что, внушает? Ничего не боимся и действуем по нашему излюбленному принципу: «Не знаешь, что нужно, делай что можно!»

          Опять аккуратно выписываем все коэффициенты нашего квадратного уравнения:

          

          a = 1

          b = -6

          c = a²-4a

          А теперь вчитываемся в условие задачи и находим слова «модуль разности корней уравнения». Модуль разности нас пока не волнует, а вот слова «корней уравнения» примем во внимание. Раз говорится о корнях (неважно, двух одинаковых или двух различных), то наш дискриминант обязан быть неотрицательным! Так и пишем:

          D ≥ 0

          Что ж, аккуратно расписываем наш дискриминант через параметр а:

          D = (-6)² — 4·1·(12 + a²-4a) = 36 — 48 — 4а² + 16а = -4а²+16а-12.

          А теперь решаем квадратное неравенство. По стандартной схеме, через соответствующее квадратное уравнение и схематичный рисунок параболы:

         

         

          

          

          Значит, для того чтобы у нашего уравнения в принципе имелись хоть какие-то корни, параметр а должен находиться в отрезке [-1; 3]. Это железное требование. Хорошо. Запомним.)

          А теперь приступаем к этому самому модулю разности корней уравнения. От нас хотят, чтобы вот такая штука

         

         принимала бы наибольшее значение. Для этого, ничего не поделать, но теперь нам всё-таки придётся находить сами корни и составлять их разность: x₁ — x₂. Теорема Виета здесь в этот раз бессильна.

          Что ж, считаем корни по общей формуле:

          Дальше составляем модуль разности этих самых корней:

 

          Теперь вспоминаем, что корень квадратный — величина заведомо неотрицательная. Стало быть, без ущерба для здоровья, модуль можно смело опустить. Итого наш модуль разности корней выглядит так:

        

         И эта функция f(a) должна принимать наибольшее значение. А для поиска наибольшего значения у нас есть такой мощный инструмент, как производная! Вперёд и с песнями!)

         Дифференцируем нашу функцию и приравниваем производную к нулю:

         

         

         Получили единственную критическую точку a = 2. Но это ещё не ответ, так как нам ещё надо проверить, что найденная точка и в самом деле является точкой максимума! Для этого исследуем знаки нашей производной слева и справа от двойки. Это легко делается простой подстановкой (например, а = 1,5 и а = 2,5).

         

          Слева от двойки производная положительна, а справа от двойки — отрицательна. Это значит, что наша точка a = 2 и вправду является точкой максимума. Заштрихованная зона на картинке означает, что нашу функцию  мы рассматриваем только на отрезке [1; 3]. Вне этого отрезка нашей функции f(a) попросту не существует. Потому, что в заштрихованной области наш дискриминант отрицательный, и разговоры о каких-либо корнях (и о функции тоже) бессмысленны. Это понятно, думаю.

          Всё. Вот теперь наша задача полностью решена.

          Ответ: 2.

 

          Здесь было применение производной. А бывают и такие задачи, где приходится решать уравнения либо неравенства с так ненавистными многими учениками модулями и сравнивать некрасивые иррациональные числа с корнями. Главное — не бояться! Разберём похожую злую задачку (тоже из ЕГЭ, кстати).

 

          Пример 4

          

          Итак, приступаем. Первым делом замечаем, что параметр а ни в коем случае не может быть равен нулю. Почему? А вы подставьте в исходное уравнение вместо а нолик. Что получится?

 

  

          Получили линейное уравнение, имеющее единственный корень x=2. А это уже совсем не наш случай. От нас хотят, чтобы уравнение имело два различных корня, а для этого нам необходимо, чтобы оно, как минимум, было хотя бы квадратным.)

          Итак, а ≠ 0.

          При всех остальных значениях параметра наше уравнение будет вполне себе квадратным. И, следовательно, чтобы оно имело два различных корня, необходимо (и достаточно), чтобы его дискриминант был положительным. То есть, первое наше требование будет D > 0.

