«Скалярное произведение векторов. Угол между векторами». 9-й класс
- Кононова Анастасия Владимировна, заместитель директора по УВР, учитель математики
Разделы: Математика
Класс: 9
Цели урока:сформировать понятия скалярного произведения векторов, угла между векторами.
Задачи:
- рассмотреть следствия из теоремы о скалярном произведении в координатах, свойства скалярного произведения векторов; показать применение скалярного произведения векторов при решении задач;
- формировать навыки нахождения скалярного произведения и угла между векторами;
Тип урока: урок совершенствования ЗУН
Вид урока: традиционный урок с применением компьютера
Оборудования: компьютер, демонстрационный материал
ХОД УРОКА
I. Организационный момент
Приветствие, психологический настрой на урок (Приложение 1. Слайд 1)
Добрый день! Добрый час!
Начинаем мы сейчас
Наш урок очередной.
И не легкий, и не сложный,
Очень нужный нам сейчас
В подготовке к ОГЭ!
II. Актуализация знаний учащихся
1) Устная работа №8 – Угол между векторами (Приложение 2, материал с сайта matvaz.ru), №9 – Скалярное произведение векторов ( Приложение 3, материал с сайта matvaz.ru)
2) Проверка домашнего задания (Приложение 4)
П.
101-104, №1041, стр.269
№1041
Дано:
– векторы
Найти:
Решение:
Ответ:
Инд тесты на сайте uztest.ru
3) Контроль усвоения материала (самостоятельная работа) (Приложение 5)
Вспомнить формулу нахождения координаты вектора через координаты его начала и конца: Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала
Вариант 1
А1. Даны точки А(2; 4), В(5; 8), С(–7; –1), D(5; 8).
Найдите скалярное произведение векторов .
А2. Даны векторы .
Найдите скалярное произведение векторов.
А3. Вычислите скалярное произведение векторов,
если , а угол
между ними равен 60о.
Вариант 2
А1. Даны точки А(2; 4), В(–1; 6), С(–4; –2), D(3;
2). Найдите скалярное произведение
векторов и
.
А2. Даны векторы . Найдите скалярное произведение
векторов.
А3. Вычислите скалярное произведение векторов,
если , а угол
между ними равен 30о.
Ответы: (Слайд 2)
Вариант 1
А1. 72 А2. 37 А3.13,5
Вариант 2
А1. –13 А2.–13 А3.
III. Изучение нового материала.
Сообщение темы урока, сформулировать цели урока (Слайд 3)
(Слайд 4)
Ненулевые векторы и перпендикулярны тогда и только тогда,
когда
(Слайд 5)
Косинус угла ? между ненулевыми векторами и выражается формулой
(Слайд 6)
Для любых векторов и любого числа k справедливы соотношения:
IV. Применение знаний
Решить задачи №55, 57 из рабочей тетради (Приложение 6)
Коллективно решить №1047(а), 1044 (а,в), 1045, 1047(в) (Слайд
7)
V. Рефлексия
Подведение итогов урока. Оценить работы учащихся
V.
Домашняя работа
(Слайд 8)
П.101-104, №1051 Стр.270.
(Слайд 9)
Индивидуальные задания: 1) выполнить тест №3 (задания №11 ОГЭ), выполнить тест №4 (задания №21 ОГЭ), составленные на сайте uztest.ru, задания на карточках: №54, 56 из рабочей тетради (Приложение 7)
9 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. — Решение задач по теме «Скалярное произведение векторов».
Комментарии преподавателяПовторение теории начнем с перечня основных теорем.
Рис. 1. Иллюстрация к теоремам
1. Площадь треугольника:
,
площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними.
2. Теорема синусов и следствие из неё:
,
сторона а относится к синусу противолежащего угла α так же, как сторона b относится к синусу противолежащего угла β так же, как сторона с относится к синусу своего противолежащего угла γ.
Все эти отношения равны 2R, где R – это радиус описанной окружности.
Чтобы найти радиус, достаточно знать сторону и синус противолежащего угла.
3. Теорема косинусов:
,
квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
В основных теоремах фигурирует синус и косинус угла треугольника. Но угол треугольника может быть тупым. Поэтому вспомним определение синуса и косинуса для угла .
На рисунке 2 изображена полуокружность радиусом 1, угол α острый, точка М соответствует этому углу. У точки М есть две координаты ().
Можно дать определение синуса и косинуса. Рассмотрим прямоугольный треугольник (выделенный на рис. 2) с гипотенузой 1. Синусом угла называется отношение катета противолежащего к гипотенузе, т. е. это, ордината точки М.
Косинусом угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе, т. е. , абсцисса точки М.
Рис. 8. Иллюстрация к примеру
Рис. 3. Иллюстрация к примеру
На рисунке 3 угол α тупой. У точки М есть две координаты ().
Следовательно, , т. е. абсцисса точки, а , то есть ордината точки. Таким образом, мы распространили синус и косинус угла от 0 до 180 градусов.
