Скалярное произведение векторов формула: Скалярное произведение векторов — урок. Геометрия, 9 класс.

Как найти скалярное произведение двух векторов: формулы, примеры

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти скалярное произведение двух векторов, перечислим свойства этого действия, а также разберем примеры решения задач.

• Нахождение скалярного произведения векторов
• Свойства скалярного произведения векторов
• Примеры задач

Нахождение скалярного произведения векторов

Скалярное произведение векторов a и b – это скалярная величина, которая равняется произведению длин этих векторов и косинуса угла между ними.

a · b = |a| · |b| · cos α.

Примечание: скалярной называется величина, значений которой можно выразить одним числом (чаще всего, действительным).

С алгебраической точки зрения, скалярное произведение двух векторов – это сумма попарного произведения соответствующих координат этих векторов.

Формулы скалярного произведения векторов с заданными координатами

00″ data-percent-format=»10.00%» data-date-format=»DD.MM.YYYY» data-time-format=»HH:mm» data-features=»["after_table_loaded_script"]» data-search-value=»» data-lightbox-img=»» data-head-rows-count=»1″ data-pagination-length=»50,100,All» data-auto-index=»off» data-searching-settings=»{"columnSearchPosition":"bottom","minChars":"0"}» data-lang=»default» data-override=»{"emptyTable":"","info":"","infoEmpty":"","infoFiltered":"","lengthMenu":"","search":"","zeroRecords":"","exportLabel":"","file":"default"}» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

Двухмерное пространство	a · b = ax · bx + ay · by
Трехмерное пространство	a · b = ax · bx + ay · by + az · bz
n-мерное пространство	.. + a<sub>n</sub> · b<sub>n</sub></em></span>» data-order=»<span class="math"><em><span style="text-decoration: overline;">a</span> · <span style="text-decoration: overline;">b</span> = a<sub>1</sub> · b<sub>1</sub> + a<sub>2</sub> · b<sub>2</sub> + … + a<sub>n</sub> · b<sub>n</sub></em></span>»>a · b = a1 · b1 + a2 · b2 + … + an · bn

Свойства скалярного произведения векторов

1. Если вектор умножить на себя же, то результат всегда будет больше или равен нулю.

a · a ≥ 0

Примечание: ноль получается исключительно в том случае, когда вектор является нулевым.

a · a = 0, если a = 0

2. При умножении вектора на самого себя получается квадрат его длины (модуля).

a · a = |a|²

3. Для скалярного произведения применим переместительный закон:

a · b = b · a

4. Если два ненулевых вектора ортогональны, их скалярное произведение равняется нулю.

a ⟂ b, a ≠ 0, b ≠ 0 <=> a · b = 0

5. Сочетательный закон:

(α · a) · b = α · (a · b)

6. Дистрибутивность скалярного произведения:

(a + b) · c = a · c + b · c

Примеры задач

Задание 1
Найдем скалярное произведение векторов a = {6; 2} и b = {1; 9}.

Решение:
a · b = 6 · 1 + 2 · 9 = 24

Задание 2
Известны длины векторов (|a| = 5, |b| = 12) и угол между ними (α = 45°). Вычислим их скалярное произведение.

Решение:
a · b = 5 · 12 · cos 45° ≈ 42,4264

Свойства скалярного произведения векторов

Скалярное произведение двух векторов.

В физике работа А постоянной силы F при прямолинейном движении материальной точки из положения В в положение С (рис. 52) вычисляется по формуле

Эта формула вектору силы F и вектору перемещения ВС ставит в соответствие скалярную величину — работу. Величину А называют скалярным произведением векторов F и \(\overrightarrow{BC}\). Скалярное произведение может быть определено для любых двух векторов. Оно широко используется в физике и в математике.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Если из двух векторов хотя бы один нулевой, то скалярное произведение этих векторов принимается равным нулю.

Скалярное произведение векторов а и b обозначается а • b. Итак, по определению

а • b = | а | • | b | cos\(\widehat{(a; b)}\). (1)

Если а = b, то скалярное произведение принимает вид а • a и называется скалярным квадратом вектора а и обозначается символом a². Очевидно, что a² = а • a = |а|².

Как известно, проекция вектора b на ось, направление которой совпадает с направлением вектора а, выражается формулой

пр_ab = | b | cos\(\widehat{(a; b)}\). (2)

Используя формулы (1) и (2), можно записать

а • b = | а | np_ab. (3)

Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно произведению длины одного из них и проекции второго вектора на направление первого.

Аналогично получается формула а • b = | b | np_ba.

Задача 1. Известно, что | а | = 2, | b | = ¹/₃ , \(\widehat{(a; b)}\) = 150°. Найти а • b .

По формуле (1) находим

а • b = | а | • | b | cos\(\widehat{(a; b)}\) = 2 • ¹/₃ • 150°

Задача 2. Найти всевозможные скалярные произведения базисных векторов i и j прямоугольной декартовой системы координат на плоскости.

По определению скалярного произведения

i • j = | i | • | j | cos 90° = 1 • 1 • 0 = 0,

i² = i • i = | i | • | i | cos 0° = 1 • 1 • 1 = 1.

Аналогично j • i = 0, j² = 1.

Задача 3. Какой знак имеет скалярное произведение векторов а и b, если
90° < \(\widehat{(a; b)}\) < 180°?

Так как в формуле а • b = | а | • | b | cos \(\widehat{(a; b)}\) числа | а | и | b | неотрицательны, знак а • b зависит от знака косинуса.