          А далее по накатанной колее. Считаем дискриминант:

          D = 4(a-1)² — 4a(a-4) = 4a²-8a+4-4a²+16a = 4+8a

         

          Вот так. Значит, наше уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда параметр a > -1/2. При прочих «а» у уравнения будет либо один корень, либо вообще ни одного. Берём на заметку это условие и движемся дальше.

          Далее в задаче идёт речь о расстоянии между корнями. Расстояние между корнями, в математическом смысле, означает вот такую величину:

        

         Зачем здесь нужен модуль? А затем, что любое расстояние (что в природе, что в математике) — величина неотрицательная. Причём здесь совершенно неважно, какой именно корень будет стоять в этой разности первым, а какой вторым: модуль — функция чётная и сжигает минус. Точно так же, как и квадрат.

          Значит, ответом на вопрос задачи является решение вот такой системы:

         

          Теперь, ясен перец, нам надо найти сами корни. Здесь тоже всё очевидно и прозрачно. Аккуратно подставляем все коэффициенты в нашу общую формулу корней и считаем:

          

          Отлично. Корни получены. Теперь начинаем формировать наше расстояние:

         

         Наше расстояние между корнями должно быть больше трёх, поэтому теперь нам надо решить вот такое неравенство:

         

         Неравенство — не подарок: модуль, корень… Но и мы всё-таки уже решаем серьёзную задачу №18 из ЕГЭ! Делаем всё что можно, чтобы максимально упростить внешний вид неравенства. Мне здесь больше всего не нравится дробь. Поэтому первым делом я избавлюсь от знаменателя, умножив обе части неравенства на |a|. Это можно сделать, поскольку мы, во-первых, в самом начале решения примера договорились, что а ≠ 0, а во-вторых, сам модуль — величина неотрицательная.

          Итак, смело умножаем обе части неравенства на положительное число |a|. Знак неравенства сохраняется:

         

         Вот так. Теперь в нашем распоряжении имеется иррациональное неравенство с модулем. Ясное дело, для того чтобы решить его, надо избавляться от модуля. Поэтому придётся разбивать решение на два случая — когда параметр а, стоящий под модулем, положителен и когда отрицателен. Другого пути избавиться от модуля у нас, к сожалению, нет.

          Итак!

          Случай 1 (a>0, |a|=a)

          В этом случае наш модуль раскрывается с плюсом, и неравенство (уже без модуля!) принимает следующий вид:

         

          Неравенство имеет структуру: «корень больше функции». Такие иррациональные неравенства решаются по следующей стандартной схеме:

         

          Отдельно рассматривается случай а), когда обе части неравенства возводятся в квадрат и правая часть неотрицательна и отдельно — случай б), когда правая часть всё-таки отрицательна, но зато сам корень при этом извлекается. ) И решения этих двух систем объединяются.

          Тогда, в соответствии с этой схемой, наше неравенство распишется вот так:

         

         А теперь можно существенно упростить себе дальнейшую работу. Для этого вспомним, что в случае 1 мы рассматриваем только a>0. С учётом этого требования, вторую систему можно вообще вычеркнуть из рассмотрения, поскольку, второе неравенство в ней (3a<0) эквивалентно неравенству a<0, а условия a>0 и a<0 — это два взаимно исключающих требования.

          Упрощаем нашу совокупность с учётом главного условия a>0:

         

         Вот так. А теперь решаем самое обычное квадратное неравенство:

        

         

        

        

         Нас интересует промежуток между корнями. Стало быть,

        

         Отлично. Теперь этот промежуток пересекаем со вторым условием системы a>0:

         

         Есть. Таким образом, первым кусочком ответа к нашему неравенству (а пока не ко всей задаче!) будет вот такой интервал:

         

         Всё. Случай 1 разложен по полочкам. Переходим к случаю 2.

 

          Случай 2 (a<0, |a|=-a)

         В этом случае наш модуль раскрывается с минусом, и неравенство принимает следующий вид:

         

         Опять имеем структуру: «корень больше функции». Применяем нашу стандартную схему с двумя системами (см. выше):

          

         С учётом общего требования a<0, мы снова, как и в предыдущем случае, проводим максимальные упрощения: вычёркиваем вторую систему в силу противоречивости двух требований -3а < 0 и нашего общего условия a<0 для всего случая 2.