Исходя из этого, координаты какой-либо точки А будут следующими:
Дано: в треугольнике АВС сторона АВ=8см, угол А=, угол В= (рис. 4).
Найти: сторону АС и ВС, угол С, то есть решить треугольник.
Решение:
Рис. 4. Иллюстрация к задаче
Так как сумма углов треугольника равна , угол С равен минус 2 известных угла:
С=
Все углы известны.
Далее используем теорему синусов:
, где 8 – длина стороны АВ, то есть стороны с.
Получили уравнение относительно a
а=
=
Сторона ВС4 см
По теореме синусов находим сторону b=AC
b
Сторона АС6 см
Ответ: угол С=105, сторона ВС4 см, сторона АС6 см.
Треугольники входят в состав многих фигур, например трапеций, параллелограммов. Поэтому решение треугольников позволяет решать задачи с этими фигурами.
Дано: смежные стороны параллелограмма равны а и b, один из углов равен γ (рис. 5).
Найти: диагонали параллелограмма.
Решение:
Рис. 5. Иллюстрация к задаче
АВСD – параллелограмм, сторона АВ=b, сторона AD=a, угол γ – угол между сторонами a и b (рис.
5). Следовательно, треугольник ABD задан полностью. Найти BD и AC.
Решение данной задачи для параллелограмма полностью основано на теореме косинусов для треугольника. Диагональ BD входит в треугольник АВD. В этом треугольнике известны две стороны и угол между ними. Следовательно:
Одна диагональ найдена.
Вторая диагональ АС входит в треугольник АСD. Используем свойство параллелограмма. Противоположные стороны параллелограмма равны. AB=CD=b. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180º. Cледовательно, ∠ADC=180.
Применяем теорему косинусов для треугольника ACD:
AC=
Задача решена.
Теорема косинусов для треугольника позволяет вывести важное метрическое свойство для параллелограмма.
Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
Рис. 6. Иллюстрация к задаче
Дано: ABCD-параллелограмм, =BD и =AC — его диагонали, a=BC=AD и b=AB=DC – cтороны параллелограмма, ∠BAD=γ, ∠ADC=180 (рис. 6).
Доказать:
Доказательство:
Найдём из треугольника ABD, то есть выпишем для этого треугольника теорему косинусов. найдём из треугольника ADC, также выписав для него теорему косинусов.
,
Складываем два равенства:
Задача решена, свойство доказано.
Из предыдущей задачи мы увидели, что свойство треугольника позволяет решать задачи для параллелограмма и даже устанавливает свойство параллелограмма. Это свойство параллелограмма позволяет решать задачи для треугольника.
Рис. 7. Иллюстрация к задаче
Дано:Треугольник АВС, АВ=с, CA=b, BC=a.
Найти: Медиану А= треугольника АВС.
Решение:
Проведём прямую = (рис. 7). Получили четырёхугольник ABDC. Докажем, что он параллелограмм.
В этом четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, следовательно, этот четырёхугольник – параллелограмм. Поэтому воспользуемся свойством параллелограмма:
Получили уравнение для искомой медианы:
Ответ:
Докажите:
1. Медиана рассекает треугольник на 2 равновеликих треугольника. Равновеликих – значит, имеющих одинаковую, равную площадь.
2. Три медианы рассекают треугольник на 6 равновеликих треугольников.
Рис. 8. Иллюстрация к задаче
Дано: треугольник АВС, – середины сторон (рис. 8)
Доказать: 1.,
2.
.
Доказательство:
– медианы, следовательно, используя свойства медианы, имеем:
1. Рассмотрим треугольники (рис. 9). Каждый из них имеет сторону и одинаковую высоту h. Следовательно, площадь каждого:
,
Рис. 9. Иллюстрация к задаче
площадь треугольника АВС, поэтому площади треугольников равны
половине площади треугольника АВС. Следовательно, медиана рассекает треугольник на два равновеликих треугольника.
2. Рассмотрим треугольник : угол γ – угол между сторонами , где .
Найдём отношение этих площадей:
= =
Следовательно:
А так как:
,
То:
Получаем, что медианы рассекают треугольник на 6 равновеликих треугольников.
На данном уроке мы повторили теорию по теме соотношение сторон и углов в треугольнике и решили типовые задачи по данной теме.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/skalyarnoe-proizvedenie-vektorov/reshenie-zadach-po-teme-razdela-2
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/skalyarnoe-proizvedenie-vektorov/prosteyshie-zadachi-po-teme-razdela
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/skalyarnoe-proizvedenie-vektorov/reshenie-zadach-po-teme-razdela-prodolzhenie-1
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/skalyarnoe-proizvedenie-vektorov/reshenie-zadach-po-teme-razdela-prodolzhenie-2
http://www.youtube.com/watch?v=DIeo71CR4fY
Умножение вектора на скаляр
Умножение вектора на скаляр
УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА СКАЛЯР
Умножение вектора на скаляр λ дает другой вектор, λ. Если λ является
положительное число, то λ также находится в направлении . Если λ
является отрицательным числом, λ находится в направлении, противоположном вектору .