В промежутке ] 90°; 180°] cos \(\widehat{(a; b)}\) < 0, поэтому а • b < 0.

Задача 4. В каком промежутке находится величина угла между векторами а и b, если а • b > 0?

Так как а • b > 0, то | а | =/= 0, | b | =/= 0 и cos \(\widehat{(a; b)}\) > 0. Отсюда \(\widehat{(a; b)}\) \(\in\) [0°; 90° [.

Свойства скалярного произведения векторов

1. Скалярное умножение векторов обладает переместительным свойством:

а Х b = b Х а. (1)

Так как

\(\widehat{(a; b)}\) = \(\widehat{(b; a)}\) и | а | Х | b | = | b | Х | а |,

то

а Х b = | а | Х | b | cos \(\widehat{(a; b)}\) = | b | Х | а | cos\(\widehat{(b; a)}\) = b Х а.

Если а = 0 или b = 0, то по определению скалярного произведения а Х b = 0 и b Х а = 0, т. е. а Х b = b Х а

2. Скалярное умножение векторов обладает сочетательным свойством по отношению к умножению вектора на число:

(ka) Х b = k (а Х b). (2)

Обозначим \(\widehat{(a; b)}\) = φ и \(\widehat{(ka; b)}\) = φ₁.

Если k > 0, то \(\widehat{(a; b)}\) = \(\widehat{(ka; b)}\), т. е. φ = φ₁ и тогда

(ka) Х b = | kа | Х | b | cos φ₁ = k | а | Х | b | cos φ = k (а Х b).

Если k < 0, то ka \(\uparrow\downarrow\) a и φ₁ = 180° Ч φ, и тогда

(ka) Х b = | kа | Х | b | cos φ₁ = | k | Х | а | Х | b | cos (180° Ч φ) =
= Ч k Х | а | Х | b |(Ч cos φ) =

= k | а | Х | b | cos φ = k (а Х b)

Если k = 0 или a = 0, или b = 0, то

(ka) Х b = 0 и k (а Х b) = 0, и поэтому (ka) Х b =k (а Х b).

3. Скалярное умножение векторов обладает распределительным свойством относительно сложения векторов

а Х (b + с) = а Х b + а Х c. (3)

Если a = 0, то свойство (3) очевидно.

Пусть a =/= 0. Тогда

а Х (b + с) = | a | Х np_a(b + c) = | a | Х (np_ab + np_ac) =
= | a | Х np_ab + | a | Х np_ac = а Х b + а Х c.

В ходе доказательства были использованы известные свойства проекции вектора на ось.

Заметим, что из (1) и (3) следует формула

(a + b) Х c = a Х c + b Х c. (4)

Сходство свойств скалярного произведения векторов со свойствами произведения действительных чисел позволяет легко производить вычисления и преобразования со скалярными произведениями.

Задача. Доказать тождество

(a + b) ² = а² + 2a Х b + b².

Используя свойства (1) и (4) скалярного произведения, получаем

(a + b) ² = (a + b) Х (a + b) = (a + b) Х а + (a + b) Х b =
= aХa + bХa + aХb + bХb = а² + aХb + aХb + b² =

= а² + 2a Х b + b²

Теорема. Для того чтобы два ненулевых вектора были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение было равно нулю:

(а =/= 0, b =/= 0, a Х b = 0 ) <==> a ⊥ b. (5)

Необходимость. Пусть a ⊥ b. Тогда

φ = \(\widehat{(a; b)}\) = 90° и a Х b = | а | Х | b | Х cos 90° = 0.

Достаточность. Пусть a Х b = 0 , а =/= 0, b =/= 0.

Так как а =/= 0, b =/= 0, то | а | =/= 0, | b | =/= 0, а так как | а | Х | b | Х cos φ = 0, то cos φ = 0 и, следовательно, φ = 90°, т. е. a ⊥ b.

Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами

Пусть на плоскости имеется некоторая прямоугольная декартова система координат и пусть заданы векторы а = (x₁ ; y₁ ) и b = (x₂ ; y₂). Так как

a = x₁i + y₁ j, b = x₂i + y₂ j,

то, используя соответствующие свойства скалярного умножения векторов, получаем

а • b = (x₁ + y₁ j) • (x₂i + y₂ j) = (x₁x₂) i ² + (x₁y₂) i • j + (y₁x₂) j • i+ (y₁y₂) j ².

Очевидно, что i ² = j ² = 1 и i • j = j • i = 0, поэтому

а • b = x₁x₂ + y₁y₂. (1)

Пусть теперь в пространстве имеется некоторая прямоугольная декартова система координат и заданы векторы

а = (x₁ ; y₁ ; z₁) , b = (x₂ ; y₂; z₂).

Аналогично предыдущему получим

а • b = x₁x₂ + y₁y₂+ z₁z₂. (2)

Итак, скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений одноименных координат этих векторов.

Задача 1. Вычислить а • b , если а = 2i + 3j, b = — 5i + j.

а • b = (2i + 3j) • (- 5i + j) = 2 • (-5) + 3 • l = — 7.

Задача 2. Вычислить а • b, если а = (2; -3; 4), b = (5; 7;-1).

а • b = 2 • 5 + (-3) • 7 + 4 • (- 1) = — 15.

Задача 3. Найти длину вектора а = (х; у; z).

Применяя формулу (2) при b = a, получим

а² = а • а = хх + уу + zz = х² + у² + z².