         

          А дальше снова решаем обычное квадратное неравенство:

          

         

          И опять сокращаем себе работу. Ибо оно у нас уже решено в процессе разбора случая 1! Решение этого неравенства выглядело вот так:

         

          Осталось лишь пересечь этот интервал с нашим новым условием a<0.

          Пересекаем:

         

          Вот и второй кусочек ответа готов:

         

          Кстати сказать, как я узнал, что ноль лежит именно между нашими иррациональными корнями? Легко! Очевидно, что правый корень заведомо положителен. А что касается левого корня, то я просто в уме сравнил иррациональное число

        

         с нулём. Вот так:

         

          А теперь объединяем оба найденных интервала. Ибо мы решаем совокупность (а не систему):

         

         Готово дело. Эти два интервала — это пока ещё только решение неравенства

         

         Кто забыл, данное неравенство отвечает у нас за расстояние между корнями нашего уравнения. Которое должно больше 3. Но! Это ещё не ответ!

         Ещё у нас есть условие положительного дискриминанта! Неравенство a>-1/2, помните? Это значит, что данное множество нам ещё надо пересечь с условием a>-1/2. Иными словами, теперь мы должны пересечь два множества:

         

         Но есть одна проблемка. Мы не знаем, как именно расположено на прямой число -1/2 относительно левого (отрицательного) корня. Для этого нам придётся сравнить между собой два числа:

         

         Поэтому сейчас берём черновик и начинаем сравнивать наши числа. Примерно так:

         

          Это значит, что дробь -1/2 на числовой прямой находится левее нашего левого корня. И картинка к окончательному ответу задачи будет какая-то вот такая:

         

          Всё, задача полностью решена и можно записывать окончательный ответ.

          Ответ:

        

 

         Ну как? Уловили суть? Тогда решаем самостоятельно.)

 

         1. Найдите все значения параметра b, при которых уравнение

         ax² + 3x +5 = 0 

         имеет единственный корень.

 

         2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых больший корень уравнения

         x² — (14a-9)x + 49a² — 63a + 20 = 0

         меньше 9.

 

         3. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых сумма квадратов корней уравнения

         x² — 4ax + 5a = 0

         равна 6.

 

         4. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

         x² + 2(a-2)x + a + 3 = 0

         имеет два различных корня, расстояние между которыми больше 3.

 

          Ответы (в беспорядке):

          

Линейная система уравнений с параметрами

Решение нескольких линейных уравнений с использованием аналитических методов потребует много времени. Не забывайте, что одна ошибка может стоить вам очень дорого. Вот почему мы предпочитаем численные методы для прогнозирования решения. Когда дело доходит до решения, есть два метода, на которые вы можете положиться: один — решение линейной системы по правилу Крамера, а второй — метод исключения Гаусса.

Решение линейной системы уравнений с параметрами по правилу Крамера

В этом методе мы будем использовать правило Крамера, чтобы найти ранг, а также предсказать значение неизвестных переменных в системе. Ниже приведен пример линейной системы с одной неизвестной переменной.

Здесь k — неизвестная переменная. Первым шагом является преобразование системы в матрицу коэффициентов и расширенную матрицу.

 

A представляет матрицу коэффициентов, а A’ представляет расширенную матрицу. Следующим шагом является нахождение определителей обеих матриц.

. .

Если

Если

 

С помощью рангов теперь можно определить тип системы.

Если , то система будет Несовместимая система.

Если , то система будет Непротиворечивая независимая система.

 

Поскольку мы знаем, с какой системой имеем дело, теперь мы можем сосредоточиться на поиске решения линейной системы. Это уравнение также можно решить методом исключения Гаусса, но сейчас мы сосредоточимся на правиле Крамера.

 

 

Проверка на представленные математики.

Лучшие репетиторы по математике

Поехали

2. Решение линейной системы уравнений с параметрами методом исключения Гаусса

Исключение Гаусса — прямой метод численного анализа, который помогает найти определитель, а также ранг матрицы. По сути, прямые методы дают точный ответ, но при условии, что они выполняются с бесконечной точностью. Исключение Гаусса предполагает, что с помощью операций со строками мы можем найти определитель и ранг матрицы. Иногда вам может понадобиться сделать частичный поворот, но это не обязательно.

