Скалярное и векторное произведение смешанное произведение: §4. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

В(1, 3, -5) и С(0, -2, -3).

Решение: находим векторы a=CA, b=CB;

a=(2-0)i+[-1-(-2)]j+[3-(-3)]k=2i+j+6k; b=i+5j-2k

ab==-32i+10j+9k 

|ab|==

S=1/2×≈17,4 (ед²).

3. Смешанное (векторно-скалярное) произведение трех векторов

Определение: смешанным произведением трех векторов a, b, c называется произведение вида (ab)×c, где два первых вектора перемножаются векторно, а их произведение умножаются скалярно на третий вектор.

Смешанное произведение – величина скалярная, так как последнее действие – скалярное умножение.

Абсолютная величина смешанного произведения некомпланарных векторов a, b, c равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, причем знак его зависит от ориентации этих векторов: если a, b, c образуют правую тройку, то их смешанное произведение будет положительно, для левой же тройки – отрицательно.

Свойства смешанного произведения.

1.      Смешанное произведение не изменяется:

1)             если перемножаемые вектора переставлять в круговом порядке: (ab)×c=(bc)×a=(ca)×b

2)             если поменять местами знаки векторного и скалярного умножения: (ab)×c=a×(bc), поэтому можно записать abc

2. Перестановка в смешанном произведении любых двух векторов изменяет лишь его знак: acb=-abc; bac=-abc; cba=-abc.
3. Смешанное произведение обращается в нуль, если

1)             хотя бы один из перемножаемых векторов есть нуль-вектор;

2)             два из перемножаемых векторов коллинеарны;

3)             три перемножаемых вектора компланарны.

Вычисление смешанного произведения

трех векторов, разложенных по ортам

a=a_xi+a_yj+a_zk; b=b_xi+b_yj+b_zk; c=c_xi+c_yj+c_zk; то abc=

В этом можно убедиться, разложив определитель по элементам первой строки.

Вычисление объема

четырехгранной пирамиды (тетраэдр)

Объем такой пирамиды равен одной шестой объема параллелепипеда, построенного на его сходящихся в одной вершине ребрах. А объем этого параллелепипеда – абсолютная величина смешанного произведения трех векторов, общее начало которых находится в одной из вершин пирамиды, а концы – в остальных трех ее вершинах. Если вершинами пирамиды служат точки M₁, M₂, M₃, M₄, то полагая a=M₁M₂; b=M₁M₃; c=M₁M₄, получим V=1/6[abc]

Условие компланарности трех векторов.

Три вектора a, b, c компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю: abc=0 или =0.

4.Арифметические векторные пространства. Конечномерные евклидовы пространства.

                Возвращаясь от геометрических пространств к векторным, осознаем, что вектором  размерности n (или n-мерным вектором) называется упорядоченная совокупность из n чисел поля P. Если а – вектор, определенный числами а₁, а₂,…, а_n – координатами вектора, то будем писать a=(a₁, a₂,…,a_n). Если векторы a и b размерности n заданы своими координатами: a=(a₁, a₂,…,a_n), b=(b₁, b₂,…,b_n), то суммой этих векторов называется вектор a+b=(a₁+b₁, a₂+b₂,…, a_n+b_n).

Произведением вектора а на число l из поля P называется вектор lа=(lа₁, lа₂,…,lа_n).

Нулевым называется вектор 0=(0, 0,…, 0). Вектором, противоположным вектору а называется –а=(-а₁, -a₂,…, -a_n).

Определение. Множество всех n-мерных векторов, для которых установлены операции сложения и умножения на число, называются арифметическим векторным пространством и обозначаются R_n. Размерность пространства R_n обозначается dim R_n. Линейное пространство, изоморфное пространству R_n, называется конечномерным. В пространстве R_n существует n линейно независимых n-мерных векторов, при этом любые n+1 векторы линейно зависимы.

Определение. Базисом n-мерного векторного пространства называют любую совокупность, состоящую из n линейно независимых векторов этого пространства.

Теорема 1. Для того, чтобы система n векторов пространства R_n составляла базис, необходимо и достаточно, чтобы определитель, составленный из координат этих векторов, был отличен от нуля.

Определение. Если в n-мерном линейном векторном пространстве определено скалярное произведение и оно обладает следующими свойствами:

1)      a×b=b×a

2) (a+b)×c=a×c+b×c

3) l(a×b)=(la)×b=a×(lb)

4)             a×a>0, если a¹0 то пространство называется n-мерным евклидовым — Е_n.