С другой стороны, согласно определению скалярного произведения получаем

а² = а • а = | а | • | а | cos 0 = | а | ²

Следовательно,

$$ |a| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} $$

Урок по теме «Скалярное произведение векторов в координатах»

Тема урока: Скалярное произведение векторов в координатах

Цели урока:

закрепить умение находить угол между векторами;

повторить понятие скалярного произведения и закрепить умение применять его при решении задач;

сформулировать и доказать теорему о скалярном произведении двух векторов в координатах и ее следствия;

познакомить учащихся со свойствами скалярного произведения векторов;

показать применение скалярного произведения векторов в координатах при решении задач.

I. Проверка домашней работы

Вспомним: очень важно правильно определить угол между векторами. Если векторы не имеют общей начальной точки, необходимо представить, какой угол бы образовался, если их переместить к общей начальной точке.

№

1039. Решение:

Вспомним свойства квадрата:

Все углы квадрата прямые.

Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

а)	У векторов АВ и АС общее начало, значит =45.
б)	Вектор DA переместим в общую начальную точку А, получится вектор АК. Тогда .
в)	У векторов ОА и ОВ общее начало, значит .
г)	Вектор АО переместим в общую точку О, получится вектор ОС. Тогда .
д)	У векторов ОА и ОС общее начало – точка О. Значит .
е)	Переместим векторы АС и BD в общую начальную точку О. Тогда .
ж)	Переместим вектор DB в общую точку А, получится вектор АМ. Тогда
з)	Векторы АО и ОС — сонаправленные. Значит .

Выполните решение следующей задачи в тетради. К каждому случаю сделайте чертеж.

Дан квадрат ABCD, точка O пересечения диагоналей AC и BD. Найдите угол между векторами: 1) CD и CA, 2) AO и OА, 3) AD и ВD, 4) АO и СO, 5)  AC и DВ. 

II. Повторение (организуется в виде фронтального опроса)

Скалярным произведением двух векторов a ⃗  и b⃗  называется произведение их длин (модулей этих векторов) на косинус угла между ними: a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗|⋅cosα.

1. Если векторы сонаправлены, то a⃗ˆb⃗ =0°:

Так как косинус угла в 0 равен 1, то скалярное произведение сонаправленных векторов является произведением их длин: a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗|⋅cos 0=|a⃗|⋅|b⃗|⋅1=|a⃗|⋅|b⃗|.

Если два вектора равны, то такое скалярное произведение называют скалярным квадратом: a⃗⋅a⃗ =|a⃗|⋅| a⃗|⋅cos 0=|a⃗|⋅| a⃗|⋅1=|a⃗|2= a⃗2.

 

 

2. Если векторы противоположно направлены, то a⃗ˆb⃗ =180°:

Так как косинус угла в 180 равен (-1), то скалярное произведение противоположно направленных векторов равно отрицательному произведению их длин: a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗|⋅cos 180=|a⃗|⋅|b⃗|⋅(-1) = — |a⃗|⋅|b⃗|.

3. Векторы называют перпендикулярными, если a⃗ˆb⃗ =90°:

Так как косинус угла в 90 равен 0, то скалярное произведение перпендикулярных векторов равно 0: a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗|⋅cos 90=0.

4. Внимательно рассматриваются ситуации, когда векторы образуют тупой угол:

 

Так как косинус тупого угла отрицательный, то скалярное произведение таких векторов, которые образуют тупой угол, является отрицательным.

Таблица значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса некоторых углов

Пример 1. Учащийся у доски

Решение:

Пример 2. Выполнить самостоятельно по вариантам в тетрадях

1 вариант (Ответ в первой задаче ).

2 вариант (Ответ в первой задаче ).

180.

 

III. Новый материал

1) Сформулируем и докажем центральную теорему урока

Теорема. Скалярное произведение векторов  и  выражается формулой

Доказательство.

1. При  или  теорема очевидна.

2. Пусть  и  – ненулевые векторы. Тогда по теореме косинусов

Перейдем в этой формуле к координатам.

Уточним, что теорема доказана для случая неколлинеарных векторов, в доказательстве был использован треугольник, теорема косинусов, поэтому случай коллинеарных векторов тоже рассмотрим, при этом учтем, что угол между коллинеарными векторами может быть равен 180° или 0°.

3. Пусть

Подгоним это равенство под формулу, полученную при доказательстве теоремы.

Формула та же самая, если записать ее в координатах, то получим

4. Аналогично рассмотрим случай 

Вывод:  для всех векторов   и .

2) Следствия из теоремы

Сформулируем следствия из доказанной теоремы.

Следствие 1. Ненулевые векторы  и  перпендикулярны тогда и только тогда, когда  .

Действительно,  .

Следствие 2. Косинус угла между ненулевыми векторами  и  выражается формулой:

Действительно,

3) Свойства скалярного произведения векторов

Рассмотрим свойства скалярного произведения векторов.

Для любых векторов  и любого числа k справедливы соотношения:

1. , причем  при  .

Доказательство.

Но  при  .

2.  (переместительный закон).

Доказательство (из определения).

3.  (распределительный закон).

Доказательство.

Для доказательства используем метод координат.

 , тогда

.

 

4.

  (сочетательный закон).

Доказательство.

, значит,

Замечание. Распределительный закон справедлив и в случае нескольких слагаемых, например,

.

IV Закрепление. Пример 1. Записать в тетрадь

Решение:

Пример 2. Выполнить самостоятельно по вариантам в тетрадях

1 вариант

2 вариант

Пример 3. Записать в тетрадь

Решение:

Пример 4. Выполнить самостоятельно по вариантам в тетрадях

1 вариант

2 вариант

Выводы:

Повторили понятие угла между векторами, понятие скалярного произведения.