В методе исключения Гаусса нам нужно преобразовать расширенную матрицу в верхнюю треугольную матрицу. В случае, если вы не знаете верхнюю треугольную матрицу, то это матрица, в которой все элементы ниже диагонали равны нулю. Вот иллюстрация верхней треугольной матрицы.

В этой верхней треугольной матрице диагональные элементы и остальные переменные являются константами. Если перемножить все элементы диагоналей, то получится определитель матрицы. Необходимо определить, существует ли какое-либо значение m , чтобы сделать систему согласованной. Если это так, решите систему для этого значения m .

Преобразование в расширенную матрицу:

Операции со строками:

Если вы посмотрите на левую часть операции со строками, это означает, что вы применяете операцию со строками к этой конкретной строке. В правой части строки операции показана операция, которую вы хотите применить к этой конкретной строке. Обратите внимание, что эти операции со строками будут применяться ко всей строке.

Кроме того, вы также можете сместить столбец. Например, в приведенной выше матрице, если поменять местами столбцы 2 и 3, мы можем легко получить верхнюю треугольную матрицу.

Если , это означает , то система будет Несовместимая система .

Если , это означает, что система будет Непротиворечивой зависимой системой .

Примеры

Поскольку матрица уже имеет вид верхней треугольной матрицы, мы можем напрямую использовать обратную замену, чтобы найти значения x, y и z.

 

 

Hence, there will be two solutions, either or

If

hence the system will be противоречивая система

IF

, Следовательно, система —

063 Непротиворечивая зависимая система.

, если система является согласованной независимой системой .

0002

If

Trival solution:

If

 

 

 

Если это означает, что система будет согласованной независимой системой.

Если

 

Если

Вышеуказанная система будет несовместимой системой.

Если

Вышеупомянутая система будет последовательно зависимой системой .

Посмотрите, на что вам следует обратить внимание у репетитора по математике рядом со мной.

Решите следующую систему линейных уравнений для любых значений действительного параметра $a$…

Вопрос задан 8 лет, 5 месяцев назад

Изменено 8 лет, 4 месяца назад

Просмотрено 2к раз

$\begingroup$

При любых значениях параметра $a$ решите следующую систему линейных уравнений: $$\begin{cases} x+y+2z=1 \\ 2x+ay-z=4 \\ 3x+y+3z=1 \end{cases} $$

Вычисляя значение определителя, я выяснил, после того, как я приравнял его к нулю, $a$ имеет значение $-4\over 3$. Поэтому я подумал, что если требуется решить это уравнение для любого $a$ , то прежде всего я должен предположить, что $D=0$, а это значит, что $a={-4\over 3}$. Для этого значения я обнаружил, что существует бесконечное множество решений этой системы. Но теперь мой вопрос: при чем тут случай, когда $D\neq 0$?

Спасибо!

• линейная алгебра
• системы уравнений

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Почему бы просто не использовать исключение Гаусса для оставшегося случая? Вы должны заметить, что некоторые шаги действительны, только если $3a+4\ne0$.

Я думаю, что хороший совет, когда вы делаете это с матрицами, содержащими некоторые параметры: старайтесь избегать деления на выражения, содержащие параметры (или любые другие вещи, включая параметры), насколько это возможно. Поэтому я начал с первой и третьей строк, так как эти две строки не содержат параметра $a$.