Скаляр Произведение двух векторов Определение
скалярное произведение (или скалярное произведение) двух векторов определяется как произведение величины обоих векторов и косинус угла между ними.
Таким образом если есть два вектора и угол θ между ними, то их скалярное произведение определяется как ⋅ = AB потому что θ. Здесь A и B — величины и .
Недвижимость количество товара ⋅ есть всегда скаляр. положителен, если угол между векторами острый (т.е. < 90°) и отрицательное, если угол между ними тупой (т.е. 90°<θ<180°).
проделанная работа в основном является скалярным произведением между вектором силы и вектор смещения. Помимо выполненной работы, существуют и другие физические величины. которые также определяются через скалярные произведения.
Векторное произведение двух векторов Определение
Векторное произведение или векторное произведение
двух векторов определяется как другой вектор, имеющий величину, равную
произведение модулей двух векторов на синус угла между ними.
их. Направление вектора произведения перпендикулярно плоскости
содержащие два вектора, в соответствии с правилом правого винта или
правило большого пальца правой руки
А количество величин, используемых в физике, определяется через векторные произведения. В частности, физические величины, представляющие эффекты вращения, такие как крутящий момент, угловой момент, определяются через векторные произведения.
Свойства компонентов векторов
Если два вектора и равны, то равны и их отдельные компоненты.
решены Примеры задач для скалярного произведения двух векторов
решены Примеры задач на векторное произведение двух векторов
- Предыдущая страница 9
вектора скаляром | с решенными примерами задач
Скалярное произведение двух векторов
Навигация по страницам:
- Геометрическая интерпретация скалярного произведения векторов
- Алгебраическая интерпретация скалярного произведения векторов
- Скалярный продукт — формулы
- для плоскостных задач
- для пространственных задач
- для задач n-мерного пространства
- Свойства скалярного произведения векторов
- Точечный продукт — пример
- самолетные задания
- пространственные задачи
- n пространственные задачи
Онлайн калькулятор.
Скалярное произведение двух векторовУпражнения. Скалярное произведение двух векторов на плоскости
Упражнения. Скалярное произведение двух векторов в пространстве
Геометрическая интерпретация.
а · б = |а| · |б| косинус α
Алгебраическая интерпретация. Скалярное произведение двух векторов a и b — это скалярная величина, равная сумме попарных произведений координатных векторов a и b.
Скалярный продукт также называется скалярным продуктом или внутренним продуктом .
Скалярное произведение – формулы
Формула скалярного произведения для плоских задач
В случае плоской задачи скалярное произведение векторов a = {a x ; a y } и b = {b х ; b y } можно найти по следующей формуле:
a · b = a x · b x + a y · b y
Формула скалярного произведения для пространственных задач
5 случай пространственной задачи скалярное произведение векторов a = {a x ; а и ; a z } и b = {b x ; б у ; b z } можно найти по следующей формуле:
a · b = a x · b x + a y · b y + a z · b z
Формула скалярного произведения для задач n-мерного пространства
В случае задачи n-мерного пространства векторов a = {a 1 ; а 2 ; .
.. ; a n } и b = {b 1 ; б 2 ; … ; b n } можно найти по следующей формуле:a · b = a 1 · b 1 + a 2 · б 2 + … + а н · б н
Свойства скалярного произведения векторов
Скалярное произведение вектора на самого себя всегда больше нуля или равно нулю:
а · а ≥ 0
Скалярное произведение вектора на самого себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор является нулевым вектором:
а · а = 0 <=> а = 0
Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его величины:
а · а = |а| 2
Операция скалярного произведения является коммуникативной:
а · б = б · а
Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы ортогональны:
а ≠ 0, б ≠ 0, а · б = 0 <=> а ┴ б
(αа) · b = α(а · b)
Операция скалярного произведения является распределительной:
(а + b) · с = а · с + b · с
Скалярный продукт — пример
Примеры вычисления скалярного произведения векторов для плоских задач
Пример 1.
Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2} и б = {4; 8}.Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.
Пример 2. Найти скалярное произведение векторов a и b, если их величины |a| = 3, |б| = 6, а угол между векторами равен 60˚.
Решение: a · b = |a| · |б| cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.
Пример 3. Найти скалярное произведение векторов p = a + 3b и q = 5a — 3 b, если их модули |a| = 3, |б| = 2, а угол между векторами a и b равен 60˚.
Решение:
p · q = (a + 3b) · (5a — 3b) = 5 a · a — 3 a · b + 15 b · a — 9 b · b =
= 5 |a| 2 + 12 а · б — 9 |б| 2 = 5 · 3 2 + 12 · 3 · 2 · cos 60˚ — 9· 2 2 = 45 +36 -36 = 45.
Примеры вычисления скалярного произведения векторов для пространственных задач
Пример 4. Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2; -5} и б = {4; 8; 1}.
Скалярное произведение двух векторов
.. ; a n } и b = {b 1 ; б 2 ; … ; b n } можно найти по следующей формуле:
Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2} и б = {4; 8}.