Повторили, как определять угол между векторами, повторили, как вычислять скалярное произведение, если известны длины векторов и угол между ними.

Научились вычислять скалярное произведение в координатах, научились находить угол между векторами по их координатам.

Сформулировали и доказали теорему о скалярном произведении двух векторов в координатах и ее следствия.

Познакомились со свойствами скалярного произведения векторов.

Научились вычислять скалярное произведение векторов в координатах, научились вычислять угол между векторами.

Домашнее задание: № 1044(а, б, в), № 1048.

Использованные источники:

Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы.

http://www.yaklass.ru/p/geometria/9-klass/sootnoshenie-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnika-skaliarnoe-proizvedenie_-9222/skaliarnoe-proizvedenie-vektorov

https://interneturok.ru/geometry/9-klass/skalyarnoe-proizvedenie-vektorov/skalyarnoe-proizvedenie-v-koordinatah-svoystvo-skalyarnogo-proizvedeniya

Опубликовано 11.03.18 в 07:40 в группе «УРОКИ, КИМы, ИГРЫ, практикумы, творческие задания по ИНФОРМАТИКЕ, МАТЕМАТИКЕ и другим дисциплинам.»

Объяснение урока: Скалярное произведение в 2D

В этом объяснении мы узнаем, как найти скалярное произведение двух векторов в 2D.

Существует три способа умножения векторов. Во-первых, вы можете выполнить скалярное умножение в который вы умножаете каждый компонент вектора на действительное число, например, 3⃑𝑣. Здесь мы умножаем каждый компонент вектора ⃑𝑣 под номером три. Во-вторых, мы можем умножить вектор на другой вектор; здесь есть два различные методы, точечный продукт и векторный продукт. В этом объяснении мы собираемся только посмотрите на точечный продукт.

Предположим, у нас есть вектор ⃑𝑢, который 𝑢,𝑢 и вектор ⃑𝑣 то есть 𝑣,𝑣. Их скалярный продукт записывается как ⃑𝑢⋅⃑𝑣. Обратите внимание, что точка находится в центре двух векторов, а не на основание каждого. Теперь, чтобы вычислить скалярное произведение, нам нужно записать два вектора в компонентной форме, умножьте соответствующие компоненты каждого вектора и добавьте полученное числа.

Определение: скалярное произведение двух векторов

скалярное произведение двух векторов ⃑𝑢=𝑢,𝑢 и ⃑𝑣=𝑣,𝑣 получается умножением соответствующих компонентов каждого вектора и складывая полученные числа: ⃑𝑢⋅⃑𝑣=𝑢⋅𝑣+𝑢⋅𝑣. 

Это показано в примере 1.

Пример 1. Нахождение скалярного произведения двумерных векторов

Дан вектор ⃑𝑣=(7,2) и вектор ⃑𝑢=(3,6), найти ⃑𝑢⋅⃑𝑣.

Ответ

Напомним, что скалярное произведение двух векторов ⃑𝑢=𝑢,𝑢 и ⃑𝑣=𝑣,𝑣 определяется как ⃑𝑢⋅⃑𝑣=𝑢⋅𝑣+𝑢⋅𝑣.

Следовательно, имеем ⃑𝑢⋅⃑𝑣=(7,2)⋅(3,6)=7⋅3+2⋅6=21+12=33.

Уведомление в этот пример, что мы написали «7⋅3», что другой способ записи «7×3». Мы используем первый обозначение, чтобы избежать возможной путаницы с векторным векторным произведением, которое, как следует из названия предлагает, использует крест вместо точки. Заметьте также, что скалярное произведение дает ответ, который является числовым значением или скаляром. Здесь стоит отметить, что точка произведение также называют скалярным произведением по этой причине.

Посмотрим, что произойдет, если мы произведем скалярное произведение 𝑘⃑𝑢⋅⃑𝑣, где 𝑘 — ненулевое действительное число, а ⃑𝑢=𝑢,𝑢 и ⃑𝑣=𝑣,𝑣. Компоненты 𝑘⃑𝑢 тогда 𝑘𝑢,𝑘𝑢, и мы находим, что 𝑘⃑𝑢om⃑𝑣 = 𝑘𝑢om𝑣+𝑘𝑢om𝑣 = 𝑘𝑢om𝑣+𝑢om𝑣 = 𝑘⃑𝑢om⃑𝑣.

Аналогично, мы находим, что ⃑𝑢⋅𝑘⃑𝑣=𝑘⃑𝑢⋅⃑𝑣 а также 𝑘⃑𝑢⋅𝑘′⃑𝑣=𝑘𝑘′⃑𝑢⋅⃑𝑣.

Поскольку это важное свойство, давайте отметим его здесь.

Свойство: скалярное умножение и скалярное произведение

Для действительных чисел 𝑘 и 𝑘′ имеем 𝑘⃑𝑢⋅𝑘′⃑𝑣=𝑘𝑘′⃑𝑢⋅⃑𝑣.

Кроме того, из определения мы находим, что ⃑𝑣⋅⃑𝑢=𝑣⋅𝑢+𝑣⋅𝑢, что, учитывая коммутативность умножения, приводит к ⃑𝑣⋅⃑𝑢=𝑢⋅𝑣+𝑢⋅𝑣=⃑𝑢⋅⃑𝑣.

Это доказывает коммутативность скалярного произведения.