Скалярное произведение любого aÎE_n на себя называется скалярным квадратом a. Длиной a в евклидовом пространстве называется квадратный корень из скалярного квадрата этого вектора. Вектор, длина которого равна единице, называется нормированным. Если a – ненулевой вектор, то  является нормированным вектором. Для любых двух векторов a и b в евклидовом пространстве выполняется неравенство: (a×b)²£(a×a)(b×b), называется неравенством Коши-Буняковского.

5.Ортогональный базис.

Базис e₁, e₂,…, e_n евклидова пространства называется ортогональным, если (e_i× e_k)=0 при i¹k.

     Справедлива следующая теорема: во всяком евклидовом пространстве имеется ортогональный базис. Если ортогональный базис состоит из нормированных векторов, то этот базис называется ортонормированным. Для ортонормированного базиса e₁, e₂,…, e_n выполняются равенства

(e_i× e_k)=

     Если в n-мерном евклидовом пространстве известен какой-нибудь базис f₁, f₂,…, f_n, то в этом пространстве всегда можно найти и ортонормированный базис e₁, e₂,…, e_n.

     Любой вектор x евклидова пространства, заданный в ортонормированном базисе, определяется равенством x=x₁e₁+x₂e₂+…+x_ne_n.

Длина вектора x находится по формуле |x|=.

Два вектора x=x₁e₁+x₂e₂+…+x_ne_n и y=h₁e₁+h₂e₂+…+h_ne_n линейно зависимы (коллинеарны, пропорциональны) тогда и только тогда, когда x₁/h₁=x₂/h₂=…=x_n/h_n.

     Условие ортогональности векторов x и y имеет вид x₁h₁+x₂h₂+…+x_nh_n=0.

     Угол между двумя векторами x и y находится по формуле cosj=.

В следующих задачах ортонормированный базис n-мерного евклидова пространства обозначается через e₁, e₂,…, e_n.

Скалярное тройное произведение – формула, геометрическая интерпретация, примеры, свойства скалярное тройное произведение есть a · (b × c). Он также широко известен как тройное скалярное произведение, коробочное произведение и смешанное произведение. Скалярное тройное произведение дает объем параллелепипеда, где три вектора представляют собой смежные стороны параллелепипеда.

В этой статье мы рассмотрим концепцию скалярного тройного произведения, его формулу, доказательство и свойства. Мы также изучим геометрическую интерпретацию скалярного тройного произведения и решим несколько примеров, основанных на этой концепции, чтобы понять ее применение.

1.	Что такое скалярное тройное произведение?
2.	Скалярная формула тройного произведения
3.	Геометрическая интерпретация скалярного тройного произведения
4.	Свойства скалярного тройного произведения
5.	Часто задаваемые вопросы о скалярном тройном продукте

Что такое скалярное тройное произведение?

Скалярное тройное произведение трех векторов a, b, c — это скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c, т. е. a · (b × c). Символически это также записывается как [a b c] = [a, b, c] = a · (b × c). Скалярное тройное произведение [a b c] дает объем параллелепипеда со смежными сторонами a, b и c. Если нам даны три вектора a, b, c, то их скалярное тройное произведение [a b c] равно:

• а · (б × в)
• а · (в × б)
• б · (а × в)
• б · (с × а)
• в · (б × а)
• с · (а × б)

Теперь, прежде чем перейти к формуле скалярного тройного произведения, нужно отметить, что:

• [a, b, c] = a · (b × c) = b · (c × a) = c · (а × б)
• а · (б × с) = — а · (с × б)
• б · (с × а) = — б · (а × с)
• с · (а × б) = — с · (б × а)
• а · (б × с) = (а × б) · с

Скалярная формула тройного произведения

Если даны три вектора a = a ₁ i + a ₂ j + a ₃ k, b = b ₁ i + b ₂ j + b _{3 9008 2 к и с = c 1 i + c 2 j + c 3 k, то их скалярное тройное произведение равно определителю компонент трех векторов. Формула скалярного тройного произведения векторов a, b, c дается выражением}

Доказательство скалярного тройного произведения

Теперь докажем формулу скалярного тройного произведения трех векторов a, b, c. Используя определение перекрестного произведения и скалярного произведения, мы имеем

a · (b × c) = \(\overrightarrow{a} \cdot \left|\begin{array}{lll}\hat{i} & \ шляпа{j} & \шляпа{k} \\b_{1} & b_{2} & b_{3} \\c_{1} & c_{2} & c_{3}\end{массив}\right| \)

= \([(b_2c_3 — c_2b_3)\шляпа{i} — (b_1c_3-c_1b_3)\шляпа{j} + (b_1c_2-c_1b_2)\шляпа{k}] \cdot (a_1\шляпа{i} + a_2\шляпа{j} + a_3\шляпа{k})\)

= (b ₂ c ₃ — c ₂ b ₃ )a ₁ + (c ₁ b _{3 9008 2 — б 1 в 3 )а 2 + (b 1 c 2 — c 1 b 2 )a 3}

= \( \left|\begin{array}{lll}a_1 & a_2& a_3 \\b _{1} & b_{2} & b_{3} \\c_{1} & c_{2} & c_{3}\end{array}\right|\)

Таким образом, мы доказали формулу скалярного тройного произведения три вектора a, b, c.