$$\left(\begin{массив}{ccc|c} 1 и 1 и 2 и 1\\ 2 и а &-1 и 4\\ 3 и 1 и 3 и 1 \конец{массив}\справа)\sim \left(\begin{массив}{ccc|c} 1 и 1 и 2 и 1\\ 2 и а &-1 и 4\\ 0 &-2 &-3 &-2 \конец{массив}\справа)\sim \left(\begin{массив}{ccc|c} 1 и 1 и 2 и 1\\ 2 и а &-1 и 4\\ 0 и 1 и \frac32 и 1 \конец{массив}\справа)\sim \left(\begin{массив}{ccc|c} 1 & 0 & \frac12 & 0\\ 2 и а &-1 и 4\\ 0 и 1 и \frac32 и 1 \конец{массив}\справа)\sim \left(\begin{массив}{ccc|c} 1 & 0 & \frac12 & 0\\ 0 и а &-2 и 4\\ 0 и 1 и \frac32 и 1 \конец{массив}\справа)\sim \left(\begin{массив}{ccc|c} 1 & 0 & \frac12 & 0\\ 0 & a+\frac43 & 0 & \frac{16}3\\ 0 и 1 и \frac32 и 1 \конец{массив}\справа)\sim \left(\begin{массив}{ccc|c} 1 & 0 & \frac12 & 0\\ 0 & 1 & 0 & \frac{16}{3a+4}\\ 0 и 1 и \frac32 и 1 \конец{массив}\справа)\sim \left(\begin{массив}{ccc|c} 1 & 0 & \frac12 & 0\\ 0 & 1 & 0 & \frac{16}{3a+4}\\ 0 & 0 & \frac32 & \frac{3a-12}{3a+4} \конец{массив}\справа)\sim \left(\begin{массив}{ccc|c} 1 & 0 & \frac12 & 0\\ 0 & 1 & 0 & \frac{16}{3a+4}\\ 0 & 0 & 1 & \frac{2a-8}{3a+4} \конец{массив}\справа)\sim \left(\begin{массив}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & \frac{4-a}{3a+4}\\ 0 & 1 & 0 & \frac{16}{3a+4}\\ 0 & 0 & 1 & \frac{2a-8}{3a+4} \конец{массив}\справа) $$

$\endgroup$

$\begingroup$

Система уравнений может быть выражена как:

$$\left[ \begin{array}{ccc} 1 и 1 и 2 \\ 2&а&-1\ 3 и 1 и 3 \end{массив} \right] \left[ \begin{массив}{c} Икс \\ у \\ z \end{массив} \right] = \left[ \begin{массив}{c} 1\\ 4\\ 1 \end{array} \right]. {-1} u$$ 9{-1}b$, а решение будет в терминах $a$.

$\endgroup$

3

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

Решение систем нелинейных уравнений путем изменения параметров | Компьютерный журнал

Фильтр поиска панели навигации The Computer JournalЭтот выпускЖурналы BCSИнформатикаКнигиЖурналыOxford Academic Термин поиска мобильного микросайта

Закрыть

Фильтр поиска панели навигации The Computer JournalЭтот выпускЖурналы BCSИнформатикаКнигиЖурналыOxford Academic Термин поиска на микросайте

Расширенный поиск

Журнальная статья

Ф. Х. Деист,

Ф. Х. Деист

Ищите другие работы этого автора на:

Оксфордский академический

Google ученый

Л. Сефор

Л. Сефор

Ищите другие работы этого автора на:

Оксфордский академический

Google ученый

Компьютерный журнал , том 10, выпуск 1, 1967 г., страницы 78–82, https://doi.org/10.1093/comjnl/10.1.78

Опубликовано:

01 января 1967 г.

3

PDF

Разделенный вид

• Содержание статьи
• Рисунки и таблицы
• видео
• Аудио
• Дополнительные данные

Цитировать

Процитируйте

Ф. Х. Деист, Л. Сефор, Решение систем нелинейных уравнений путем изменения параметров, The Computer Journal , том 10, выпуск 1, 1967, страницы 78–82, https://doi.org /10.1093/comjnl/10.1.78

Выберите формат Выберите format.ris (Mendeley, Papers, Zotero).enw (EndNote).bibtex (BibTex).txt (Medlars, RefWorks)

Закрыть

Разрешения

• Электронная почта
• Твиттер
• Фейсбук
• Еще

Фильтр поиска панели навигации The Computer JournalЭтот выпускЖурналы BCSИнформатикаКнигиЖурналыOxford Academic Термин поиска мобильного микросайта

Закрыть

Фильтр поиска панели навигации The Computer JournalЭтот выпускЖурналы BCSИнформатикаКнигиЖурналыOxford Academic Термин поиска на микросайте

Расширенный поиск

В этой статье описывается новый метод решения систем нелинейных уравнений.