Свойство: Коммутативность скалярного произведения

Скалярное произведение коммутативно: ⃑𝑢⋅⃑𝑣=⃑𝑣⋅⃑𝑢.

Рассмотрим теперь три вектора из скалярного произведения ⃑𝑢⋅⃑𝑣+⃑𝑤. У нас есть ⃑𝑣+⃑𝑤=𝑣+𝑤,𝑣+𝑤; следовательно, ⃑𝑢om⃑𝑣+⃑𝑤 = 𝑢 (𝑣+𝑤)+𝑢𝑣+𝑤 = 𝑢𝑣+𝑢𝑤+𝑢𝑣+𝑢𝑤 = 𝑢𝑣+𝑢𝑣+𝑢𝑤+𝑢𝑤.  

Наконец мы находим, что ⃑𝑢⋅⃑𝑣+⃑𝑤=⃑𝑢⋅⃑𝑣+⃑𝑢⋅⃑𝑤.

Это уравнение показывает, что скалярное произведение является дистрибутивным.

Свойство: Распределимость скалярного произведения

Скалярное произведение является распределительным: ⃑𝑢⋅⃑𝑣+⃑𝑤=⃑𝑢⋅⃑𝑣+⃑𝑢⋅⃑𝑤.

Рассмотрим полезное свойство скалярного произведения, когда мы берем точку произведение вектора на самого себя, которое мы вычислим в следующем пример.

Пример 2. Вычисление скалярного произведения вектора с самим собой

Учитывая, что 𝐴𝐵=(5,12), найти 𝐴𝐵⋅𝐴𝐵.

Ответ

Напомним, что скалярное произведение двух векторов ⃑𝑢=𝑢,𝑢 и ⃑𝑣=𝑣,𝑣 определяется выражением ⃑𝑢⋅⃑𝑣=𝑢⋅𝑣+𝑢⋅𝑣.

Поскольку ⃑𝑢=⃑𝑣=(5,12), имеем (5,12)⋅(5,12)=5⋅5+12⋅12=25+144=169.

Чтобы увидеть, насколько этот результат значим, давайте посчитаем величину того же вектор. Сначала рисуем эскиз вектора.

Мы можем вычислить его величину, найдя длину по теореме Пифагора. Итак, величина 𝐴𝐵, обычно обозначаемая ‖‖𝐴𝐵‖‖, рассчитывается следующим образом: ‖‖𝐴𝐵‖‖=√5+12=√169=13.

Если мы сравним величину и скалярное произведение, мы обнаружим следующее свойство.

Свойство: скалярное произведение и величина

Величина вектора равна квадратному корню из его скалярного произведения на самого себя: ‖‖𝐴𝐵‖‖=𝐴𝐵⋅𝐴𝐵.

Скалярное произведение двух векторов можно интерпретировать геометрически, как указано в следующем поле определения.

Определение: геометрическое определение скалярного произведения

Скалярное произведение двух векторов ⃑𝑢 и ⃑𝑣 равно произведению их величин с косинусом угла между ними: ⃑𝑢⋅⃑𝑣=‖‖⃑𝑢‖‖⋅‖‖⃑𝑣‖‖⋅𝜃, потому что где 𝜃 — угол между ⃑𝑢 и ⃑𝑣.

Геометрическая интерпретация показывает нам, что чем «ближе» два вектора, тем больше скалярное произведение, потому что чем меньше угол, тем больше его косинус. Следовательно, максимальное значение скалярного произведения двух векторов данные величины возникают, когда два вектора имеют одинаковое направление, то есть когда угол между ними равен нулю.

Скалярное произведение двух коллинеарных векторов, имеющих одинаковое направление, равно ⃑𝑢⋅⃑𝑣=‖‖⃑𝑢‖‖⋅‖‖⃑𝑣‖‖⋅0, cos что, поскольку cos0=1, дает ⃑𝑢⋅⃑𝑣=‖‖⃑𝑢‖‖⋅‖‖⃑𝑣‖‖.

Это согласуется с тем, что мы нашли ранее для скалярного произведения вектора с самим собой.

Когда два вектора ⃑𝑢 и ⃑𝑣 коллинеарны, но имеют противоположные направления, угол между ними 180∘, с косинусом −1, так что их скалярное произведение определяется как ⃑𝑢⋅⃑𝑣=−‖‖⃑𝑢‖‖⋅‖‖⃑𝑣‖‖.

С другой стороны, когда два вектора ⃑𝑢 и ⃑𝑣 перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю, поскольку косинус угла между ними (90∘) равен нулю. Это важное свойство, которое можно использовать для проверки перпендикулярности двух векторов данных компонентов.

Свойство: Скалярное произведение двух перпендикулярных векторов

Скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю. И наоборот, когда скалярное произведение двух векторов равно нулю, два вектора перпендикулярны.

Давайте рассмотрим пример, где нам нужно использовать это свойство.

Пример 3. Нахождение скалярного произведения двух векторов в квадрате

Квадрат 𝐴𝐵𝐶𝐷 имеет сторону 10 см. Что такое 𝐴𝐵⋅𝐵𝐶?

Ответ

Мы можем начать отвечать на этот вопрос, нарисовав квадрат 𝐴𝐵𝐶𝐷 и векторы 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶.

Мы видим, что 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 перпендикулярны, так как два смежные стороны квадрата перпендикулярны. Угол между двумя векторами равен 90∘, и, как cos90=0∘, имеем 𝐴𝐵⋅𝐵𝐶=‖‖𝐴𝐵‖‖⋅‖‖𝐵𝐶‖‖⋅90=0.cos∘

Ответ: 𝐴𝐵⋅𝐵.

