21. Скалярное нелинейное уравнение. Метод простых итераций.
Р ассмотрим функцию одной переменной f(x).
Требуются решить уравнение: (1), другими словами – найти нули функции, т.Е. Такие , которые обращают уравнение (1) в тождество.
Корней может быть либо:
1)нечетное множество;
2)счетное множество;
3)конечное множество.
Поэтому, как правило, оговаривается интервал, в котором ищутся корни.
Функция имеет единственный корень на отрезке когда она:
1)непрерывна на отрезке , т.е. ;
2)на концах имеет значение разных знаков, т.е.
3)строго монотонна (для дифференцируемых функций строгая монотонность эквивалентна знакопостоянству производной).
Прежде чем решить
задачу (1) требуется отделить корни, т.е.
указать такие интервалы
,
каждый из которых содержит единственный
корень.
Если функция — достаточно простая функция, то отделение корней можно осуществить графически. Если же вид функции сложный или функция не задана явно, то отделение корней осуществляется программно.
Для отделения корней поступают следующим образом:
задается некоторый шаг
ищутся отрезки длины изменения знака функции.
Будем считать, что корни уравнения (1) отделены и будем рассматривать отрезок , где существует единственный корень.
Метод простых итераций
22. Система скалярных нелинейных уравнений. Метод простых итераций.
Пусть дана система скалярных нелинейных уравнений:
(1) где , или в векторной форме:
,
.
Требуется найти ,который
при подстановке в систему (1) превращает
каждое уравнение в верное равенство.
Поскольку мы имеем дело с методом итераций, то система (1) должна быть преобразована к виду
(2)
Если обозначить
, , ,
то уравнения (1) и (2) можно записать в векторной форме:
и .
Пусть .
Введем в метрику по правилу:
.
Для того, чтобы построить итерационный процесс, возьмем правило:
,
Чтобы этот итерационный процесс сходился, нужно чтобы оператор был оператором сжатия.
Найдем коэффициент сжатия .
Будем предполагать, что
,
т.е. функции — дифференцируемы в .
Тогда возьмем от обеих частей максимум:
Если обозначить
и сделать число
:
,
то итерационный процесс будет сходиться,
и за нулевое приближение можно будет
брать любое нулевое приближение.
23. Система скалярных нелинейных уравнений. Метод наискорейшего спуска.
Пусть дана система скалярных нелинейных уравнений:
(1) где , или в векторной форме:
, . Требуется найти ,который при подстановке в систему (1) превращает каждое уравнение в верное равенство
Метод наискорейшего спуска
24. Метод скорейшего спуска решения система линейных алгебраических уравнений. Пусть дана система линейных алгебраических уравнений:
Введем функции:
(1)
— система линейных уравнений.
Матрица W не зависит от точки х, следовательно, нет необходимости пересчитывать на каждом шаге.
где —
невязка.
Отсюда получаем следующие формулы:
(7*)
(6*).
Скалярное уравнение — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1
Cтраница 1
Скалярное уравнение д ( А) 0 имеет степень mn, и, как показано в предыдущем пункте настоящего параграфа, его решения распадаются на классы подобных между собой матриц. [1]
Скалярное уравнение имеет степень тп и, как показано в предыдущем пункте настоящего параграфа, его решения распадаются на классы подобных между собой матриц. [2]
Скалярные уравнения, определяющие осесимметричное течение, можно вывести из уравнений в векторной форме, приведенных в гл. Если толщина пограничного слоя б мала по сравнению с вертикальным расстоянием х, для вертикального осесимметричного течения снова можно воспользоваться приближениями теории пограничного слоя. [3]
Скалярные уравнения, определяющие осесимметричное течение, можно вывести из уравнений в векторной форме, приведенных в гл.
Скалярные уравнения записываются в системе координат х, у, где х — вертикальная координата, у — радиальная координата, измеренная от оси симметрии, а и и v — соответствующие компоненты скорости. Если толщина пограничного слоя 6 мала по сравнению с вертикальным расстоянием х, для вертикального осесимметричного течения снова можно воспользоваться приближениями теории пограничного слоя.
[4]
Скалярные уравнения равновесия (5.35) отнесены к ортам деформированной осевой линии стержня. [5]
Скалярные уравнения равновесия (5.81) отнесены к ортам деформированной осевой линии стержня. [6]
Скалярные уравнения равновесия (5.35) отнесены к ортам деформированной осевой линии стержня. [7]
Скалярные уравнения равновесия (5.81) отнесены к ортам деформированной осевой линии стержня. [8]
Скалярное уравнение нейтрального типа вида ( 44) при s 0 также имеет не более чем — параметрическое семейство периодических решений периода со.
[9]
Векторные и скалярные уравнения механики действительно обладают этим свойством. Однако это не обязательно для любого уравнения; вообще говоря, скаляры и векторы при инверсии могут изменяться. По отношению к инверсии скаляры делятся на истинные скаляры ( или просто скаляры) и псе вдо скаляры. [10]
Сколько независимых скалярных уравнений равновесия
Вещественными скалярными уравнениями не может быть описано все та многообразие волн, которое наблюдается экспериментально / Большинство физических и биологических задач приводит не к скалярным уравнениям, а к системам уравнений. [12]
Тогда скалярное уравнение (13.1) виброкорректно в целом. [13]
Одно скалярное уравнение (1.