Геометрическая интерпретация скалярного тройного произведения

Теперь мы знаем, что для любых трех векторов a, b, c скалярное тройное произведение равно a · (b × c), которое равно определителю компонентов трех векторов. Давайте теперь поймем геометрическую интерпретацию скалярного тройного произведения. Абсолютное значение скалярного тройного произведения a · (b × c) дает объем параллелепипеда, где a, b, c образуют смежные стороны параллелепипеда. Перекрестное произведение (b × c) дает площадь параллелограмма, образованного векторами b и c. Используя перекрестное произведение определения, b × c перпендикулярно плоскости, содержащей векторы b и c.

Свойства скалярного тройного произведения

Мы рассмотрели концепцию скалярного тройного произведения вместе с его геометрической интерпретацией и формулой. Давайте теперь пройдемся по некоторым его важным свойствам для лучшего понимания концепции:

• Скалярное тройное произведение трех векторов равно нулю, если любые два из них параллельны, т. е. [a a b] = 0
• [(а + b) c d] = [а c d] + [b c d]
  LHS = [(a + b) c d]
  = (а + б) · (с × г)
  = а · (с × d) + б · (с × d)
  = [a c d] + [b c d]
  = RHS
• [λa b c] = λ [ab c], где λ — действительное число.
• Скалярное тройное произведение трех ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны.
• Так как скалярное произведение коммутативно, то имеем
  • а · (б × с) = (б × с) · а
  • б · (с × а) = (с × а) · б
  • с · (а × b) = (а × b) · с

Важные примечания о скалярном тройном произведении

• [a, b, c] = [b, c, a] = [c, a, b]
• [a (b+c) d] = [a b d] + [a c d], [a b (c+d)] = [a b c] + [a b d]
• [λa b c] = [a λb c] = [a b λc] = λ [a b c], где λ — действительное число.
• Скалярное тройное произведение трех ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны.

Связанные темы по скалярному тройному произведению

• Произведение векторов
• Калькулятор скалярного произведения

Часто задаваемые вопросы о скалярном тройном продукте

Что такое скалярное тройное произведение в теории векторов?

Скалярное тройное произведение — это скалярное произведение вектора на векторное произведение двух других векторов, т. е. если a, b, c — три вектора, то их скалярное тройное произведение равно a · (b × c).

Что такое скалярная формула тройного произведения?

Формула скалярного тройного произведения векторов а = а ₁ i + a ₂ j + a ₃ k, b = b ₁ i + b ₂ j + b ₃ k, c = c ₁ i + в ₂ j + c ₃ k определяется выражением \( \left|\begin{array}{lll}a_1 & a_2& a_3 \\b_{1} & b_{2} & b_{3} \\c_{1} & c_{2} & c_{3}\end{array}\right|\)

Почему скалярное тройное произведение трех копланарных векторов равно нулю?

Предположим, что a, b, c — три ненулевых вектора. Тогда [a, b, c] = 0 ⇔ (a × b) · c = 0 ⇔ c перпендикулярно a × b ⇔ c лежит в плоскости, параллельной как a, так и b ⇔ a, b, c компланарны.

Когда скалярное тройное произведение равно нулю?

Скалярное тройное произведение трех векторов равно нулю, если любые два из них равны параллельным векторам.

Какова геометрическая интерпретация скалярного тройного произведения трех векторов?

Геометрическая интерпретация скалярного тройного произведения трех векторов заключается в том, что оно дает объем параллелепипеда, а три вектора представляют соприкасающиеся ребра параллелепипеда. Если скалярное тройное произведение равно нулю, то объем будет равен нулю и означает, что все ребра лежат в одной плоскости, а значит, векторы компланарны.

Почему скалярное тройное произведение называется коробочным произведением?

Скалярное тройное произведение трех векторов a, b, c записывается в рамке как [a, b, c]. Кроме того, абсолютное значение скалярного тройного произведения дает объем коробки (параллелепипеда).

Скалярные и перекрестные произведения векторов

Величина, которая характеризуется не только величиной, но и направлением, называется вектором. Скорость, сила, ускорение, импульс и т. д. являются векторами.

Векторы можно перемножать двумя способами:

• Скалярное произведение или скалярное произведение
• Векторное произведение или векторное произведение