Давайте посмотрим на другой пример, где нам нужно использовать свойство перпендикулярных векторов.

Пример 4. Нахождение недостающего компонента вектора, если он перпендикулярен другому

Учитывая, что ⃑𝐴=(−4,𝑘), ⃑𝐵=(−12,−3) и ⃑𝐴⟂⃑𝐵, определить значение 𝑘.

Ответ

⃑𝐴 и ⃑𝐵 — два перпендикулярных вектора; это означает, что их скалярный продукт равен нулю. Поэтому давайте вычислим их скалярный продукт, используя их компоненты: ⃑𝐴⋅⃑𝐵=𝐴⋅𝐵+𝐴⋅𝐵, где 𝐴,𝐴 компоненты ⃑𝐴 и 𝐵,𝐵 принадлежат ⃑𝐵.

Подставляя в наши уравнения действительные компоненты ⃑𝐴 и ⃑𝐵, мы получаем ⃑𝐴⋅⃑𝐵=−4⋅(−12)+𝑘⋅(−3)⃑𝐴⋅⃑𝐵=48−3𝑘.

Поскольку ⃑𝐴 и ⃑𝐵 перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю, который дает 48−3𝑘=03𝑘=48𝑘=16.

В нашем последнем примере мы увидим, как найти скалярное произведение, используя его геометрическое определение.

Пример 5. Нахождение скалярного произведения двух векторов в треугольнике

Учитывая, что 𝐴𝐵𝐶 — равнобедренный треугольник, где 𝐴𝐵=𝐴𝐶=6 см и 𝑚∠𝐴=120∘, определить 𝐶𝐴⋅.

Ответ

Сначала нарисуем треугольник 𝐴𝐵𝐶 и векторы 𝐶𝐴 и 𝐵𝐶.

Нас просят найти 𝐶𝐴⋅𝐵𝐶. Для этого нам необходимо разработать угол между 𝐶𝐴 и 𝐵𝐶 и величина 𝐵𝐶.

Чтобы найти угол 𝜃 между двумя векторами, мы рисуем вектор ⃑𝑢 эквивалентно 𝐵𝐶, так что начальные точки ⃑𝑢 и 𝐶𝐴 совпадают.

В равнобедренном треугольнике 𝐴𝐵𝐶, 𝑚∠𝐶=𝑚∠𝐵=180−1202=30∘∘∘. Угол между 𝐶𝐵 а ⃑𝑢 равно 180∘; следовательно, у нас есть 𝜃=180−30=150.∘∘∘

Чтобы найти величину 𝐵𝐶, поскольку нам известны длины 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶, мы просто считаем, что величины векторов задаются здесь их длинами в сантиметры. Следовательно, нам нужно найти длину 𝐵𝐶. Для этого мы можем использовать правило синусов в треугольнике 𝐴𝐵𝐶. Это дает 630=𝐵𝐶120𝐵𝐶=612030𝐵𝐶=6⋅𝐵𝐶=6√3.sinsinsinsincm∘∘∘∘√

Теперь мы можем найти 𝐶𝐴⋅𝐵𝐶, написав это 𝐶𝐴⋅𝐵𝐶=‖‖𝐶𝐴‖‖⋅‖‖𝐵𝐶‖‖⋅𝜃, потому что где 𝜃 — угол между 𝐶𝐴 и 𝐵𝐶. Подставляя величины ‖‖𝐶𝐴‖‖ и ‖‖𝐵𝐶‖‖ и значение 𝜃 в нашем уравнении дает нам 𝐶𝐴⋅𝐵𝐶=6⋅6√3⋅150. cos∘

С cos150=−√32∘ находим 𝐶𝐴⋅𝐵𝐶=6⋅6√3⋅−√32𝐶𝐴⋅𝐵𝐶=−54.

В заключение давайте посмотрим, как вывести закон косинусов, используя дистрибутивность скалярного произведения и его геометрические определение. Для любых трех точек 𝐴, 𝐵 и 𝐶 можно написать ‖‖𝐵𝐶‖‖=𝐵𝐶⋅𝐵𝐶=𝐵𝐴+𝐴𝐶⋅𝐵𝐴+𝐴𝐶.

Раскрывая скобки, находим, что ‖𝐵𝐶𝐵𝐶𝐵𝐶𝐵𝐶 = = ‖‖𝐵𝐴𝐵𝐴𝐵𝐴𝐵𝐴+  + 𝐴𝐶 порядко , у нас есть ‖𝐵𝐶𝐵𝐶𝐵𝐶𝐵𝐶 = = ‖‖𝐵𝐴𝐵𝐴𝐵𝐴𝐵𝐴+‖‖‖𝐴𝐶𝐴𝐶+2 𝐴𝐶t как показано на схеме выше. У нас есть ‖𝐵𝐶𝐵𝐶𝐵𝐶𝐵𝐶 = = ‖‖‖𝐵𝐴𝐵𝐴𝐵𝐴+‖‖‖𝐴𝐶𝐴𝐶++2‖‖‖𝐵𝐴𝐵𝐴‖ ⋅‖‖𝐴𝐶𝐴𝐶 ‖ ‖‖𝐴𝐶𝐴𝐶++2‖‖𝐵𝐴𝐵𝐴‖⋅‖‖𝐴𝐶𝐴𝐶 ‖ ‖‖𝐴𝐶𝐴𝐶𝐴𝐶+2‖‖𝐵𝐴𝐵𝐴‖ ‖𝐴𝐶𝐴𝐶‖ ‖.‖cos