3) и одно векторное (1.4) дают всего четыре скалярных уравнения. Для идеальной среды беэ вязкости и теплопроводности энтропия во всем пространстве, занятом непрерывно движущейся жидкостью, постоянна ( изэнтропическое движение), и внутренняя энергия жидкости изменяется только в результате адиабатического сжатия.
[14]
Это скалярное уравнение описывает скорость изменения кинетической энергии на единицу массы ( ш2 / 2) для элемента жидкости, перемещающегося вниз по потоку. [15]
Страницы: 1 2 3 4
{-s} \theta$, известно, что уравнение является корректным в классическом смысле, если $s \geq 1$. Для любого $s<1$ возможный отказ классических решений за конечное время является открытой проблемой. В качестве модели для уравнений гидродинамики векторное поле $u$ берется бездивергентным. Противоположный случай, когда $u$ есть градиент потенциала (или, строго говоря, двойственное ему уравнение), изучается в рамках уравнения агрегации и уравнения нелокальной пористой среды.
{10} \theta$.
9\infty$ априорная оценка на $\theta$, векторное поле $u$ остается ограниченным в $BMO$.
Это дело вызывает большой интерес. Известные результаты совпадают с общим случаем активных скалярных уравнений относительно $s$ в диапазоне $(0,1)$. Классическая корректность уравнения для больших времен остается открытой проблемой.
Ссылки
- ↑ Чае, Д.; Ганседо, Ф .; Кордова, Д.; Константин, Петр; Ву, Джун (2011), «Обобщенные поверхностные квазигеострофические уравнения с сингулярными скоростями», Препринт Arxiv arXiv:1101.3537
Уравнение плоскости: параметрическое, скалярное произведение, декартова форма
h3 Математические формулы, методы и графики >> Векторы >> Трехмерная векторная геометрия >> Плоскости >>
Параметрическая форма
Векторное уравнение плоскости $p$ в параметрической форме имеет вид $$ \boxed{ p : \textbf{r} = \textbf{a} + \lambda \textbf{b}_1 + \mu \textbf{b}_2, \phantom{0} \lambda, \mu \in \ mathbb{R} } $$
$\textbf{r}$ — вектор положения точки на плоскости $p$ (т.
е. $\overrightarrow{OR}$)
$\textbf{a}$ — вектор положения известной точки на плоскости $p$ (т.е. $\overrightarrow{OA}$)
$\textbf{b}_1$ — вектор направления на плоскости $p$
$\textbf{b}_2$ — другой вектор направления на плоскости $p$
Форма скалярного произведения
Векторное уравнение плоскости $p$ в форме скалярного произведения имеет вид $$ \boxed{ p : \textbf{r} \cdot \textbf{n} = d } $$
$\textbf{r}$ — вектор положения точки на плоскости $p$ (т. е. $\overrightarrow{OR}$)
$\textbf{n}$ — вектор нормали к плоскости. Его можно получить из векторного произведения двух векторов направления на плоскости.
$d$ — константа, равная значению $\textbf{a} \cdot \textbf{n}$, где $a$ — вектор положения известной точки на плоскости $p$ (т.е. $\ overrightarrow{OA}$)
Декартово уравнение
Общий вид: $$ \boxed{ топор + by + cz = d } $$
Преобразование из одной формы в другую
Преобразование из параметрической формы в декартово уравнение
\начать{выравнивать} p_1: \textbf{r} & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) + \lambda \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ — 1 \end{matrix} \right) + \mu \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right), \phantom{0} \lambda, \mu \in \mathbb {Р} \\ \\ \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 — (-1) \\ 0 — 1 \\ 1 — 0 \end{matrix} \right) \\ \textbf{n} & = \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 1\end{matrix} \right) \\ \\ d & = \textbf{a} \cdot \textbf{n} \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) \cdot \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{matrix} \right ) \\ & = 1 + (-2) + 3 \ & = 2 \\ \\ \text{Форма скалярного произведения,} \phantom{0} p_1: \textbf{r} \cdot \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{matrix} \right) & = 2 \\ \\\\ \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \cdot \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{matrix} \right) & = 2 \\ х + (-у) + г & = 2 \\ \text{Декартово уравнение: } \phantom{0} x — y + z & = 2 \end{выравнивание}
Преобразование декартова уравнения в параметрическое уравнение
\начать{выравнивать} \text{Декартово уравнение } p_2 : \phantom{0} x + 2y + z & = 5 \\ \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \cdot \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right) & = 5\\ \text{Форма скалярного произведения, } \phantom{0} p_2 : \textbf{r} \cdot \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right) & = 5 \end{выравнивание}
Методом догадок или наблюдений найдите три точки, лежащие на $p_2$.