Угол между  𝐴𝐵 и ⃑𝑢 это 180∘; следовательно, у нас есть 𝜃=180−𝑚∠𝐵𝐴𝐶.∘

И, как coscos(180−𝑥)=−𝑥∘ для любого 𝑥 находим ‖𝐵𝐶𝐵𝐶𝐵𝐶𝐵𝐶‖ = ‖‖𝐵𝐴𝐵𝐴𝐵𝐴𝐵𝐴+‖‖𝐴𝐶𝐴𝐶𝐴𝐶 — 2‖‖‖𝐵𝐴‖‖ ⋅ ‖𝐴𝐶𝐴𝐶𝐴𝐶 ‖ ‖‖𝐴𝐶‖−−−‖𝐵𝐴𝐵𝐴𝐵𝐴𝐵𝐴‖‖ что соответствует закону косинусов, 𝑎=𝑏+𝑐−2𝑏𝑐𝐴,cos с 𝑎=𝐵𝐶, 𝑏=𝐴𝐶, 𝑐=𝐵𝐴 и 𝐴=∠𝐵𝐴𝐶.

Подытожим то, что мы узнали из этого объяснения.

Ключевые точки

• Скалярное произведение двух векторов ⃑𝑢=𝑢,𝑢 и ⃑𝑣=𝑣,𝑣 получается умножением соответствующих компонентов каждый вектор и складывая полученные числа: ⃑𝑢⋅⃑𝑣=𝑢𝑣+𝑢𝑣.
• Скалярное произведение коммутативно: ⃑𝑢⋅⃑𝑣=⃑𝑣⋅⃑𝑢.
• Скалярное произведение является дистрибутивным: ⃑𝑢⋅⃑𝑣+⃑𝑤=⃑𝑢⋅⃑𝑣+⃑𝑢⋅⃑𝑤.
• Скалярное произведение двух векторов ⃑𝑢 и ⃑𝑣 равно произведение их величин на косинус угла между ними: ⃑𝑢⋅⃑𝑣=‖‖⃑𝑢‖‖⋅‖‖⃑𝑣‖‖⋅𝜃, потому что где 𝜃 — угол между ⃑𝑢 и ⃑𝑣.
• Скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю. И наоборот, когда скалярное произведение двух векторов равно нулю, два векторы перпендикулярны.

почему мы используем косинус как выражение векторного скалярного произведения?

Спросил 7 лет, 7 месяцев назад

Изменено 1 год, 1 месяц назад

Просмотрено 49 тысяч раз

$\begingroup$

Когда мы делаем векторные продукты, мы используем два разных метода. Один — векторное скалярное произведение, другой — векторное перекрестное произведение. Уравнение векторного скалярного произведения: $$\textbf A \cdot \textbf B =|\textbf A| | \textbf В| \cos\тета,$$ где $\theta$ — угол между векторами $\textbf A$ и $\textbf B$.

Почему мы используем косинус в качестве выражения?

• векторов

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Пусть $\vec{\mathbf a} = (x_1, y_1) = (a \cos\alpha, a \sin\alpha)$

Пусть $\vec{\mathbf b} = (x_2, y_2) = (b \cos\beta, b\sin\beta)$

Тогда $\theta = |\beta — \alpha|$

По определению,

\begin{align} \vec{\mathbf a} \circ \vec{\mathbf b} &= x_1x_2 + y_1y_2 \\ &= ab(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta) \\ &= аб \cos(\бета — \альфа)\\ &= аб \ соз \ тета \end{выравнивание}

(Примечание: $\cos(\theta) = \cos(-\theta)$)

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Скалярное произведение двух векторов $A$ и $B$ — это просто произведение величины одного вектора на скалярную проекцию другого на самого себя. Отсюда термин $cos$. Также обратите внимание, что функция $cos$ больше для меньших углов и меньше для больших, как и длина проекции. (на самом деле это одно и то же.)

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Скалярный продукт определяется таким образом. Обратите внимание, что $cos\theta$ — подходящая функция; так как по неравенству Шварца: $$|\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}| \leq |\mathbf{A}| |\mathbf{B}|$$ и, таким образом, скалярное произведение постоянно находится в диапазоне от -1 до 1, как $ cos \ theta $ для $ \ theta \ in [0, \ pi] $.

$\endgroup$

$\begingroup$

Это полностью определяется тем, что мы считаем вращением в плоскости.

Пусть $u, v$ — два единичных вектора. Пусть угол между ними равен $\theta$, и мы можем естественно записать $v$ как

$$v = u \cos \theta + u_\perp \sin \theta$$

, где $u_\perp$ единичный вектор, перпендикулярный $u$. Тогда ясно, что скалярное произведение равно $u \cdot v = \cos \theta$.

Но , если вы больше не находитесь в евклидовой плоскости, эта связь больше не выполняется. Например, в лоренцевом пространстве вместо косинуса и синуса вместо них мы получаем гиперболические функции:

$$v = u \cosh \theta + u_\perp \sinh \theta$$

И скалярное произведение равно $u \cdot v = \cosh \theta$. Физик должен признать, что эта $\theta$ является «быстротой», и что приведенная здесь форма $v$ в точности соответствует любому бусту Лоренца.

Итак, причина, по которой мы используем синус и косинус в евклидовом пространстве, заключается в том, что они продиктованы использованием синуса и косинуса при поворотах. В других пространствах с другими операторами поворота вместо этого вы используете функции, связанные с этими поворотами.

$\endgroup$

2

$\begingroup$

В точечном произведении мы используем cos theta, потому что в этом типе произведения 1. ) Один вектор является проекцией другого. 2.) Расстояние покрывается вдоль одной оси или в направлении силы, и нет необходимости в перпендикулярной оси или синус-тета. В перекрестном произведении угол между ними должен быть больше 0 и меньше 180 градусов, максимум 90 градусов. возьмем пример крутящего момента, если угол между приложенной силой и плечом момента равен 90 градусов, чем крутящий момент будет макс. Вот почему мы используем cos theta для скалярного произведения и sin theta для перекрестного произведения.

$\endgroup$

$\begingroup$

Потому что здесь косинус отвечает за выполнение любого типа работы, например, работа, выполненная косинусом, используется. Здесь одна ось используется для выполненной работы, т. е. ось x, а для оси x мы используем косинус

. $\endgroup$

$\begingroup$

Косинус используется для того, чтобы оба вектора указывали в одном направлении. Для скалярного произведения мы требуем, чтобы оба вектора указывали в одном направлении, а косинус делает это, проецируя один вектор в том же направлении, что и другой.

$\endgroup$

$\begingroup$

На самом деле это определение скалярного произведения двух векторов.

$\endgroup$

2

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

Доказательство формулы скалярного произведения – точка b

Мой опыт работы с скалярным произведением

Когда я впервые столкнулся с скалярным произведением в школе, мне пришлось немало потрудиться. Скалярное произведение двух векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ определяется как $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{ б}| \cos \theta$, где $\theta$ — угол между двумя векторами. Это определение стало для меня камнем преткновения. До этого момента большинство определений становились довольно интуитивными (и если не поначалу, то обычно через неделю или две после работы с ними они начинают казаться достаточно естественными). Эта формула или определение кажется просто вырванным из воздуха.

Далее была механика выполнения скалярного произведения: дано, что $\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} d \\ e \\ f \end {pmatrix} = объявление + be + cf$. Естественной операцией было покомпонентное умножение элементов для получения вектора $\begin{pmatrix} ad \\ be \\ cf \end{pmatrix}$, так почему же это не так? Более того, если бы я просто принял результат, что «означало бы» количество $ad+be+cf$?

Потребовалось довольно много времени, чтобы «просто принять формулы и использовать их для решения вопросов», прежде чем я научился лучше разбираться в этом в школе. Лишь несколько лет спустя в университете я начал понимать значение операции и ее обобщений в других областях. В этом посте я рассказываю, как нынешний я познакомил бы бывшую 17-летнюю меня со скалярным произведением.

Нам даны два вектора, $\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ и $\begin{pmatrix} d \\ e \\ f \end{pmatrix}$, и мы надеемся «сочетать/умножать» их каким-либо образом. Мы можем определить естественную операцию $\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} d \\ e \\ f \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ad \\ be \\ cf \end{pmatrix}$. Оказывается, это совершенно верно, и на самом деле это то, что мы можем проанализировать в теме абстрактной алгебры и колец. Однако на данный момент нас интересуют векторы как способ изучения геометрии (и интересуют такие величины, как длина, площади и углы). Насколько я знаю, операция, определенная как «естественно», для этого, к сожалению, не очень полезна.

Таким образом, мы определяем скалярное произведение как $\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} d \\ e \\ f \end{pmatrix} = ad + быть + ср$. Почему мы это делаем? Потому что величина $ad+be+cf$, хотя ее и нелегко визуализировать, особенно полезна для геометрических вычислений. В частности, такое определение скалярного произведения приводит к формуле $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos \theta$, где $\theta$ — угол между двумя векторами. Эта формула действительно полезна. Лично я нахожу процесс нахождения углов с использованием обычных геометрических методов (использование свойств треугольной, круговой или параллельной линии, использование правил тригонометрии и т. д.) довольно сложным, потому что он требует определенного анализа и знания, где искать (на каком треугольнике мы должны сосредоточиться). на?) и что использовать (какую формулу? Правило синусов? Теорему Пифагора?). Однако формула скалярного произведения упрощает процесс арифметических вычислений. Пока мы можем выразить то, что хотим, в векторах, выполнение скалярного произведения и вычисление величин включают только арифметические операции умножения, сложения и квадратного корня. 2 – 2ab \cos C$. Мы также предполагаем операции сложения векторов и скалярного умножения, а также использование формулы позиционного вектора $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$.

Некоторые свойства скалярного произведения, полученные из определения

Прежде чем вывести окончательную формулу, нам понадобятся некоторые свойства скалярного произведения. Сначала у нас есть
A: $k (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) = (k\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b}$.
Как это можно доказать, проверив это: слева мы сначала выполняем скалярное произведение, чтобы получить $k (ad+be+cf)$, если $\mathbf{a}=\begin{pmatrix}a \\ b \ \ c \end{pmatrix}$ и $\mathbf{b} = \begin{pmatrix}d \\ e \\ f \end{pmatrix}$. Расширение наших обычных действительных чисел дает нам $kad + kbe + kcf$. Если теперь мы вычислим правую часть $(k\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b}$ независимо, сначала выполнив скалярное умножение $k\mathbf{a}$, чтобы получить $\begin{pmatrix}ka \\ kb \\ kc \end{pmatrix}$ и затем скалярное произведение мы получим тот же ответ $kad+kbe+kcf$.